CD KHOI DA DIEN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.68 MB, 83 trang )

(1)GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). CĐ - KHỐI ĐA DIỆN Vấn đề 1: Tính thể tích a. Lý thuyết - Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: V  B.h. 1 - Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là : V  B.h 3 b. Một số ví dụ Phân tích: Để tính được thể tích trong mỗi bài toán cần xác định được chiều cao và diện tích đáy của khối chóp. Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = a. Biết SA  (ABC) và SB hợp với đáy một góc 60 0. a) CMR các mặt bên là tam giác vuông. b) Tính thể tích hình chóp S.ABC. Bài giải: S. A. C. B. Phân tích: - Đường cao của khối chóp : SA - Đáy: Tam giác ABC vuông cân tại B, AC = a a) Ta có : SA  (ABC)  SA  AB, SA  AC hay  SAB, SAC vuông tại A. Ta có: BC  SA;BC  AB  BC  (SAB)  BC  SB hay  SBC vuông tại B.. 1 a2 b) Ta có : SABC = AB.BC = 4 2  = 60 0 AB là hình chiếu của SB trên (ABC)  Góc giữa SB và (ABC) là SBA a Xét  ABC: AB 2 + BC 2 = AC 2 = a 2  AB = BC = 2 a 6 Xét  SAB : SA = AB.tan60 0 = 2 1 a3 6 Ta có : SA  (ABC)  V SABC = .SA. SABC = 3 24 1.

(2) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết SA  (ABC) và (SBC) hợp với đáy một góc 60 0 . Tính thể tích hình chóp S.ABC. Bài giải: S. A. C M B. Phân tích: - Đường cao của khối chóp : SA - Đáy: Tam giác ABC đều cạnh a. Gọi M là trung điểm của BC. Vì  ABC đều  AM  BC (1) Ta có: SA  (ABC)  SA  BC (2) Từ (1), (2)  BC  (SAM)  SM  BC (3).  = 60 0 Từ (1), (3)  Góc giữa (SBC) và (ABC) là SMA Xét  ABC : AM =. AB2  BM 2 . Xét SAM : SA  AM tan 600 . a 3 1 a2 3 , SABC = AM.BC  2 2 4. 3a 2. 1 a3 3 Ta có: SA  (ABC)  VSABC  .SA.SABC  3 8 Ví dụ 3 (TN - 2009). Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SBC) là tam giác đều cạnh a, cạnh  =120 0 . Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a. bên SA  (ABC), biết BAC Bài giải: S. C. A. B. Phân tích: - Đường cao của khối chóp : SA 2.

(3) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). - Đáy: Tam giác ABC Ta có : SAB SAC  AB  AC. a 3 3 a 6 1 a2 3 Xét SAB : SA  SB2  AB2  ; SABC  AB.AC.sin A  3 2 12 3 1 a 2 Ta có: SA  (ABC)  VSABC  SA.SABC  3 36 Ví dụ 4 (TN - 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết SA  (ABCD) và (SBD) tạo với đáy một góc 60 0 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Bài giải: Xét ABC : BC2  AB2  AC 2 2AB.AC.cosA  AB  AC . S. A. D O. B. C. Phân tích: - Đường cao của khối chóp : SA - Đáy: ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi O = AC  BD Ta có: BD  SA;BD  AC  BD  (SAC) Mà SO  (SAC)  BD  SO BD  (SBD)  (ABCD)     600   Góc giữa (SBD) và (ABCD) là SOA SO  BD,AO  BD    a 6 Xét SAO : SA  OA.tanSOA 2 2 2 SABCD  AB  a 1 Ta có: SA  (ABCD)  VSABCD  SA.SABCD  a 3 6 3  =60 0 . Biết SA Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAC  (ABCD) và khoảng cách từ A đến SC bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Bài giải:. 3.

(4) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) S. H A. D O. B. C. Phân tích: - Đường cao của khối chóp : SA.  = 60 0 . - Đáy: ABCD là hình thoi cạnh a, BAC Gọi O  AC  BD Ta có: ABD đều, cạnh a  AO . a 3 ,BD  a 2. Xét SAC : AC  2AO  a 3 . Dựng AH  SC  AH  a 1 1 1 a 6    SA  Ta có : 2 2 2 SA AC AH 2 2 1 a 3 SABCD  .AC.BD  2 2 1 a3 2 Ta có: SA  (ABCD)  VS.ABCD  .SA.SABCD  . 3 4 Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a. Biết SA  (ABCD) và (SCD) tạo với đáy một góc 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Bài giải: S. I. A. B. D. C. Phân tích: - Đường cao của khối chóp : SA 4.

(5) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). - Đáy: ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a. Gọi I là trung điểm AD  AI  ID  a. 1 Tứ giác ABCI là hình vuông  IC  a  AD 2  ACD vuông tại C hay AC  CD Mà SA  CD  CD  (SAC)  CD  SC CD  (SCD)  (ABCD)     600   Góc giữa (SCD) và (ABCD) là SCA  SC  CD,AC  CD   Xét ABC : AC  AB2  BC2  a 2 Xét SAC :SA  ACtan 600  a 6 1 3a 2 SABCD  AB(AD  BC)  2 2 1 a3 6 Ta có: SA  (ABCD)  VS.ABCD  SA.SABCD  3 2 Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với BC = CD = DA = a, AB = 2a. Biết SA  (ABCD) và SC tạo với đáy một góc 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Bài giải: S. I. A. D. H. B. C. Phân tích: - Đường cao của khối chóp : SA - Đáy: ABCD là hình thang cân với BC = CD = DA = a, AB = 2a. Gọi I là trung điểm AB Ta có : IA = DC, IA // DC  AICD là hình thoi  IC = IB = IA = a hay  BCA vuông tại C Xét  ACB: AC  AB2  BC2  a 3   600 Ta có AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)  Góc giữa SC và (ABCD) là SCA   3a Xét SAC :SA  AC.t anSCA 1 1 1 a 3    CH  Dựng CH  AB. Xét ACB : CH 2 AC2 CB2 2 5.

(6) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). 1 3a 2 3 SABCD  (DC  AB).CH  2 4. 1 3a 3 3 Ta có: SA  (ABCD)  VS.ABCD  SA.SABCD  3 4 Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD) a) Chứng minh rằng chân đường cao của hình chóp trùng với trung điểm của AB b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài giải: S. A. D. H. B. C. a) Gọi H là trung điểm AB. Ta có SAB đều  SH  AB Mà AB  (SAB)  (ABCD);(SAB)  (ABCD)  SH  (ABCD). a 3 2 1 a3 3 2 2 Ta có SABCD  AB  a ,VSABCD  SH.SABCD  3 6 Ví dụ 9: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D, (ABC)  (BCD) và AD hợp với (BCD) môt góc 60 0 . Tính thể tích tứ diện ABCD biết AD = a. Bài giải: b) SAB đều cạnh a  SH . A. D. B H C. Gọi H là trung điểm BC; ABC đều  AH  BC  AH  (BCD).   600 HD là hình chiếu của AD trên (BCD)  Góc giữa AD với (BCD) là ADH a 3 a ,HD  ADcos600  Xét AHD : AH  ADsin 600  2 2 6.

(7) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Xét BDC : BC  2HD  a. 1 a2 1 a3 3 SBCD  DH.BC  ,VABCD  AH.SBCD  2 4 3 24 Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại, BC = a. Biết (SAC)  (ABC), các mặt bên hợp với đáy một góc 45 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC. Bài giải: S. H. A I. C J. B. Xét ABC,AC  AB2  BC2  a 2 . Dựng SH  AC(H  AC)  SH  (ABC)   450 ; HJ  BC(J  BC)  SJH   450 HI  AB(I  AB)  SIH. SHI  SHJ  HI  HJ  BIHJ là hình vuông  BH là phân giác góc B 1 a 2 Mà  ABC vuông cân tại B  BH  AC  2 2 2 a a Xét BJH,HJ  BJ,BJ 2  HJ 2  BH 2   HJ  BJ  2 2 a Xét SHJ :SH  HJ.tan 450  2 2 1 a 1 a3 2 Ta có: SABC  AB  ,VSABC  SH.SABC  2 2 3 12 Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB vuông cân tại S, SA = SB = a, (SAB)  (ABCD). Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) bằng 60 0 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Bài giải: S. A. D I. H B. C. (SAB)  (ABCD) theo giao tuyến AB 7.

(8) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Gọi H là trung điểm AB  SH  AB (  SAB cân)  SH  (ABCD) a 2 Ta có: SH  ,AB  a 2 . Dựng HI  AC  AC  (SHI) 2  SIH   600 . Xét SHI : HI  SH  a .  ((SAC,(ABCD))  6 tanSIH HI IA HI.AB   BC  a 2 Ta có : HIA ~ CBA  BC AB IA 1 a2 2 SABCD  AB.BC  a 2,VSABCD  SH.SABCD  3 3 Ví dụ 12 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, BC=4a, (SAB)  (ABCD). Hai mặt bên (SBC), (SAD) cùng hợp với (ABCD) một góc 30 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD . Bài giải: S. A. D. H B. C. Ta có: (SAB)  (ABCD) theo giao tuyến AB. Trong (SAB) dựng SH  AB  SH  (ABCD)  SBA   300 ,((SAD,(ABCD))  SAB   300 Ta có ((SBC),(ABCD))   SAB cân tại S  HA = HB = a   SH  SH  a Xét SHB, tanSAH HA 3 1 8a 3 3 2 SABCD  AB.BC  8a ,VSABCD  SA.SABCD  3 9 Ví dụ 13. (TN - 2014) : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và SC = 2 5 a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Góc giữa đường thẳng SC và (ABC) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. Bài giải:. 8.

(9) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) S. A. B. M. C.   SCM   600 CM là hình chiếu của SC trên (ABC)  (SC,(ABC))  a 15,CM SC.cosSCM  a 5 Xét SMC : SM  SC.sinSCM. x 2 2 2 Xét CAM : AC  AM  CM 2  x  2a 1 2a 3 15  VS.ABC  SM.AC.AB  6 3 Ví dụ 14 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAB) vuông góc với đáy, SA = SB, SC tạo với đáy một góc 45 0 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD. Bài giải: Đặt AC = AB = x  AM . S. A. D. I. B. C. Gọi I là trung điểm AB. SAB cân tại S  SI  AB Mà (SAB)  (ABCD) theo giao tuyến AB  SI  (ABCD)   SCI   450 IC là hình chiếu của SC trên (ABCD)  (SC,(ABCD). a 5 2 a 5 1 a3 5  VSABCD  SI.SABCD   SIC vuông cân tại I  SI  IC  2 3 6 Ví dụ 15(CĐ - 2012): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SA = SB = SC, AB = a 2 . Góc giữa SA và đáy bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a . Bài giải: Xét IBC : IC  IB2  BC2 . 9.

(10) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) S. H. B. C. A. Gọi H là trung điểm của BC  SH  BC (1) SHA  SHB  SHC(c.c.c)  SH  AH (2). Từ (1) và (2)  SH  (ABC)   SAH   600 AH là hình chiếu của SA trên (ABC)  (SA,(ABC)). 1 a 3 Xét ABC,AH  BC  a . Xét SHA,SH  AH.tanSAH 2. 1 a3 3  VSABC  SH.SABC  3 3 Ví dụ 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, với BC là đáy nhỏ, H là trung điểm AB, SA=2a, SC = a 5 . Biết  SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và khoảng cách từ D đến (SHC) bằng 2 2 a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Bài giải: S. A. E. D. H B. C. Ta có: SH  SA2  HA2  a 3,HC  SC2  SH2  a 2   450 ,CE  2a 2  d(D,(SHC))  DC  2a 2 BC  HC2  BH2  a,AE  BC  a,HEA.  DCE vuông cân tại C, DE  DC2  CE2  4a  AD  DE  AE  3a 1 1 4a 3 3 VSABCD  .SH.SABCD  .SH.AB(BC  AD)  3 6 3 Ví dụ 17. (ĐH – A.2009): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a; Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a. 10.

