ontap 11

<span class='text_page_counter'>(1)</span>HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG I ĐẠI SỐ 11 (2012 – 2013) I. CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: 1. Tập xác định của hàm số lượng giác:   k a) Hàm số y tan u . Điều kiện: cosu 0  u  2 , k y  cot u b) Hàm số . Điều kiện: sinu 0  u  k , k   g(x) y sin u . Điều kiện: sinu 0  u  k , k   c) Hàm số h(x)  y  k cos u . Điều kiện: cosu 0  u  2 d) Hàm số , k * Các trường hợp đặc biệt: a) cosu 1  u  k2 , k   b) cosu -1  u    k2 , k      k2   k2 c) sinu 1  u  2 , k d) sinu -1  u  2 , k  2 2 Ghi nhớ: a)  1 sin u 1 b)  1 cos u 1 c) 0 sin u 1 d) 0 cos u 1 0  sin u 1 0  cos u 1 e) f) g) 0  sin u 1 h) 0  cos u 1 II. CÁC PT LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. PT sinx = a a 1  a   1 a) Nếu hoặc t > 1: PT sinx = a: Vô nghiệm a 1   1 a 1 b) Nếu  x arcsin a  k2   a là những cung không đặc biệt: sinx = a   x   arcsin a  k2 ( k  ). 1 3 2    2  a là những cung đặc biệt như: 2 ; 2 ;  x   k2  * sinx = a  sinx = sin    x     k2 (  là đơn vị rađian)  x   k3600  0 0  x 180    k360 (  là đơn vị độ)    * sinx = a sinx = sin    k2   k2 Đặc biệt: a) sinx = 1  x = 2 b) sinx = –1  x = 2 c) sinx = 0  x = k a 1  a   1 2. PT cosx = a. a) Nếu hoặc t > 1: PT cosx = a: Vô nghiệm a 1   1 a 1 b) Nếu  a là những cung không đặc biệt: cosx = a  x =  arc cos a  k2 1 3 2    2  a là những cung đặc biệt như: 2 ; 2 ; * cosx = a  cosx = cos   x =   k2 (  là đơn vị rađian) 0 * cosx = a  cosx = cos   x =   k360 (  là đơn vị độ). b) cosx = –1  x =   k2   k 3. PT tanx = a. Điều kiện: cosx 0  x  2 , k   a là những cung không đặc biệt: tanx = a  x = arctana + k Đặc biệt: a) cosx = 1  x = k2 .  x   k 2 c) cosx = 0 .

<span class='text_page_counter'>(2)</span>  a là những cung đặc biệt như:. . 3 3 ;  3 ; 1 ; 0. * tanx = a  tanx = tan   x   k (  là đơn vị rađian) 0 * tanx = a  tanx = tan   x   k180 (  là đơn vị độ)  x   k 4 Đặc biệt: a) tanx = 0  x k b) tanx = 1  4. PT cotx = a. Điều kiện: sinx 0  x  k , k   a là những cung không đặc biệt: cotx = a  x = arccota + k. c) tanx = -1 . x .   k 4. 3  a là những cung đặc biệt như: 3 ;  3 ; 1 * cotx = a  cotx = cot   x   k (  là đơn vị rađian) . 0 * cotx = a  cotx = cot   x   k180 (  là đơn vị độ)    x   k x   k x   k 2 4 4 Đặc biệt: a) cotx = 0  b) cotx = 1  c) cotx = -1  II. PT LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP: 1/ PT bậc nhất đối với 1 hàm số lượng giác: at = b (a 0) (1), t là 1 trong những h/ số lượng giác b + Bước 1: (1)  t = a + Bước 2: Giải như PT lượng giác cơ bản 2/ PT bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác: at2 + bt + c = 0 (a 0) (2) t là một trong những hàm số lượng giác III. PT BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx VÀ cosx: asinx + bcosx = c (a2 + b2 0) (1) 2 2 + Bước 1: Tính a  b (nháp). a + Bước 2: Chia 2 vế cho. a 2  b 2 , ta được: a 2  b 2 sinx + a b. b a 2  b 2 cosx =. c a 2  b2. 2 2 2 2 + Bước 3: Đặt sin  = a  b , cos  = a  b a b 2 2 2 2 (Nếu a  b , a  b là những cung đặc biệt thì ta viết: sin  sin  , cos  cos  ) + Bước 4: Áp dụng đảo của công thức cộng + Bước 5: Giải PT lượng giác cơ bản     2 cos  x   2 sin  x   4 = 4   Ghi nhớ: a) sinx + cosx =.      2 cos  x   2 sin  x   4= 4   b) sinx – cosx = Chú ý: Dạng: asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0  x   k 2 + Bước 1: TH1: cosx = 0  , k  . Khi đó: sin2x = 1   x   k x   k 2 2 * Nếu VT VP  không là n0 của PT * Nếu VT = VP  là n0 của PT  x   k 2 + Bước 2: TH2: cosx  0  , k   (chia 2 vế cho cos2x): PT  atan2x + btanx + c = 0 + Bước 3: Giải như PT bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác..

