He phuong trinh dx loai I

<span class='text_page_counter'>(1)</span>1. Hệ đối xứng loại (kiểu) I: ìï f(x, y) = 0 ïí ï g(x, y) = 0 a. Là hệ có dạng : ïî , trong đó. ìï f(x, y) = f(y, x) ïí ïï g(x, y) = g(y, x) î. b. Phương pháp giải chung: - Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). 2 - Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện S ³ 4P .. - Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Sau khi tìm được S, P thì x, y là nghiệm của phương trình t2 – St + P = 0. c. Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P: x2 + y2 = (x + y) 2 – 2xy = S2 – 2P x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = S3 – 3PS x2y + xy2 = xy(x + y) = S.P x4 + y4 = (x2 + y 2) 2 – 2x 2 y 2 = (S2 – 2P) 2 – 2P 2 d. Chú ý: Ngoài phương pháp chung ta có thể sử dụng các phương pháp khác như: - Phương pháp thế. - Phương pháp hàm số. - Phương pháp điều kiện cần và đủ. - Phương pháp đánh giá. e. Các ví dụ: ìï x2y + xy2 = 30 ïí ï x3 + y3 = 35 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình ïî (1). GIẢI ìï S = x + y ïí ï P = xy 2 Đặt ïî điều kiện S ³ 4P . Hệ phương trình (1) trở thành: ìï SP = 30 ïí Û ïï S3 - 3PS) = 35 î. ìï ïï P = 30 ï S í ïï 3 30 Û ïï S - 3. S = 35 î S. ìï S = 5 ïí ïï P = 6 î .. ét = 2 Û ê êt = 3 ê ë => x, y là nghiệm của phương trình t2 – 5t + 6 = 0. Vậy hệ (1) có 2 nghiệm (2;3); (3;2) * Lưu ý một số trường hợp đặc biệt: i) Có những hệ phương trình trở thành loại I sau khi đặt ẩn phụ:.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ìï x2 + xy + y2 = 1 ïí ï x - y - xy = 3 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ïî (2). GIẢI Nhận xét: Hệ trên vốn không đối xứng. ìï x2 - tx + t2 = 1 ïí ï x + t + tx = 3 Đặt t= - y ta được hệ đối xứng: ïî ìï S = x + t ïí ï P = xt 2 Đặt ïî , điều kiện S ³ 4P ta được:. ìï S - 3P = 1 ïí Û S2 + 3S - 10 = 0 ïï S + P = 3 î. éìï S = - 5 2 êïí êï P = 8 (loai vì không thoa mãn S ³ 4P) ïìï S = - 5 îï Û í Û ê êìï S = 2 ïï S = 2 êï î êíï P = 1 ê ëîï . ïìï S = 2 í ï P =1 Với ïî ta có:. ïìï x + t = 2 í ïï x.t = 1 î. => x, t là nghiệm của phương trình u2 – 2u + 1 = 0 => u = 1 Vậy x= t =1. t = 1 => y = -1. Vậy hệ (1) có nghiệm duy nhất (1; -1) ii) Trong một số trường hợp ta đặt ẩn phụ u = u(x); v = v(x) và sau đó đặt ìï S = u + v ïí ïï P = uv î thì ta sẽ được hệ phương trình đơn giản hơn so với việc đặt. ìï S = x + y ïí ïï P = xy î. ïìï xy + x + y = 5 í ïï (x + 1)3 + (y + 1)3 = 35 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình î (3). GIẢI ïìï u = x + 1 í ï v = y +1 Đặt ïî thì (3) trở thành. ïìï