CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ÔN THI VÀO LỚP 10

Giaovienvietnam.com
CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
ÔN THI VÀO LỚP 10
I. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số không âm chứng minh rằng
(a+b)(b+c)(c+a) 8abc
Giải:
Cách 1: Dùng bất đẳng thức phụ:  x  y  2 4 xy
Ta có  a  b  2 4ab ;  b  c  2 4bc ;  c  a  2 4ac
  a  b  2  b  c  2  c  a  2  64a 2 b 2 c 2 8abc  2
 (a+b)(b+c)(c+a) 8abc

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Ví dụ 2:
1 1 1
  9 (403-1001)
a b c
2) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 CMR:x + 2y + z 4(1  x)(1  y )(1  z )

1) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 CMR:
3) Cho a > 0, b > 0, c > 0
CMR:

a
b
c
3



b c c a a b 2

4) Cho x 0 ,y 0 thỏa mãn 2 x 

y 1 ;CMR: x+y 

1
5

Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và a 2  b 2  c 2 1
Chứng minh rằng

a3
b3
c3
1


�
bc a c ab 2

Giải:

a 2 b 2 c 2
Do a, b, c đối xứng,giả sử a b c   a  b  c
 b  c a  c a  b

Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có
a
b
c

a2  b2  c2  a
b
c  1 3 1
2
2
a .
b .
c .

.


= . =
bc
a c
a b
3
 b c a c a b 3 2 2
1
a3
b3
c3
1


 Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=
Vậy
3
b c a c a b 2
2

Ví dụ 4:
Cho a, b, c, d > 0 và abcd = 1.Chứng minh rằng :
a 2  b 2  c 2  d 2  a  b  c   b c  d   d  c  a  10

Giải:
Ta có a  b 2ab
2

2

c 2  d 2 2cd

Do abcd =1 nên cd =

1
1 1
(dùng x   )
ab
x 2

Ta có a 2  b 2  c 2 2(ab  cd ) 2(ab 
Mặt khác: a b  c   b c  d   d  c  a 

1
) 4 (1)
ab


Giaovienvietnam.com

=(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
1  
1  
1
   ac     bc   2  2  2
ab  
ac  
bc 
2
2
2
2
Vậy a  b  c  d  a b  c   b c  d   d  c  a  10



=  ab 

Ví dụ 5: Cho 4 số a, b, c, d bất kỳ chứng minh rằng:
(a  c) 2  (b  d ) 2  a 2  b 2  c 2  d 2

Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
tacó ac+bd  a 2  b 2 . c 2  d 2
mà  a  c  2   b  d  2 a 2  b 2  2 ac  bd   c 2  d 2





 a 2  b2  2 a2  b2 . c2  d 2  c2  d 2



( a  c) 2  (b  d ) 2  a 2  b 2  c 2  d 2

II. Một số bài tập thường gặp trong các đề thi vào lớp 10
Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c. CMR:

a bc
a2
b2
c2

+
+
2
bc ac
ba

Bài giải:
bc
a
 a (áp dụng bất đẳng thức Cơ si)
+
4
bc
ac
a b
b2
c2


c
Tương tự ta có:
+
b; và
+
4
4
ac
ba
a bc
a2
b2
c2
a + b + c

+
+
+
2
bc ac
ba
a bc
a2
b2
c2


+
+
(đpcm)

2
bc ac
ba
a bc
a2
b2
c2

Vậy
+
+
2
bc ac
ba
1
1
Bài 2: Cho x, y > 0; thoả x + y = 1. Tìm Min A = 2 2 + xy .Bài giải:
x y

Với a, b, c > 0 ta có:

2

a b
4
1 1
4
�  

(a, b > 0)

ab
a b
a b a b
(x  y)2 1

2
xy
�
Mặt khác: x + y
=> xy
= (áp dụng bất đẳng thức Cô si)
4
4
1
1
1
1
4
1
4
1
A = 2 2 + 2xy + 2xy  x2  y2  2xy + 2xy = (x  y)2 + 2xy 4 + 2. 1 = 4 + 2 = 6
x y
4
1
Vậy MinA = 6 khi x = y =
2

Ap dụng bất đẳng thức (a + b)2  4ab =>

Bài 3.

