Casio danh cho so phuc

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Sử dụng cho số phức. Câu 1: Cho z1  3  i, z2  2  i . Tính z1  z1 z2 Giải:. z1  z1 z2  3  i   3  i  2  i   10  10  0i  z1  z1 z2  102  02  10. Dùng Casio như sau: Bấm mode 2:. để chuyển sang chế độ số phức.. Muốn bấm chữ i ta bấm Nhập biểu thức: z1  z1 z2  3  i  (3  i)(2  i). Vậy modun = 10 Câu 2: Cho z1  2  3i, z2  1  i . Tính. z1  z2 ; z13  3z2 z2 Giải:. +). z1  z2 3  4i  3  4i  1  i  7  i z z     1 2  2 z2 1 i 1 i 2 z2. Dùng casio:. 49 1 5 2   4 4 2. 2  3i  1  i 1 i. Tính modun. Ta bấm lưu kết quả số phức trên bằng cách bấm Shift Sto A.. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Để tính được modun ta phải bấm Shift hyp. ta được kết quả như sau:. Câu 3: Cho z1  2  3i, z2  1  i . Tính z13  3z2 Giải: 3 z13  3z2  8  36i  54i 2  27i 3  3  3i  49  6i  z1  3z2 . 2437. Bấm tương tự bên trên ta được màn hình hiện ra như sau:. Ta lưu vào A được như sau:. Tính môdun. Bài 4 : Cho A. 9. z1  3  i , z 2  2  i . Tính z1  z1z 2 B. 10. C. 7. D. 6. Giải: Ấn MODE 2 (chuyển sang chế độ số phức) 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Nhập vào máy tính: 3 + ENG SHIFT STO A 2 - ENG SHIFT STO B Bấm SHIFT hyp rồi nhập như hình:.  Bài tập tự luyện: Cho. z1  2  3i , z 2  1  i :. a) Tính. 29. A.. b) Tính. A.. z1  3z 2. A.. 41. B.. 5 2 2. C.. 61. D. 13. z1  z 2 z2. 5 3 2. c) Tính. B.. C. 5 2. D. 5 3. C. 7 46. D.. z13  3z 2. 2437. B.. Bài 5 : Cho số phức. 2354. z  a  bi , a,b .  thỏa mãn z. 2. 2134.  60  32i . Tính giá trị biểu thức. A ab: A. A = 5 hoặc A = 4 C. A = 10 hoặc A = -10 D. A = 2 hoặc A = -2. B. A = 4 hoặc A = 1 Giải:. Lưu. 60  32i vào A bằng cách SHIFT STO A.. Và bấm như hình: Cách bấm:. bấm SHIFT hyp,. . bấm SHIFT (-), Arg bấm SHIFT 2 1. (2  8i)2 a  b  10  Suy ra 60  32i   2 (2  8i) a  b  10 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> CÔNG THỨC 2. 2. 2. 2. . 2. 2. . 1.. z1  z2  z1  z2  2 z1  z2. 2.. z1  z2  z2  z3  z3  z1  z1  z2  z3  z1  z2  z3. 3.. z1  z2  z3  z1  z2  z3  z1  z2  z3  z1  z2  z3  4 z1  z2  z3. 4.. z1  z2  z1  z2  z1  z2. 5.. z1  z2  z1  z2  z1  z2. 6.. z1  z2  z2  z3  z3  z1  z1  z2  z3  z1  z2  z3. 7.. z1  z2  z3  z1  z2  z3  z1  z2  z3  z1  z2  z3. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 8. Khi z1k  z2k  ...  znk  0 với k , n. *. thì. 2. 2. . 2. 2. . 2. 1 1 1  k  ...  k  0 k z1 z2 zn. 9. Khi z1  z2  z3  R thì z1  z2 z2  z3  z2  z3 z3  z1  z3  z1 z1  z2  9R2 10. Cho số phức z thỏa mãn z1z  z2  r1 . Tính Min, Max của z  z3 .. Max . z2 r r z  z3  1 ; Min  1  2  z3 z1 z1 z1 z1. 11. Cho z . *. thõa mãn z . 1 k2  4  k k2  4  k  k thì Max z  , Min z  2 2 z. 12. Dạng: z1z  z2  z1z  z2  k với z1  a  bi; z2  c  di; z  x  yi Ta có: Min z . . k 2  4 c 2  d2. . 4 a2  b2. 13. Cho z  a  1 thì z 2  a2 . . . và Max z . k 2 z1. 1 2 a 2. TÍNH MODUL LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn z  2i  5 . Tìm giá trị lớn nhất của z : A. 2 5. B. 2  5. C. 3 5. D. 4  5. Câu 2: Với các số phức z thỏa mãn 1  i  z  1  7i  2 . Tìm giá trị lớn nhất của z 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> A. max z  4. C. max z  7. B. max z  3. D. max z  6. Câu 3: Trong số các số phức z thỏa mãn điều kiện z  4  3i  3 , gọi z 0 là số phức có mô đun lớn nhất. Khi đó z 0 là: A. 3. B. 4. C. 5. Câu 4: Trong các số phức z thỏa z. 3. 4i. D. 8. 2 , gọi z0 là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó. A. Không tồn tại số phức z0 .. B. z0. 2.. C. z0. D. z0. 3.. 7.. . . Câu 5: Biết rằng số phức z thỏa mãn u   z  3  i  z  1  3i là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của z. A. 8. B. 2. C. 2 2. D.. 2 2. Câu 6: Cho số phức 𝑧 thỏa mãn z  i  1  z  2i .Giá trị nhỏ nhất của z là: A. z  1. 2. B. z  1. C. z  2. 2. D. z  2. . . Câu 7:Biết rằng số phức z thỏa mãn:    z  3  i  z  1  3i là một số thực.Tìm số phức z để z đạt giá trị nhỏ nhất.. A. z  2  2i .. B. z  2  2i .. Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn. C. z  2  2i .. D. z  2  2i .. z  2i  2 . Tìm trung bình cộng giá trị nhỏ nhất và lớn z 1 i. nhất của z . A. 3. B. 10  3. C. 2 10. D. 10. Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn: z  i  1  z  2i .Tìm giá trị nhỏ nhất của z ? A. . 1 . 2. B. 2 .. C.. 2 . 2. D.. 1 . 2. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Câu 10: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z. 2. 4i. z. 2i .Tìm số phức z có. môđun nhỏ nhất. A. z B. z C. z 2 2i D. z 1 i 2 2i Câu 11: Số phức z nào sau đây có môđun nhỏ nhất thỏa | z || z  3  4i | : 7 A. z  3  i 8. 3 C. z    2i 2. B. z = -3 – 4i. 2i. 3. D. z . 3  2i 2. Câu 12: Số phức Z có mô đun nhỏ nhất sao cho : z  z  3  4i là: A. z  . 3  2i 2. B. z  . 3  2i 2. C. z . 3  2i 2. D. z . 3  2i 2. Câu 13: Cho số phức z thoả mãn điều kiện z  2  4i  z  2i . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. B. z  2  2i. A. z  1  i. C. z  2  2i. D. z  3  2i. Câu 14: Cho các số phức z, w thỏa mãn z  2  2i  z  4i , w  iz  1 . Giá trị nhỏ nhất của w là:. A.. 2 2. B. 2. C.. 3 2 2. D. 2 2. Câu 15: Cho số phức z thỏa mãn z  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  z  1  2 z  1 A. Max T  2 5.. B. Max T  2 10.. C. Max T  3 5.. D. Max T  3 2.. Câu 16: Trong số các số phức z thỏa mãn điều kiện z  4  3i  3 , gọi z0 là số phức có mô đun lớn nhất. Khi đó z0 là: A.3. B.4. C.5. D.6. Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn z 2  2 z  5   z  1  2i  z  3i  1 . Tính min w , với w  z  2  2i .. A. min w . 3 2. B. min w  2. C. min w  1. D. min w . 1 2. Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn z  4  z  4  10 . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là: 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> A.10 và 4. B.5 và 4. C.4 và 3. D.5 và 3. Câu 19 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa): Cho số phức z  a  bi  a, b  ;a  0, b  0  . Đặt đa thức f  x   ax 2  bx  2 . Biết. 5 1 f  1  0, f     . Tìm giá trị lớn nhất của z 4 4 A. max z  2 5. B. max z  3 2. C. max z  5. D. max z  2 6. Câu 20: Cho z là số phức thay đổi nhưng luôn thỏa mãn z  1 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  1  z  1  z  z 2 . Tính giá trị biểu thức T  A. T  13. B. T . 1 4. C. T . 13 4. D. T  1. Câu 21: Cho số phức z, tìm giá trị lớn nhất của z biết z thỏa mãn điều kiện A. 3.. B. 2.. C. 1.. M 4m 2  1. 2  3i z  1  1. 3  2i. D. 2.. Câu 22: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i .Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. C. z  2  2i. B. z  2  2i. A. z  1  i. D. z  3  2i. Câu 23: Tìm số phức z có z  1 và z  i đạt giá trị lớn nhất. A. 1. B. -1. D. –i. C. i. Câu 24: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức T  z  1  2 z  1 là: A. max T  2 5. B. max T  2 10. C. max T  3 5. D. max T  3 2. Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn z  2 . Gọi A và B lần lượt là điểm biểu diễn của z và z . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OAB. A. 3. B. 2. C. 1. D.. 3 2 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Câu 26: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Giá trị lớn nhất của z  1  i là A. 13  2. B. 4. D. 13  1. C. 6. Câu 27: Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1  z2  8  6i và z1  z2  2 . Tìm giá trị lớn nhấtcủa. P  z1  z2 ? A. P  4 6. B. P  5  3 5. Câu 28: Biết số phức z  x  yi  x, y . C. P  2 26.  thỏa mãn điều kiện z  2  4i. D. P  34  3 2.  z  2i có môđunnhỏ. nhất. Tính M  2 x 2  y 2 . A. M  4. B. M  4. C. M  8. D. M  2. Câu 29: Cho số phức z thỏa mãn : z  m2  2m  5 , với m là tham số thực thuộc. . Biết rằngtập. hợp các điểm biểu diễn các số phức w   3  4i  z  2i là một đường tròn.Tính bán kính r nhỏnhất của đường tròn đó. A. r  20. B. r  4. D. r  5. C. r  22. Câu 30: Cho số phức z thỏa mãn z  1 , đồng thời z có phần thực dương, phần ảo âm. Đặt A. 2z  i . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2  iz. A. A  1. B. A  1. C. A  1. Câu 31: Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn iz1  2 . D. A  1. 1 và z 2  iz1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2. thức z1  z 2 A. 2 . 1 2. B. 2 . 1 2. C. 2 . 1 2. D. 2 . 1 2. Câu 32: Cho số phức z và số phức liên hợp của nó z có điểm biểu diễn là M, M’. Số phức z.  4  3i  và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N, N’.Biết rằng 4 điểm M, N, M’, N’ tạo thành hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức z  4i  5 . A.. 5 34. B.. 2 5. C.. 1 2. D.. 4 13 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Câu 33: Cho số phức z có môđun z  1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  1  z  3 1  z là A. 3 10. B. 2 10. D. 4 2. C.6. Câu 34: Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện 2  3i  z  z  i . 3 6 A.  i 5 5. 6 3 B.  i 5 5. C.. 9 5. D.. 9 5. Câu 35: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Giá trị lớn nhất của z  1  i là A. 13  2 .. B. 4 .. D. 13  1 .. C. 6 .. Câu 36: Cho số phức z  0 thỏa mãn z  2 . Tìm tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . zi . z. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 37: Gọi T là tập hợp các số phức z thỏa mãn z  i  3 và z  1  5 . Gọi z1;z 2  T lần lượt là các số phức có môdun nhỏ nhất và lớn nhất. Tìm số phức z1  2z 2 A. 12  2i. B. 2  12i. C. 6  4i. D. 12  4i. Câu 38: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  z2  z  1 . Tính giá trị của M.n A.. 13 3 4. B.. 39 4. C. 3 3. D.. 13 4. Câu 39: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z  i  3 và z  2  2i  5 . Kí hiệu z1 , z2 là hai số phức thuộc S và là những số phức có môđun lần lượt nhỏ nhất và lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức P  z2  2z1 . A. P  2 6. C. P  33. B. P  3 2. D. P  8. Câu 40: Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  5 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  2  z  i . Tính module số phức w  M  mi . 2. 2. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> A. w  2 314. B. w  1258. D. w  2 309. C. w  3 137. Câu 41: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  1  2 z  1 . A. Pmax  2 5. B. Pmax  2 10. D. Pmax  3 2. C. Pmax  3 5. Câu 42: Cho số phức z  x  yi  x, y  R  thỏa mãn z  2  4i  z  2i và m  min z . Tính module số phức w  m   x  y  i . A. w  2 3. C. w  5. B. w  3 2. D. w  2 6. Câu 43: Cho số phức z  x  yi  x, y  R  thỏa mãn z  i  1  z  2i . Tìm môđun nhỏ nhất của z. A. min z  2. D. min z . B. min z  1 C. min z  0. 1 2. Câu 44: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P  z 3  3z  z  z  z . Tính M  m A.. 7 4. B.. 13 4. Câu 45: Cho số phức z thỏa mãn. C. 3  3 2i 1  2 2i. 3 4. D.. 15 4. z  1  2i  3 . Gọi M và n lần lượt là giá trị lớn. nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  3  3i . Tính M.m A) M.n  25. B) M.n  20. C) M.n  24. D) M.n  30. Câu 46: Cho số phức z thỏa mãn z  1  z  1  4 . Gọi m  min z và M  max z , khi đó M.n bằng:. A. 2. B. 2 3. Câu 47: Cho số phức z thỏa mãn iz . C.. 2 3 3. 3. 2 2  iz   4 . Gọi m  min z và M  max z , 1 i 1 i. khi đó M.n bằng: A. 2. B. 2 2. C. 2 3. D. 1 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Câu 48: Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 z2 z3  2. 2. 1 3  i . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu 2 2. 2. thức P  z1  z2  z3 . A. Pmin  1. C. Pmin  3. 1 3. D. Pmin  2. B. Pmin . Câu 49: Cho số phức z  x  yi với x, y là các số thực không âm thỏa mãn. z3  1 và biểu z  1  2i. 2 2 thức P  z 2  z  i  z 2  z   z  1  i   z  1  i  . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P lần    lượt là:. A. 0 và 1 B. 3 và 1. C. 3 và 0 D. 2 và 0. Câu 50: Cho các số phức z thỏa mãn z  1 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  1  z  1  z2  1  z3 .. A. Pmin  1. C. Pmin  3. B. Pmin  4. D. Pmin  2. Câu 51: Cho số phức z thỏa mãn. 6z  i  1 . Tìm giá trị lớn nhất của z . 2  3iz. 1 2 3 B. max z  4. C. max z . A. max z . 