(11) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Bài giải: S. D. A. B K. I D. C. Ta có: SI  (SIC)  (SIB).      SKI   600   BC  (SIK)  SK  BC  ((SBC),(ABCD)) (SIC),(SIB)  (ABCD)  . Gọi H là trung điểm AB  HA  HB  a  ADCH là hình chữ nhật Xét CHB: BC  CH2  HB2  a 5. 1 3 5a   3 15a SBIC  IK.BC  IK  . Xét SIK : SI  IK.tanSKI 2 5 5 1 3 15a 3 1 SABCD  AD(DC  AB)  3a 2 ;VSABCD  SI.SABCD  3 5 2 Ví dụ 18: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và các cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. Bài giải: S. C. A H. I. B. Gọi H là tâm của ABC  SH  (ABC) . GỌI I là trung điểm BC  AI  BC. a 3 1 a2 3 ,SABC  .AI.BC  Xét ABC : AI  AB  BI  . 2 2 4 2 a 3 Ta có AH  AI  3 3 a 11 1 a 3 11 2 2 Xét AHS:SH  SA  AH  ,VSABC  .SH.SABC  3 12 3 Ví dụ 19: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với đáy một góc 60 0 .Tính thể tích khối chóp S.ABC 2. 2. 11.

(12) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Bài giải: S. C. A H. I. B.   600 Ta có AI  BC,SI  BC  Góc giữa (SBC) và (ABC) là SIH. 1 a 3 a ,SH  tan 600.HI  Xét SHI,HI  AI  3 6 2 3 1 a 3  VSABC  SH.SABC  3 24 Ví dụ 20: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a và hợp với đáy một góc 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài giải: S. B. A O D. C. Gọi O  AC  BC  SO  (ABCD) ..   600 OC là hình chiếu của SC trên (ABCD)  Góc giữa SC và (ABCD) là SCO a a 3 Xét SOC : OC  SC.cos60 0  ;SO  SC 2 OC 2   AC  a 2 2 a Xét ABC : AB2  BC2  AC2  a 2  AB  BC  2 3 1 1 a 3 VSABCD  .SO.SABCD  .SO.AB2  3 3 12 Ví dụ 21: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các mặt bên hợp với đáy một góc 45 0 và khoảng cách từ chân đường cao của hình chóp đến các mặt bên bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Bài giải:. 12.

(13) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) S. H A. B I. O C. D.   450 Gọi I là trung điểm BC  OI  BC,SI  BC  Góc giữa (SBC) và (ABCD) là SIO Dựng OH  SI  OH  (SBC)  d(O,(SBC))  OH  a Xét OHI : OI  OH.sin 450  a 2  DC  2OI  2a 2 0 Xét SOI :SO  OI.tan 45  a 2 1 8a 3 2 VSABCD  .SO.SABCD  3 3 Ví dụ 22: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có ABC vuông cân tại A, BC  a 2 . Biết A’B = 3a, tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’. Bài giải: A'. C' B'. C. A B. a2 Xét ABC : AB  AC  a,SABC  . 2 Xét A'AB: AA'  2a 2  VABCA 'B'C'  AA'.SABC  a 3 2 Ví dụ 23: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có ABC vuông cân tại B, AC  a 2 . Biết A’B hợp với đáy một góc 600 . Tính thể tích khối lăng trụ. Bài giải:. 13.

(14) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) A'. C' B'. C. A B. a2 Xét ABC : AB  BC  a,SABC  2   B,(ABC))  A BA  600 Từ giả thiết ta có: (A Xét AAB: AA=a 3 a3 3 2 Ví dụ 24: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có ABC vuông tại A, AC = a,   600 . Biết BC’ hợp với (AA’C’C) một góc 300 . Tính thể tích khối lăng trụ ACB ABCA’B’C’. Bài giải:  VABC.ABC  AA.SABC . A'. C' B'. C. A. B. a2 3 Xét ABC : AB  a 3,SABC  2    300 Từ giả thiết ta có: (BC',(AA'C'C))  CBC' Xét AAC : AC  a,AA  2a 2.  VABC.ABC  AA.SABC  a 3 6 Ví dụ 25: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có ABC đều cạnh a. Biết diện tích ABC bằng 2 a 2 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. Bài giải:. 14.

(15) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) A'. C'. B'. A. C I B. Gọi I là trung điểm BC. a 3 a2 3 Xét AIB : AI   SABC  2 4 1 Xét BAC :SBAC  .AI.BC  AI  4a 2 a 61 Xét AAI : AA  2 a 3 183   VABC.ABC  AA .SABC  8 Ví dụ 26: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có khoảng cách từ A đến (A’BC) bằng a. AA’ hợp với (A’BC) một góc 300 . Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’. Bài giải: A'. C'. B' H A. C I B. Gọi I là trung điểm BC  H  300 Dựng AH  AI  d(A,(ABC))  AH;(AA,(ABC))  AA AH Xét AHA,AA   2a   sin AA H 2a  H  Xét AAI,AI  AA tan AA 3   2a  BC  2BI  4a Xét AIB,BI  AI.tan BAI 3 3 15.

(16) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). 1 8a 3   VABC.ABC  AA .SABC  .AA .BC.AI  2 3 3 Ví dụ 27:Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có AA’ = a. Biết đường chéo A’C hợp với đáy (ABCD) một góc 300 và mặt (A’BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 600 . Tính thể tích hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’. Bài giải: B'. C'. A'. D'. C. B. A. D.     BC),(ABCD))  A BA  600 ; (AC ,(ABCD))  C AC  30 0 Từ giả thiết ta có: ((A AA a Xét AAB,AB    3 BA tan A CC Xét CCA,AC  a 3.  AC tan C 2a 2 3 2a 3 2   VABCD.ABCD  AA .AB.AD= 3 Ví dụ 28: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông, AA’=a, (ABC’D’) hợp với đáy một góc 300 .Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’. Bài giải: Xét ADC,AD  AC2  DC2 . B'. A'. C'. D'. B. A. C. D.   D),(ABCD))  D AD  300 Từ giả thiết ta có: ((ABC DD a 3 Xét DDA,AD    tan D AD 16.

(17) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114).  VABCD.ABCD  AA.AD2  3a 3 Ví dụ 29: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có AA’=2a, khoảng cách từ D đến mp’ (ACD’) bằng a. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD. A’B’C’D’. Bài giải: B'. C'. A'. D'. H B. C O. A. D. Gọi O  BD  AC, dựng DH  OO  d(D,(ADC))= DH=a DD.DH 2a 4a Xét DDO,OD  .   BD  2OD  2 2 3 3  DD  DH 16a 3 BD 4a Xét BAD,AB  AD  ; VABCD.ABCD  AA.AB.AD   3 2 6 Ví dụ 30: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, BDC đều. Tính thể tích lăng trụ ABCD.A’B’C’D’. Bài giải: B'. A'. C'. D'. C. B. A. D. Xét BCD,BD  BC2  DC2  a 2. BDC đều  BC  DC  BD  a 2 Xét CCD,CC  DC 2  DC2  a  VABCD.ABCD  BC.DC.CC  a 3 Ví dụ 31: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên hợp với đáy một góc 600 . Hình chiếu của A’ trên (ABC) là trung điểm của BC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. Bài giải:. 17.

(18) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) A'. C' B'. A C I B. Gọi I là trung điểm BC.. a 3 a2 3    600 Ta có : ABC đều cạnh a  AI  ,SABC  ,(AA',(ABC))  A'AI 2 4 3a 3a 2 3 0  Xét AIA',A'I  AI.tan 60   VABC.ABC  A I.SABC  2 8 Ví dụ 32: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA’ =. 2a 3 , A’ 3. cách đều A,B,C. Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’. Bài giải: A'. C' B'. A. C G. I. B. a 3 2 a 3 ,AG  .AI  2 3 3 Vì A’B = A’A = A’C, ABC đều  A'ABC là hình chóp đều  A'G  (ABC) Gọi I là trung điểm của BC, G là tâm ABC  AI  Xét AGA',A'G  AA'2  AG 2  a. a3 3 4 Ví dụ 33: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên AA’ = a 3 và hợp với đáy một góc 300 . Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’. Bài giải:  VABC.A 'B'C'  A'G.SABC . 18.

(19) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). B'. C' D'. A'. B. C. H. A. D.   A'AH   300 Dựng A’H  (ABCD),H  (ABCD),(AA',(ABCD)) a 3 a3 3 Xét AHA',A'H  AA'.sin30   VABCD.A 'B'C'D '  A'H.SABCD  2 2   600 . Ví dụ 34: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD Chân đường cao từ B’ xuống (ABCD) trùng với giao của hai đường chéo hình thoi ABCD, biết BB’ = a. Tính thể tích khối hộp đã cho. Bài giải: 0. B'. C'. A'. D'. B. C H. A. D. Gọi O  BD  AC  B'O  (ABCD) . ABD đều cạnh a. a a2 3 a 3 a 2 3 3a 2  BD  a,BO  ,SABCD  2SABD   VABCD.A 'B'C'D '  B'O.SABCD  .  2 2 2 2 4 Trong nhiều bài toán, khối chóp cần tính thể tích không phải lúc nào cũng là khối ban đầu mà đề bài cho mà có thể là một phần của khối đó. Vì thế việc xác định đường cao và đáy cũng trở nên khó xác định hơn. Với những bài toán đó, ngoài việc tính thể tích theo công thức ta có thể tính thể tích theo phương pháp cộng khối hoặc phương pháp tỉ số thể tích.  Sử dụng công thức tính thể tích: - Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: V  B.h. 1 - Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là : V  B.h 3 Ví dụ 35: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, AB = 2a, AD = 4a, SA  (ABCD); góc giữa SC và (ABCD) bằng 300 . Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB và BC; N thuộc cạnh AD sao cho DN = a. Tính thể tích khối chóp S.AHMN theo a. Bài giải: 19.

(20) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). S. A. N. D. H. B. M. C. 1 1 Ta có: SABCD  AB.AD  8a 2 ;SBMH  BH.BM  a 2 ;SCDNM  CD(DN  CM)  3a 2 2 2 2  SAHMN  SABCD  SBMH  SCDNM  4a   300 Ta có AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)  Góc giữa SC và (ABCD) là SCA Xét ABC : AC  AB2  AC2  2a 5. 2a 15 3 1 8a 3 15 Ta có: SA  (AHMN)  VSAHMN  SA.SAHMN  3 9 Ví dụ 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 . Hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là điểm H thuộc AD sao cho HD = 2HA. Biết góc giữa SA và (ABCD) bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCH. Bài giải: Xét SAC : SA  AC tan 300 . S. A B H D. C.   600 ; Ta có AH là hình chiếu của SA trên (ABCD)  Góc giữa SA và (ABCD) là SAH 1 a 3 1 4a 2 AH  AD  ; SABCH  .AB(AH  BC)  3 3 2 3  a Xét SAC : SH  AH.tanSAH. 1 2a 3 Ta có: SH  (ABCH)  VS.ABCH  .SH.SABCH  3 3 3 20.

(21) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Ví dụ 37: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên AA’ = a, hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABCD) trùng với trung điểm I của AB. Gọi K là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’.IKD. Bài giải: A'. B'. C'. D'. I. A. B K. D. Xét AIA': A'I  AA'2  AI 2 . C. a 3 2. 1 3a 2 SDIN  SABCD  SAID  SBKI  SDCK  AB  .(AD.DI  BI.BK  CD.CK)  2 8 3 1 a 3 Ta có: SI  (DIK)  VA 'IKD  .A'I.SDIK  . 3 16 Ví dụ 38: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA  (ABCD), AB = SA = 3a, AD = 3a 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC; I là giao của BM và AC. Chứng minh rằng (SBM)  (SAC) và tính thể tích khối tứ diện ABIN. Bài giải: 2. S. N M. A. D. I O B. C. Ta có AC  AB2  BC2  3a 3;BM  AB2  AM 2 . 3a 6 2. 1 2 AI  AC  a 3;BI  BM  a 6;AI 2  BI 2  AB2 3 3 AIB vuông tại I hay AC  BM  BM  (SAC) 1 3a Gọi O  AC  BD  NO  (ABCD), NO  SA  2 2 3 1 1 3a 2 VABIN  NO.SAIB  NO.AI.BI  3 6 4 21.