<span class='text_page_counter'>(3)</span>   k Ghi nhớ: a) sinx – cosx = 0  tanx = 1  x = 4    k b) sinx + cosx = 0  tanx = -1  x = 4 IV. CUNG LIÊN KẾT: 1. Cung đối nhau: a) cos(   ) = cos  b) sin(   ) = – sin  c) tan(   ) = – tan  d) cot(   ) = – cot  2. Cung bù nhau: a) cos(    ) = – cos  b) sin(    ) = sin      c) tan( ) = – tan d) cot(    ) = – cot  3. Cung hơn kém  : a) cos(   ) = – cos  b) sin(   ) = – sin  c) tan(   ) = tan  d) cot(   ) = cot    4. Cung phụ nhau: a) sin( 2   ) = cos  b) cos( 2   ) = sin    c) tan( 2   ) = cot  d) cot( 2   ) = tan     5. Cung hơn kém 2 : a) cos( 2  ) = – sin  b) sin( 2  ) = cos    c) tan( 2  ) = – cot  d) cot( 2  ) = – tan  Lưu ý: a) sin(   k2 ) = sin  b) cos(   k2 ) = cos  c) tan(   k ) = tan  d) cot(   k ) = cot  sin  neáu k chaün cos  neáu k chaün    sin  neáu k leû  cos  neáu k leû    k    k  e) sin( )= f) cos( )=  V. CÔNG THỨC CỘNG: a) cos(a – b) = cosacosb + sinasinb b) cos(a + b) = cosacosb – sinasinb c) sin(a – b) = sinacosb – cosasinb d) sin(a + b) = sinacosb + cosasinb VI. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI: a a 1 2 2sin .cos sin 2a 2 2 a) sin2a = 2sinacosa b) sina = c) sin2a.cos2a = 4 2 tan a 2 d) cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a e) tan2a = 1  tan a VII. CÔNG THỨC HẠ BẬC 1  cos 2a 1 1  cos 2x  1 + cos2x = 2cos2x 2 a) cos2a = = 2 2 1  cos 2a 1 1 1  cos 2a  cos 2x tan 2 a   1 – cos2x = 2sin2x 2 1  cos 2a b) sin2a = =2 2 c) a tan t 2 VIII. CÔNG THỨC TÍNH THEO 2t 1 t2 2t sin a  cos a  tan a  2 2 1 t 1 t 1 t2 a) b) c) IX. CÔNG THỨC NHÂN BA 1 a) sin3a = 3sina – 4sin3a  sin3a = 4 (3sina – sin3a).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 3tan a  tan 3 a 1 tan 3a  1  3tan 2 a b) cos3a = 4cos3a – 3cosa  cos3a = 4 (3cosa + cos3a) c) X. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG 1 1 [cos(a  b)  cos(a  b)] [cos(a  b)  cos(a  b)] 2 2 a) cosacosb = b) sinasinb = 1 1 [sin(a  b)  sin(a  b)] [sin(a  b)  sin(a  b)] c) sinacosb = 2 d) cosasinb = 2 XI. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH a+b a b a+b a b 2cos cos 2sin sin 2 2 2 2 a) cosa + cosb = b) cosa – cosb = – a+b a b a+b a b 2sin cos 2cos sin 2 2 2 2 c) sina + sinb = d) sina – sinb = sin(a  b) tan a  tan b  cos a cos b e) XII. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN sin  cos  a) tan  = cos  b) cot  = sin  c) tan  . cot  = 1 1 1 2 2 1  cot   1  tan   2 2 sin 2  cos 2  d) sin   cos  1 e) f) BÀI TẬP MẪU I. Hàm số lượng giác: Bài 1: Tìm tập xác định các hàm số sau: sin x  2 3 2  3sin x y y y 1  sin x     x y 2 cos  2x   3sin   2x   3 sin 1  cos2x 3  4  3 a) b) c) d)       tan  2x   6 cot   x  tan  3x    sin 2x 6 4  3   e) y = f) y = g) y = x  k  x 3k , k  . Vậy: TXĐ: D =  \  3k,k   Giải: a) ĐK: 3   5 5  2x    k 2x   k x  k   3 2 6 12 2 , k  . b) ĐK:.   5   \   k , k   2  12  Vậy: TXĐ: D =       3 3sin   2x   3 0 sin   2x   1  2x   k2 x   k 4  4    4  2 8 c) ĐK: , k  3   \   k, k   8  Vậy: TXĐ: D =.  \  k,k   d) ĐK: 1  cos2x 0  cos2x 1  2x k2  x k , k  . Vậy: TXĐ: D =         \   k , k   2x    k x k 2 3   6 2 3 2 , k  . Vậy: TXĐ: D = e) ĐK:.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>      \   k, k    x k x   k 3   3 f) ĐK: 3 , k  . Vậy: TXĐ: D =         \   k ,k   3x    k x k 3 4   4 2 4 3 , k  . Vậy: D = g) ĐK: BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm tập xác định các hàm số sau: cos x  1 5  sin x 2sin3x  5 y y y     2x sin   2x  2  2 cos  3x   3cos 4 3   3 a) b) c)  x  tan     3 3 e) y =. y d). 4 3  3sin 2x. 3     cot   2x  tan  2x    3cos5x 6 5   f) y = 2 g) y = 5  2 cos x y  2x 1  3sin 3x  x 2  x y y   cot   3sin  3  5 cos(2x  1)  1 4 3  3 h) i) j) 3 3    2  x  k x k x k x   k 4 2 b) 6 2 12 3 4 ĐS: a) c) d) e) 5 x   k3 2      1 3 8 x  k x  k x  k x   k6 x   k4 10 2 3 2 2 2 3 f) g) h) i) j) II. Phương trình lượng giác: BÀI TẬP MẪU Bài 1: Giải các phương trình sau: (dạng PT lượng giác cơ bản) 3 2 1   a) sin3x = 3 b) cos(2x + 1) = 2 c) sin (x – 2) = 3 d) cos2x = 3    2x   3=1 e) sin .  3x   cos     1 2 4  f). g) tan2x = 1 h) cotx = 3 3 3   1 Giải: a) sin3x = 3: VN (vì 3 > 1) b) cos(2x + 1) = 2 : VN (vì 2 ) 2 2    x  2 acr sin 3  k2   x 2  acr sin 3  k2   2  x  2   arcsin 2  k2  x   2  arcsin 2  k2 3 3   c) sin (x – 2) = 3   , k 1  1  1 1 2x arccos     k2 x  arccos     k 2  3  3  d) cos2x = 3  , k       2x    k2  k2  k  2x   3=1   2x = 6  x = 12 3 2 e) sin  , k  3x   3x  3x 5 5 4 cos     1    k2   k2 k  2 4  2 4  2 x= 6 4 3 , k f) .    2x   k x  k  4 8 2 , k g) tan2x = 1  h) cotx = 3  x arccot 3  k , k   Bài 2: Giải các phương trình sau: (dạng PT lượng giác cơ bản).