1 3. D. max z  1. Câu 52: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Gọi M  max z  1  i , m  min z  1  i .. . . Tính giá trị của biểu thức M 2  n2 . A. M 2  m2  28. C. M 2  m2  26. B. M 2  m2  24. D. M 2  m2  20. 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Câu 53: Cho số thức z . *. thỏa mãn z 3 . 1 1  2 và M  max z  . Khẳng định nào sau đây 3 z z. đúng? A. 1  M  2 B. 1  M . C. 2  M . 5 2. 7 2. D. M 3  M 2  M  3. Câu 54: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  1 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . 1 1 1   . z1  z2 z1  z3 z2  z1 z2  z3 z3  z1 z3  z2. A. Pmin . 3 4. B. Pmin  1. 1 2 5  2. C. Pmin  D. Pmin. Câu 55: Cho ba số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  A. Pmax  1 B. Pmax . 1 2. C. Pmax . 2z  i : 2  iz. 3 4. D. Pmax  2. Câu 56: Gọi z là số phức có phần thực lớn hơn 1 và thỏa mãn z  1  i  2z  z  5  3i sao cho biểu thức P  z  2  2i đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm phần thực của số phức z đó. A. ( z ) . 8 7 2. C. ( z ) . 4 6 2. B. ( z ) . 8 2 2. D. ( z ) . 12  2 2. Câu 57: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3 . 2 và z1  z2  z3  0 . Tính giá trị 2. lớn nhất của biểu thức P  z1  z2  2 z2  z3  2 z3  z1 .. 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> A. Pmax . 7 2 3. C. Pmax . 3 6 2. B. Pmax . 4 5 5. D. Pmax . 10 2 3. Câu 58: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  i  z  2  i . Tính môđun của số phức w  M  mi . A. w  2 6. C. w  3 5. B. w  4 2. D. w  4. Câu 59: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  3. 3 4  i , z1  z2  3 và biểu thức 5 5. 3. P  4 z1  4 z2  3 z1  3 z2  5 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính z1  z2 .. A. 1 3 B. 4. C. 2 D.. 3. LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN Câu 1: Đáp án B. Đặt z  x  yi  x, y .  , ta có. z  2i  5  x   y  2  i  5  x 2   y  2   5 2. Khi đó z  x 2  y2  4y  1 . Mặt khác x 2   y  2   5  x 2  5   y  2   0  y  2  5 . 2. 2. . . Suy ra z  4y  1  4. 2  5  1  9  4 5  2  5 . Vậy z max  2  5 . Câu 2: Đáp án D. – Phương pháp: + Đặt z  a  bi  a, b . . + Biến đổi điều kiện đề bài, sử dụng các bất đẳng thức cần thiết để đánh giá |z| – Cách giải 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Đặt z  a  bi  a, b .  . Điều kiện đề bài tương đương với. 1  i  a  bi   1  7i.  2   a  b  1   a  b  7  i  2.   a  b  1   a  b  7   2 2. 2.   a 2  b2   2  3a  4b   24  0 *. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có.  3a  4b . 2.   32  42  a 2  b2   3a  4b  5 a 2  b2. *  0   a2  b2  10. a 2  b2  24  4  a 2  b2  6.  z 6 Dấu “=” xảy ra  z . 18 24  i 5 5. Câu 3: Đáp án D. Cách giải: gọi z  x  yi; Khi đó z  4  3i   x  4    y  3 i khi đó z  4  3i   y  4    y  3 i  3   x  4    y  3  9 2. 2. Vậy quỹ tích các điểm z thuộc đường tròn tâm I  4; 3 ; R  3.  y  3sin t  4 2 2  x 2  y2   3sin t  4    3cos t  3 Đặt   y  3cos t  3.  9sin 2 t  9cos2 t  24sin t 18cos t  25  24sin t 18cos t  34  24sin t  18cos t .  24. 2.  182  sin 2 t  cos 2 t   30 (theo bunhiacopxki).  x 2  y2  30  34  64  x 2  y2  8  z  8 . Cách khác. Giả sử z  x  yi  x, y . . ta có z  4  3i  3  x  yi  4  3i  3   x  4    y  3  9 2. 2.  x2  y 2  8x  6 y  16  0  x2  y 2  16  8x  6 y. 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> . Ta có 8x  6 y   82   6  2. 2.  x.  y 2   100  x 2  y 2   8x  6 y  10 x 2  y 2. 2.   x 2  y 2   16  10 x 2  y 2  z  16  10 z  z  10 z  16  0  2  z  8 2. 2. Do đó suy ra z0  8. Câu 4: Đáp án D. Cách 1: Đặt z z. 3. a 4i. ) . Khi đó. bi (a, b 2. (a. 3)2. (b. 4)2. 4.. Suy ra biểu diễn hình học của số phức z là đường tròn  C  tâm I  3; 4  và bán kính R  5 . Gọi M  z  là điểm biểu diễn số phức z . Ta có:. M  z   C  . z  OM  OI  R  3 . Vậy z bé nhất bằng 3 khi M  z    C   IM . Cách khác. Giả sử z  x  yi  x, y . . ta có z  3  4i  2  x  yi  3  4i  2   x  3   y  4   4 2. 2.  x2  y 2  6 x  8 y  21  0  x2  y 2  21  6 x  8 y 2 2 2 Ta có  6 x  8 y    6    8   x 2  y 2   100  x 2  y 2   6 x  8 y  10 x 2  y 2  .  x 2  y 2  21  10 x 2  y 2  z  21  10 z  z  10 z  21  0  3  z  7. 2. 2. Do đó suy ra z0  3. Câu 5: Đáp án C. Giả sử z  x  yi  x, y  R  , ta có:. 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> . . u   z  3  i  z  1  3i   x  3   y  1 i   x  1   y  3 i   x 2  y 2  4 x  4 y  6  2  x  y  4  i. Theo giả thiết u .  x y40 2. Cách 1: z min  z min z  x 2  y 2   y  4   y 2  2 y 2  8 y  16  2  y  2   8  8 2. 2. 2. Dấu “=” xảy ra khi y  2  x  2 Vậy z min  z  2  2i  z min  2 2 Cách 2: Giả sử M  x; y  là điểm biểu diễn của z thì z min  OM min  OM  d Ta tìm được M  2; 2   z  2  2i  z min  2 2 Câu 6: Đáp án B. Gọi số phức cần tìm là z  a  bi(a, b  ) . Khi đó trừ giả thiết ta có a  bi  i  1  a  bi  2i.  (a  1) 2  (b  1) 2  a 2  (b  2) 2  2a  2b  2  0 a  b 1  a 2  b 2  (b  1)2  2b 2  2b  1 . 1 2. 1 1 1  a  ;b  2 2 2 Câu 7: Đáp án C.  z . Ta có: z  a  bi với a, b      a  bi  3  i  a  bi  1  3i   a  3  i  b  1 a  1  i 3  b    a 2  4a  b2  4b  6   i  2a  2b  8 .  z  a 2  b2 .  b  4. 2.  2a  2b  8  0  a  b  4. b2 2  b2  2  b  2   8  2 2 . Dấu bằng khi  a  2. Câu 8: Đáp án D. Phân tích: 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Giả sử z  x  yi(x, y  ) . Từ giả thiết suy ra: z2i  2  x  2  (y  1)i  2 x  1  (y  1)i z 1 i  (x  2)2  (y  1) 2  2(x  1) 2  2(y  1) 2  x 2  (y  3) 2  10. Tập hợp biểu diễn của z là đường tròn tâm I(0; 3) , bán kính R  10 Gọi M là điểm biểu diễn của z. Ta có: IM  IO  OM  IM  OI  10  3  OM  10  3. z min  OM min  10  3 z max  OM max  10  3 . z min  z max 2. . ( 10  3) 10  3)  10 2. Câu 9: Đáp án C. Gọi z  x  yi  z  x  yi. z  i  1  z  2i  x  yi  i  1  x  yi  2i   x  1   y  1 i  x   y  2  i.  x  1   y  1  x 2   y  2  2 2 2   x  1   y  1  x 2   y  2   x  y  1  0  y  x  1. . 2. 2. 2. 2. 1 1 1  z  x  ( x  1)  x  x  2 x  1  2 x  2 x  1  2  x     2 2 2  2. 2. 2. 2. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x  Câu 10: Đáp án C. x iy (x, y Gọi z. 2. 2 1 . Vậy Min|z| = 2 2. ). Ta có. z. 2. 4i. z. 2i. x. 2. (y. 4)i. x. (y. 2)i. x. y. 4. 1. 1 x2. 17. y2.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> x2. Suy ra z. y2. 2 2. z. min. 2 2 khi z. 2. 2i. Câu 11: Đáp án C. Gọi z  a  bi  z  a  bi ; | z || z  3  4i | -6a + 8b + 25 = 0(*). Trong các đáp án, có đáp án A và C thỏa (*). Ở đáp án A: |z| = 25/8 ; Ở đáp án C: |z| = 5/2. Cách khác. Giả sử z  x  yi  x, y . . ta có z  z  3  4i  x  yi  x  yi  3  4i.  x2  y 2   x  3   y  4  6 x  8 y  25 2. 2. Ta có  6 x  8 y    62  82  x 2  y 2   100  x 2  y 2   6 x  8 y  10 x 2  y 2 2.  25  10 x 2  y 2  25  10 z  z . 3 5 xảy ra khi z   2i. Chọn C. 2 2. Câu 12: Đáp án C. Đặt z  x  yi ; x, y . khi đó : z  z  3  4i  x  yi  x  yi  3  4i.  x  yi  x  3   4  y  i  6 x  8 y  25  0  y . 25  6 x 8. 1 1  25  6 x  2 Ta có : Z  x     100 x  300 x  625  8 8  8  2. 2. Số phức z có mô đun nhỏ nhất đạt được khi x . Vậy z . 10 x  15. 2.  400 . 5 2. 3 ;y 2 2. 3  2i 2. Câu 13: Đáp án C.. 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Đặt z  a  bi với a, b  Ta có: z  2  4i  z  2i   a  2    b  4  i  a   b  2  i .  a  2  b  4 2. 2.  a2  b  2  a  b  4  b  4  a 2. Suy ra z  a 2  b2  a 2   4  a   2a 2  8a  16  2  a  2   8  2 2 2. 2. Vậy z min  a  2  b  2  z  2  2i  Chọn C Câu 14: Đáp án A. Đặt z  a  bi  a, b .  , khi đó. z  2  2i  a  2   b  2  i và z  4i  a   b  4  i. Nên ta có  a  2    b  2   a 2   b  4   a  b  2  b  2  a 2. 2. 2. Khi đó w  iz  1   a  bi  i  1  1  b  ai  w  a 2   b  1  a 2   a  1 2. 2. 2. 1 1 1 1 2  Ta có a   a  1  2a  2a  1  2  a      w   2 2 2 2 2  2. 2. 2. Câu 15: Đáp án A.. 1  2   z  1. T  z  1  2 z 1 . 2. 2.  z 1. 2. . . . 5.2 z  1  2 5 2. (BĐT Cauchy - Swart). . . Chú ý: z  1  z  1  2x  2y  2  2 z  1 với z = x + yi 2. 2. 2. 2. 2. Cách 2: Đặt z = x + yi ta có:. T  x  yi  1  2 x  yi  1 .  x  1. 2.  y2  2.  x  1. 2.  y2. Lại có x 2  y2  1  T  2x  2  2 2x  2  f  x  Ta có: f '  x  . 1 2 6  0x  Tmax  2 5 10 2x  2 2  2x 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Câu 16: Đáp án D. Gọi z  x  yi,  x, y . . Ta có: z  4  3i  3   x  4    y  3 i  3   x  4    y  3  9 2. 2. Ta được z  x 2  y 2  8x  6 y  16  8  x  4   6  y  3  34 2. Ta thấy 8  x  4   6  y  3 . 8. 2. 2 2  62   x  4    y  3   30  . Ta được: 2  z  8 . Câu 17: Đáp án C. Ta có: z 2  2 z  5   z  1  2i  z  3i  1   z  1  4   z  1  2i   z  3i  1 2.  z  1  2i  0 1   z  1  2i  z  1  2i    z  1  2i   z  3i  1    z  1  2i  z  3i  1  2  Từ 1  z  1  2i  w  1  w  1 . Xét (2). Gọi z  x  yi Khi đó z  1  2i  z  3i  1   x  1   y  2  i   x  1   y  3 i . Ta được  x  1   y  2    x  1   y  3  y   2. 2. 2. 2. 1 2. 2. 3 3  x  2       1 2 2. 3 Suy ra w   x  2   i  w  2. 2. Câu 18: Đáp án D. Cách 1: Gọi z  x  yi, x, y . điểm biểu điễn số phức z là M  x; y . Gọi F1  4;0  , F2  4;0  , ta thấy:. MF1  MF2 .  x  4. 2.  y2 .  x  4. 2.  y 2  z  4  z  4  10. 20.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Do đó tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện z  4  z  4  10 là đường Elip, với. 2a  10, b  a 2  b2  3 . Có phương trình Có T  z  x 2  y 2  x 2  2. x2 y 2 9   1  y 2   25  x 2  25 9 25. 9 16 2 25  x 2   x 9  25 25. Vì M  x; y  thuộc Elip nên 5  x  0  9  T  25  3  z  5.  x  4. Cách 2: z  4  z  4 . 2.  y2 .  x  4. 2.  y 2  10. Áp dụng bất đẳng thức vec to ta có:.  x  4. 2.  y2 .  x  4. 2.  x  4  x  4   y  y .  y2 . 2. 2.  4x2  4 y 2.  x2  y 2  25  z  25 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy − Swarz ta có:.  x  4. 2.  y2 .  x  4. 2. 1  1   x  4 .  y2 . 2.  y 2   x  4  y 2 2. .  2  2 x 2  2 y 2  32   x 2  y 2  9  z  3 Câu 19 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa): Đáp án A.. f  1  0 a  b  2  0 a  b  2 a  b  2      12  a Theo giả thiết, ta có   1  5 5a b b a  4b  12 f  4    4 16  4  2   4  4   . 12  a  12  a 20  a 2 Khi đó a  b  2  2  a  4 . Vậy z  a 2  b 2  a 2  16 4 4. 2. Xét hàm số f  a   16a 2  12  a   17a 2  24a  144 với a   0; 4 , có f '  a   0  a  2. 12 17.  12  2304 Tính các giá trị f  0   144, f  4   320, f    suy ra max  f  a   320 0;4 17  17  Vậy giá trị lớn nhất của z là z max  a 2  b2  42  22  2 5 21.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Câu 20: Đáp án B. Gọi Re  z  là phần thực của số phức z, Im (z) là phần ảo của số phức z  z  1  z.z  1 2. Đặt t  1  z , ta có 0  z  1  z  1  z  1  2  t  0; 2 . Khi đó. . . . . . t 2  1  z  1  z  1  z.z  z  z  2  z  z  z  z  t 2  2. . z 2  z  1  z 2  z  z.z  z . z  1  z  t 2  3. 13  1 M  4 T Xét hàm số f  t   t  t  3 trên đoạn  0; 2 , ta được  4 m  3  2. Câu 21: Đáp án B. Ta có:. 2  3i 2 z  x  yi z  1  1  iz  1  1    y  1  x 2  1. 3  2i. Khi đó: zmax  OI  R  1  1  2. Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z  a  bi  R tìm modun lớn nhất và nhỏ nhất của số phức. z. Điểm biểu diễn số phức z là đường tròn  x  a    y  b   R 2 . 2. 2. Khi đó: z max  OI  R  a 2  b2  R; z min  OI  R  a 2  b2  R Câu 22: Đáp án C. Gọi z. x. z. 4i. 2. yi (x, y z. 2i. R) x. y. 4. z. x2. y2. 2(x. 2)2. 8. 2 2. z. Câu 23: Đáp án C. Đặt z  a  bi thì. z  a 2  b2 ; z  i  a 2   b  1. 2. Khi đó ta có: z  1  a 2  b2  1  b  1 22. 2. 2i.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> z  i  a 2   b  1. 2.  a 2  b2  2b  1  2b  2  2.1  2  2. Do đó, giá trị lớn nhất đạt được bằng 2 khi: a  0; b  1 và z  i Câu 24: Đáp án A. Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta được:. T  z  1  2 z 1 . 1. 2. .  22  z  1  z  1 2. 2. . . . 5.2 z  1  2 5 2. Vậy max T  2 5 . Cách 2: Đặt z  x  yi  z  1  x 2  y 2  1.  x  1. Ta có: T  z  1  2 z  1 . 2.  y2  2.  x  1. 2.  y 2  2 x  2  2 2 x  2. Xét hàm f  x   2 x  2  2 2 x  2 , với 1  x  1 Có f '  x  . 1 2 3   0  x   . Bảng giá trị 2x 1 5 2 x  2. Vậy max T  2 5 . Câu 25: Đáp án B. Giả sử z  a  bi  a, b . . 1 1 1  a 2  b2  4 và A  a; b  , B  a; b   SOAB  OA.OBsin AOB  OA.OB  .2.2  2 2 2 2. Câu 26: Đáp án D. Đặt z  a  bi;a, b .  z  2  3i  1   a  2    b  3 i  1   a  2    b  3  1 2. Đặt a  2  sin t;b  3  cos t. Khi đó z  1  i   a  1  1  b  i  Ta có  a  1  1  b    sin t  3   cos t  2  2. 2. 2. 2.  a  1  1  b  2. 2. 2. 23.