uv = 6 í 3 ïï u + v3 = 35 î (3’). ïìï S = u + v í ï P = uv Đặt ïî , hệ (3’) trở thành. ïìï P = 6 Û í 3 ïï S - 3PS = 35 î. ì ïíï S = 5 ïï P = 6 î. ìï t = 2 Û ïí ïï t = 3 î => u, v là nghiệm của phương trình t2 – 5t + 6 = 0. => (3’) có nghiệm (2;3) hoặc (3;2) => Hệ phương trình (2) có 2 nghiệm (1;2); (2;1) ìï x + y + x2 + y2 = 8 ïí ï xy(x + 1)(y + 1) = 12 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình ïî (4).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> GIẢI ïìï S = x + y í ï P = xy Nhận xét: Nếu đặt ïî ta thu được hệ ìï u = x(x + 1) ïí ï v = y(y + 1) Đặt ïî thì (4) trở thành. ìï S2 + S - 2P = 8 ïí ïï P(P + S + 1) = 12 î (-> phức tạp). ìï u + v = 8 ïí ïï uv = 12 î. ét = 6 ê êt = 2 2 ë => u, v là nghiệm của phương trình t – 8t + 12 = 0 ê éìï u = 6 êïí êï v = 2 êîï êïì u = 2 êï êíï v = 6 êîï Vậy ë Do đó ta có. ìï x2 + x - 6 = 0 ïí ïï y2 + y - 2 = 0 î hoặc. ìï x2 + x - 2 = 0 ïí ïï y2 + y - 6 = 0 î. Vậy (4) có 8 nghiệm (1; 2); (1:-3); (-2;2); (-2;-3) và (2; 1); (-3:1); (2;-2); (-3;-2). Ví dụ 5: Giải hệ phương trình. ìï ïï x + y + 1 + 1 = 4 ïï x y í ïï 2 1 1 2 ïï x + y + 2 + 2 = 4 x y ïî. (5). GIẢI ìï S = x + y ïí ï P = xy Nhận xét: Nếu đặt ïî như thông thường thì sẽ dẫn tới 1 hệ phương trình. phức tạp. Điều kiện: x ¹ 0, y ¹ 0 ìï ïï u = x + 1 ï x í 1 ïï ï v = y+y Đặt ïïî thì (5) trở thành. Đặt. ïìï S = u + v í ïï P = uv î. ìï S = 4 ïí Û ïï S2 - 2P = 8 î. điều. kiện. ìï u + v = 4 ïí ïï u2 + v2 = 8 î (5’). S2 ³ 4P .. Hệ. phương. ìï S = 4 ïí ïP =4 îï. => u, v là nghiệm của phương trình t2 – 4t + 4 = 0 Û t = 2. Vậy. ïìï u = 2 Û í ïï v = 2 î. ìï ïï x + 1 = 2 ï x Û í 1 ïï ïï y + y = 2 ïî. ì ïíï x = 1 ïï y = 1 î. Vậy hệ phương trình (5) có nghiệm duy nhất là (1;1).. trình. (5’). trở. thành:.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> iii) Có những hệ phương trình đối xứng loại I không giải được theo cách giải quen thuộc. Ta phải dùng ẩn phụ để đưa về hệ phương trình đối xứng giải được theo phương pháp quen thuộc. ìï x y + y x = 30 ï í ï x x + y y = 35 Ví dụ 6: Giải hệ phương trình ïïî (6). GIẢI Điều kiện x, y ³ 0. Nhận xét: Đây là hệ đối xứng loại I không giải được theo phương pháp quen thuộc. x; v =. Đặt u =. ìï u2v + uv2 = 30 ïí 3 3 y thì hệ (6) trở thành ïïî u + v = 35 (6’). Giải như ví dụ 1 ta được kết quả nghiệm của (6’) là (2;3) ; (3;2) => (6) có nghiệm: (4;9); (9; 4) ìï ï í ï Ví dụ 7: Giải hệ phương trình ïïî. x+ y=9 3. x+3y=5. (7). GIẢI Điều kiện x, y ³ 0. ìï u = ï í ïv= Đặt ïïî. 6 6. ìï u3 + v3 = 9 ïí ï u2 + v2 = 5 y thì hệ (7) trở thành