DE THI HSG TOAN 9 NAM 20112012

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS. QUẢNG NAM. NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn thi :. TOÁN. Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 03/4/2012 Câu 1 (2đ): Thực hiện phép tính: 4 √3+2 √ 2. √ √ 2−1+ √3 ( x +12 ) √ x −6 x − 8 x− √x 4 − √√ 2+1. √ 3 −2 √ 2 √ x −1 Câu 2 (4đ): a/ CMR: 2139+3921 chia hết cho 45 b/ Tìm a,b thuộc N∗ sao cho: 1 1 2 + = a 2b 7. Câu 3 (6đ):. 1. a/ Giải phương trình: √ x −2+ √ y −1+ √ z= 2 ( x+ y+ z ) b/ Tìm k để phương trình x2-(2+k)x+3k=0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 10 c/ Cho biểu thức A=x √ 3+ y + y √3+ x với x; y≥0 và x+y=2012. Tìm GTNN của A Câu 4 (5đ): Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp (O;R). Các đường cao AD,BE,CF của tam giác cắt nhau tại I. a/ Chứng minh tâm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. b/ Giả sử BÂC=600. Tính diện tích tứ giác AEOF theo R Câu 5 (3đ): Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều ABC. Một tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt các cạnh AB,AC của tam giác theo thứ tự ở P,Q. CMR: a/PQ2+AP.AQ=AP2+AQ2 b/AP/BP+AQ/CQ=1 BÀI GIẢI SƠ LƯỢC:.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Câu 1: 3 3 4 √3+2 √ 2. √ √ 2−1+ √3 ( x +12 ) √ x −6 x − 8 = √ √2+1 √ √2 −1+ √ ( √ x −2 ) = √ x −1 =1 x − √x 4 √ x −1 √ x − √ √ 2+1 √ √ 2− 1 − √ √ 2+1. √ 3 −2 √ 2 √ x −1 Câu 2: a) + 2139+3921 chia hết cho 9: 2139+3921=(3.7)39+(3.13)21=321(318.739+1321) chia hết cho 9. + 2139+3921 chia hết cho 9: 2139+3921= (2139-139)+(3921+121)=20M+40N (M; N nguyên) =20(M+2N) chia hết cho 5 39 21 + (9;5)=1 =>21 +39 chia hết cho 45. 1. 1. 2. 14 b. b) a + 2 b = 7 ⇔ 14 b=a ( 4 b −7 ) ⇔ a= 4 b −7 vì 4 b− 7 ≠ 0 do b ∈Z 14 b. 28 b. 49. Do a nguyên => 4 b −7 ∈ Z ⇒ 4 b −7 =7+ 4 b − 7 ∈ Z ⇒4 b− 7 ∈ {± 1; ± 7 ; ± 49 } Xét các trường hợp ta được (a=28; b=2); (a=4; b=14) Câu 3 (6đ): 1 a/ Giải phương trình: √ x −2+ √ y −1+ √ z= ( x+ y+ z ) 2. ĐK: x≥2;y≥1;z≥0 1 √ x −2+ √ y −1+ √ z= ( x+ y+ z ) ⇔ 2 √ x −2+2 √ y − 1+2 √ z=x + y + z 2 2 2 ⇔ ( √ x −2 −1 ) + ( √ y −1 −1 ) + ( √ z −1 ) =0 ⇔ x=3 ; y=2; z=1 2. b/ Tìm k để phương trình x2-(2+k)x+3k=0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 10. ĐK: ≥0; S>0; P>0 =k2-8k+4≥0  (k-4)2≥12  k≥4+2 √ 3 hoặc k≤4-2 √ 3 S>0  2+k>0  k>-2 P>0  3k>0  k>0 KL: 0≤k≤4-2 √ 3 hoặc k≥4+2 √ 3 Tìm k sao cho x12+x22=100  (x1+x2)2-2x1x2=100 k2-2k-96=0  k1=1+ √ 97 ; k2=1√ 97 => k1=1+ √ 97 thỏa mãn ĐK. c/ Cho biểu thức A=x √ 3+ y + y √3+ x với x; y≥0 và x+y=2012. Tìm GTNN của A Thêm bớt 2012 √ 3 với x+y=2012 ta được:.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> A=x √ 3+ y + y √ 3+ x −( x+ y ) √3+ 2012 √ 3=x ( √ 3+ y − √ 3 ) + y ( √3+ x − √3 ) +2012 √ 3. Vì x; y ≥0 => A≥2012 √ 3 Vì x + y = 2012 suy ra giá trị nhỏ nhất của A là 2012 √ 3 hoặc x = 2012; y = 0.. khi x = 0; y = 2012. +Cách khác: Giả sử x≥y≥0 => A=x √ 3+ y + y √ 3+ x ≥ x √ 3+ x+ y √ 3+ x=( x + y ) √ 3+ x =2012 √ 3+ x => GTNN của A là 2012 √3 khi x=0 và y=2012. Vì x; y vai trò như nhau => GTNN của A là x=2012 và y=0. 2012 √ 3 khi x=0 và y=2012 hoặc. Câu 4: a) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. AEIF nội tiếp => FAI=FEI AEDB nội tiếp => FAI=BED  FEI=BED => EI là phân giác FED. Tương tự FI là phân giác EFD.  I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. b) Tính diện tích tứ giác AEOF theo R. Kẻ tiếp tuyến Ax của (O)=> xAB=ACB BFEC nội tiếp => AFE=ACB  xAB=AFE => EF//Ax =>OA FE  SAEOF=OA.FE/2 BFEC nội tiếp =>AFE~ACB (cgc)=> EF/BC=AE/AB=cosBAE=1/2 R 3 BAC=600=> sdBC=1200=> BC=R √ 3 => EF= √ 2  SAEOF=OA.FE/2=R.. R √3 4. Câu 5: a) Kẻ QH vuông góc với AP..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> AQ AQ ⇒ HP=AP − AH=AP − 2 2 √3 HQ=AQ 2 AH=. . Thế vào PQ2=HP2+HQ2 ta được đpcm. b) AP+PQ+AQ=AP+PE+AQ+QF=2AE=AB=AC AP AQ + =1 ⇔ AP .QC+ AQ . PB=PB .QC PB QC ⇔ AP(AC − AQ)+ AQ . ( AB − AP )=( AB − AP ) ( AC − AQ ) ⇔ AP (AP +PQ )+AQ . ( AQ+ PQ )=( AQ+ PQ )( AP+ PQ ) 2 2 2 ⇔ AP + AP . PQ +AQ +AQ . PQ=AQ . AP+ AQ . PQ + AP. PQ +PQ ⇔ AP2 + AQ2 − AP . AQ=PQ 2 . ………………………………………//;\.............

<span class='text_page_counter'>(5)</span>