<span class='text_page_counter'>(24)</span>  14  6sin t  4cos t  14  62  42  14  2 13 . Do đó z  1  i  1  13 Câu 27: Đáp án C. Trong mặt phẳng Oxy, gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của z1 , z2 . Ta có OA  z1 , OB  z2 . Gọi M là trung điểm của đoạn AB, ta có 1  OM  z1  z2  5 2   AB  z1  z2  2 . OA2  OB 2 AB 2 2 2   z1  z2  52 Theo công thức tính độ dài trung tuyến OM  2 1 2. . Bây giờ sử dụng đánh giá Cauchy z1  z2  2 z1  z2 2. 2.  2. 26. Cách khác.. . Ta có z1  z2  z1  z2  2 z1  z2 2. Ta có. z. 1.  z2. 2. . 2. . 2.  2 z1  z2 2. 2. 2.  z. 1.   104  z. 1. 2.  z2  52 2.  z2  2 26. Câu 28: Đáp án A. Từ giả thiết z  2  4i  z  2i suy ra x  y  4 do đó để z  x 2  y 2 nhỏ nhất thì x  y  2 và do đó M  2 x2  y 2  4 . Câu 29: Đáp án A. • Trước hết ta chứng minh được, với hai số z1.z2  z1 . z2. . . • Theo giả thiết w   3  4i  z  2i  w  2i   3  4i  z  w  2i  5 z  5  m  1  4  20 2. Câu 30: Đáp án A. Đặt z  a  bi,  a, b .  . Do. z  1 nên a 2  b2  1 .. 2a   2b  1 i 4a 2   2b  1 2z  i Ta có: A    2 2  iz 2  b  ai  2  b  a2. 2. 24.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Ta chứng minh. Thật vậy, ta có:. 4a 2   2b  1.  2  b. 2. 2. 4a 2   2b  1.  2  b. 2. 1.  a2. a. 2. 2.  1  4a 2   2b  1   2  b   a 2  a 2  b 2  1 2. 2. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a 2  b2  1 Vậy A  1 Câu 31: Đáp án A. i(x1  y1i)  2 . 1 1  ix1  y1  2  2 2. 1 . Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn z1 là đường tròn (C) có tâm 4 1 I(0; 2) và bán kính R  . 2.  x12  (y1  2)2 . Khi đó nếu N là điểm biểu diễn của số phức z2 thì việc tìm GTNN của z1  z 2 là việc tìm GTNN của MN. Theo đề thì z2  iz1  y1  x1i  N  y1;x1  là điểm biểu diễn z2. Ta nhận thấy rõ ràng OM.ON  x1y1  x1y1  0  x12  y12 . Dễ nhận thấy OM=ON= x12  y12. Ta có hình vẽ sau: Do OMN là tam giác vuông cân tại O nên MN=OM 2 , do đó để MN nhỏ nhất thì OM nhỏ nhất. Dễ thấy, OM nhỏ nhất khi M≡M’ (M’ là giao điểm của OI với đường tròn như hình vẽ). Tức là 1 1 1   M  0; 2   . Khi đó MN  OM 2   2   2  2  2 2 2   Câu 32: Đáp án C. * Giả sử x  a  bi  a, b .  . Ta có:. M  a; b  và M '  a; b . * Khi đó: z  4  3i    4a  3b    3aq  4b  i . Suy ra N  4a  3b;3a  4b  và N '  4a  3b; 3a  3b  25.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> * Do 4 điểm M, N, M’, N’ tạo thành hình thang cân nhận Ox làm trục đối xứng nên 4 điểm đó lập thành hình chữ nhật  MM '  NN '  4b  4  3a  4b  2. 2.  a  b  . a   8 b 3 . * Với a  b , ta có:.  b  5   b  4 . z  4i  5 . 2. 2. 2. 9 1 1   2 b     2 2 2 . 9 9 Dấu bằng xảy ra khi a  , b   . 2 2. 8 * Với a   , ta có: 3 2. 73 2 104 289 1 2 8  z  4i  5   b  5    b  4   b  b  41   9 3 73 2 3  Vậy min z  4i  5 . 1 2. Câu 33: Đáp án B. Đặt z  x  yi  x, y .  . Ta có:. z  1  x 2  y 2  1  x, y   1;1. A  2 1  x   3 2 1  x   MaxA  2 10 Câu 34: Đáp án A. Gọi z  a  bi  a, b . . Ta có 2  3i  z  z  i  a  2   b  3 i  a   b  1 i   a  2    b  3  a 2   b  1  a  2b  3 2. 2. Ta cần tìm z sao cho. 2. a 2  b2 đạt giá trị nhỏ nhất.. Ta có. 26.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> 2. 6 9 9 2  a 2  b2   2b  3  b 2  5  b     5 5 5 . Do đó. min. . . a   b2 . 9 6 3 3 6 3 6 b  a   z   i Vậy z   i . 5 5 5 5 5 5 5 M2. Câu 35: Đáp án D. M1. Gọi z  x  yi ta có z  2  3i  x  yi  2  3i  x  2   y  3 i .. I. H. Theo giả thiết  x  2    y  3  1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường tròn 2. 2. tâm I  2;3 bán kính R  1 . Ta có z  1  i  x  yi  1  i  x  1  1  y  i  Gọi M  x; y  và H  1;1 thì HM .  x  1   y  1.  x  1   y  1 2. 2. 2. .. 2. .. Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường tròn..  x  2  3t Phương trình HI :  , giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn:  y  3  2t. 9t 2  4t 2  1  t  . 1 3 2  3 2    ;3  ;3  nên M  2  , M  2  . 13 13 13  13 13   . Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM  13  1 . Câu 36: Đáp án B. Ta có: 1 . i i i 1 i 1 1 1  1   1   1   1   1  . Mặt khác z  2   suy ra z z z z z z z 2. 1 3 3 1  P  . Suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là , . Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị 2 2 2 2 nhỏ nhất của biểu thức P là 2.. Câu 37: Đáp án A.. 27.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Do z  1  3 và z  1  5 nên tập hợp điểm M là các điểm nằm ngoài đường tròn I 1  0;1 ; R1  3 và nằm trong đường tròn I2 1;0  ; R 2  5 Dựa vào hình vẽ ta chứng minh được OM1  z  OM  OM2 Khi đó z1  2i;z 2  6  z1  2z2  2i  12 Câu 38: Đáp án A. Cách 1: Re( z ) là phần thực của số phức z, Im(z) là phần ảo của số phức z, z  1  z.z  1. . Đặt t  z  1 , ta có: 0  z  1  z  1  z  1  2  t  0; 2 . . t 2  1  z  1  z  1  z.z  z  z  2  2Re( z)  Re( z) . . z 2  z  1  z 2  z  z.z  z z  1  z  t 2  3. . . . Xét hàm số: f  t   t  t 2  3 , t  0; 2  . Xét 2 TH:. . Maxf  t  . t2  2 2. 13 13 3 ; Minf  t   3  M .n  4 4. Câu 39: Đáp án C. Giải: . 3  z  i  z 1 z  2. . 2 2   x   y  1  9  z1  2i Dấu “=” xảy ra khi:  2 2  x  y  4.  . . z  2 2  z  2  2i  5  z  5  2 2 2 2  45 2 45 2   x  2    y  2   25 Dấu “=” xảy ra khi:   z2   i   2 2 2 2 x  y  33  20 2    . P. 45 2 45 2    i  4i  33   2 2  . Câu 40: Đáp án B. Cách 1:. 28.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> P  4x  2 y  3  y . P  4x  3 2. 2 2 2  P  4x  3  z  3  4i  5   x  3   y  4   5   x  3    4  5  f  x 2   2. f '  x   8  x  3  8  P  4 x  11  0  x  0,2P  1,6  y  0,1P  1,7. Thay vào. f  x.  P  33  P  13. ta được:  0, 2P  1,6  3   0,1P  1,7  4   5  0   2. 2.  Cách 2: z  3  4i  5   x  3   y  4   5:  C  2. 2. () : 4 x  2 y  3  P  0. Tìm P sao cho đường thẳng  và đường tròn  C  có điểm chung  d  I ;    R  23  P  10  13  P  33. Vậy MaxP  33 ; MinP  13 w  33  13i  w  1258. Câu 41: Đáp án A. Giải: Theo BĐT Bunhiacopxki:  P  z 1  2 z 1 . 1. 2.  22.  z  1. 2.  z 1. 2.   10  z  1  2 2. 5. Câu 42: Đáp án D. Cách 1: z  2  4i  z  2i  x  y  4. z  x2  y 2  min z  2 2.  x  y 2. 2. . 42 2 2 2 x  y  4 x  2   w  2 2  4i  w  2 6 x  y y  2. , Dấu “=” xảy ra khi . 29.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x  y 2. 2.  x  y . 2. 2. Dấu “=” xảy ra khi x  y z  2  4i  z  2i  y  4  x z  x2  y 2  x2   4  x   2  x  2  8  2 2 2. min z  2 2. 2. x  y  4 x  2   w  2 2  4i  w  2 6 x  2 y  2. . Dấu “=” xảy ra khi . Câu 43: Đáp án D. Cách 1: z  i  1  z  2i  x  y  1. x y 2. 2.  x  y . 2. . 2. 1 2. 1 1  2 2. z  x2  y 2 . Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x  y 2. 2.  x  y . 2. 2.  Cách 2: z  i  1  z  2i  y  x  1. z  x  y  x   x  1 2. 2. min z . Vậy. 2. 2. 2. 1 1 1 1   2 x      2 2 2 2 . 1 2. Câu 44: Đáp án D. Cách 1: . Ta có z  1  z.z  1 2. 30.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> . . . Đặt t  z  z 0;2  t 2  z  z z  z  z 2  2z.z  z  2  z 2  z. . 2. 2. 2. . z 3  3z  z  z z 2  3  z  t 2  1  t 2  1 2.  1 3 3 P  t2  t 1 t      2 4 4 3 Vậy minP  ; maxP  3 khi t  2 4 15 M n 4.   . Cách khác. Theo giả thiết, ta có z  cos x  i sin x và khi đó P   cos3x  i sin3x   3 cos x  i sin x    cos x  i sin x   2 cos x.   cos3x  4cos x   i  sin3x  2sin x   2 cos x  .  4cos. 3.  cos3x  4cos x . 2.  sin3x  2sin x   2 cos x 2. x  cos x   sin 2 x  4cos2 x  1  2 cos x  4cos2 x  1  2 cos x 2. 2. 2. 1 3  1 3 3 3  4 cos x  2 cos x     2 cos x      m  4 4  2 4 4 4 2. 2. 2. 1 3  1 3 15  Mặt khác P   2 cos x      2     3  M  3  M  n  2 4  2 4 4 . Câu 45: Đáp án C. Dạng tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1z  z2  r . Tính Min, Max của z  z3 . Ta có. Max . z2 z r r  z3  ; Min   2  z3 z1 z1 z1 z1.  Áp dụng Công thức trên với z1 . 3  3 2i 1  2 2i. ; z2  1  2i , z3  3  3i; r  3 ta được. Max  6; Min  4 Câu 46: Đáp án B. Giải: 31.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> . Dạng Tổng quát: z1z  z2  z1z  z2  k với z1  a  bi; z2  c  di; z  x  yi k 2  4 z2. 2. và Max z . k 2 z1. . Ta có: Min z . .  42  4 m   3   2 ADCT trên ta có: z1  1; z2  1; k  4   M  4  2   2. 2 z1. Câu 47: Đáp án B.  ta có: z1  i ; z2 .  2 m  2 ;k  4  1 i  M  2. Câu 48: Đáp án C. Giải: . 2. 2. Áp dụng BĐT AM-GM ta có: P  3 3 z1 . z2 . z3. z1 z2 z3 . 2. 1 3  i  z1z2 z3  1  z1 z2 z3  1 2 2. . Mặc Khác:. . Suy ra P  3 . Dấu “=” xảy ra khi z1  z2  z3  1. Câu 49: Đáp án A. Giải:. z3  1  z  3  z  1  2i  x  y  1 z  1  2i P  16x2 y 2  8xy. 2.  xy 1 , Đặt t  xy  0  t     4  2 .  1 P  16t 2  8t , t  0;   MaxP  0; MinP  1  4 Câu 50: Đáp án D. Giải:. 32.