(22) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Ví dụ 39(ĐH – A.2011): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.BCNM . Bài giải: S. C. N. A M B. (SAB),(SAC)  (ABC)  SA  (ABC) ;  SBA   60 0;SA  AB.tanSBA   2a 3 ((SBC),(ABC)) BC Ta có : MN // BC, N là trung điểm AC; MN  a 2 1 1  VSBCNM  SA.SBCNM  SA.MB(MN  BC)  a 3 3 3 6 Ví dụ 40: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mp’ vuông góc với đáy. Gọi M là điểm thuộc cạnh AD sao cho MD = 2MA. Tính theo a thể tích khối chóp S.BCDM, biết (SBD) tạo với mặt đáy một góc 600 . Bài giải: S. A. D. M. H J B. I C. Gọi H là trung điểm AB  SH  (ABCD)   SJH   600 I  AC  BD ; J là trung điểm BI  ((SBD),(ABCD)) Ta. có. 1 a 2   a 6 ;DM  2 AD  2a AC  AB2  BC2  a 2;HJ  AI  ; SH  HJ.tanSJH 4 3 3 2 4 1 5a 2 1 5a 3 6 SBCDM  (DM  BC)DC   VSBCDM  SH.SBCDM  2 6 3 72 Ví dụ 41: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AD  a 6;AB  a 3 . M là trung điểm của AD, (SAC) và (SBM) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.OMC, biết góc giữa SA và đáy bằng 600 . 22.

(23) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Bài giải: S. A. D. M H O. B. C. N. 1 a 3 AC  AB2  BC2  3a;OM  AB  2 2 AC a Gọi H  AC  BM  AH  3   SAH   600 ;SH  AH.tanSAH a 3 Ta có: (SA,(CABCD)). a 6 ;CN  OM 2 1 1 a3 6 VS.OMC  SH.SOMC  .SH.OM.CN  3 6 8 Ví dụ 42: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại A, AB = AC = a và M là trung điểm của AB. Hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC và góc giữa SA với (ABC) bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S.BMC. Bài giải: Gọi N là trung điểm BC  CN . S. O J. B. N. C. I M A. Gọi N, I, J lần lượt là trung điểm của BC, BM, BN O  IJ  AN  O là tâm đường tròn ngoại tiếp  BMC   SAO   600  SO  (ABC);(SA,(ABC)). 1 a 2 Ta có: BC  AB2  AC2  a 2,AN  BC  2 2 AN AM 2 3 3a 2    AO  AN  . AO AI 3 2 4 3a 6 Xét  SOA: SO  OA.tan 600  4 23.

(24) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). a2 1 a3 6 SBMC  SABC  SABM  ;VS.BMC  SO.SBMC  4 3 16 Ví dụ 43. (ĐH – B.2009): Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa  = 600. đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và BAC Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a. Bài giải: A'. B'. C'. A. B G. I. C. Gọi G là trọng tâm  ABC  B'G  (ABC).   B'BG   600 ;BG  BB'.cosB'BG a (BB',(ABC)) 2 3 3a Gọi I là trung điểm AC  BI  BG  2 4 1 1  x 3 Đặt BC = x  CI  AC  BC.cot BAC 2 2 6 3a 39 3a 13 BC2  CI2  BI2  x   BC;AC  ; 26 26 1 9a 2 3 a 3 1 9a 3  SABC  BC.AC  ;B'G  BB'.sin B'BG  ; VA 'ABC  .B'G.SABC  3 208 2 104 2 Ví dụ 44 (ĐH – A.2010): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM. Bài giải: S. A. N. D. H M B. C. 24.

(25) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). 1 5a 2 ; SCDNM  SABCD  SAMN  SMBC  AB  (AM.AN  BM.BC)  2 8 1 5a 3 3 VS.CDNM  .SH.SCDNM  3 24  Sử dụng công thức cộng khối: VH  VH1  VH2  ...  VHn với H là khối đa diện được ghép bởi các khối đa diện H1,H2 ,H3..... ,Hn . Ví dụ 45(HSG – NĐ.2010) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SB và mặt a 3 phẳng (ABCD) bằng 600 . Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM  . Mặt phẳng (BCM) 3 cắt cạnh SD tại điểm N. Tính thể tích khối đa diện ABCDMN. Bài giải: 2. S. M. H. N. A. B. D. C. Từ giả thiết suy ra MN // BC và MNCB là hình thang vuông tại M và B  . Gọi H là chân đường cao hạ Từ giả thiết ta suy ra BM là đường phân giác trong của góc SBA từ S xuống BM thì SH là đường cao của hình chóp S.BCNM.    600 ;SA  AB.tan 600  a 3;SB  SA 2  AB2  2a; SB; ABCD  SBA. . . SH  SB.sin300  a MN SM 4a   MN  Do MN // BC  AD SA 3 1 10a 2 1 10 3a 3 SBCNM  MN  BC.BM  ;VS.BCNM  SH.SBCNM  2 3 27 3 3 1 2 3a 3 8 3a 3 VS.ABCD  SA.SABCD  ;VABCDMN  VS.ABCD  VS.BCNM  3 3 27 Ví dụ 46 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC đều, (A’BC) tạo với đáy một góc 600 , diện tích  A’BC bằng . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB’ và CC’. Tính thể tích khối tứ diện A’AMN. Bài giải:. 25.

(26) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) C'. A'. B'. N. M C. A I B.  A'IA   600 Gọi I là trung điểm BC  ((A'BC),(ABCD)) 4 3; S  S .cosA'IA ABC. A 'BC. Đặt BC = a.. a 3 1 a2 3 Ta có AI  AB  BI  ;SABC  AI.BC   4 3  a  4  A'I  2 3; 2 2 4 1   6;V AA'  AI.tan A'IA ABC.A 'B'C'  AA'.SABC  24 3;VA.BCNM  AI.SBCNM  8 3 3  VA 'AMN  VABC.A 'B'C'  2VABCNM  8 3   300 , hình chiếu vuông góc Ví dụ 47: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’có AB = a, BC = 2a, ACB của A’ trên (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với (ABC) bằng 600 . Tính thể tích khối BCC’B’A’. Bài giải: 2. 2. A'. C' B'. A. C G. M. B.   A'AG   600 ; Ta có A'G  (ABC)  (AA',(ABC))   AC  a 3 AB2  AC2  BC2  2AC.BC.cosACB AB2  AC2  BC2   ABC vuông tại A 2 BC 2a   2a 3  ;A'G  AG.tan A'AG Gọi M là trung điểm BC  AG  AM  3 3 3 3 1 VABC.A 'B'C'  A'G.SABC  A'G.AB.AC  a 3 2 3 1 a 2a 3 VA 'ABC  A'G.SABC  ;VA 'BCC'B'  VABC.A 'B'C'  3 3 3 26.

(27) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Vì BC//B’C’  d(B'C,A'C)  d(B',(A'BC)) . Dựng AH  BC,GI  BC  A'I  BC. a 3 AH a 3 a 51 ;GI   ;A'I  A'G 2  GI3  2 3 6 6 AB2  AC2 1 1 SA 'BC  VABC.A 'B'C'  A'G.SABC  A'G.AB.AC  a 3 3 2 3 1 a 2a 3 VA 'ABC  A'G.SABC  ;VA 'BCC'B'  VABCA 'B'C'  VA 'ABC  3 3 3 Ví dụ 48: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa (A’BC) và (ABC) bằng 600 .Gọi G là trọng tâm  A’BC.Tính thể tích khối đa diện A’ABG. Bài giải: Ta có AH . AB.AC. . A'. C'. B' G A. C H. J. I. B. a 3 2   A'IA   600 ;AA'  AI.tan A'IA a ((A'BC),(ABC)) 2 3 1 1 a 3 VA 'ABI  AA'.SABI  AA'.AI.BI  3 6 48 1 a Gọi H là trọng tâm  ABC  GH  (ABC);GH  AA'  3 6 1 1 a3 3 a3 3 VGABI  .GH.SABI  .GH.AI.BI   VA 'ABG  VA 'ABI  VGABI  3 6 144 72 Gọi I là trung điểm của BC; AI  AB2  BI 2 .  Sử dụng tỉ số thể tích: Dựa vào kết quả bài toán: Cho khối chóp SABC. Trên các đoạn SA, SB, SC lần lượt lấy ba V SA' SB' SC' . . điểm A’, B’, C’ khác với S. Chứng minh rằng: S.A 'B'C'  . VS.ABC SA SB SC Ví dụ 49: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy, G là trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa diện SAMN, biết SA = AB = a và góc hợp bởi AN với (ABCD) bằng 300 . Bài giải:. 27.

(28) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) S. N M. G. D. H. A. I C. B. Gọi I  AC  BD  G là trọng tâm  SBD. Ta có M  AG  AC, N  BG  SD  M, N lần lượt là trung điểm của SC, SD. SA a Gọi H là trung điểm AD  NH  (ABCD), NH   2 2   300 Ta có AH là hình chiếu của AN trên (ABCD)  Góc giữa AN và (ABCD) là NAH   a 3  AD  2AH  a 3 Xét AHN : AH  NH.cot NAH 4 2 3 1 1 a 3 VS.ADC  SA.SADC  SA.AD.DC  3 6 12 1 a3 3 VSAMN SA SM SN 1  . .   VSAMN  VSACD  4 48 VSACD SA SC SD 4 Ví dụ 50: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân ở B, AC = a 2, SA  (ABC), SA  a. Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng (  ) qua G song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích khối chóp SAMN. Bài giải: S. N G M C. A I B. BC / / (),BC  (SBC);MN  ()  (SBC)  MN / / BC,G  MN SM SN SG 2     (Với I là trung điểm BC) SB SC SI 3 Xét ABC : AB2  BC2  AC2  AB  BC  a 1 1 a3 VSABC  SA.SABC  SA.AB.BC  3 6 6. 28.

(29) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). VSAMN SA SM SN 4 2a 3  . .   VSAMN  VSABC SA SB SC 9 27 Ví dụ 51: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA  a 2 và vuông góc với đáy. Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt trên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp SB’C’D’ theo a. Bài giải: S. C' D'. B'. I A. B O. D. C. Gọi O  AC  BD,I  SO  B'D',C'  AI  SC Ta có DC  AD;DC  SA  DC  SAC  DC  AD' Mà AD'  SD  AD'  SDC  AD'  SC (1) Tương tự: AB'  SC (2) Từ (1), (2)  SC  (AB'C'D')  SC  AC' Ta có : AC  AD2  DC2  a 2;SC  SA2  AC2  2a;. SD  SA2  AD2  a 3;SB  SA2  AB2  a 3 1 1 a3 2 SD' SA 2 2 SC' 1 SB' SA 2 2 2   ;  ;   ; VSBCD  SA.SBCD  SA.BC  SD SD2 3 SC 2 SB SB2 3 3 6 6 3 VSB'C'D ' SB' SC' SD' 2 2 a 2  . .   VSB'C'D '  VSBCD  VSBCD SB SC SD 9 9 27 Ví dụ 52: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 600 . Gọi M là trung điểm của SC, mp(  ) qua AM và song song với BD cắt SB tại E, cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp SMEF. Bài giải:. 29.

(30) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) S M E I. A. F. D. O B. C. Gọi O  AC  BD,I  SO  AM  BD / /( ),BD  (SBD)    EF// BD,I  EF  EF  ( )  (SBD)     SDO   600 (SD,(ABCD)). BD a 2 a 6  ;SO  OD.tanSDO 2 2 12 3 1 1 a 6 VS.BDC  SO.SBCD  SO.BC2  3 6 12 VS.EMF SE SM SF 2 a3 6  . .   VSEMF  VS.BCD SB SC SD 9 54 Ví dụ 53 (ĐH – A.2007): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a. Bài giải:. BD  AB2  AD2  a 2 ; OD . S. N A. B. H D. M P. C. 1 a3 3 VSBCD  .SH.SBCD  3 12 VCMNP CN CP 1 VCMBD VCMNP MB 1  .  ;    VCMBD CB CD 4 VCSBD VCMBD SB 2 1 a3 3  VCMNP  .VSBCD  8 96 30.

(31) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Ví dụ 54 (ĐH – B.2008): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a, SA  ABCD và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Tính thể tích khối chóp S.BCMN theo a. Bài giải: S. M. N. H. A. B. D. C. Gọi H là trung điểm AD  Tứ giác ABCH là hình vuông; HA = HB = HC = a. 1 a3 1 2a 3 VS.BCA  SH.SABC  ;VS.CAD  SH.SACD  3 3 3 3 V SM 1 VS.CMN SM SN 1 Ta có: S.BCM   ;  .  VS.BCA SA 2 VS.CDA SA SD 4. 1 1 a3  VS.BCMN  VS.BCM  VS.CMN  VS.BCA  VS.CAD  2 4 3 Ví dụ 55 (ĐH – D.2010): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC AC, AH  . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của 4 SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. Bài giải: S. M. A. B H O. D. Ta có AC  AD2  DC2  a 2;AH . C. AC a 2 a 14  ;SH  SA 2  AH 2  4 4 4 31.