<span class='text_page_counter'>(6)</span>  1   2x   3 sin  2x   0 cos     sin(2x  400 )  3 2   3 4 2 a) b) c) d) tan(2x + 1) = 0 x 2 3  cos  tan(3x  )  3 cot(20 0  2x)  3 2 6 3 e) f) g) h) cot(3x  1)  3      sin  2x   0 2x  k x  k 3    3 6 2 , k Giải: a) 11  2x  2    3  4  3  k2   x  8  k3   1 2  2x    2x   2x  2   x  5  k3 cos     cos    cos    k2 2 3   3 4 3 8  3 4  3 4   b)  2x  40 0  60 0  k360 0 3  sin(2x  40 0 )  0 0 0 0 0 0 sin(2x  40 )  sin(  60 )  2x  40 180  60  k360   2 c)  2x  100 0  k360 0  0 0   2x 200  k360 .  x  50 0  k180 0  0 0  x 100  k180 , k   1   k 2 , k d) tan(2x + 1) = 0  2x + 1 = k  x = 2 x 2 x  x  3 cos  cos cos   k2 x   k6  3 4 3 4 4 3 2  e) , k        tan(3x  )  3 tan(3x  ) tan 3x    k x  k   6 6 3  6 3 6 3 , k f) 3 0 0 3  cot(20  2x) cot 60  200  2x 60 0  k180 0  x  20 0  k90 0 g)    1   cot(3x  1) cot    3x  1   k x  k  6   6 3 18 3 , k h) cot(3x  1)  3  Bài 3: Giải các phương trình sau: (dạng PT lượng giác thường gặp)   2 cos  2x    1 0 4  a) 3cosx + 7 = 0 b) 2sin 2x  2 0 c) d) 3cos3x  1 0 cot(20 0  2x) .  3x   3tan     3 0 2 3  e). 0 3  3 tan  300  x  0 2 cot(2x  15 )  2  0 f) g) 7 7   1 Giải: a) 3cosx + 7 = 0  cosx = 3 : VN (vì 3 )      x  8  k  2x  4  k2     2  x  3  k  2x    k2 sin 2x  sin 2x sin 4 8   4   2  b) 2sin 2x  2 0  , k.   2 cos  2x    1 0 4   c)     2x  4  3  k2   2x      k2 4 3   .  1  cos  2x    4 2   7  2x   k2  12   2x    k2  12 .    cos  2x   cos 4 3  7  x   k  24   x    k  24 , k.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> cos3x . 1 2  1  1 1 3x arccos     k2 x  arccos     k 3 3  3  3  3. d) 3cos3x  1 0  3  3x    3x    3x     tan     3tan     3 0 tan    tan    3   2 3  2 3  2 3  6  e) 3x   3x   2    k   k x   k  2 3  2  6 2 3 3 , k cot(2x  150 ) . 2 0 0 2  cot(2x  15 ) cot 45. f) 2 cot(2x  15 )  2 0   2x  150 450  k180 0  x 30 0  k90 0 , k   0. 3. 3 tan  300  x  0  tan  300  x   3  tan  30 0  x  tan 60 0. g)  30 0  x 60 0  k180 0  x  300  k90 0 , k   Bài 4: Giải các phương trình sau:        sin  2x   sin  x   tan   x  t an2x 3 4   4  a) b) c) cos(2x – 3 ) – sin3x = 0 d) sin3x = sin2x e) cos3x = cosx f) cos5x + cos2x = 0 g) sin3x – cos5x = 0 h) sin4x + cos2x = 0 i) sin3x + sinx = 0  u v  k2  Ghi nhớ: a) sinu = sinv   u   v  k2 b) cosu = cosv  u = v + k2 c) tanu = tanv  u = v + k d) cotu = cotv  u = v + k e) cosu = – cosv  cosu = cos(  – v) f) sinu = – sinv  sinu = sin(–v)       v   v   g) cosu = sinv  cosu = cos  2 h) sinu = cosv  sinu = sin  2     v  i) tanu = – tanv  tanu = tan(–v) j) cotu = tanv  cotu = cot  2   2x    2x   .   x   k2 3 4     x   k2 3 4 . 7   x  12  k2   x 13  k 2  36 3 , k.     sin  2x   sin  x   3 4   Giải: a)       tan   x  t an2x x   k k 4   4  x = 12 3 , k b) = 2x + k  –3x = 4        2x     3x  3  = cos  2  c) cos(2x – 3 ) – sin3x = 0  cos(2x – 3 ) = sin3x  cos     2    2x  3  2  3x  k2  x 6  k 5         2x    3x  k2  x    k2 2x    3x  3 2 6  + k2      3 =  2 , k  x k2   3x 2x  k2  x    k 2  3x   2x  k2 5 5 , k   d) sin3x = sin2x  .