<span class='text_page_counter'>(33)</span>  Ta có: z  1  z  1. . .  P  1  z  1  z2  1  z3  1  z  z 1  z 2  1  z 3  1  z  z 1  z 2  1  z 3  2 Câu 51: Đáp án C. Giải: 2 2 6z  i  1  6 z  i  2  3iz  6 z  i  2  3iz 2  3iz.  6z  i   6z  i    2  3iz   2  3iz    6z  i   6z  i    2  3iz   2  3iz   z.z . 2 1 1 1  z   z 9 9 3. Câu 52: Đáp án A. Giải: . z  2  3i  1   x  2    y  3   1 (1) 2. 2. . Đặt P  z  1  i   x  1   y  1  P 2 (2) với P  0. . Lấy (1)-(2) ta được: y . 2. 2. P 2  10  6 x . Thay vào (1) : 4 2.  .  P 2  10  6 x   3   1  52 x 2  40  12 P 2 x  P 4  4 P 2  52  0 (*)  x  2   4   Để PT (*) có nghiệm thì:. .   40  12P 2. . . 2. . 2. .  . . .  4.52. P 4  4P 2  52  0  14  2 13  P  14  2 13. Vậy M  14  2 13 , m  14  2 13  M 2  m2  28. Câu 53: Đáp án B. Giải: 3. . 3.    1 1 1 1  1 1 3 3  z    z  3  3 z    z  3   z    3 z   z z z z z z     3. o. 3.     1 1 1 1 1  z  3   z    3 z     z    3 z    2 z z z z z     3. 33.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> 3. . 3.  1  1 1 1 Mặt khác:  z    3  z    z  3 z z z z z   3. 1 1 1 z  3 z   2 , đặt t  z   0 , ta được: z z z. . Suy ra:. . t 3  3t  2  0   t  2  t  1  0  t  2  z  2. 1 2M2 z. Câu 54: Đáp án B. Giải:. . . . . .  z1  z2  z2  z3  z3  z1   z1  z2  z1  z2   z2  z3  z2  z3   z3  z1  z3  z1 2. 2. 2. .  9   z1  z2  z3  z1  z2  z3  9  z1  z2  z3. . . 2. Theo BĐT Cauchy- Schwarz: o. . P. Do đó: P . 9 9 9   2 2 2 z1  z2 z1  z3  z2  z1 z2  z3  z2  z1 z2  z3 z1  z2  z2  z3  z3  z1 9  z1  z2  z3 2 9  1 (do z1  z2  z3  0 ) 9. Câu 55: Đáp án A. z  1. Giải: Chuẩn hóa z  1  . z  0. . z  1 P . 2i  1 do đó loại B, C 2i. . z0P. i 1  do đó loại D, chọn đáp án A 2 2. Câu 56: Đáp án C. Giải: . . z  1  i  2z  z  5  3i  y   x  2 . 2. 34.