(32) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). 3a 2 ;SC  SH 2  HC2  a 2  AC  SCA cân tại C 4  M là trung điểm của SA 1 1 a 3 14 VS.MBC SM 1 a 3 14 VS.ABC  SH.SABC  SH.AB2  ;    VSMBC  3 6 24 VS.ABC SA 2 48 HC  AC  AH . 32.

(33) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Vấn đề 2 : Tính khoảng cách a. Lý thuyết Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng , đến một mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm O và H, trong đó H là hình chiếu của điểm O trên đường thẳng a (hoặc trên mp(P)) KH: d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên a đến mp(P). KH: d(a;(P)) = OH (O  a) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. KH: d((P);(Q)) = d(O;(Q)) = OH (O  (Q)). O O H H (P). a. O a. H P. O P. H Q. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: - Là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó: d(a;b) = AB - Là khoảng cách từ điểm A  a đến mp(P) với: b  (P) // a. a. b. A. B. b. Một số ví dụ Phân tích: Các bài toán về khoảng cách đều có thể qui về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Để xác định khoảng cách đó ta có thể dựng và tính đoạn vuông góc từ điểm đến mặt phẳng hoặc sử dụng công thức thể tích khối chóp..  Dựng và tính đoạn vuông góc từ điểm đến mặt: Giả sử ta cần tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) ( (P) thường chứa đường thẳng Δ thuộc đáy của khối đa diện). Ta xác định khoảng cách đó như sau:. - Giả sử SH là đường cao của khối đa diện. Dựng HJ  Δ,J  Δ; 33.

(34) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). - Mặt phẳng  SHJ    P  theo giao tuyến a; - Dựng HM  a,M  a  d  H,(P) = HM ; AN   P  ,N   P   d  A,(P) = AN - Gọi I = AH  (P) ; Giải sử AI = k.HI  AN = k.HM hay d  A,(P) = k.d  H,(P) Ngoài ra ta có thể dựng một đường thẳng qua A và song song với (P) cắt (SHJ) tại A’. Dựng đường thẳng qua A’ vuông góc với đường thẳng a tại K. Khi đó d  A,(P) = A'K . Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết SA  (ABCD) và SC tạo với đáy một góc 45 0 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) Bài giải: S H. A. B. D. C. Phân tích bài toán khoảng cách: - Dựng mặt phẳng (Q) chứa SA và vuông góc với mặt phẳng (SCD); - Xác định giao tuyến của mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (SCD); - Xác định và tính d  A,(SCD) ; - So sánh d  B,(SCD)và d  A,(SCD).   450 Ta có AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)  Góc giữa SC và (ABCD) là SCA Xét ABC : AC  AB2  BC2  a 2 Xét SAC :SA  AC  a 2 1 a3 2 Ta có: SABCD  AB2  a 2 ; VSABCD  SA.SABCD  3 3 Dựng AH  SD (1) Ta có CD  AD, CD  SA  CD  SAD  CD  AH (2) Từ (1), (2)  AH  SCD  d(A,(SCD))  AH Mà AB // (SCD)  d(B,(SCD))  d(A,(SCD))  AH. 1 1 1 a 6    AH  AH 2 SA 2 AD2 3  =120 0 . Biết Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a 3 và ABC rằng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 45 0 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD). Bài giải: Xét SAD,. 34.

(35) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) S. H C. D. O A. B. K. Phân tích bài toán khoảng cách: - Dựng mặt phẳng (Q) chứa SC và vuông góc với mặt phẳng (SBD); - Xác định giao tuyến của mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (SBD); - Xác định và tính d C,(SBD) Dựng CK  AB . Ta có SC  AB  AB  SCK  AB  (SAB)  (ABCD)    450   Góc giữa (SAB) và (ABCD) là SKC SK  AB,CK  AB      3a Xét CKB: CK  CB.sin CBK 2   3a Xét SCK :SC  CK.tanSKC 2 1 3 3a 3 3 3a 2 0 Ta có : SABCD  AB.BC.sin120  ; VSABCD  SC.SABCD  3 4 2 Gọi O = AC  BD, dựng CH  SO (1) Ta có BD  AC;BD  SC  BD  SAC  BD  CH (2) Từ (1), (2)  CH  SBD  d(C,(SBD))  CH   3a Xét BOC : OC  BC.sin OBC 2 1 1 1 3 2a  2  CH  Xét SCO : . 2 2 CH SC CO 4 Ví dụ 3 (ĐH – D.2013) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh  =120 0 , M là trung điểm của BC. Biết rằng góc giữa hai mặt bên SA  (ABCD) và BAD phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 45 0 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC). Bài giải:. 35.

(36) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) S. H A. B. D. M. C. Phân tích bài toán khoảng cách: - Dựng mặt phẳng (Q) chứa SA và vuông góc với mặt phẳng (SBC); - Xác định giao tuyến của mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (SBC); - Xác định và tính d  A,(SBC); - So sánh d  D,(SBC) và d  A,(SBC) .   1200  BAC   600  ABC đều cạnh a Ta có BAD. a 3 a2 3  AM  ,SABCD  2.SABC  2 2. SAM vuông cân tại A  SA  AM . a 3 2. 1 a3  VSABCD  SA.SABCD  3 4 Dựng AH  SM  AH  (SBC) Xét SAM :. 1 1 1 a 6    AH  2 2 2 AH SA AM 4. a 6 4 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tai C, AB = 5cm, BC = 4cm. Biết SA  (ABC) và SC hợp với đáy một góc 60 0 . Gọi D là trung điểm của cạnh AB. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BC. Bài giải: Mà AD // BC  d(D,(SBC)) = d(A,(SBC)) = AH =. 36.

(37) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). S. H A. D. B. E C. Phân tích bài toán khoảng cách: - Dựng mặt phẳng (P) chứa SD và song song với BC; - Dựng mặt phẳng (Q) chứa SA và vuông góc với mặt phẳng (P); - Xác định giao tuyến của mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (P); - Xác định và tính d  A,(P) ; - Xác định giao của BC với mặt phẳng (Q); Xác định và tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng (P)(Chú ý: xét tỉ số khoảng cách đó với d  A,(P) )   600 Ta có AC là hình chiếu của SC trên (ABC)  Góc giữa SC và (ABC) là SCA.   3 3(cm) Xét ABC : AC  AB2  BC2  3(cm) . Xét SAC :SA  AC.tanSCA 1 1 Ta có: SABC  AC.BC  6(cm2 ) ; VS.ABCD  SA.SABC  6 3(cm3 ) 3 2 Dựng AH  SE  AH  (SED) Gọi E là trung điểm AC  DE / /BC  d(SD,BC)  d(BC,(SED))  d(C,(SED)) d(A,(SED)) AE Ta có :   1  d(C,(SED))  d(A,(SED))  AH d(C,(SED)) CE 1 1 1    AH  3(cm) Xét SAE : 2 2 AH SA AE 2 Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết SA  (ABCD) và SC tạo với đáy một góc 30 0 . Gọi E là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường DE, SC. Bài giải:. 37.

(38) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) S. T. A. D. I. H K B. E. C. Phân tích bài toán khoảng cách: - Dựng mặt phẳng (P) chứa SC và song song với DE; - Dựng mặt phẳng (Q) chứa SA và vuông góc với mặt phẳng (P); - Xác định giao tuyến của mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (P); - Xác định và tính d  A,(P) ; - Xác định giao của DE với mặt phẳng (Q); Xác định và tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng (P) (Chú ý: xét tỉ số khoảng cách đó với d  A,(P) )   300 Ta có SB là hình chiếu của SC trên (SAB)  Góc giữa SC và (SAB) là BSC.   a 3 . Xét SAB:SA  SB2  AB2  a 2 Xét SBC :SB  BC.cot BSC 1 2a 3 SABCD  a ;VS.ABCD  SA.SABCD  3 3 a Từ C dựng CI // DE  CE = DI = và DE // (SCI) 2 Dựng AK  CI tại K và cắt DE tại H  d(DE,SC)  d(DE,(SCI))  d(H,(SCI)) Dựng AT  SK  AT  (SCI)  d(A,(SCI)) AT AK AI  . Ta có CDI  AKI  CD CI a 5 AI.CD 3a Xét CDI : CI  CD2  DI 2   AK   2 CI 5 1 1 1 3a 38    AT  Xét SAK : 2 2 2 AT SA AK 19 d(A,(SCI)) AK AI 1 1 a 38 Ta có:    3  d(H,(SCI))  d(A,(SCI))  AT  d(H,(SCI)) HK DI 3 3 19 2. Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a,  SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SD, (ABM)  (SCD) và AM  BD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ M đến (SBC) . Bài giải: 38.

(39) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) S. F. E. M. M' K. A. D L O. H. I N. B. C. Gọi H, L, N, O lần lượt là trung điểm của AB, SC, CD và HD; K  SN  LM,I  AN  BD  K là trung điểm của SN; AI = 2IN a 2a Xét ADN,DN 2  IN.AN  3IN 2  IN   AI  3 3 3 Mà AD2  AI.AN  AI 2  2a 2  AD  a 2 2 (ABM)  (SCD) theo giao tuyến ML; SCD cân tại S  SN  ML  SN  (ABM).  SN  HK  SHN cân tại H  SH = HN = a 2 1 4a 3 VSABCD  .SH.SABCD  3 3 Gọi M’ là trung điểm của SA  MM’//AD//BC 1 Dựng AE  SB, F là trung điểm SE  d(M,(SBC))  M'F  AE 2 Ta có SHB  AEB  AE.SB  SH.AB Xét SHB,SB  SH 2  BH 2  a 3  AE . SH.AB 4a 2a   M'F  SB 6 6. Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, CB = a 2 . Góc giữa (SAC)và đáy bằng 60 0 ,  SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC. Bài giải:. 39.

(40) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) S. F A. D. H E B. C. Gọi H là trung điểm AB  SH  (ABC). a2   SAB   600 Xét ABC,AC  a,SABC   AC  (SAB)  ((SAC),(ABC)) 2 a a 2 a2 2 Xét SHA,HA  ,SH   VSABC  2 2 12 a 10 Dựng hình chữ nhật ABCD, HE  CD, HF  SE  d(AB,SC)  HF  5 Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, 2AC=CB=2a. Góc giữa (SAC) và đáy bằng 60 0 . Hình chiếu H của S lên mặp phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AH và SB. Bài giải: S. K B. H. C N. M A. x. Xét ABC,AC  a,AB  a 3. a2 3  SNH   600 . Gọi N là trung điểm của AC  ((SAC),(ABC)) 2 a 3 3a a2 3 ,SH   VSABC  Xét SHN, NH  2 2 4 Kẻ Bx // AH, HM  Bx, HK  SM  d(AH,SB)  HK Ta có SABC .   600  HM  a 3 Xét HMB,BH  a,B 2 40.

(41) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). 1 1 1 3a    HK  2 2 2 HK SH HM 4 Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = 2a, CB = a.  SAB đều, hình chiếu của S lên mặp phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của cạnh AC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC. Bài giải: Xét SHM,. S. H E A. C M F B. Xét ABC,AB  a 3,SABC . a2 3 . 2. a3 Xét SMA,AM  a,SA  a 3,SM  a 2  VSABC  6 Kẻ Ax // BC, MF  BC, E = MF  Ax, FH  SE  d(SA,BC)  FH 1 a 3 a 15 Xét EHF,EF  AB  a 3 . Xét SME,EM  EF  ,SE  2 2 2 12a SME  FHE  HF  66 Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, với BC là đáy nhỏ, H là trung điểm AB, SA = 2a, SC = a 5 . Biết  SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và khoảng cách từ D đến (SHC) bằng 2 2 a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD. Bài giải: S. F A. M. D. H B. E C. J I. x. Gọi H là trung điểm của AB  SH  (ABCD).  SIH   600 Dựng HI  DC  ((SCD),(ABCD)) 41.