Cho a, b, c  0 : abc  1
1
1
1
1
CMR : 2
 2
 2
�
2
2
2
a  2b  3 b  2c  3 c  2a  3 2
Hướng dẫn
2
2
2
2
2
Ta có: a  b �2ab; b  1 �2b � a  2b  3 �2  ab  b  1


Giaovienvietnam.com
1
1
2
2
a  2b  3 2  ab  b  1

Tương
tự
1
1
1
1� 1
1
1
�
 2
 2
� �


�
2
2
2
2
a  2b  3 b  2c  3 c  2 a  3 2 �ab  b  1 bc  c  1 ca  a  1 �
Mặt khác:
1
1
1
1
ab
b




 2

1
ab  b  1 bc  c  1 ca  a  1 ab  b  1 ab c  abc  ab bca  ab  b
1
1
1
1
 2
 2
� � a  b  c 1
=> 2
2
2
2
a  2b  3 b  2c  3 c  2a  3 2
Bài 4: Cho ba số x,y,z dương và xyz = 1.

=>

CMR :
Bài giải
Ta có x3  y 3  1 �3 3 x3 y 3  3xy
z 3  y 3  1 �3 3 z 3 y 3  3zy
x 3  z 3  1 �3 3 x 3 z 3  3 xz
�1
3 xy
3zy
3 xz
1

1 �


 3�


�3 3 3
�
� xy
�
xy
zy
xz
zy
xz
�
�

Nên vế trái =

Vì xyz = 1. Dấu “ = “ khi x = y = z
Bài 5: Cho 3 số dương a, b, c chứng minh rằng:

a3
b3
c3 a b c
 3 
�  
b3
c

a3 b c a
Giải
Vận dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

a3
b3
b3
c3
c3




a3
b3
b3
c3
c3

 1 �3

a
(1)
b

 1 �3

b
(2)
c

c
(3)
a
a
a
Cộng vế theo vế (1) (2) và (3) ta có:
3

a3
2( 3 
b



3

 1 �3

b3
c3
a b c a b c

)

3
�
2
(
  )  

c3
a3
b c a b c a
a b c
�2(   )  3
b c a

1
3 3
xy zy xz


Giaovienvietnam.com

a3
b3
c3 a b c


�  
b3
c3
a3 b c a

Vậy:

Bài 6. (1đ) (Đắc Lắc 12 – 13)
Cho hai số dương x, y thõa mãn: x + 2y = 3. Chứng minh rằng:

1 2

 �3
x y

HD: Áp dụng 1/x + 1/y + 1/z  9/(x + y + z)
Bài 7: (Hải Dương 12 – 13)
Cho 2 số dương a, b thỏa mãn
Q

1 1
  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a b

1
1
 4
.
2
2
a  b  2ab b  a  2ba 2
4

2

Hướng dẫn
Với a  0; b  0 ta có: (a 2  b)2 �0 � a 4  2a 2b  b 2 �0 � a 4  b 2 �2a 2b
1
 4
� a 4  b 2  2ab 2 �2a 2b  2ab 2 ۣ
2
a  b  2ab 2

1

1

Tương tự có b 4  a 2  2a 2b �2ab  a  b 

1
(1)
2ab  a  b 

(2) . Từ (1) và (2)  Q

1
ab  a  b 

1
1
1 1
  2 � a  b  2ab mà a �۳
b 2 ab
ab 1 �Q
.
2
2(ab)
2
a b
1
1
Khi a = b = 1 thì � Q  . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là
2

