Toán xác suất thống kê

TỐN
A.

1.

XÁC SUẤT

CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SUẤT:
Cơng
thức
cộng xác
suất
Xác suất
có điều
kiện
Cơng
thức
nhân xác
suất

Nếu A và B xung khắc (A.B=V) thì:

Hai biến cố gọi là độc lập khi:

Nếu n biến cố thì:
Nếu thì:

Cơng
thức xác
suất đầy
đủ

Công
thức
Bayes

2.

với

ĐLNN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT:
ĐLNN
Phân phối nhị
thức

Phương sai:
Độ lệch chuẩn:
Dãy phép thử Bernoulli:
Các số đặc trưng:


…
Các số đặc trưng:
Phân phối
Poisson

Mối liên hệ giữa pp nhị thức và pp poisson:
•

Khi n lớn, p khá bé thì X có phân phối xấp xỉ pp poisson với tham số khi
đó:

, khi đó:
•
Phân phối
chuẩn

Trung bình
mẫu

mẫu
Phươn
g sai

Mẫu
điều
chỉnh

Độ lệch tiêu
chuẩn

Nếu:

Mối liên hệ giữa pp nhị thức và pp chuẩn:
•

Khi n lớn, p khá kgoong quá gần 0 và 1 thì X có phân phối xấp xỉ pp chuẩn
với và khi đó:

•

Nếu:



.

B.

CÁC BÀI TỐN ƯỚC LƯỢNG

1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM:
•
•
•

Lấy mẫu ngẫu nhiên
Tùy thuộc vào, XDTK:
Khi n khá lớn với mẫu cụ thể tính tốn

 Ta lấy làm ước lượng điểm cho tham số .

 ước lượng không chệch
 ước lượng chệch


2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY:
o
o
o
o

o

Gọi là đặc trưng của tổng thể cần ước lượng
Lấy mẫu ngẫu nhiên:
Xây dựng thống kê:
Với ta xác định được
Từ đó, ta tìm được phân vị và sao cho:

3. ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG TOÁN CỦA ĐLNN (ước lượng
E(X)=):
o Gọi X là…
là…trung bình…trên mẫu
là…trung bình…trên đám đơng.

ĐLNN phân phối chuẩn với
chưa biết

đã biết



Vì nên .
Khi đó, ta chọn thống kê:



Với độ tin cậy …%, và
khoảng tin cậy đối xứng ta
xác định được phân vị chuẩn
, sao cho:



Tối
thiểu
(phải)








Vì nên .
Với độ tin cậy …%, và khoảng tin
cậy đối xứng ta xác định được phân
vị , sao cho:

Chưa biết quy luật phân phối
nhưng n>30



Vì nên .
Khi đó, ta chọn thống kê:



Với độ tin cậy …%, và khoảng

tin cậy đối xứng ta xác định được
phân vị chuẩn , sao cho:



Thay biểu thức của U vào công
thức trên, ta có:



Khi n lớn, chưa biết nên ta lấy .



Với độ tin cậy …%, và khoảng
tin cậy phải ta xác định được
phân vị chuẩn , sao cho:

Thay biểu thức của T vào cơng thức
trên, ta có:

Thay biểu thức của U vào
cơng thức trên, ta có:

Với độ tin cậy …%, và
khoảng tin cậy phải ta xác
định được phân vị chuẩn ,
sao cho:



Với độ tin cậy …%, và khoảng tin
cậy phải ta xác định được phân vị ,
sao cho:



Tối
đa

Với độ tin cậy …%, và
khoảng tin cậy trái ta xác
định được phân vị chuẩn ,
sao cho:



Với độ tin cậy …%, và khoảng tin
cậy trái ta xác định được phân vị ,
sao cho:



Với độ tin cậy …%, và khoảng
tin cậy trái ta xác định được phân
vị chuẩn , sao cho:

(trái)

o Trên mẫu cụ thể, ta có:

………

…

…
…

…

o Khi đó: (thay số)…



Kết luận: Với độ tin cậy là …%, ta có thể nói rằng…trung bình của…là...

4. ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ(ước lượng tham số p trong phân phối
A(p)):

o Gọi f là tỷ lệ…mẫu
p là tỷ lệ…đám đơng.
o Vì N = 100 khá lớn nên f có phân phối xấp xỉ chuẩn:.
o Xây dựng thống kê:
o Ta tìm được phân vị chuẩn , sao cho:
Tối thiểu(phải)
o

Tối đa(trái)

Thay biểu thức của U vào công thức trên, ta có:
Tối thiểu(phải)

Tối đa(trái)


o

Trên mẫu cụ thể, ta có:
………

…
o
o



…

Vì n lớn, nên: …; …
Khi đó:(thay số)

Kết luận: Với độ tin cậy là …%, ta có thể nói rằng tỷ lệ ….

5. ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI CỦA ĐLNN PHÂN PHỐI
CHUẨN(ước lượng ):
o Gọi X là…
o Vì nên
o Ta tìm được phân vị và //, sao cho:
và
o

Tối thiểu(phải):

Thay biểu thức của vào công thức trên, ta có:
và

o

Tối đa(trái):

Tối thiểu(phải):

Tối đa(trái):

Trên mẫu cụ thể, ta có:
………
…
…

o



…
…

Khi đó:(thay số)

Kết luận: Với độ tin cậy là …%, ta có thể nói rằng phương sai ….

________________________________

C.

CÁC BÀI TỐN KIỂM ĐỊNH


1. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN CỦA
ĐLNN:
a) ĐLNN phân phối chuẩn với đã biết:
o Gọi X là…
là…trung bình…trên mẫu
là…trung bình…trên đám đơng.
o Vì nên
o Với mức ý nghĩa …bài toán cần kiểm định:
o Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định:



Nếu đúng thì .
o Xác định phân vị , sao cho:
o Vì … khá bé, nên theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ:

Miền bác bỏ

o Từ mẫu cụ thể, ta có:
…
o Khi đó:






So sánh và .
Đưa ra kết luận

Kết luận: Với mức ý nghĩa …, ta có thể nói rằng…..

b) ĐLNN phân phối chuẩn với chưa biết:
Gọi X là…
là…trung bình…trên mẫu
là…trung bình…trên đám đơng.
o Với mức ý nghĩa …bài toán cần kiểm định:
o Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định:
o



Nếu đúng thì .
o Xác định phân vị , sao cho:
o Vì … khá bé, nên theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ:

…


Miền bác bỏ

o

Từ mẫu cụ thể, ta có:
…

…

o

Khi đó:






So sánh và .
Đưa ra kết luận

Kết luận: Với mức ý nghĩa …, ta có thể nói rằng…..

c) CHƯA BIẾT QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA X NHƯNG
KÍCH THƯỚC MẪU n>30:
o Gọi X là…
là…trung bình…trên mẫu
là…trung bình…trên đám đơng.
o Với mức ý nghĩa …bài tốn cần kiểm định:
o Vì , nên .
o Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định:
 Nếu đúng thì .

o Xác định phân vị , sao cho:
o Vì … khá bé, nên theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ:

Miền bác bỏ

o Trên mẫu cụ thể, ta có:
…
o Khi đó:




So sánh và .
Đưa ra kết luận

…




Kết luận: Với mức ý nghĩa …, ta có thể nói rằng…..

2. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ TỈ LỆ CỦA ĐÁM
ĐÔNG(Kiểm định tham số p trong phân phối A(p)):
o Gọi f là tỷ lệ…mẫu
p là tỷ lệ…đám đơng.
o Vì n khá lớn nên f có phân phối xấp xỉ chuẩn:.
o Với mức ý nghĩa …bài toán cần kiểm định:
o Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định:
Trong đó:



Nếu đúng thì .

o Xác định phân vị , sao cho:
o Vì … khá bé, nên theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ:

Miền bác bỏ

o Từ mẫu cụ thể, ta có:
…

…

o Khi đó:






So sánh và .
Đưa ra kết luận

Kết luận: Với mức ý nghĩa …, ta có thể nói rằng tỉ lệ…..

3. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ PHƯƠNG SAI CỦA
ĐLNN PHÂN PHỐI CHUẨN (kiểm định của ĐLNN):
o
o

Gọi X là…
Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định:

o

thì .


o Khi đó, ta tìm được phân vị và //, sao cho:
o Vì … khá bé, nên theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ:

Miền bác bỏ