(42) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Gọi J  BC  HI , M là trung điểm AD. a  ABCM là hình vuông  AM  CM   MD 2   ACD vuông cân tại C hay AC  DC 1 a 2 a ;JB  JC   HJ //AC, HJ  AC  2 2 2 BJ.CJ a 2 3a 2 3a 6  ;HI  HJ  IJ  ;SH  HI tan 600  Ta có: IJ  HJ 4 4 4 3 1 1 3a 6 VSABCD  SH.SABCD  SH.AB(BC  AD)  3 6 8 Dựng Dx // AB, HE  Dx, HF  SE SH.HE 6a 177  d(AB,SD)  F;HE  AD  2a,HF   59 SH 2  HE 2 Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a,  SAC cân tại S nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA, BC biết góc giữa MN và (ABC) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và MN. Bài giải: S. M. K H. A J. I. C. N B. Gọi I là trung điểm AC  SI  (ABC) .. 1   MNH   600 H là trung điểm AI  MH  (ABC), MH  SI  (MN,(ABC)) 2 a 10 Xét HNC,HN 2  HC2  NC2  2HC.NC.cos600  HN  4 a 30 a 30 a 3 30 0  SI  2MH  ,VSABC  Xét MHN,MH  HN.tan 60  4 2 12 Gọi J là trung điểm AB a 30 Dựng HK  MJ  d(AC,MN)  d(AC,MNJ)  d(H,(MNJ)  HK  16 Ví dụ 12: Cho tứ diện ABCD có (ABC)  (BCD),  BCD vuông ở D. Biết AB = a 15 , BC = 3 3 a, AC = a 6 , góc giữa (ACD) và (BCD) bằng 60 0 . Tính thể tích khối tứ diện ABCD và khoảng cách từ B đến (ACD). 42.

(43) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Bài giải: A. B'. J H. B. C K. D. Dựng AH  BC  AH  (BCD) ..   2  ACB   450 Xét ABC,cosACB 2 Xét AHC,AH  HC  a 3  BH  BC  HC  2a 3   AKH   600 Dựng HK  DC  ((ACD),(BCD)) Xét AHK,HK  AHcot 600  a HK.BC  3a Ta có HK // BD  BD  CH. 1 3a 3 6 2 2  BCD,CD  BC  BD  3a 2,V  AH.S  Xét ABCD BCD 3 2 Dựng Bx // DC, B’ = Bx  HK, B’J  AK 3a 3  d(B,(ACD))  d(B',(ACD)  B'J  2 Ví dụ 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3a, AD = 2a. Hình chiếu của S lên mặp phẳng (ABCD) là điểm H thuộc AB sao cho AH = 2HB. Góc giữa (SCD) với đáy bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa SC và AD . Bài giải: S. I. B. C K. H A. D.   SKH   600 Dựng HK  CD  ((SCD),(ABCD)) 1 Xét SHK,HK  2a,SH  HK tan 600  2a 3,VSABCD  SH.SABCD  4a 3 3 3 Dựng AI  SB...  d(AB,SC)  d(AD,(SBC))  d(A,(SBC)  AI 43.

(44) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). SH SB 6a 39   AI  AI AB 13 Ví dụ 14 (ĐH – A.2010): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là hình vuông tại B, AB = 3a,   300. Tính thể BC = 4a, mặt phẳng (SBC) vuông góc với (ABC). Biết SB = 2a 3 và SBC tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mp’ (SAC) theo a. Bài giải: Xét SHB,SB  SH2  HB2  a 13 . Ta có SHB  AIB . S. J I C. B H D A. P. Dựng SH  BC. Mà (SBC)  (ABC) theo giao tuyến BC  SH  (ABC) a 3 Xét  SHB, SH  SB.sinSBC 1 1 SABC  AB.BC  6a 2  VSABC  SH.SABC  2a 3 3 2 3   Dựng HD AC  AC (SHD). Qua B dựng đt’ //AC cắt HD tại I. Từ I dựng IJ  SD  IJ  (SAC)  d(B, (SAC)) = d(I, (SAC)) = IJ Xét  SHB, BH  SB2  SH2  3a  HC  a Xét  ABC, AC  AB2  BC2  5a HD HC 3a HD HC 9a   HD  ,   IH  , Ta có AB AC 5 IH BH 5 2a 21 6a 7 IJ ID  IJ   ; SD  SH 2  HD2  SH SD 5 7 Ví dụ 15(ĐH – A.2012): Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a. Bài giải:. 44.

(45) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) S. P. I. H. A. B J M. C.   SCH   600 HC là hình chiếu của SC trên (ABC)  (SC,(ABC)).   HC  a 7 Xét BHC,HC2  HB2  BC2  2HB.BC.cosHBC 3   a 21 . Xét SHC,SH  HC.tanSCH 3 a2 3 1 a3 7 a 3 ,VSABC  .SH.SABC  Gọi M là trung điểm của BC  AM  , SABC  4 3 12 2 Dựng tia Ax // BC, qua H dựng đt’//AM cắt Ax, Bc lần lượt tại I, J. Vì AM  BC  IJ  Ax,IJ  BC  Ax  (SIJ) Dựng JP  SI  IP  (SAI)  d(SA,BC)  d(BC,(SAI))  d(J,(SAI)) PJ. HJ BH a 3 IH AH a 3 a 3   HJ  ,   IH   IJ  AM AB 6 HJ BH 3 2 2a 6 Xét SHI,SI  SH 2  HI2  3 PJ IJ a 42   PJ  Ta có SIH  JPI  SH SI 8   300 , Ví dụ 16(ĐH – A.2013): Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC SBC là tam giá đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). Bài giải: Ta có. S. K J. T B H. C. I A. 45.

(46) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Gọi H là trung điểm BC  SH  BC . Mà (SBC)  (ABC) theo giao tuyến BC  SH  (ABC).   a 3 ,AC  BC.sin ABC a ABC,AB  BC.cosABC 2 2 2 3 1 a 3 1 a  SABC  AB.AC  ,VSABC  SH.SABC  2 8 3 16 Gọi I là trung điểm AB, kéo dài IH lấy J sao cho IJ = AC  AIJC là hình chữ nhật a 39 Dựng JK  SI  d(C,(SAB))  JK . Dựng HT  SI  JK  2HT  13 Ví dụ 17(ĐH – B.2013): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD). Bài giải: S. I A H B. K C. Gọi H là trung điểm AB  SH  AB . Mà (SAB)  (ABCD) theo giao tuyến AB  SH  (ABCD). a 3 1 a3 3  VSABCD  .SH.SABCD   ABC đều cạnh a  SH  2 3 6 Gọi K là trung điểm của CD, dựng HI  SK  d(A,(SCD))  HI . a 21 7. 3a , hình 2 chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của AB. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD). Bài giải: Ví dụ 18(ĐH – A.2014): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD=. 46.

(47) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) S. T J B. C K. H. I. O. A. D. Gọi H là trung điểm của AB  SH  (ABCD) Xét HAD,HD  AH 2  AD2 . a 5 . Xét SHD,SH  SD2  HD2  a 2. 1 a3  VSABCD  .SH.SABCD  3 3 Gọi K là trung điểm của BO, dựng HJ  SK. Qua A dựng đường thẳng song song với BD cắt HK tại I. 2a Dựng IJ  SK  d(A,(SBD))  IT  2HJ  . 3 Ví dụ 19(HSG – NĐ.2014): Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại A và BC = 2a, AC = a. Gọi D là điểm đối xứng với C qua trung điểm của AB. Gọi  là góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABC) . Biết rằng tan   6 và SA = SB = SD. Tính thể tích khối tứ diện SABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD. Bài giải: S. J A. D H K. C. I. B. Ta có AB  a 3 và ACBD là hình bình hành  ABD vuông tại B. Gọi H là trung điểm AD  H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Do SA = SB = SD  SH  ABD Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên BD  K là trung điểm của BD và SK  BD  SBD,(ABC))  SKH  (. 47.

(48) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Ta có HK là đường trung bình của tam giác ABD 1 a3 6 1 a 3 3a 2  VSABC  SH.SABC   HK  AB  ;SH  HK.tan   3 4 2 2 2 Dựng HI  BC;HJ  SI  d SC,AD  d AD,SBC  d H,SBC  HJ. 3a 14 14 HI2  HS2 Ví dụ 20: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 2a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều, SI  (SCD) với I là trung điểm của AB . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường SO và AB. Bài giải: Xét SHI : HJ . HI.HS. . S. A. D E. O. H. I. J B. C. Gọi E là trung điểm DC  AB  (SEI) Dựng SH  EI  SH  (ABCD),SI  (BCD)  SI  SE Xét SAB,SI  a 3 . Xét SEI,SE  EI2  SI2  a,SH . SE.SI a 3  EI 2. 1 2a 3 3  VSABCD  .SH.SABCD  . 3 2 Dựng IJ  SO  d(AB,SO)  IJ. SO.SH a 3  OI 2 Ví dụ 21: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu của S lên (ABCD) trùng với trọng tâm  ABD. Cạnh SD tạo với đáy (ABCD) một góc 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến (SBC) theo a. Bài giải: Xét SHO  IJO  IJ=. S. J A'. A. D. H. I. O B. K. C. 48.

(49) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Gọi I là trung điểm AB, O là tâm ABCD, H  AO  DI  SH  (ABCD). a 5 2 a 5  DH  DI  2 3 3 a 15 1 a 3 15  Xét SHD,SH  DH.tanSDH   VSABCD  .SH.SABCD  3 3 9 Qua H dựng đt’ // AB cắt BC tại K, AD tại A’. 3 3a 5 Dựng HJ  SH  d(A,(SBC))  .HJ  2 57 Ví dụ 22: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC = a 3 . Hai mặt phẳng (SAC), (SBD) cùng vuông góc với đáy. Điểm I thuộc đoạn SC sao cho SC = 3IC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa AI và SB, biết AI  SC. Bài giải: Xét DAI,DI  AI2  AD2 . S. H A. D I. E J B. O C. M K. Gọi O  AC  BD  SO  (ABCD) .. 1 Xét ABC,AC  AB2  BO2  2a  OC  .AC  a 2 a 6 CI AC ,SC  a 6 AIC  SOC   . Mà SC  3IC  CI  CO SC 3 1 a3 5 2 2 Xét SOC,SO  SC  OC  a 5  VSABCD  .SO.SABCD  3 3 Lấy M  BC,BC  3MC  IM / /SB  d(SB,AI)  d(SB,(AMI))  d(S,(AMI)) Dựng OJ  AM,CK  AM,SH  JE(E  AI  SO)  d(S,(AMI)  SH. 2a 3 a 3 a 21 ,CM  ,AM  AB2  BM 2  3 3 3 AB.CM a 7 1 a 7 CK   ,OJ  CK  AM 7 2 14 a 30 AO.CI a 5 33 AI  AC2  CI2  ;OE   ;EJ  OE 2  OJ 2  a 3 AI 5 140 4a 5 SE.OJ 4a 33 SE  SO  EO  ;SH   5 EJ 33. Ta có: BM . 49.

(50) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Ví dụ 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, AB = 2a, BD  3AC , mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh A, hình chiếu vuông góc của S trên mp’ đáy trùng với trung điểm H của AI. Tính VSABCD và khoảng cách giữa SB và CD. Bài giải: S. J. K. A. E. D F. H I C. B.   AI  1  ABI     AC  2a,BD  2a 3;AH  a Xét AIB, tan ABI BI 6 2 3 a 15 1 ;VSABCD  SH.SABCD  a 3 5 Xét SHA,SH  SA 2  AH 2  2 3 Dựng HE  AB,F  HE  CD,FJ  SE,HK  SE. 2a 35 7 HE 2  SH 2 Ví dụ 24: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC cân tại A, AB = AC = a,   1200 , hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) trùng với trọng tâm G của ABC . BAC 3 Cạnh bên SC tạo với mp’ đáy một góc  , biết tan   . Tính VSABCD và d(C,(SAB)) . 7 Bài giải:.  d(SB,CD)  d(CD,(SAB))  d(F,(SAB))  FJ  4HK  4. HE.SH. . S. H C' B. C K G J. M. A. a 7 a 7 ,CG  2 3 1 a3 3  Xét SGC,SG  CG.tanSCG  a;VSABC  SG.SABC  3 12 Dựng GJ  AB,Cx  GJ,C'H  SJ,GK  SJ Xét ABC,BC  a 3,CM . 50.