<span class='text_page_counter'>(35)</span>  x  2   y  2 2.  y   y  2. 2. 2. 2.  3 7 7  y    2 4 4 . . P. .  3 4 6 3 y  2 z  i Dấu “=” xảy ra khi:  2 2  y   x  2 2 . Câu 57: Đáp án C. Giải:  . 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. z1  z2  z2  z3  z3  z1  z1  z2  z3  z1  z2  z3 . 3 2. Theo BĐT Bunhiacôpxki ta có:. 1  2. P  z1  z2  2 z2  z3  2 z3  z1 . 2.  22.  z  z 1. 2 2. 2.  z2  z3  z3  z1. 2.   3 26. Câu 58: Đáp án A. Giải: . z  1  2   x  1  y 2  2. . P  x2   y  1 .  2  x   1  y . . P  x2   y  1 .  2  x   1  y . . w  4  2 2i  2 6. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. vecto.  x  2  x   y  1  1  y  2. . bunhiacopxki. . 2. 2 2. 2 2.2  x  1  y 2  2   4  . Câu 59: Đáp án A. Giải: . Ta có: z1  z2  1; 3  z1  z2  z1  z2 2. 2. . 2. 2. 2 z. 2. 2. z .  z2. . 2. . z1  z2  z1  z2  2 z1  z2. . P  4 z1  z2. . t  1 Xét hàm số: f  t   t 3  3t  5, t   3; 2  ; f '  t   3t 2  3  0     t  1. . 3. 3.   3 z. 1. 1. . .  z2.  z2  5  z1  z2. . 3. 1. . 2.  3  z1  z2  2. .  3 z1  z2  5. 35.

