Olympic 2017

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GD&ĐT NGHĨA ĐÀN ĐỀ CHÍNH THỨC. KỲ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn: Toán 7 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề). (Đề thi có 01 trang). Câu 1: ( 4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức: 2    1   1    1   10.    5.    1 :   1  5   5    5  a) A =  1 1 1 1 1     ...  90 b) B = 2 6 12 20. Câu 2: ( 5,0 điểm) x 1 x 3 a) Tìm x biết: 5  5 650 b) Tìm x biết:. x  1  x  2  .....  x  100 605 x. 2 x 1 4 y  5 2x  4 y  4   9 7x c) Tìm x , y biết : 5. Câu 3: ( 4,0 điểm) a) Cho d·y tØ sè b»ng nhau:. 2 a+ b+c +d a+2 b+ c+ d a+ b+2 c+ d a+b+ c+2 d = = = a b c d TÝnh M = a+b + b+c + c +d + d +a c+ d d +a a+b b+c 2016 2017  x  2016. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B = 2 2 2 x  3 y 77 c) Tìm các số nguyên x, y biết:. Câu 4: ( 6,0 điểm) Cho ABC vuông cân tại A, gọi M là trung điểm của BC, lấy điểm D trên đoạn BM. Kẻ BH, CK lần lượt vuông góc với tia AD tại H và K. a) Chứng minh BH = AK; b) Tam giác HMK vuông cân; 0 c) Trên nữa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, kẻ tia Bx sao cho ABx 135 . Lấy E trên đoạn thẳng AB, qua E kẻ đưởng thẳng vuông góc với EC cắt Bx tại F. Chứng minh EC = EF. Câu 5: ( 1,0 điểm) Cho dãy số 10, 102, 103, ... , 1020. Chứng minh tồn tại một số chia 19 dư 1.. ------------------HẾT-----------------. Họ và tên thí sinh:…………………………………………………SBD:………….

<span class='text_page_counter'>(2)</span> HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM THI OLYMPIC Môn thi: Toán 7 Năm học: 2016 – 2017 Câu. Ý. a 2,0đ 1 (4,0 đ) b 2,0đ. 2 (5,0 đ). Đáp án 2    1   1    1  A  10.    5.    1 :  1  5   5    5   1   6  10.  1  1 :  25  5 10  6  : 25 5 2 5 1  .  5 6 3 1 1 1 1 1 B     ...  2 6 12 20 90 1  1 1 1 1       ...   2  2.3 3.4 4.5 9.10 . 1   2 1   2. Biểu điểm. 1,0 0,5 0,5. 1,0. 1 1 1 1 1 1 1 1        ...    9 10  2 3 3 4 4 5 1 1 1   2 10 10. 5 x 1  5x  3 650. 0,5 0,5. 5 x 32  5x  3 650. 0,5. 5 x 3  52  1 650. 0,5. a 5 25 2,0đ x 3 5 52 x  3 2 x 5 x 3. b 1,5đ. 0,25 0,25 0,25 0,25. x  1  x  2  .....  x  100 605 x x  1  x  2  .....  x  100 0. Ta có:  605 x 0  x 0 x 1  0 x  2  0    ...  x  100  0. với x. 0,25 0,25. 0,25 với x.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  x  1  x  2  x  3  ...  x  100 605 x  100 x   1  2  3  ...  100  605 x  100 x  5050 605 x  505 x 5050  x 10. 0,25 0,25 0,25. 2 x 1 4 y  5 2 x  4 y  4   5 9 7x ĐK: x  0. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 2 x 1 4 y  5 2 x  4 y  4 2 x  4 y  4    5 9 14 7x 1 1 2 x  4 y  4 0    x 2 14 7 x TH1: Nếu. 0,5 0,25.  x 2   c  7 2.2  1 4 y  5 7  y  2 1,5đ  5  9  y  2 (tm). 0,25.  2 x  1 0  2 x  4 y  4 0  4 y  5 0  2 x  4 y  4 0 . 0,25. TH2: Nếu. 3 (4,0 đ) a 2,0đ. 1   x  2    y 5  4 (tm) 2 a+ b+c +d a+2 b+ c+ d a+ b+2 c+ d a+b+ c+2 d = = = Từ a b c d 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d   1  1  1 1 a b c d a b c  d a b c  d a b c d a b c d     a b c d Nếu a + b + c + d = 0  a + b = - ( c + d) ; ( b + c) = - ( a + d). a b bc c d d a M     4 c d d a a b b c  Nếu a + b + c + d 0  a = b = c = d  a+b b+c c +d d +a M= + + + =4 c+ d d +a a+b 2016 B 2017  x  2016. b+c. Ta có: B.2017  B x  2016 2016 b 2017 B  2016 x  2016  1,0đ B Nên 2016  B 2017 và B < 0 . c 1,0đ. Vậy không tồn tại giá trị nhỏ nhất của B 2 x 2  3 y 2 77  2 x 2 77  3 y 2 0 với x, y. 0,25. 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25. 0,5 0,25 0,25. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 3 y 2 77  0  y 2 . 77 3 . Vì 2x2 chẵn nên 77 – 3y2 chẵn suy ra y2 lẻ..  y 2   1,9,25 Nếu y2 = 1  2x2 = 77 – 3 ( không thỏa mãn ) Nếu y2 = 9  2x2 = 77 – 27 = 50  x2 = 25  x = 5 hoặc x = -5 Nếu y2 = 25  2x2 = 77 – 75 = 2  x2 = 1  x = 1 hoặc x = -1 Vậy x 1 1 -1 -1 5 5 -5 -5 y 5 -5 5 -5 3 -3 3 -3 4 (6,0 đ). 0,25 0,25 0,25. A. K. E. N. D. B. C M H. 0,5. F. x. a 2đ. b 2đ. Xét ACK và BAH có : AKC AHB 900   BAH ACK ( vì cùng phụ với KAC ) AB = AC ( gt)  ACK BAH (ch  gn)  AK BH . Xét AKM và BHM có : AM là trung tuyến ABC nên AM  BC  AMB vuông cân tại M.  AM BM AK = BH ( chứng minh trên). 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>   KAM HBM ( vì cùng phụ với ADM )  AKM BHM  c.g .c   MK MH .(1) 0    AMK Ta có: KMA  KMD 90 mà BMH    BMH  KMD 900  KM  MH (2) Từ (1) và (2) => KMH vuông cân tại M. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = AE. => EB = NC và ANE vuông cân tại A. Xét EBF và CNE có: c NC = EB 1,5đ    NCE BEF ( vì cùng phụ với AEC )   EBF ENC 1350  EBF CNE ( g.c.g )  EC EF. Theo nguyên lí diriclet dãy có 20 số nên tồn tại hai số cùng dư khi chia cho 19. Giả sử hai số đó là 10m và 10n (0=<n < m=<20) 5(1, Ta có: 10m – 10n chia hết cho 19 0đ)  10m(10m-n – 1) chia hết cho 19, do 10m không chia hết cho 19(là số nguyên tố)  10m-n – 1 chia hết cho 19 hay 10m-n chia cho 19 dư 1 (đpcm) Lưu ý : Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>