(51) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). SG.GJ.  d(C,(SAB))  C'H  3GK . SG 2  GJ 2   GJ  3  GJ  a 3  C'H  3a 13 Xét GJM,sin GMJ GM 7 6 13   1200 và A’C tạo với Ví dụ 25: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC = a, BC = 2a, ACB mp’ (ABB’A) góc 300 . Tính VABC.ABC và khoảng cách giữa A’B và CC’. Bài giải: A'. B'. C'. H A. B C.    300 Dựng CH  AB  CH  ABB'A'  (A'C, ABB'A')  CA'H   AB  a 7 Xét ABC: AB2  AC2  BC2  2.AC.BC.cosACB. 1 a 1 a2 3  Ta có: SABC  AC.BC.sin ACB  . Mà SABC  CH.AB  CH  2 2 2 2a 7 CH Xét AHC : AH  AC2  HC2  . Xét A'HC : A'H   7 tan 300 Xét AA'H : AA'  A'H 2  AH 2 . 21 7 3a 7. a 35 7. a 3 105 a 21 VABC.A 'B'C' =AA'.SABC  ;d A'B;CC'  d CC',ABB'A'  CH  14 7 Ví dụ 26: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = 2, BC = 4. Góc giữa hai mp’(BCC’B’) và (ABC) bằng 600 , hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) trùng với trung điểm của AC. Tính VABC.A'B'C' và khoảng cách giữa AA’ và BC. Bài giải: C'. A' I B'. J. M. A. H. C N. B. Gọi M là trung điểm của AC  A'M  (ABC) 51.

(52) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114).   A'HN  Dựng MN  BC,A'H  B'C'  ((BCC'B'),(ABC)) Dựng NI  A'H  MNIA là hình chữ nhật MC.AB 3 AC  BC2  AB2  2 3;MN    A'I ; BC 2 A'B'2 .A'C'2 3 A'H   A'H  3  IH  A'B'2  A'C'2 2   3 ;S  1 .AB.AC  2 3;V IN  IH tan A'HN ABC ABC.A 'B'C'  IN.SABC  3 3 2 2  3 Dựng A’J  NH  A'J  d(AA',BC);A'J  A'H.sin A'HJ 2  Sử dụng công thức thể tích khối chóp: Giả sử ta cần tính khoảng cách từ điểm A đến mặt. phẳng (P) . Ta xác định khoảng cách đó như sau:. - Xác định một khối đa diện có đỉnh là A và đáy là đa giác A1A2A3A4 thuộc mặt phẳng (P). - Khi đó d  A,(P) = AH =. 3.VA.A1 A2 A3 A4 S A1 A2 A3 A4. Ví dụ 27(ĐH – D.2007): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là thang vuông tại A và B, AD = 2a, BC = BA = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến (SCD). Bài giải: S. H D. A. B. C. VS.HCD SH SA 2 2 2 1 a2 a3 2     VS.HCD  . .a 2.  Ta có: VS.BCD SB SB2 3 3 3 2 9 52.

(53) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). 1 3V Mặt khác VS.HCD  .d H,SCD.SSCD  d H,SCD  S.HCD (*) 3 SSCD 1 Ta có : AC2  CD2  AD2  SCD vuông tại C  SSCD  .CD.SC  a 2 2 . 2 Thay vào (*) ta được: d H,SCD . 3VS.HCD a  SSCD 3. Ví dụ 28(HSG – NĐ.2015): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a, BC  a 2, SA  a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . Gọi E, F lần lượt là trung điểm SD và AD. a) Chứng minh rằng đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng BEF. b) Gọi P là mặt phẳng qua B,E và vuông góc với mặt phẳng BEF. Tính theo a khoảng cách từ D đến mặt phẳng P. Bài giải: S. E I G A. J. F. D. O B. C. a) SA  (ABCD)  SA  AC;EF là đường trung bình tam giác SAD  EF  AC. AF AB 1 Xét hai tam giác vuô ng AFB và BAC , có :    AFB  BAC  AC  BF. BA BC 2 Do đó AC  (BEF) b) AC  (BEF) và (P)  (BEF) nên (P) cắ t (SAC) theo IJ //AC (I thuô ̣c SA, J thuô ̣c AC). E là trung điể m SD nên d(D,(P))  d(S,(P)).. 1 a3 6 VS.ABCD  SA.S ABCD  . 3 3 Gọi O  AC  BD,G  BE  SO suy ra G là tro ̣ng tâm tam giác SAC và IJ đi qua G . Khi đó SI SG SJ 2 V SE.SI.SJ 2 V SB.SI.SJ 4     S.EIJ   ; S.BIJ   SA SO SC 3 VS.DAC SD.SA.SC 9 VS.BAC SB.SA.SC 9. 1 a3 6 a 3 6  2 4  a 3 6 VS.DAC  VS.BAC  VS.ABCD  ; VS.BJEI  .    2 6 6  9 9  9 2 2a 3 3a BD2  BS2 SD2 IJ  AC   BE   ; BE 2  3 3 2 4 2 53.

(54) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). 1 2a 3 3a a 2 3 3V 2a 2 2a 2 S BJEI  . .   d(S,(P))  S.BJEI   d(D,(P))  . 2 3 2 2 S BJEI 3 3 Mở rộng dạng toán cho các khối đa diện khác: Ví dụ 29: Cho hình chóp SABCD đáy là hình thoi SO  (ABCD) ,O là giao của AC và BD. Giả sử SO  2 2,AC  4,AB  5 . Gọi M là trung điểm của SC. Tính khoảng cách giữa SA và BM. Bài giải: S. M. D. C H O. A. B. Ta có OM  SA  (OMB)  SA  d(SA,BM)  d(SA,(OMB))  d(S,(OMB)) Vì MS  MC  d(S,(OMB))  d(C,(OMB)) . 1 Kẻ MH  AC  MH  SO,MH  (OBC) 2 1 2 Xét BOC,OB  BC2  OC2  1  VMOBC  MH.SBOC  3 3 1 2 6  d(SA,BM) Ta có VMOBC  d(C,(OMB)).SBOM  d(C,(OMB))  3 3   300 , Ví dụ 30(ĐH – A.2013): Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). Bài giải: S. H. B. C. I A. Gọi H là trung điểm BC  SH  (ABC). SH  SB2  BH 2 . a 3 a ;AC  BC.sin ABC 2 2 54.

(55) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). a 3 1 1 a3  AB  BC.cosABC  ;VSABC  SH.SABC  SH.AB.AC  2 3 6 16 1 a a 13 Gọi I là trung điểm AB  AB  SI;IH  AC  ;SI  SH 2  IH 2  2 4 4 2 1 a 39 1 3V a 39 SSAB  SI.AB  ;VSABC  d(C,(SAB)).SSAB  d(C,(SAB))  SABC  2 16 3 SSAB 13 Ví dụ 31(HSG – NĐ.2013): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với AB = 2a. Tam giác SAB vuông tại S, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết góc 1 giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC) bằng  sao cho sin   . Tính theo a thể tích 3 khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD). Bài giải: S. A. D. H. B. C. BC  AB;SAB  ABCD  BC  SAB  BC  SA . Mà SA  SA  SA  SBC SD Gọi d là khoảng cách từ D đến (SBC)  d  SD.sin   . 3 SD Mặt khác AD // (SBC)  d D,SBC  d A,SBC  d  SA  3 Do AD // BC  AD  SA . Xét SAD : AD = 2a, a 2 a 14 SA 2  AD2  SD2  SA   SB  2 2 a 7 Kẻ SH  AB tại H  SH  ABCD và AB.SH = SA.SB  SH  4 3 3 1 a 7 1 a 7 Vậy VS.BCD  SH.SABCD  . Ta có: VS.BCD  VS.ABCD  3 3 2 6 Xét SBD : a 14 3a 2 SB  ;SD  3.SA  ;BD 2a 2 BD 2 SB 2 SD 2  SBD vuông tại S. 2 2 2 3V 2a 1 3a 7  d C;SBD  SBCD  SSBD  SB.SD  2 4 SSBD 3 55.

(56) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Ví dụ 32: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là ABC vuông tại B. giả sử AB = a, AA’ = 2a., A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’ và I là giao của AM và A’C. Tính khoảng cách từ A đến (IBC). Bài giải: C'. M. A'. B'. I. H. A. C E. B. 4a 3 (AC  a 5,BC  2a) . Dựng IH  AC;HE  BC  IE  BC 9 A'I IM A'M 1 IH IC 2 4a HE HC 2 2a    ;    IH  ;    HE  Ta có IC IA AC 2 AA' A'C 3 3 AB AC 3 3 2 2a 5 1 2a 5 ;SIBC  IE.BC  Xét IHE,IE  IH 2  HE 2  3 2 3 1 2a 5 VIABC  d(A,(IBC)).SIBC  d(A,(IBC))  3 5 VIABC . Ví dụ 33: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi K là trung điểm của DD’. Tính khoảng cách giữa CK và A’D theo a. Bài giải: D'. A'. C'. K B'. C. D. A. B. 1 1 a3 A'D  B'C  d(A'D,CK)  d(A'D,(B'CK)) ; VB'CDK  B'C'.SCDK  B'C'.DC.DK  3 6 12 a 5 Ta có B'C  B'B2  BC2  a 2;KC  DK 2  DC2  2. 3a B'C 2  CK 2  B'K 2 1   3 B'K  B'D'  D'K  ; cosB'CK   sin B'CK 2 2.B'C.CK 10 10 2. 2. 56.

(57) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). 1 3a 2 1  SB'CK  B'C.CK.sin B'CK  ;VB'CDK  d(D,(B'CK)).SB'CK 2 4 3 3V a a  d(D,(B'CK))  B'CDK   d(A'D,CK)  d(D,(B'CK))  SB'CK 3 3 Ví dụ 34(HSG – NĐ.2009): Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông với AB = 1, AA’ = a. Tính khoảng cách giữa hai đường DC’ và AC. Bài giải: D'. C'. B'. A'. D. C I. A. B. Ta có DC'/ / AB'C  d DC',AC  d D,AB'C  h 1 a VB'DAC  BB'.SADC  3 6 Ta có: B'C  B'A  a 2 1  B'AC cân tại B’. Gọi I là giao của AC và BD  I là là trung điểm của AC và B'I  AC .. BD2 2a 2  1 1 2a 2  1  B'I  B'B    SB'AC  AC.B'I  4 2 2 2 3V a  h  B'DAC  SB'AC 2a 2  1 Ví dụ 35(HSG – NĐ.2012): Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, B’C’ = a 5 , các đường thẳng A’B và B’C cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 45 0, tam giác A’AB vuông tại B, tam giác A’CD vuông tại D. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BD. Bài giải: 2. C'. D' B'. A'. D. C H. A. B. 57.

(58) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Có AB / /CD,CD  A'D  AB  A'D . Mà AB  A'B  AB  A'BD  ABD  A'BD Gọi H là hình chiếu vuông góc của A’ trên BD  A'H  ABCD  VABCD.A 'B'C'D'  A'H.SABCD   A'DH   450 ;(A'B,(ABCD))   A'BH   450  A'BD vuông cân tại A (A'D,(ABCD))  H là trung điểm của BD; ABD vuông tại B; AH  a SABCD  2SABD  2a 2 ;VS.ABCD  2a 3. 1 2a 3 Ta có VA '.BDD 'B'  VABCD.A 'B'C'D '  ;SBDD 'B'  2SBDB'  2a 2 2 3 3 3V a d AA',BD  d A',BDD'B'  A '.BDD'B'  SBDD'B' 2. 58.

(59) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Vấn đề 3: Tính góc a. Lý thuyết  Góc giữa hai đường thẳng a và b Là góc giữa hai đường thẳng a  và b cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và b.. a. A. a'. O B. b'. b.  Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) Là góc giữa a và hình chiếu a  của nó trên mp(P). Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) là 900.  Góc giữa hai mặt phẳng Là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm. B. A a. a. b. A. O Q. P. P. O b B Q. b. Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AD = DC = a, AB = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính góc giữa hai đường thẳng: a) DC và SB b) SD và BC Bài giải: S. I. A. D. B. C. DC,SB   AB,SB   a) Do DC // AB   Tam giác SAB vuông tại A có: tan  . SA 3     300 . AB 3. b) Gọi I là trung điểm của AB, khi đó AI = a. 59.