<span class='text_page_counter'>(36)</span> . Do đó minf  t   3  minP  3. . Dấu “=” xảy ra khi z1  z2  1. BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 11.C 21.B 31.A 41.A 51.C. 2.D 12.C 22.C 32.C 42.D 52.A. 3.D 13.C 23.C 33.B 43.D 53.B. 4.D 14.A 24.A 34.A 44.D 54.B. 5.C 15.A 25.B 35.D 45.C 55.A. 6.B 16.D 26.D 36.B 46.B 56.C. 7.C 17.C 27.C 37.A 47.B 57.C. 8.D 18.D 28.A 38.A 48.C 58.A. 9.C 19.A 29.A 39.C 49.A 59.A. 10.C 20.B 30.A 40.B 50.D. BÀI TOÁN SỬ DỤNG KỸ THUẬT CHUẨN HÓA PHƯƠNG PHÁP CHUẨN HÓA TRONG SỐ PHỨC. Câu 1: Cho số phức z  a  bi  0 sao cho z không phải là số thực và w  Tính. z. z là số thực. 1  z3. 2. 1 z. 2. . 1 2a  1 2 B. a2. 1 3a  2 1 D. 2a  2. A.. C.. Câu 2: Cho hai số phức z , w khác 0 và thỏa mãn z  w  2 z  w . Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức u . z . Tính a2  b2  ? w. 1 1 C. 8 2 7 1 B. D. 2 4 Câu 3: Cho hai số phức z , w khác 0 và thỏa mãn z  w  5 z  w . Gọi a, b lần lượt là phần. A.. thực và phần ảo của số phức u  z.w . Tính a2  b2  ? 36.

<span class='text_page_counter'>(37)</span> 1 50 1 B. 25. 1 100 1 D. 10. A.. C.. Câu 5: Cho z1 , z2 , z3 là các số phức thoả mãn z1  z2  z3  1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. z1  z2  z3  z1z2  z2 z3  z3 z1. B. z1  z2  z3  z1z2  z2 z3  z3 z1. C. z1  z2  z3  z1z2  z2 z3  z3 z1. D. z1  z2  z3  z1z2  z2 z3  z3 z1. Câu 6: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  1 và z1  z2  z3  0 . Tính giá trị của biểu thức P  z12  z22  z32 . A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 Câu 7: Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z1  z2  z3  1999 và z1  z2  z3  0 . Tính P . A. P  1999 B. P  1999. z1 z2  z2 z3  z3 z1 . z1  z2  z3. C. P  999,5 D. P  5997. 2. Câu 8: Cho các số phức a, b, c , z thỏa az2  bz  c  0  a  0  . Gọi z1 và z2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình bậc hai đã cho. Tính giá trị của biểu thức 2. 2. P  z1  z2  z1  z2  2  z1  z1 . A. P  2 B. P . 2. c a. c a. Câu 9: Nếu z không phải là số thực đồng thời 1 8 1 B. 6. A.. c a 1 c D. P  . 2 a. C. P  4. 1 có phần thực bằng 4 thì môđun của z là? z z 1 12 1 D. 16. C.. Câu 10: Nếu hai số thức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  1 và z1 .z2  1 thì số phức w  có phần ảo bằng? A. 0. z1  z2 1  z1 z2. C. 1 37.

<span class='text_page_counter'>(38)</span> D. Lớn hơn 1. B. 1 Câu 11: Cho số phức z  a  bi  a, b . .  thỏa mãn điều kiện. z 2  4  2 z . Đặt. . P  8 b2  a2  12 . Mệnh đề nào sau đây đúng?. . . . . A. P  z  2 B. P  z  4.   D. P   z  4 . 2. 2. C. P  z  2. 2. 2. Câu 12: Cho các số phức z1 , z2  0  a, b  trị của biểu thức P .  thỏa mãn điều kiện. z1 z  2 . z2 z1. A.. 2 2. C.. 3. B.. 2. D.. 3 2 2. z 1 z. 2. 2. 2 1 1   . Tính giá z1 z2 z1  z2. Câu 13: Cho số phức z  a  bi  0 sao cho z không phải là số thực và w  Tính. 2. z là số thực. 1  z2. . 1 5 1 B. 3. A.. C.. 1 2. D. 1. Câu 14: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện z1  z2  z1  z2  1 . Tính giá trị của 2. z  z  biểu thức P   1    2   z2   z1  A. 1 B. 1  i. 2. C. 2 D. 1  i. Câu 15: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện z1  z2  2017 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2.  z1  z2   z1  z2  biểu thức P       2 2  2017  z1 z2   2017  z1z2 . 2. 38.

<span class='text_page_counter'>(39)</span> A.. 1 2017. B.. 2 2017. C.. 2 2017 2. D.. 1 2017 2. Câu 16: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  1 và z1  z2  z3  0 . Tính giá trị của biểu thức P  z12  z22  z32 . C. P  1 D. P  1  i. A. P  1 B. P  0. Câu 17: Cho hai số phức z , w khác 0 và thỏa mãn z  w  2 z  w . Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức u . z . Tính a2  b2  ? w. 1 8 1 D. 4. 1 2 7 D. 2. C.. C.. Câu 18: Cho hai số phức z , w khác 0 và thỏa mãn z  w  5 z  w . Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức u  z.w . Tính a2  b2  ? 1 B. 50 1 E. 25. 1 100 1 D. 10. C.. Câu 19: Cho z1 , z2 , z3 là các số phức thỏa z1  z2  z3  0 và z1  z2  z3  1 . Khẳng định nào dưới đây là sai? A. z13  z23  z33  z13  z23  z33. B. z13  z23  z33  z13  z23  z33. C. z13  z23  z33  z13  z23  z33. D. z13  z23  z33  z13  z23  z33. Câu 20: Cho z1 , z2 , z3 là các số phức thỏa mãn z1  z2  z3  1 . Khẳng định nào sau đây làđúng? A. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1. B. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1. C. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1. D. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 39.

<span class='text_page_counter'>(40)</span> Câu 21: Cho 3 số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  0 và z1  z2  z3  1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. z1  z2  z2  z3  z3  z1 là số thuần ảo 2. 2. 2. B. z1  z2  z2  z3  z3  z1 là số nguyên tố 2. 2. 2. C. z1  z2  z2  z3  z3  z1 là số thực âm 2. 2. 2. D. z1  z2  z2  z3  z3  z1 là số 1 2. 2. 2. Câu 22: Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z1  z2  z3  1999 và z1  z2  z3  0 . Tính P . z1 z2  z2 z3  z3 z1 . z1  z2  z3. C. P  1999. P  999,5. D. P  19992. P  5997. . . Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn 1  5i z  1  z 2 2 3 B.  z 3 2. A.. 2 42  3i  15 . Mệnh đề nào dưới đây đúng: z C.. 5  z 4 2. D. 3  z  5. Câu 24:Cho ba số phức z , z1 , z2 thỏa mãn 2 z  i  2  iz và z1  z2  1 . Tính giá trị của biểu thức P  z1  z2 . A. P . 3 2. B. P  3. C. P  2 D. P . Câu 25: Cho số phức z  a  bi  0 sao cho z không phải là số thực và w  Tính. z. 2 2 z là số thực. 1  z3. 2. 1 z. 2. .. 40.

<span class='text_page_counter'>(41)</span> 1 3a  1 2 D. a2. 1 3a  2 1 D. 2a  1. C.. C.. Câu 26: Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết rằng w  i và 2w  1 là hai nghiệm của phương trình z2  az  b  0 . Tính a  b  ? A.. 5 9. B. . C.  1 9. D.. Câu 27: Cho z  a  bi ,  a, b .  thỏa. 5 9. 1 9. . . z 2  4  2 z và P  8 b2  a2  12 .. Mệnh đề nào sau đây đúng?.   P   z  4 2. A. P  z  2 B.. 2. 2. . . . . C. P  z  2. 2. D. P  z  4. 2. 2. Câu 28: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  8  6i và z1  z2  2 . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức P  z1  z2 . A. Pmax  5  3 5. C. Pmax  4 6. B. Pmax  2 26. D. Pmax  34  3 2. Câu 29: Cho 3 số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  0 và z1  z2  z3 . 2 2 . 3. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 2 3 8  3. A. z1  z2  z2  z3  z3  z1  2. 2. B. z1  z2  z2  z3  z3  z1 2. 2. 2. 2. C. z1  z2  z2  z3  z3  z1  2 2 2. 2. 2. D. z1  z2  z2  z3  z3  z1  1 2. 2. 2. 41.

<span class='text_page_counter'>(42)</span> Câu 30: Cho 2 số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  1, z1  z2  3 . Tính z1  z2 . A.1. B.2. C.3. D.4. Câu 31: Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1  3, z2  4, z1  z2  37 . Xét số phức z. z1  a  b . Tìm b z2. A. b . 3 3 8. 39 8. B. b . C. b . 3 8. 3 8. D. b . Câu 32: Cho số phức z, w khác 0 sao cho z  w  2 z  w . Phần thực của số phức u  A. a  . 1 8. B. a . 1 4. C. a  1. D. a . 1 8. Câu 33: Cho z1 , z 2 là các số phức thỏa mãn z1  z 2  1 và z1  z 2  3 . Tính P . A. P . 1 3. B. P  0. C. P . 1 9. D. P . z là: w. 1 1 z1  z 2 3 3. 3 3. Câu 34: Cho số phức z thoả mãn z  3  4i  5 . Gọi M và m lần lượt là gia trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  2  z  i . Tính modun của số phức w  M  mi 2. A. w  2 314. B. w  2 309. 2. C. w  1258. D. w  3 137. Câu 35: Cho số phức w, biết rằng z1  w  2i và z 2  2w  4 là hai nghiệm của phương trình z2  az  b  0 với a,blà các số thực. Tính T  z1  z 2 .. A. T . 8 10 3. B. T . 2 3 3. C. T  5. D. T . 2 37 3. THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN – NINH THUẬN. z1  z 2  z3  0 Câu 36: Cho ba số phức z1 , z 2 , z3 thỏa mãn  .Mệnh đề nào dưới đây đúng? | z1 || z 2 || z3 | 1 A. | z12  z22  z32 || z1z2  z2 z3  z3z1 |. B. | z12  z22  z32 || z1z2  z2 z3  z3z1 | 42.