2

Vì

Bài 8: (Hà Nội 12 – 13) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x �2y , tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức: M 

x 2  y2
xy

Hướng dẫn
x2  y 2 x2 y 2 x y
x y 3x


   (  )
Ta có M =
xy
xy xy y x
4y x 4y
x y
x y
x y
 �2
. 1,
Vì x, y > 0, áp dụng bdt Co si cho 2 số dương 4 y ; x ta có
4y x
4y x

dấu “=” xảy ra  x = 2y

x

3 x

2
.
Vì x ≥ 2y  y �
4 y
3
2

6
4

3
, dấu “=” xảy ra  x = 2y
2

5
2

Từ đó ta có M ≥ 1 + = , dấu “=” xảy ra  x = 2y
Vậy GTNN của M là
Bài 9:

5
, đạt được khi x = 2y
2

Giaovienvietnam.com

Hướng dẫn:

Bài 10 (Hà Nam: 12 – 13)
Cho ba số thực a, b, c thoả mãn a �1; b �4;c �9
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 

bc a  1  ca b  4  ab c  9
abc

Hướng dẫn:

Bài 11: (Hưng Yên 12 – 13)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 4.


Giaovienvietnam.com
1 1
Chứng minh rằng xy  xz �1
1 1 1 �1 1 �
4
4
HD xy  xz  x �y  z ��x y  z  x 4  x
 

�
� 

Bài 12: (Thanh Hóa 12 – 13)

Cho hai số thực a; b thay đổi, thoả mãn điều kiện a + b  1 và a > 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

8a 2  b
 b2
4a

Hướng dẫn

a = b = 0,5
Bài 13: (Quảng Ngãi 12 – 13)

2 xy

Cho x  0, y  0 thỏa mãn x 2  y 2  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  1  xy .
Hướng dẫn: Với x  0, y  0 ta có
x2  y 2
1
3
1
2
�
 xy
�۳۳xy
1 xy
2
2
2
1  xy 3
2 xy

2
4
2
Do đó A  1  xy  2  1  xy �2  3   3 .
Dấu “=” xảy ra khi x  y .
�x  0, y  0
�
2
�x y
Từ �x  y
2
�2
2
x

y

1
�
2
2
Vậy min A   khi x  y 
.
3
2

Bài 14: (Quảng nam 12 – 13)

2
1  xy

4
3


Cho a, b ≥ 0 và a + b ≤ 2. Chứng minh :
Hướng dẫn:

2  a 1  2b 8

�
1  a 1  2b 7

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Giaovienvietnam.com

1
2
8

�
1  a 1  2b 7

1
1
1

�2
1

2
1

1 (1) (bđt Cơsi)
Ta có:
= a 1 b 
(a  1)(b  )
a  1 2b  1
2
2
1
a 1 b 
1
2 �7 (bđt Cô si)
(a  1)(b  ) �
2
2
4
2
8
�
7 (2)
1

(a  1)(b  )
2
1
2
8


�
Từ (1) và (2) suy ra:
1  a 1  2b 7
1
3
5
Dấu “=” xảy ra chỉ khi : a + 1 = b + và a + b = 2  a = và b =
2
4
4

Bài 15: Chun lam Sơn Thanh Hóa 11 – 12 (Vịng 01)
Cho a, b, c là ba số thực dương t/m a + b + c = 2 Tìm Max P
biết P 

ab
ab  2c



bc
bc  2a



ca
ac  2b

Hướng dẫn
* Vì a + b+ c = 2 2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c2+ ab = (ca+ c2)+(bc + ab)

= c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b)  2c+ab = (c+a)(c+b)


1
1
1
1
 0 và
 0 áp dụng cosi ta có

2.
ac
b c
a c b c
1
1
1
 a+c=b+c a=b

dấu (=) 
( a  c)(b  c)
a c b c
1
1 1
1
hay (c  a)(c  b)  2 ( c  a  c  b )

vì a ; b ; c > 0 nên



ab

2c  ab

ab
1  ab
ab  (1) dấu bằng  a = b
 


 c  a  ( c  b) 2  c  a c  b 

bc
1  cb
bc 
 

 (2) dấu bằng  b = c
bc  2a 2  a  b a  c 
ac
1  ca
ca 
 

 (3) dấu bằng  a = c
2b  ca 2  c  b b  a 

Tương tự:

cộng vế với vế của (1) ; (2) ; (3) ta có
ab
bc
ca
1 ab
ab
cb
cb
ac
ac


 (



+
+
)
ab  2c
bc  2a
ca  2b 2 c  a c  b b  a c  a b  a c  b
cb
ab
ac
cb
ac 
1  ab
 P  (