(60) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Tứ giác ADCI là hình bình hành, có AI = AD = a nên là hình thoi. Mà vuông tại A và D nên ADCI là hình vuông cạnh a  DI  a 2 Tứ giác BIDC là hình bình hành nên BC // DI. Khi đó  SD,BC   SD,DI   Xét SAI : SI  SA 2  AI2 . a 21 a 21 . Xét SAD : SD  SA 2  AD2  3 3. SD 2  DI 2 SI 2 3 3 Xét SAI : cos       arccos 2.SD.DI 43 43 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 và vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm của AB. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và SD. Bài giải: S. M. A. B D. C. AC,SM   MD,SM   Do DM // AC   Ta có AB  2 5 . Gọi M là trung điểm của BC, ta có DM = 1. Xét SAD : SD  SA2  AD2  30 . Xét SAC : SC  SA2  AC2  29 . Xét SCM : SM  SC2  CM2  33 . Xét SDM : cos  . SD 2  DM 2 SM 2 2.SD.DM. .  1  1    arcsin   30  30. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA = a 3 và vuông góc với đáy. Tính góc giữa hai mặt phẳng sau: a) (SAB) và (ABC) b) (SBD) và (ABD) c) (SDC) và (ACD) d) (SAB) và (SCD) Bài giải: 60.

(61) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) S. x. B. A O D. a) Gọi O là giao của AC và BD  AO  AC . C. a 2 . 2.    900 Ta có SAB  ABC  AB ; SA  AB;AD  AB  SAB,ABC  SAD b) SA  BD;AC  BD  BD  SAC  BD  SO.   Ta có SBD  ABD  BD ; SO  BD;AO  BD  SBD,ABD  SOA   SA  6  SOA   arctan Xét SOA : tanSOA AO.  6. c) SA  CD;AD  CD  CD  SAD  CD  SD.   Ta có SCD  ACD  CD ; SD  CD;AD  CD  SCD,ACD  SDA   SA  3  SOA   600 Xét SOA : tanSDA AD d) Ta có SAB  SCD  Sx / /AB / /CD ;   SA  Sx;SD  Sx  SAB,SCD  DSA.  Xét SAD : tan DSA. AD 1  30 0   DSA SA 3. Ví dụ 4: Cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, BC. Tính góc giữa mặt phẳng (SẠ) và mặt phẳng (SCI). Bài giải:. 61.

(62) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) A. I. H B. S J C. Do SA = SB = SC  AB = BC = CA  ABC đều. Gọi H  SI  SJ . Khi đó H vừa là trong tâm vừa là trực tâm của tam giác ABC .. SA  BC;SJ  BC  BC  SAJ   BC  SH SC  BA;SI  BA  BA  SCI  BA  SH  SH  ABC  SH  HJ;SH  HC.   Mà SCI  SAJ  SH  SCI,SAJ  CHJ   300 . Mà CJH vuông tại J  CHJ   600 Vì ABC đều  HCJ Ví dụ 5: Cho hình chóp đều S.ABC có SA = 6a, AB = 3a. Gọi M là điểm thuộc canh SC sao 1 cho MS = MC . Tính VSABC và cosin của góc giữa SB và AM. 2 Bài giải: S. M. A. O P B. C. N. 3a 3 ;PO  a 3 2 11. Gọi O là tâm ABC  SO  ABC ; P là trung điểm AB  CP . 9a 2 3 1 9a 2 ;VSABC  SO.SABC  Xét SOC,SO  a 33;SABC  4 3 4 Gọi N  BC, NC = 2BN. Xét AMN,AM  a 19,AN  a 7,MN  4a. MA 2  MN 2  AN 2 7 19    Ta có : (SB,AM)  (MN,AM)  AMN;cosAMN  2.MA.MN 38 62.

(63) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). a 10   1350 . , AC = a 2 , BC = a, ACB 4 Hình chiếu vuông góc của C’ lên (ABC) trùng với trung điểm M của BC. Tính theo a thể tích cúa khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và góc tạo bởi đường thẳng C’M với mp’ (ACC’A’). Bài giải: Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AA’=. C'. B' A'. H C. B M. K A. AC2  BC2 AB2 a 2  AB  BC  2AC.BC.cosACB  AB  a 5;CM    CM  2 4 2 2 a 6 1 a CM'  CC'2  CM 2  ;SABC  .AC.BC.sin ACB 4 2 2 3 a 6 VABC.A 'B'C'  C'M.SABC  8  MC'K  Dựng MK  AC,MH  C'K  MH  (ACC'A')  (C'M,(ACC'A')) 1 1 a   MK  1  MC'K   300 SCMA  .SABC  .KM.AC  KM  ;tan MC'K 2 2 C'M 2 2 3 Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại C, AB = 2a, cạnh bên AA’ = a 3 .Đỉnh B’ có hình chiếu lên (ABC) là trung điểm của BC. Góc giữa cạnh bên và đáy bằng 600 .Tính thể tích khối lăng trụ và góc giữa hai mp’(BCC’B’) và (ABB’A). Bài giải: 2. 2. B'. C' A'. I. M. B. C. A. Gọi M là trung điểm BC   B'BC,B'M    3a ;  B'M  (ABC)  (BB',(ABC))  BB'.sin B'BM 2 2 1 a 3 3a 3 3 2 2 ;VABC.A 'B'C'  BC BM  a 3;CA  AB  BC  a,SABC  .BC.AC  2 2 4 3a Gọi I là trung điểm BB’  CI  BB' ,CI  2 63.

(64) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). AC  (BB'C'C)  AC  CI,AI  CI 2  AC2 . a 13 2. Ta có BI2  AI2  AB2  AIB vuông tại I.   AIC;cosAIC    IC  3 13  AI  BB'  ((ABB'A'),(BCC'B')) IA 13 Ví dụ 8: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC vuông cân tại A, AB = AC = a, hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) là H  BC,BH  3CH , góc giữa BB’ với (ABC) bằng 600 .Tính VABC.A 'B'C' và góc giữa (BCC’B’) và (ABC). Bài giải: A' K. C'. B'. A. C I. H. B. Gọi I là trung điểm BC, BC  AB2  AC2  a 2  HI  IA . BC a 2  4 4. a 10 a 30 ,A'H  AH.tan 600  , 4 4 1 a2 a 3 30 SABC  .AB.AC  ,VABC.A 'B'C'  A'H.SABC  2 2 8   A'KH,  tan A'KH   A'H  15 Dựng A'K  B'C'  ((ABC),(BCC'B')) A'K AH  AI2  IH 2 . 64.

(65) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Vấn đề 4: Mặt cầu ngoại tiếp a. Lý thuyết - Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình đa diện. b. Một số ví dụ S. M I. A4. A1 H α. A2. A3. Phân tích: Xét hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy và đáy có trục đường tròn ngoại tiếp là Δ . Khi đó Δ song song với cạnh bên đó và chúng tạo thành mặt phẳng (P). Để xác định hình cầu ngoại tiếp của hình chóp thì trong (P), tâm I của hình cầu là giao của đường trung trực của cạnh bên đó và Δ . Đặc biệt: S S. I I A. C. A. D. C B - Mặt cầu ngoại tiếp B hình chóp S.ABC , cạnh bên SA  ABC , đáy ABC vuông tại B. Có: + Tâm: I là trung điểm của SC . SC  IA  IB  IC . + Bán kính: R  2 - Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD , cạnh bên SA  ABCD, đáy ABCD là hình vuông (hoặc hình chữ nhật). Có: + Tâm: I là trung điểm của SC . SC  IA  IB  IC  ID . + Bán kính: R  2   1200 . Các mặt phẳng SAB và Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có AB  AC  a,BAC SACcùng vuông góc với đáy và mặt phẳng SBC tạo với đáy góc  . Tính thể tích hình cầu ngoại tiếp của hình chóp. Lời giải: 65.

(66) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) S. N. I A. B M E. C. Gọi M là trung điểm BC, E đối xứng với A qua M  ABEC là hình thoi  EB  EC  a   a  EA  a Xét AMC : AM  AC.sin ACM 2 Vậy đường tròn ngoại tiếp đáy ABC có tâm E bán kính bằng a. Dựng  qua E và song song với SA   là trục đường tròn ngoại tiếp ABC . Trong mp P chứa SA và  , tâm I hình cầu ngoại tiếp của hình chóp là giao đường trung trực của SA với  . Gọi M là trung điểm cạnh BC   SA  a tan   IE  a tan  .  BC  SAM    SMA 2 4 2 2 a a Do đó R 2  IB2  IE 2  EB2  tan 2   a 2  tan 2   16 16 16 3 3 3 3 4  a  a 2 2 Vậy Vcau    tan  16  tan   162     3 4 48 Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng 3a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Lời giải:. . . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC  SG  ABC; M, K lần lượt là trung điểm của BC và SA 66.

(67) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Trong mặt phẳng (SAG), dựng đường trung trực của SA, cắt SG tại I. IGA  IGB  IGC  IA  IB  IA; IKA  IKS  IA  IS Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.. 2 2a 3 Xét ABC : AM  a 3;AG  AM  ; 3 3. SKI ~ SGA . SK SI 9a 69   IS= SG SA 46. Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tâm giác vuông cân tại a với AB = a và SA = SB = SC = 2a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Lời giải:. Gọi M là trung điểm của BC  SM  ABC Trong mặt phẳng (SBC) dựng trung trực của SB cắt SM tại I. IMA  IMB  IMC  IA  IB  IA; IKS  IKB  IB  IS Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Xét ABC : BC  AB2  AC2  a 2 ; SKI ~ SMB . SK SI 2a 14   IS= SM SA 7. Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh 2a. Tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Lời giải:. 67.

(68) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Gọi H là trung điểm của AB  SH  ABCD; SH = a 3 ; O là giao của BC và AB; G là trọng tâm SAB Dựng  qua O và song song với SH    ABCD ; dựng d qua G và song song với OH  d  SAB; Gọi I là giao của d và  . Ta có:. IOA  IOB  IOC  IOD  OA  OB  OC  OD IGA  IGB  IGS  IA  IB  IS Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, đường cao SH với H   thỏa mãn HN  3HM trong đó M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD theo a biết góc giữa (SAB) và (ABCD) bằng 60 0. Lời giải:.    600 MN  AB;SH  AB . Mà AB  SAB  ABCD  SAB,ABCD  SMN Xét SHM :SH  MH.tan 600 . a 3 4. Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD  OI  ABCD;IA  IB  IC  IS 68.

(69) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114).  a 2  a 3 a2 a 3  Đặt IO = x. Xét IOA : OA  OI  IA  x     x    x   16 2  4 6 2. 2. 2. 2. 2. Do đó bán kính mặt cầu là R  IS  x 2  OA 2 . a 21 6. 69.

(70) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). 70.

(71) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). 71.

(72) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). 72.

(73) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Vấn đề 5: Giải toán hình học không gian tổng hợp bằng phương pháp tọa độ hóa. a. Lý thuyết Để giải bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ hóa, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chọn hệ tọa độ. Bước 2: Tính tọa độ các điểm trong đề bài theo hệ tọa độ vừa chọn. Bước 3: Thể hiện giả thiết của bài toán theo cách thức của hình học giải tích. Bước 4: Giải quyết kết luận của bài toán theo cách thức của hình học giải tích. b. Một số ví dụ Ví dụ 1 (ĐH – B.2006): Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA  (ABCD), AB = a, SA = a, AD = a 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC; I là giao của BM và AC. Chứng minh rằng (SBM)  (SAC) và tính thể tích khối tứ diện ABIN. Bài giải:. Chọn hệ trục Oxyz sao cho O  A, tia Ox chứa B, tia Oy chứa D và tia Oz chứa S.  a 2   a a 2 a  ;0; N  ; ;  Khi đó: A 0;0;0,Ba;0;0,C a;a 2;0 ,D 0;a 2;0 ,S0;0;a ;M 0;   2 2 2   2       a 2 AS  0;0;a ;AC  a;a 2;0 ;SM  0; ; a ;SB  a;0; a    2   VTPT của mặt phẳng (SAC) là:  AS;AC  a 2 2;a 2 ;0       a 2 2 ;a 2 ;0 VTPT của mặt phẳng (SBM) là: SM;SB      2      Vì  AS;AC . SM;SB  0 nên SAC  SBM      a a 2    IC BC   2  IC  2IA  I ; ;0 ; Ta có:   3 3 IA AM. . .  . . . . . 1      a 3 2 VANIB   AN,AI .AB   6 36 Ví dụ 2 (ĐH – D.2007): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình là hình thang vuông tại A và B, AB = BC =a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD). Bài giải: 73.