<span class='text_page_counter'>(43)</span> C. | z12  z22  z32 || z1z2  z2 z3  z3z1 |. D. 3 | z12  z22  z32 | .| z1z 2  z 2 z3  z3z1 |. Câu 37: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  0 và z1  z2  z3  1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. z12  z22  z32  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .. B. z12  z22  z32  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .. C. z12  z22  z32  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .. D. z12  z22  z32  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .. Câu 38: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  1 và z1  z2  z3  0 . Tính A  z12  z22  z32 .. A. A  1  i. B. A  0. C. A  1. D. A  1. Câu 39: Cho 3 điểm A, B, C lần lượt biểu diễn cho các số phức z1 , z2 , z3 . Biết z1  z2  z3 và. z1  z2  0 . Khi đó tam giác ABC là tam giác gì? A.Tam giác ABC vuông tại C.. B.Tam giác ABCđều.. C.Tam giác ABC vuông cân tại C.. D.Tam giác ABC cân tại C.. Câu 40: Tính tích mô đun của tất cả các số phức z thỏa mãn 2z  1  z  1  i , đồng thời điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng tọa độ thuộc đường tròn có tâm I 1;1 và bán kính R  5. A. 1.. B. 3 5.. C. 5.. D. 3.. Câu 41: Xét ba điểm A, B, C theo thứ tự trong mặt phẳng phức biểu diễn ba số phức phân biệt z1 , z 2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3 . Biết z1  z2  z3  0 , khi đó tam giác ABC có tính chất gì? A.Tù. B.Vuông. C.Cân. D.Đều. Câu 42: Cho hai số thực b và c  c  0  . Kí hiệu A, B là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình z 2  2bz  c  0 . Tìm điều kiện của b và c để tam giác OAB là tam giác vuông (Olà gốc tọa độ) A. b2  2c. B. c  2b2. C. b  c. D. b2  c. 43.

<span class='text_page_counter'>(44)</span> Câu 43: Tính tích mô đun của tất cả các số phức z thỏa mãn 2 z  1  z  1  i , đồng thời điểmbiểu diễn của z trên mặt phẳng tọa độ thuộc đường tròn I 1;1 , bán kính R  5 . A. 5. B. 3 5. C.1. D.3. Câu 44: Cho H là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho 2 z  3z  5 và số phức z có phần ảo không âm. Tính diện tích hình H. 5 A.  2. 3 C.  2. B. 3. D. 5. LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN Câu 1: Đáp án A. Lời giải: Chuẩn hóa: : Vì w là số thực nên tachọn w  1  2. z  1  z  0,6624  0, 5623i 1  z3. 2. 0,6624  0, 5623i 1 1 Suy ra    0 2 2 2a  1 1  0,6624  0, 5623i 2.0,6624  1 1 z z. Câu 2: Đáp án D. Lời giải: Chuẩn hóa: w  1 . Theo đề ta có:. . .  x  12  y 2  4 x2  y 2  1  z 1  2 z    1  4 x2  y 2  y 2   x2  2 2 4    z 1  1  x  1  y  1 Thay vào PT2 ta được:  x  1  2. được x . . . 1  x2  1 . Dùng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE ta dò 4. 1 15 1 15 1 15 y z  iu  i 8 8 8 8 8 8. Câu 3: Đáp án B. Lời giải:. 44.

<span class='text_page_counter'>(45)</span> Chuẩn hóa: w  1 . Theo đề ta có:. . .  x  12  y 2  25 x 2  y 2  1 3 11 1 3 11 1  z 1  5 z   z  iu  i  a2  b2   2 2 50 50 50 50 25    z 1  1  x  1  y  1 Câu 4: Đáp án A. Lời giải: Chuẩn hóa: n  1, z1  1, z2  i , z3  i Câu 5: Đáp án A. Lời giải: Chuẩn hóa: z1  i , z2  i , z3  1 Câu 6: Đáp án A. Lời giải: Chuẩn hóa: z1 . 1 3 1 3  i , z2   i , z3  1 Suy ra P  0 2 2 2 2. Câu 7: Đáp án A. Lời giải: Chuẩn hóa: z1  1999; z2  1999; z3  1  i 19992  1 suy ra P  1999 Câu 8: Đáp án C. Lời giải:  1  z1     2 Chuẩn hóa: a  b  c  1   z   1    2 2. 3 i 2  P  4 . Đáp án C thỏa P  4 3 i 2. Câu 9: Đáp án A. Lời giải:  Thử đáp án:  Đáp án A: 45.

<span class='text_page_counter'>(46)</span> Với z . 1 1 17 17 1 , chọn x   y   , do đó z   i 9 9 72 72 8. Thay z vào ta được. 1  4  4 17i ( thỏa yêu cầu đề bài có phần thưc bằng 4 ) z z. Câu 10: Đáp án A. Lời giải: Chuẩn hóa: z1  i ; z2  1 do đó w . i 1  1 suy ra phần ảo của w bằng 0 1  i.1. Câu 11: Đáp án C. Lời giải:. . . 2. . Ta có: z 2  4  2 z  a2  b2  4  4a2 b2  4 a2  b2. . Chọn b  0  a2  4. . 2. .  a  1 . Thay a, b vào P ta  4a2  a  1  i 3 suy ra z  1  i 3   b  3  . được P  4 Thay z  1  i 3 vào đáp án C ta được kết quả là 4. Câu 12: Đáp án D. Lời giải: Chuẩn hóa: z1  1  2 . P. 1 1   z2  0, 5  0, 5i z2 z2  1. 1 0, 5  0, 5i 3 2   0, 5  0, 5i 1 2. Câu 13: Đáp án C. Lời giải: Chuẩn hóa: Vì w là số thực nên ta chọn w  1 . z  1  z  0, 5  0, 5 3i 1  z2. 46.

<span class='text_page_counter'>(47)</span> Suy ra. z 1 z. 2. 0, 5  0, 5 3i. . 1  0, 5  0, 5 3i. 2. . 1 2. Câu 14: Đáp án A. Lời giải:  1 3 i  z1    2 2 Chuẩn hóa:   P  1 1 3 z    i   2 2 2. Câu 15: Câu 16: Đáp án B. Giải: Chuẩn hóa z1 . 1 3 1 3  i , z2   i , z3  1 Suy ra P  0 2 2 2 2. Câu 17: Đáp án D. Giải: . Chuẩn hóa: w  1 . Theo đề ta có:. . .  x  12  y 2  4 x 2  y 2  1 15 1 15 1  z 1  2 z   z  iu  i  a2  b2   2 2 8 8 8 8 4    z 1  1  x  1  y  1 Câu 18: Đáp án B. Giải: Chuẩn hóa: w  1 . Theo đề ta có:. . .  x  12  y 2  25 x 2  y 2  1 3 11 1 3 11 1  z 1  5 z   z  iu  i  a2  b2   2 2 50 50 50 50 25    z 1  1  x  1  y  1 Câu 19: Đáp án D. 1 3 1 3 Lấy ví dụ z1  1, z2    i , z3    i 2 2 2 2. Câu 20: Đáp án A. Chọn z1  1, z2  i, z3  i 47.

<span class='text_page_counter'>(48)</span> 1 32 • VB.OAO '  O ' B.SOAO '   cm3  3 3. Câu 21: Đáp án B. Chứng minh công thức: . z1  z2  z2  z3  z3  z1  z1  z2  z3  z1  z2  z3 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2.  Ta có: z  z.z và z1  z2  ...  zn  z1  z2  ...  zn . Áp dụng tính chất này ta có vế trái:. . . . . .   z1  z2  z1  z2   z2  z3  z2  z3   z3  z1  z3  z1. .  z1 z1  z2 z2  z3 z3  z1 z1  z2 z2  z3 z3  z1 z2  z2 z1  z2 z3  z3 z2  z3 z1  z1 z3 2. 2. 2. .  .  .  z1  z2  z3  z1 z1  z2  z3  z2 z1  z2  z3  z3 z1  z2  z3. .  z1  z2  z3   z1  z2  z3  z1  z2  z3 2. 2. 2. 2. 2. 2.  z1  z2  z3  z1  z2  z3. . . 2. Câu 22: Đáp án A.  Giải  z1 z2  z2 z3  z3 z1   z1 .z2  z2 .z3  z3 .z1      z1  z2  z3  z1  z2  z3  .  P2  .  1999 2  z1  z1   1999 2  Mặc khác: z1  z2  z3  1999  z1 z1  z2 z2  z3 z3  19992   z2  z2   1999 2  z3  z3   1999 2 19992 19992 19992 19992 19992 .  .  .   z1 z2  z2 z3  z3 z1   z1 z2 z2 z3 z3 z1 2  Suy ra P    2 2 2 1999 1999 1999  z1  z2  z3    z1 z2 z3   P  1999.     19992   . Câu 23: Đáp án B. Giải:. 48.