<span class='text_page_counter'>(8)</span>  x k   3x x  k2  x k   3x  x  k2 2 , k   e) cos3x = cosx  3x = x + k2   f) * Cách 1: cos5x + cos2x = 0  cos5x = – cos2x  cos5x = cos(  – 2x)  2  x   k  7 7   5x   2x  k2   x    k 2   5x    2x  k2 3 3 , k  5x = (   2x ) + k2     7x 3x * Cách 2: cos5x + cos2x = 0  2cos 2 cos 2 = 0  2 7x    7x   x 7  k 7  cos 2 0  2  2  k     x    k 2  cos 3x 0  3x    k 2 3 3     2 2       5x   g) sin3x – cos5x = 0  sin3x = cos5x  sin3x = sin  2      x   k 3x   5x  k2    16 4 2    x    k  3x     5x  k2 2 4     , k   x  k  2  3x  x  k2    x    k  3x   x  k2 2   h) sin3x + sinx = 0  sin3x = –sinx  sin3x = sin(–x)   , k Bài 5: Giải các phương trình sau: (PT đưa về dạng PT tích) a) cosx(sin2x + 1) = 0 b) (sinx + cosx)(2cos2x – 1) = 0 c) 2sin 2xsin x  3 sin x 0 d) cos2x – cos3x + cos4x = 0 g) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0. e) sin5x + sin3x – cosx = 0 f) cos2x + sin4x = 0 h) (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx  cos x 0  Giải: a) cosx(sin2x + 1) = 0   sin 2x  1 0    x   k 2x   k2  x   k  2 2 4 * cosx = 0  , k * sin2x = – 1  , k  sin x  cos x 0  b) (sinx + cosx)(2cos2x – 1) = 0   2 cos2x  1 0   k 4 * sinx + cosx = 0  tanx + 1 = 0  tanx = -1  , k 1    cos 2x   k2 x   k  3 3 6 * cos2x = 2  cos2x = , k  sin x 0  2sin 2xsin x  3 sin x  0 3  2sin 2x  3 0   c) sinx(2sin2x – )=0 * sinx = 0  x = k , k   x .

<span class='text_page_counter'>(9)</span>     2x   k2  x   k   3 6    3    x    k 2x    k2 sin 2x  sin 3 3   2  sin2x = 3   * , k   d) cos2x + cos3x + cos4x = 0 cos4x + cos2x + cos3x = 0 2cos3xcosx + cos3x = 0      x   k 3x   k     cos3x 0 6 3 2     x 2  k2  cos x cos 2  cos x  1 3   3 2    cos3x(2cosx + 1) = 0   , k   e) sin5x + sin3x – cosx = 0 2sin4xcosx – cosx = 0 cosx(2sin4x – 1) = 0      x  2  k  x  2  k       x   k  4x   k2 x   k     cos x 0 6 24 2 2      sin 4x sin   4x     k2  x  5  k   sin 4x  1 24 2 , k 6 6   2       f) cos2x + sin4x = 0  cos2x + 2sin2xcos2x = 0  cos2x(1 + 2sin2x) = 0        x 4  k 2  x 4  k 2        x    k 2x   k2 2x   k      cos2x 0 6 12 2      sin 2x sin(  )  2x     k2  x  7  k  sin 2x  1 12 6 6   2       , k g) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0  (cos3x – cosx) + (cos2x – 1) = 0  – 2sin2xsinx – 2sin2x = 0  x k  2x  x  k2  sin x 0  x k   sin 2x  sin x  sin 2x sin( x)  2sinx(sin2x + sinx) = 0       2x   x  k2  x k   x  k  x k 2   3x k2 3      x   k2   x   k2 , k   h) (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx  (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = 2sinxcosx – sinx  (2cosx – 1)(2sinx + cosx) – sinx(2cosx – 1) = 0  (2cosx – 1)(sinx + cosx) = 0   x   k2  1    3   cos x cos 3  cos x  2  x    k   4   sin x  cos x   tan x  1   , k Bài 6: Giải các phương trình sau: 2 cos2x 0 1  sin 2x a) cos3xsin2x = cos5xsin4x b) c) cos2xtanx = 0 1 1 Giải: a) cos3xsin2x = cos5xsin4x  2 (sin5x – sinx) = 2 (sin9x – sinx).

