LOI GIAI MOT SO BAI TAP NANG CAO DE HK 1TOAN 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Bài 5: (0,5điểm) 1 1  Cho x > 0;y > 0 và x + y = 2a (a >0). Tìm GTLN của biểu thức : A= x y. Giải: 1 1 ; x y ta có : Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương 1 1 1   x y xy (1). Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương x,y ta có: x +y  xy mà x + y = 2a.  2.. 1 2  (2) xy a. 1 1 2   Từ (1) và (2) suy ra x y a . Dấu “=” xảy ra khi x = y = a. 2 Vậy GTLN của biểu thức A là a , khi đó x = y = a. 1 Bài 5. (0,5 điểm): Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x  x  1. Giải:. P. Ta có: 4 P= 3 . 1 1 1 4    2 x  x 1  1 3 3 3 x     2 4 4  x. 1 1 4 0  x = 4 . Vậy Pmax = 3 2. Bài 5: (0,5 điểm). x Cho. x2  3.  y . . y 2  3 3. .. Tính giá trị của E = x + y Giải:. x Ta có:   3 y .  x  3  y   3  3  x  x  3 . x2  3 x . y2.  . 2. y 2  3 3 x . x2  3. 2.  y  y 2  3  x  x 2  3 2. (1) 2. Tương tự ta có: x  x  3  y  y  3 (2) Cộng từng vế của (1) và (2) ta có: x + y = -(x + y)  x + y = 0. .

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bài 5. (0,5 điểm) Cho hai số x ≥ 0, y ≥ 0và x  y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá. trị lớn nhất của biểu thức E = x x  y y ? Giải:. y. Đặt a = x ≥ 0 ; b = ≥0  a+b=1. Từ đó : E = a3 + b3 = ( a + b )( a2 – ab + b2 ) = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab = 1 – 3ab ≤ 1 ( do ab ≥ 0 ) . GTLN là E = 1  a = 0 hoặc b = 0  x = 0 , y = 1 ; x = 1 , y =0.  a  b Mặt khác : Do ab ≤. 2. 4. 1 1 = 4  1– 3ab ≥ 4. 1 1 1 GTNN của E = 4  a = b = 2  x = y = 4. Bài 5. (1đ). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x  x  1 Giải: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x . x 1 2. Ta có A = x . 1 1 3  1 3  2 x     x     x  2. 2 4 4  2 4 x 1 = . 2. 2. 1 1 3 3    x   0x  R  x     x  R 2 2 4 4 V×  nên  3 1 VậyAmin = 4 khi x = 4. Bài 5: (0,5điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có: S=. 1 1 1 1    ...  2 3 2 4 3  n  1 n. 5 < 2. Giải: Với mọi k nguyên dương, ta có: 1 k 1  1  1  1 1   k     k  k 1   k  k k 1   k  1 k  k  1 k  k  k  1  1    k  1   k . 1   1    2 k 1   k. 1  1  2  k  1 k  k Vậy: . Do đó ta có:. 1   k 1 . 1   k 1 . 1   k 1 .

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1  1   1  1  2 1      2   ...  2  2 2 3 n      S<. 1   2  n 1 . 2 5 5 2 2 n 1 hay S < 2. Bài 5: (0.5 điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có : 1 1   n n  1   n  1 n n. 1 n 1. Giải: 1  n . 1 n  1  n ( n  1  n )( n  1  n )   n 1 n( n  1) n(n  1)( n  1  n ). n 1  n 1  n n  1  ( n  1) n n n  1  (n  1) n. Bài 5. (0,75 điểm ) Cho 3 số x, y, z thoả mãn xyz = 2014 2014 x y z   A = xy  2014 x  2014 yz  y  2014 xz  z  1. Tính:. Giải: - Ta có xyz = 2014 nên 2014 x y z   xy  2014 x  xyz yz  y  2014 xz  z  1 2014 y zy    y  2014  yz yz  y  2014 xzy  zy  y 2014 y zy 2014  y  yz     1 y  2014  yz yz  y  2014 2014  zy  y 2014  zy  y A. - Vậy A = 1 19992 1999 P  1  1999   20002 2000 Câu 5 ( 0,5 điểm): Rút gọn biểu thức 2. Giải: 19992 1999 P  1  1999   20002 2000 2. Ta có: 20002  1999  1 19992  2.1999  1 2.  1  19992 20002  2.1999  P  20002  2.1999  2. 1999  1999 1999 1999    2000  2000     2000  2000 2000 2000 . 19992 1999  20002 2000.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2 2 Bài 5.(0,5 đ) Cho x,y là các số thực thoả mãn điều kiện x 1  y  y 1  x 1 .. Chứng minh rằng x2 + y2 = 1 Giải: Đk:  1  x; y 1 . Bình phương 2 vế: 2. 2.  1  x   1  y    xy . 2.  2 xy. 2. 2.  1  x   1  y   xy  0   1  x   1  y  x y  x  y . . 2. 2. 2. 2. 2.  1  x   1  y  0. 2. 2. 2. 2. 1. Bài 5: (0,5 điểm) 2012 2013   2012  2013 2013 2012 Chứng minh : Giải: 2012 2013. . 2013 2012.  2012  2013 . 2012 2013. . 2013 2012. . 2012 . 2013  0. Biến đổi vế trái VT . 2012 2013   2013 2012. 2012 . 2013. 2012 2013 2013 2012   2012  2013 2013 2012  2012   2013   2013   1  2012   1  2013   2012  . .  2013 2012  2013 2012 2013.2012. . . 2013 . 2012. 2012.2013 Điều này đúng do 2013  2012.  0. Câu 5: (0,5 điểm) 1 1 1 1    .........  2 3 3 4 2011  2012 . Rút gọn biểu thức 1  2. Giải:.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 1 1 1 1    .........  1 2 2 3 3 4 2011  2012  2  1 3 . 2 4. 3  ......  2012 . 2011  2012  1. Bài 5. ( 0,5 điểm) Tìm GTNN của biểu thức. A x . 9 3 x 1 với x > 1. Giải: A x  1 . 9 4 x 1. 9 Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương x-1 và x  1. Tìm được GTNN của A = 10 khi x = 4. Bài 4. (0,5 điểm) Cho a > b; b > c; c > 0. Chứng minh rằng:. c(a  c)  c(b  c)  ab. Giải: c(a  c)  c(b  c)  ab (1) Bình phương 2 vế (dương) của (1) ta được:. 2c (a  c)(b  c) c2  (a  c)(b  c)  c2  (a  c)(b  c)  2c (a  c)(b  c) 0  c . 2. (a  c)(b  c)  0 . (*). Bài 5: (0,5 điểm) 20082 2008 A  1  2008   2009 2 2009 có giá trị là một số tự nhiên. Chứng minh 2. Giải: 20082 2008 20082 2008 2 A  1  2008     1  2008   2.1.2008   2009 2 2009 20092 2009 2. 2. 2008 20082 2008 2008  2008    2009   2.2009.     2009    2 2009 2009 2009 2009  2009  2008 2008 2008 2008  2009   2009   2009 2009 2009 2009 2009 . 2.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Vậy A có giá trị là một số tự nhiên. ============== Hết ============.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>