<span class='text_page_counter'>(49)</span> . 1  5i  z  2 z42  3i  15 2 42   1  5i  z  3i  1  5i   z 2 42   1  5i  z  3i    1 z 2.  6. z  3 . 5i z  3i . 2 42 z. . . 2 2 2 42  6 z  3 . z  4.42  0  z  2 z. Câu 24: Đáp án B. Giải:  Đặt z  x  yi , 2z  i  2  iz  x2  y 2  1  Gọi A, B là hai điểm biểu diễn z1 , z2 .  Ta có z1  z2  OA  OB  AB  1  Suy ra AB  OA  OB hay tam giác OAB đều.  P  z1  z2  OA  OB  2OM  2.. 3  3 2. Câu 25: Đáp án D. Giải: b  0( Loai) 2 z z    Theo đề:   0  z  z 1  z z  z   0   2 1 z    1  z3 1  z3  2a. . . . . 1 1  2a   2 2a  1 2a  1 1 z 2a z. 2. Câu 26: Đáp án C. Giải:. 49.

<span class='text_page_counter'>(50)</span> 3w  i  1  a  1  i  a  2  2i  2a    i   1  b  Theo định lý Viet ta có:  3    w  i  2w  1  b  3  2a2 a 1 a  2   b   2a a 1   2 4 5  9 9 3       a  i  b    13  a  b   9 9  9 9 3 9 2 a  4  0 b  9   9 9 2. Câu 27: Đáp án A. Giải:. . . . .  z 2  4  2 z  a2  b2  4   2ab   4 a2  b2  0 2. 2.  Chuẩn hóa b  0  a4  4a2  16  0  a  1  i 3  z  1  i 3  P  4 2. 2    Thử đáp án: - ĐÁP ÁN A: P   1  i 3  2   4  Nhận  . Câu 28: Đáp án B. Giải:  Ta có: z1  z2  8  6i  z1  z2  10 2. 2. . 2.  z1  z2  z1  z2  2 z1  z2. 2.   52  z. 1. 2.  z2. 2. z . 1.  z2 2. . 2.  z1  z2  2.52  2 26. Câu 29: Đáp án B. Giải: z1  z2  z2  z3  z3  z1  z1  z2  z3  z1  z2  z3  2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 8 3. Câu 30: Đáp án A. Gọi M, N, K lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 , z2 ,  z1  z2  trong mặt phẳngphức..  OMK cân tại M và KMO  1200 .  OMN là tam giác đều.  z1  z2  MN  1 Câu 31: Đáp án A. 50.

<span class='text_page_counter'>(51)</span> Đặt z1  x  yi, z2  c  di  x, y, c, d .  . Ta có:. z1  3  x 2  y 2  9. z2  4  c 2  d 2  16 z1  z2  37   x  c    y  d   37  x 2  y 2  c2  d 2  2 xc  2 yd  37  xc  yd  6 2. Lại có:. 2. z1 x  yi  x  yi  c  di  xc  yd   yc  xd  i xd  yd yc  xd     2  i  a  bi z2 c  di c2  d 2 c2  d 2 c  d 2 c2  d 2 3    bi 8 2. Mà. z z1 3 9 9  3 27 3 3  1   a 2  b2  a 2  b2   b2       b z2 z2 4 16 16  8  64 8. Vậy: b . 3 3 8. Câu 32: Đáp án A. Giả sử u  a  bi với a, b  . Từ giả thiết đầu bài z  w  2 z  w . Ta có hệ sau:.  z 1  1  2  u  2 w 2 3 1 2   a b  4    a  1  a 2  2a  1   a    4 8  z  w  u 1  a  12  b 2  1   w  Câu 33: Đáp án A.. . Sử dụng công thức quen thuộc z1  z 2  z1  z 2  2 z1  z 2 2. 2.  2  z1  z 2  1  z1  z 2  2 12  12   Áp dụng (*) với    z1  z 2  3 Mặt khác P . 2.  3. 2. 2.  (*(.  1  z1  z 2  1. z z 1 1 1 1 1 z1  z 2   z1  z 2   . z1  z 2  1 2  3 3 3 3 3 3. Câu 34: Đáp án C.. 51.

<span class='text_page_counter'>(52)</span> 2 2 Đặt z  x  yi . Ta có P   x  2   y2   x 2   y  1   4x  2y  3  . Mặt khác z  3  4i  5   x  3   y  4   5 x  3  5 sin t; y  4  5 cos t 2. Suy ra P  4 5 sin t  2 5 cos t  23. 2.  10  4 5 sin t  2 5 cos t  10. Do đó 13  P  33  w  1258 Câu 35: Đáp án A. Đặt w  x  yi . Theo Viet ta có: z1  z2  a  3w  2i  4   3x  4   3y  2  i là số thực nên y. 2 4 2    . Lại có z1z 2  b   x  i  2i  2x  i  4  là số thực. 3 3 3   . 4  4  4 16  Suy ra  x  i  2x  4  i   x  2x  4   i  x  4   là số thực suy ra x  4 3  3  3 9  2 4 4 8 10 Do đó z1  4  i  2i  4  i; z 2  4  i  T  3 3 3 3 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN – NINH THUẬN Câu 36: Đáp án A. Ta có (z1  z2  z3 )2  z12  z22  z32  2(z1z 2  z 2 z3  z3z1 )  z12  z 22  z32  2(z1z 2  z 2z3  z3z1 ). Mặt khác | z1 | 1 | z1 |2  1  z1.z1  1 , tương tự z 2 .z 2  1 , z3 .z3  1 nên 1 1 1    z1  z 2  z3 z1 z 2 z3. Khi đó. 1 1 1 z1  z 2  z32  2z1 z 2 z3      2z1 z 2 z3 (z1  z 2  z3 )  2z1 z 2 z3 (z1  z 2  z3 )  0  z1 z 2 z3  Vậy | z12  z22  z32 || z1z2  z2 z3  z3z1 | Câu 37: Đáp án A. 52.

<span class='text_page_counter'>(53)</span> Do z1  z2  z3  0 và z1  z2  z3  1 nên các điểm biểu diễn của z1 , z2 , z3 trên mặt phẳng tọa độ Oxy là A,B,C đều thuộc đường tròn đơn vị và ABC tạo thành tam giác đều. Do các phép toán cộng và nhân số phức phụ thuộc vào vị trí tương đối của các điểm biểu diễn nên ta có thể cho: z1 1 , z 2. 1 2. 1 2. 3 i , z3 2. 3 i. 2. Thay vào ta được z12  z22  z32  0 và z1 z2  z2 z3  z3 z1  0 . Câu 38: Đáp án B. Do z1  z2  z3  1 nên z1 . 1 1 1 ; z2  ; z3  . Từ đó: z1 z2 z3. 0  0  z1  z2  z3  z1  z2  z3 . 1 1 1 z1 z2  z2 z3  z3 z1    z1 z2 z3 z1 z2 z3. Suy ra : z1 z2  z2 z3  z3 z1  0 . Do đó: A  z12  z22  z32   z1  z2  z3   2  z1 z2  z2 z3  z3 z1   0 2. Câu 39: Đáp án A. Giả sử z1  z2  z3  R . Khi đó A,B,Cnằm trên đường tròn tâm O  0;0  bán kính R. Do z1  z2  0 nên hai điểm A và B đối xứng nhau qua O. Như vậy điểm C nằm trên đường tròn đường kính AB hay tam giác ABC vuông tại C. Câu 40: Đáp án C. Đặt z  x  yi  x, y .  . Khi đó:. 2z  1  z  1  i  2x  1  2yi  x  1  1  y  i.   2x  1  4y2   x  1  1  y   3x 2  3y2  6x  2y  1  0 1 2. 2. 2. Mà điểm biểu diễn Mz   C  :  x  1   y  1  5  2  2. 2.  x  0; y  1  z1 z 2  5. Từ (1), (2) suy ra:   x  2; y  1 Câu 41: Đáp án D. Ta sẽ chỉ ra z1  z2  z2  z3  z1  z3 , 53.

<span class='text_page_counter'>(54)</span> . ta có z1  z2  z2  z1  2 z1  z2 2. 2. 2. 2.  z z 1. 2 2.  3 z3. 2. Làm tương tự ta có điều phải chứng minh, khi đó ABC là tam giác đều. Câu 42: Đáp án B. Phương trình z 4  2bz  c  0 có hai nghiệm phức nên  '  b2  c  0 Với điều kiện b2  c  0 , phương trình có 2 nghiệm z1  b   '  b  i c  b2 và z2  b   '  b  i c  b2.  . . OAB có O  0;0  ; A b;  c  b2 ; B b; c  b2. . Suy ra OA  OB  b2  c  b2  c ; AB  2 c  b2 Do OAB cân tại O nên giả sử OAB thì vuông tại O, suy ra :. AB  OA 2  2 c  b2  2c  4c  4b2  2c  2c  4b2  c  2b2 Câu 43: Đáp án A. Gọi z  x  yi với x, y . .. Ta có: 2 z  1  z  1  i  2 x  1  2 yi  x  1  1  y  i.  2 x  1. 2.  4 y2 .  x  1  1  y  2. 2.  3x 2  3 y 2  6 x  2 y  1  0 1. Mặt khác điểm biểu diễn của z thuộc đường tròn đã cho nên  x  1   y  1  5  2  2. 2. Giải (1) và (2) ta được:  x; y    0; 1 ,  2; 1  z  i, z  2  i Do đó tích các môđun là. 0 1 4 1  5 .. Câu 44: Đáp án A.. x2 Gọi z  x  yi  x, y   . Từ giả thiết suy ra  y 2  1, y  0 . Khi đó H là một nửacủa hình Elip 25 5. có trục lớn bằng 10, trục bé bằng 2 và S H  2 1  0. x2 5 dx   . 25 2 54.

<span class='text_page_counter'>(55)</span> BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 11.C 21.B 31.A 41.D. 2.D 12.D 22.A 32.A 42.B. 3.B 13.C 23.B 33.A 43.A. 4.A 14.A 24.B 34.C 44.A. 5.A 15. 25.D 35.A. 6.A 16.B 26.C 36.A. 7.A 17.D 27.A 37.A. 8.C 18.B 28.B 38.B. 9.A 19.D 29.B 39.A. 10.A 20.A 30.A 40.C. 55.

<span class='text_page_counter'>(56)</span>