<span class='text_page_counter'>(10)</span>   x  k  2   5x 9x  k2 x   k   5x   9x  k2 14 7 , k  sin5x = sin9x     2 cos2x 0 1  sin 2x b) . ĐK: sin2x 1   2x   k2  2   2x    k2 2  2cos2x = 0  cos2x = 0    c) cos2xtanx = 0. ĐK: cosx 0.   x   k (loại)  4   x    k  4 , k.      2x   k  x   k    cos2x 0 2 4 2 cos2x.sin x   0  sin x 0   cos2xsinx = 0     x k   x k cos x , k Bài 7: Giải các phương trình sau: (PT bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác) x 2 cos2  2 cos x  2 0 2 a) 2sin2x + 3sinx – 2 = 0 b) c) 3tan2x – 2 3 tanx + 3 = 0 d) 6cos2x + 5sinx – 2 = 0 e) 5sin2x + 3cosx + 3 = 0 f) 2tanx – 3cotx – 2 = 0 1   sin x  2    sin     6 Giải: a) * Cách 1: 2sin2x + 3sinx – 2 = 0   sin x  2(loại)  sinx =      x  6  k2  x  6  k2    x     k2  x  5  k2  6 6     , k 1  t   2  * Cách 2: Đặt t = sinx,  1 t 1 . PT trở thành: 2t2 + 3t – 2 = 0   t  2(loại)     x   k2  x   k2   6 6      1   x  5  k2 sin    x    k2  6 6  6      Suy ra: sinx = 2  sinx = , k  x 2  cos  2 2  x x x x   cos  2 (loạ i ) 2 cos2  2 cos  2 0 cos  cos 2    2 2 2 4 b) x     k2  x   k4  2  4 2 , k      3  tan x tan( 6 )  x  6  k  tan x    3   tan x tan   x    k  tan x  3 3 3     c) 3tan2x – 2 3 tanx + 3 = 0   d) 6cos2x + 5sinx – 2 = 0  6(1 – sin2x) + 5sinx – 2 = 0  – 6sin2x + 5sinx + 4 = 0.

<span class='text_page_counter'>(11)</span>   1    x   k2  x   k2 sin x     6 6 2         x  5  k2  sin x  4 (loại) sin    x    k2 3 6 6  6       sinx =   , k 2 2 2   e) 5sin x + 3cosx + 3 = 0 5(1 – cos x) + 3cosx + 3 = 0 –5cos x + 3cosx + 8 = 0  cos x  1   cos x  8 (loại) 5    x =   k2 , k   2  4 cot x  2 0  – 4cot2x – 2cotx + 2 = 0 f) 2tanx – 4cotx – 2 = 0  cot x   x   k   cot x  1 4    x arctan 1  k  cot x  1 2 2     , k Bài 8: Giải các phương trình sau: (PT bậc nhất đối với sinx và cosx) a) sinx + cosx = 2 b) cosx – 3 sinx = 1 c) 3sin2x + 4cos2x = 5 d). 3 sinx – cosx = 2. e) 2sin2x +. 3 sin2x = 3. f) cos3x – sinx =. 3 (cosx – sin3x). 1 1 2 2 Giải: a) * Cách 1: sinx + cosx = 2  2 sinx + 2 cosx = 1 (chia 2 vế cho 1  1  2 )        sin  x   1 x    k2  k2 4   sinxcos 4 + cosxsin 4 = 1   x= 4 4 2 , k  1 1   * Cách 2: sinx + cosx = 2  2 sinx + 2 cosx = 1  sinxsin 4 + cosxcos 4 = 1       x  k2 x  4  = 1  cosxcos 4 + sinxsin 4 = 1  cos  4 = k2  x = 4 , k     2 cos  x    2 cos  x   1 4 4    * Cách 3: sinx + cosx = 2    x  k2 x   k2   4 4 , k 1 1   1 3 b) * Cách 1: cosx – 3 sinx = 1  2 cosx – 2 sinx = 2  cosxcos 3 – sinxsin 3 = 2     x  3  3  k2  x k2    1      x      k2  x  2  k2 cos  x    cos  x   cos 3 2  3 3   3 3 3      , k 1 3 1   1 * Cách 2: cosx – 3 sinx = 1  2 cosx – 2 sinx = 2  sin 6 cosx – cos 6 sinx = 2    6  x  6  k2  x k2         x     k2  x  2  k2  x   6 3  = sin 6   6  sin  6   , k.