ïî (7’) x. Giải theo phương pháp thông thường 1 ta được kết quả nghiệm của (7’) là (2;1) ; (1;2) => nghiệm của hệ (7): (64; 1); (1; 64) ìï 2x2 + 2y2 = 5 ïí ï x - y + x + y + x2 - y2 = 35 Ví dụ 8: Giải hệ phương trình ïî (8). GIẢI Nhận xét: Đây là hệ phương trình đối xứng loại I đối với 2 ẩn x, y và không giải được theo cách giải quen thuộc. ìï u2 + v2 = 5 ïí ï u + v + uv = 5 x+y x- y Dùng ẩn phụ đặt u = ;v= đưa hệ (8) về dạng ïî (8’). Hệ (8’) giải được theo phương pháp quen thuộc. Ta thu được kết quả nghiệm của (8). là. æ1 3÷ ö ç ; ÷ ç ÷ ç2 2ø è. ;. æ3 1÷ ö ç ; ÷ ç ÷ ç2 2ø è. æ 1 3÷ ö ç - ;- ÷ ç ÷ ç ; è 2 2ø;. æ 3 1÷ ö ç - ;- ÷ ç ÷ ç è 2 2ø;. æ3 1ö æ 1 3ö ç ç- ; ÷ ;- ÷ ÷ ÷ ç ÷ ÷ ç2 2ø ç ç 2 2 è è ø ; ;. æ 3 1÷ ö ç - ; ÷ ç ÷ ç è 2 2ø;. æ1 3ö ç ;- ÷ ÷ ç ÷ ç2 2ø è.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> * Nhiều hệ ở dang ban đầu chưa thấy sự xuất hiện ẩn phụ, trong trường hợp này ta cần sử dụng một vài phép biến đổi phù hợp. ìï ï í ï Ví dụ 9: Giải hệ phương trình ïïî. x+ y=4 x +5+ y+5 = 6. (9). GIẢI Điều kiện x, y >0. ìï ï Û í ïï ïî (9). ìï ï x + 5 + x + y + 5 + y = 10 Û ïïí ïï x + 5- x + y + 5- y = 2 ïïî. x + 5 + x + y + 5 + y = 10 5 5 + =2 x +5+ x y+5 + y. ìï ( x + 5 + x) + ( y + 5 + y) = 10 Û ïí ïï ( x + 5 + x).( y + 5 + y) = 25 ïî ìï u = ï í ïv= Đặt ïïî. => u, v ìï ìï u = 5 ïí hay ïí ïï v = 5 ïï î ïî. x +5+ x y+5+ y. (u, v > 0). ïìï u + v = 10 í ï u + v = 25 Khi đó ta có hệ ïî. là nghiệm của phương trình t 2 – 10t + 25 = 0 Û t = 5 vậy x+5+ x = 5 y+5+ y = 5. (9’). Giải hệ (9’) ta được nghiệm là (4;4) => Vậy hệ (9) có nghiệm duy nhất (4;4) iv) Trong một số trường hợp khi gặp hệ phương trình dối xứng loại I ta không thể giải được theo cách giải quen thuộc và cũng không chọn được ẩn phụ nào thích hợp để đưa về cách giải “quen thuộc” khi đó ta sẽ dùng phương pháp đánh giá, hay sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải quyết. ìï x - y = ( 3y - 1 ï í 3 ïï x + y3 = 16 Ví dụ 10: Giải hệ phương trình î. 3x - 1)(x2 + y2 + 2). GIẢI 1. Điều kiện x, y > 3 . ìï 3y - 1 - 3x - 1 1 ïï =- 2 Û í y- x x + y2 + 2 ïï 3 3 x + y = 16 Nếu x ¹ y thì (10) ïïî (10’). (10).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Ta nhận thấy. 3y - 1 - 3x - 1 3y - 1 - 3x + 1 = y- x (y - x)( 3y - 1 + 3x - 1) =. - 1 <0 2 x + y + 2 và suy ra (x; y) : x= y không thỏa hệ. 2. ïì x = y Û ïí 3 Û ïï x + y3 = 16 î Với x = y thì (10). ïìï x = 2 í ïy=2 îï. Vậy hệ phương trình (10) có nghiệm duy nhất (2; 2).. 3 3y - 1 + 3x - 1 >0.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>