)(

)(

b c c b
a  b a  b 
2  ca ca
1  (a  c).b a.(b  c ) c.(b  a)  1
1


  a  b  c   .2 1
= 

bc
a b  2
2  ca
2

 : P=


Giaovienvietnam.com
ab
bc
ca
2


 P=

≤ 1 dấu bằng  a = b = c =
ab  2c
bc  2a
ca  2b
3
2
Vậy min P = 1 khi a = b = c =
3

Bài 16: (Vĩnh Phúc 11 – 12)
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức: P =

ab
bc
ca


.
c  ab
a  bc
b  ca

Hướng dẫn: Từ a + b + c = 1 => ac + bc + c2 = c (Do c > 0)
Vì vậy: c + ab = ac + ab + bc + c2 = (b+c)(c+a)
a
b

ab
ab

Do đó

�a  c b  c (Cô – si)
c  ab
(b  c)(c  a )
2
c
a
b
c


ca
bc
Tương tự:
�c  a a  b
�b  c c  a ;
b  ca
2
a  bc
2
ac bc ab


Vậy P �a  c b  c a  b  3
2
2
Do đó: MinP = 3/2, xảy ra khi a = b= c = 1/2
Bài 17: (Hà Nội 11 – 12)
Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M  4x 2  3x 

Hướng dẫn

1
 2011 .
4x

1
1
 2011  4 x 2  4 x  1  x 
 2010
4x
4x
1
 (2 x  1) 2  ( x  )  2010
4x
1
1
Vì (2 x  1) 2 �0 và x > 0 �  0 , Áp dụng bdt Cosi cho 2 số dương ta có: x +
4x
4x
1
1
�2 x.
 2.  1
4x
2
1
 M = (2 x  1) 2  ( x  )  2010  0 + 1 + 2010 = 2011
4x
� 1

�x  2
� 1
�
�x  2
2x 1  0
�
�
�
� 1
�
1
1
�
�
�
1
� �x 2  � ��
x
 M  2011 ; Dấu “=” xảy ra  �x 
x=
�
4
2
� 4x
�
�� 2
�
�x  0
��
1

�x  0
x
�
��
2
�
�
�x  0
1
Vậy Mmin = 2011 đạt được khi x =
2
M  4 x 2  3x 

Bài 18. (Hải Dương 11 – 12)


Giaovienvietnam.com
Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng:
x
y
z


�1 .
x  3 x  yz y  3 y  zx z  3z  xy

Hướng dẫn

Từ  x  yz  �0 � x 2  yz �2x yz (*) Dấu “=” khi x2 = yz
2

Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = x2 + yz + x(y + z) �x(y  z)  2x yz
Suy ra 3x  yz � x(y  z)  2x yz  x ( y  z ) (Áp dụng (*))
x  3x
�yz

x( x

y

z)

x
x  3x  yz

x
(1)
x y z

y
y
z
z
�
�
(2),
(3)
y  3y  zx
x y z
z  3z  xy

x y z
x
y
z
Từ (1), (2), (3) ta có x  3x  yz  y  3y  zx  z  3z  xy �1

Tương tự ta có:

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1
Bài 19: Cho các số a, b, c đều lớn hơn

25
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4

a
b
c


.
2 b 5 2 c 5 2 a 5
25
Do a, b, c >
(*) nên suy ra: 2 a  5  0 , 2 b  5  0 , 2 c  5  0
4
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương, ta có:
Q

a

 2 b  5 �2 a (1)
2 b 5
b
 2 c  5 �2 b (2)
2 c 5
c
 2 a  5 �2 c (3)
2 a 5

Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta có: Q �5.3  15 .
Dấu “=” xẩy ra � a  b  c  25 (thỏa mãn điều kiện (*))
Vậy Min Q = 15 � a  b  c  25