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 3 4 3 4 c) 3sin2x + 4cos2x = 5  5 sin2x + 5 cos2x = 1. Đặt: cos  = 5 ; sin  = 5   k2        2 (1) sin2xcos + cos2xsin = 1 sin(2x + ) = 1 2x + =      k x= 2 4 ( k  ) 1   3 d) * Cách 1: 3 sinx – cosx = 2  2 sinx – 2 cosx = 1  sinxsin 3 – cosxcos 3 = 1      2 x  k2 x  3  = –1   cosxcos 3 – sinxsin 3 = –1  cos  3 =   k2  x = 3 , k  1   3 * Cách 2: 3 sinx – cosx = 2  2 sinx – 2 cosx = 1  sinxcos 6 – cosxsin 6 = –1      x   k2   k2 x  6  = –1   sin   x= 3 6 = 2 , k 1  cos2x 2.  3 sin 2x 3  3 sin 2x  cos2x 2 2 e) 2sin2x + 3 sin2x = 3  1   3  2 sin2x – 2 cos2x = 1  sin2xcos 6 – cos2xsin 6 = –1      2x    k2   k  2x   6  = –1   sin   x= 6 6 = 2 , k 3 (cosx – sin3x)  cos3x – sinx = 3 cosx – 3 sin3x 1 3 1 3 cos3x  sin 3x  sin x  cos x  cos3x + 3 sin3x = sinx + 3 cosx  2 2 2 2          3x   x  3  = cos  6  cos3xcos 3 + sin3xsin 3 = cosxcos 6 + sinxsin 6  cos        3x  3 x  6  k2  x 12  k    3x    x    k2  x   k  8 2 , k 3 6    . f) cos3x – sinx =. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Giải các phương trình sau:    2x   1 0 3 a) sin  b) cos(x  45 )  1 c) tan2x = 0. x d) cot 2 = 0.   3 2 sin3x    2x    2 3 e) cos  6 f) g) tan(2x + 1) = 2 h) cot3x = –5 5  x   k x k 0 0 12 2 ĐS: a) b) x 225  k360 c) d) x   k2 e) Vô nghiệm 1 2 2   x  3 arcsin 3  k 3  1 1  1   x    1 arcsin 2  k 2 x   arctan 2  k x  arc cot( 5)  k  3 3 3 3 2 2 2 3 3 f)  g) h).

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Bài 2: Giải các phương trình sau:  5  3   1 2 cot  2x  tan  2x    3 cos  2x  30 0     4 2  3   2 2 a) b) c) d)  2   x 12  k 3   x 750  k180 0  2    13  x  k  x   k x   k 0 0 x  45  k180 4 3 24 2 12 2 ĐS: a)  b)  c) d) Bài 3: Giải các phương trình sau:   x  2sin  x    2 0 3 cot   20 0   3 0 0 4  3  a) b) 2 cos(3x  45 )  3 0 c) sin3x .   2 cos  2x    2 0 4  d)   x   k2  2  ĐS: a)  x   k2     x  4  k  d)  x k. x  2sin   100   1 0 2  e).  x 250  k120 0  x 50  k120 0 b) .  x  800  k720 0  x 4000  k720 0 e) .   3tan   2x   3  f). 3 0. 0 0 c) x  150  k540.   x  k 12 2 f). Bài 4: Giải các phương trình sau:     sin  3x   sin  x   4 6   a).     cos  2x   cos   x  3  4  b)       tan  2x   tan   x  cot 3x cot  x   5 3  3   c) d) 5 7 2    x  24  k  x  36  k 3   13  2    x   x    k2  k x  k x  k 48 12 45 2 6 2 ĐS: a)  b)  c) d) Bài 5: Giải các phương trình sau: a) cos3x – sin2x = 0 b) sin3x + sin5x = 0 c) cos4x + cosx = 0 d) sin3x + cos7x = 0  2    2       x 5  k 5  x 8  k 2  x 10  k 5  x k 4      x    k 2  x    k   x    k2   x    k 2 3 3 20 5 2 ĐS: a)  b)  c)  d)  