(74) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Chọn hệ trục Oxyz sao cho O  A, tia Ox chứa B, tia Oy chứa D và tia Oz chứa S. Khi đó: A0;0;0,Ba;0;0,Ca;a;0,D0;2a;0,S 0;0;a 2 .. . . Tìm được:     + SC  a;a;a 2 ;CD  a;a;0  SC.CD  0  SC  CD hay tam giác SCD vuông tại C. . .  2a a 2   + H  ;0;  3 3  + Phương trình mặt phẳng (SCD) là: x  y  2z  2a  0 . Khoảng cách từ H đến mặt phẳng a (SCD) là: d H;SCD  3 Ví dụ 3(ĐH – B.2007): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,   600 , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi C’ là trung điểm của SC. BAD Mặt phẳng (P) đi qua AC’ và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại B’, D’. Tính theo a thể tích khối chóp S.AB’C’D’. Bài giải:. a a 3 , OA = 2 2 Chọn hệ trục Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy chứa B và tia Oz nằm trên đường thẳng qua O và song song với SA. a 3   a   a 3    a   a  a 3 ;0;0,B0; ;0,C ;0;0,D 0;  ;0,C'0;0; ;S ;0;a  . Khi đó: A   2 2   2   2   2   2    Tìm được:  a 3 a a   a 3 a a  ; ; ;D' ; ;  + B' 3 3  2 3 3   6 Gọi O là giao của AC và BD. Vì tam giác ABC đều nên OB = OD =. 74.

(75) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). 1      1     a 3 3 + VS.AB'C'D '  VS.AB'C'  VS.AC'D '  VANIB  SA,SC' .SB'   SA,SC' .SD'    6 6 18 Ví dụ 4: Trong nửa mặt phẳng (P) cho đường tròn đường kính AB và điểm C trên nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SBC) bằng 600. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh rằng tam giác AHK vuông và tính theo a thể tích khối chóp S.ABC. Bài giải:. Ta có AC = R, BC = R 3 . Đặt SA = z Chọn hệ trục Oxyz sao cho O  C, tia Ox chứa A, tia Oy chứa B và tia Oz nằm trên đường thẳng qua O và song song với SA. Khi đó: C0;0;0,AR;0;0,B 0;R 3;0 ,SR;0;z  .. . . Theo giả thiết góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SBC) bằng 600  z . 1 2. Tính được:  8R R 3 4R 2   4R R 2  ,K  ;0;  ; + H  ;  9 9 9   3 3    R R 2   4R R 3 R 2    ;KH    + AK   ;0;  9 ; 9 ; 9   AK.KH  0  AK  KH hay tam giác  3 3  AHK vuông tại K. 1      R 3 6 + VS.ABC  SA,SC .SB   6 12 Ví dụ 5(ĐH – D.2003): Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng  . Trên  lấy hai điểm A, B với AB = a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với  và AC= BD = AB = a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD). Bài giải:. 75.

(76) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Chọn hệ trục Oxyz sao cho O  B, tia Ox chứa A, tia Oz chứa D và tia Oz nằm trên đường thẳng song song với AC. Khi đó: Aa;0;0,B0;0;0,Ca;a;0,D0;0;a  . Tính được: + Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm I là trung điểm DC a a a  DC a 3 .   I ; ;  , bán kính R   2 2 2  2 2 + Mặt phẳng (BCD) có phương trình: x  y  0. a 2 2 Ví dụ 6(ĐH – D.2006): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính theo a thể tích khối chóp A.BCNM. Bài giải: + Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) là d(A,(BCD)) . Gọi O là trung điểm BC. Chọn hệ trục Oxyz sao cho O, tia Ox chứa A, tia Oy chứa B và tia Oz nằm trên đường thẳng song song với SA. a 3   a    a  a 3 ;0;0,B0; ;0,C0;  ;0,S ;0;2a  . Khi đó: A   2 2   2   2    Tìm được:  a 3 2a 2a   a 3 2a 2a  M ; ; , N ; ;  +   10 5 5   10 5 5  1     1 + VA.BCNM  VA.BCN  VA.BCM   AB,AC .AN   6 6. 3     AB,AC .AM  3a 3   50. 76.

(77) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Ví dụ 7(ĐH – A.2011): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọ M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC , cắt AC tại N. Biết góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường AB và SN. Bài giải:. Đặt SA = z > 0. Chọn hệ trục Oxyz sao cho O trùng B, tia Ox chứa A, tia Oy chứa C và tia Oz nằm trên đường thẳng song song với SA. Khi đó: A2a;0;0,B0;0;0,C0;2a;0,S2a;0;z . Tìm được: + Na;a;0  + VTPT của mặt phẳng (SBC) là: nSBC  z;0;2a  ; VTPT của mặt phẳng (ABC) là:  n ABC  0;0;1 . Từ giả thiết góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0. . .  z  2a 3 từ đó tìm được: S 2a;0;2a 3 1      1      + VS.BCNM  VS.BCN  VS.BCM  SB,SC .SN  SB,SC .SM  a 3 3   6 6 + Mặt phẳng (P) chứa AB và song song với SN có phương trình: 2 3y  z  0. 2a 39 . 13 Ví dụ 8(ĐH – A.2007): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính theo a thể tích khối chóp CMNP. Bài giải:  d(AB,SN)  d  N,P . 77.

(78) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Gọi O là trung điểm AD  SO  ABCD Chọn hệ trục Oxyz sao cho O, tia Ox chứa A, tia Oy chứa N và tia Oz chứa S.  a  a  a 3   a a   a a a 3  ;P  ; ;0;M  ; ;  . Khi đó: A  ;0;0,B ;a;0, N 0;a;0,S0;0;      2   2      2  2 2  4 2 4  Tìm được:   a a a 3    a    ;BPa; ;0  AM.BP  0  AM  BP + AM  ; ;  2   4 2 2 . 1      a 3 3 + VCMNP  CN,CM .CP   6 96 Ví dụ 9(ĐH – B.2008): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN. Bài giải:. a 3 a 3a ;AO  ;OB  2 2 2 Chọn hệ trục Oxyz sao cho O, tia Ox chứa A, tia Oz chứa S và tia Oy nằm trên đường thẳng song song với AD. a   3a   3a  a   a 3  ; Khi đó: A  ;0;0,B ;0;0,C ;2a;0,D  ;2a;0;S0;0;  2   2   2   2   2  Gọi O là hình chiếu của S trên AB. Ta có: SO .  a   3a  M  ;0;0; N  ;a;0 .  2   2  Tìm được: 78.

(79) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). 1    1 + VS.BMDN  VS.BDN  VS.BDM  SB,SD .SN   6 6   SM.DN 5 + cos SM,DN     5 SM . DN. 3     SB,SD .SM  a 3   3. Ví dụ 10(ĐH – B.2007): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính khoảng cách giữa hai đường MN và AC. Bài giải:. Gọi O là giao của AC và BD. Chọn hệ trục Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy chứa B và tia Oz chứa S. a 2   a 2    a 2  a 2  ;0;0,B0; ;0,D0;  ;0,S0;0;z ,C  ;0;0 Khi đó: A   2 2 2       2 .  a 2 a 2   a 2 z  N  ; ;0,I  ;0;  .   4  4 4 2  Tìm được:  a 2 a 2   a 2 a 2 z  ; ;z,M ; ;  + E    2  2 2 4 2 .   3a 2 z    a 2    ;0; ;BD 0; ;0  MN.BD  0  MN  BD + MN  4 4  4   + Mặt phẳng (P) chứa AC và song song với MN có phương trình: y  0 a 2 . 4 Ví dụ 11(ĐH – A.2011): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH  a 3 . Tính theo a thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường DM và SC. Bài giải:  d(AC,M N)  d  N,P . 79.

(80) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Chọn hệ trục Oxyz sao cho O trùng H, tia Ox chứa N, tia Oy chứa D và tia Oz chứa S. a 5   a 5   2a 5   3a 5  ;0;0,D0; ;0,C ;0;0,M 0;  ;0,S 0;0;a 3 . Khi đó: N         10 5 5 10 . . . Tìm được:. 1      1     5a 3 3 + VS.CDNM  VS.CDN  VS.CDM  SC,SD .SN   SC,SD .SM    6 6 24 + Mặt phẳng (P) chứa SC và song song với DM có phương trình: 15x  2z  2a 3  0 2a 57  d(SC,DM)  d D,P  . 19 Ví dụ 12(ĐH – D.2012): Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a. Tính theo a thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) Bài giải:. Chọn hệ trục Oxyz sao cho O trùng A, tia Ox chứa D, tia Oy chứa B và tia Oz chứa A’.  a  a a  a  Khi đó: A 0;0;0,B0; ;0,C ; ;0,D  ;0;0,  2   2 2   2   a   a a  a a a  a a  A'0;0; ,B'0; ; ,C' ; ; ,D' ;0;  .  2   2 2   2 2 2   2 2 Tìm được: 1      a 3 2 + VABB'C '   AB,AB' .AC   6 48 a 6 + Mặt phẳng (BCD’) có phương trình: 2y  2z  a  0  d A,B'CD  6 80.

(81) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Ví dụ 13(ĐH – D.2008): Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, AA’ = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường AM và B’C. Bài giải:. Chọn hệ trục Oxyz sao cho O trùng B, tia Ox chứa A, tia Oy chứa C và tia Oz chứa B’  a  Khi đó: A a;0;0,B0;0;0,C0;a;0,A' a;0;a 2 ,B' 0;0;a 2 ,C ' 0;a;a 2 ,M 0; ;0 .  2  Tìm được: 1    + VABC.A ' B'C'   BA,BC .BB'  a3 2  2     AM,B'C .AB'   a 7 + d AM,B'C       AM,B'C 7   Ví dụ 14(ĐH – B.2010): Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa mặt phẳng (A’BC) và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Gọi G là trong tâm tam giác A’BC. Tính theo a thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC. Bài giải:. .  .  . . Gọi O là là trung điểm của BC. Chọn hệ trục Oxyz sao cho O, tia Ox chứa A, tia Oy chứa B và tia Oz nằm trên đường thẳng song song với AA’. a 3   a   a   a 3 3a   a 3 a       ;0;0,B0; ;0,C0;  ;0,A' ;0; ,G  ;0;  . Khi đó: A    2    2 2   2 2   2 2  81.

(82) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Tìm được:. 1 + VABC.A ' B'C '  2. 3     AB,AC .AA'  a 3   8. 7a 12 Ví dụ 15(ĐH – A.2008): Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC  a 3 và hình chiếu vuông góc của A trên đáy (ABC) là là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’. Bài giải: + Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC là R . Gọi O là trung điểm của AB, K là trung điểm của AC thì OHAK là hình chữ nhật. Chọn hệ trục Oxyz sao cho O, tia Ox chứa H, tia Oy chứa K và tia Oz chứa A’.  a 3 a   a 3 a   a 3 a  ; ;0,B ;  ;0,C ; ;0 . Khi đó: A' 0;0;a 3 ,A   2   2 2   2 2   2 Tìm được: 1      a 3 + VABC.A ' B'C '   A'A,A'B .A'C   6 2   AA '.BC 1 + Gọi  là góc giữa AA’ và B’C, ta có cos      AA ' . BC 4. . . Ví dụ 16(ĐH – B.2009): Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’ = a; Góc giữa đường thẳng   600 . Hình chiếu BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và BAC vuông góc của B’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính theo a thể tích khối chóp A’ABC. Bài giải:. 82.

(83) GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Đặt AC = x  BC  x 3,AC  2x . Chọn hệ trục Oxyz sao cho O trùng C, tia Ox chứa A, tia Oy chứa B và tia Oz nằm trên đường thẳng song song với BG.  x x 3  Khi đó: A  x;0;0,B 0;x 3;0 ,C0;0;0,G  ; ;0 .  3 3 . . Tìm được: 3a 13 + x 26. 1 + VABC.A ' B'C '  6. . 3     A'A,A'B .A'C  9a   208. 83.

(84)

CD KHOI DA DIEN

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về