Bài 6: Giải các phương trình sau: a) cosx(sin2x – cos2x) = 0 b) 2cosxsin3x + sin3x = 0 c) (cosx + 1)(2sin2x – 3 ) = 0     2 x   k x   k x k x   k2 2 8 2 3; 3 ĐS: a) ; b)   x   k x   k  6 3 c) x   k2  ; ; Bài 7: Giải các phương trình sau: a) cos3x – cos4x + cos5x = 0 b) sin7x – sin3x = cos5x 2 2 d) cos x – sin x = sin3x + cos4x e) sin2x – 2cosx = 0. c) cos2x – cos8x + cos6x = 1 f) cos5x – cosx = 2sin 22x.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 3 g) sin3xcosx – cos3xsinx = 8 h) sin2x + cosx – 2sinx – 1 = 0 i) 2cos2x + 2sinxcos2x = 1 j) 2sin2x + 2 sin4x = 0 k) sinx + sin2x + sin3x = 0 l) 2cos2xcos3x = 1 + cos2x + cos5x.    x   k  8 4   x   k2  3 ĐS: a)     x  2  k   x    k2 2 e)     x  6  k2   x   k   4 2   x  7  k2  6 i) .    x   k  10 5   x    k  12   x  5  k 12 b)     x k 2   x k2  2  x k 5 f)  g).    x k 2   x 3  k 8 j) .    x   k  8 4   x k    x k 3 c)      x  12  k 2   x   k   3 2.    x k 2   x 2  k2 3 k) .   x  k  3   x    k2  6   x  5  k2 6 d)     x  6  k2   x k2  7  x   k2 6 h) .    x  2  k   x   k2 3 l) . Bài 8: Giải các phương trình sau: sin x  3 cos x 0  sin x  cos 4 c). a) sin2xcos3x = sin3xcos4x b) cos5xcosx = cos4x  x  k  x  k   ;   x   k   x k  x k x   k 12 6 5  5 3 ĐS: a)  b)  c) Bài 9: Giải các phương trình sau: a) 2sin2x – 3sinx + 1 = 0 b) 3cos22x – 5cos2x + 2 = 0 c) 4tan2x – 5tanx + 1 = 0 x x d) sin2 2 + cos 2 + 1 = 0 e) 3cosx = cos2x – 1 f) cos2x – sinx – 1 = 0 g) 3cos2x – 2sinx + 2 = 0 h) 3tanx – cotx + 2 = 0 i) 3sin 2x + 4cosx + 4 = 0   x   k2   2     x    k2  x   k    x k 6 4    1 2  x arctan 1  k  x  5  k2   x  arccos  k2  6 4 2 3 ĐS: a)  b)  c)  d) x 2  k4. 2 x   k2 3 e).   x   k2   6   x k  5  x   k2  6 f)  g) x k2.   x   k  4   x arctan 1  k 3 h)  i) x   k2.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Bài 10: Giải các phương trình sau: a) 3 cosx  sin x  2 b) cos3x – sin3x = 1 e) 2sinx(cosx – 1) =. 3 cos2x. 3 sinx – cosx = 1. i) sin4x + 3 cos4x – 2 = 0 j) 5sinx + 4cosx = 5 2  x  k  3   x k2  2 1 7  x    k 2 cos   ; sin   x   k2   5 5) 6 3 6 ĐS: a) b)  c)  x  2  k2 (  5   x   k2 x   k2     3 12 x   k2     3    x  4  k 2  x 13  k2  x   k x   k 9 3 12 3 3 d) e)  f)  x   k2  g)  h)    x  2  2  k2  5 4 1  5   x    k2 cos   ; sin   x  k x  k 2 41 41 ) 48 2; 48 2 i) j)  ( Bài 11: Giải các phương trình sau: (Đại học) a) (1 + 2sinx)2cosx = 1 + sinx + cosx b) (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x   5   x   k2 x   k x   k x   k x   k2 2 12 12 4 2 ĐS: a) ; ; b) ; ; x k2 h) sin2x – cos2x +. 3 sin2x = 2. f). d) 2sin2x + 3 sin2x = 3 g) 2sinx – 2cosx = 2. c) 2cosx – sinx = 2.

<span class='text_page_counter'>(16)</span>