De 23

<span class='text_page_counter'>(1)</span>www.khoabang.com.vn. LuyÖn thi trªn m¹ng. ________________________________________________________ C©u I. 1) Hàm số f(x) xác định với mọi x. f '(x) = n  x n −1 − (c − x)n −1  Ta cã : f'(x) = 0 ⇔ x n −1 = (c − x)n −1 (1) §Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh (1) ta xÐt 2 tr−êng hîp : n ch½n vµ n lÎ. KÕt qu¶ lµ ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm duy nhÊt lµ x =. c . 2 f ''(x) = n(n − 1) x n −2 + (c − x)n −2 . c c f ''   = 2n(n − 1)   2 2. Suy ra f(x) đạt cực tiểu tại x =. n −2. >0. n. c c c (khi đó f   = 2   ). 2 2 2. B¶ng biÕn thiªn : c 2. −∞. x. −. f'(x). +∞. 0. +. +∞. f(x). +∞ c f  2. Kết quả của việc khảo sát chứng tỏ với mọi x và c > 0 ta đều có : n. c x n + (c − x)n ≥ 2   . (2) 2. 2) Lấy x = a, c = a + b, trong đó a, b là hai số tùy ý sao cho a + b > 0 thì (2) trở thành a+b a + b ≥ 2   2  n. n. n. n. hay. a n + bn  a + b  ≥  . 2  2 . Hiển nhiên rằng bất đẳng thức cũng đúng cả khi a + b = 0. §¼ng thøc x¶y ra khi n = 1 hoÆc khi a = b hoÆc khi a = − b vµ n lÎ. C©u II.. 1) Lập ph−ơng hai vế ph−ơng trình đã cho ta đ−ợc :. x + 34 − 3 3 x + 34 3 x − 3 ( 3 x + 34 − 3 x − 3 )  x + 3 = 1. 3 2 hay x + 31x − 102 = 12. LËp ph−¬ng hai vÕ ph−¬ng tr×nh cuèi nµy ta ®−îc :. x2 + 31x − 102 = 1728. hay. x2 + 31x − 1830 = 0. Gi¶i ph−¬ng tr×nh bËc hai nµy ta ®−îc x = 30 vµ x =. 61.. Cả hai giá trị đó là nghiệm của ph−ơng trình đã cho. 2) Gọi α, β, γ , δ là các giá trị mà tang của chúng bằng các số đã cho. Giả sử α, β, γ, δ đ−ợc sắp xếp theo thứ tự tăng, khi đó :.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> www.khoabang.com.vn. LuyÖn thi trªn m¹ng. ________________________________________________________ −. π π <α≤ β ≤γ≤δ< <α+π. 2 2. Các điểm β, γ, δ chia khoảng [α ; α + π] thành 4 đoạn. Có ít nhất một trong các đoạn đó có độ dài π . Có thể chọn tang của các mút trái và phải của đoạn đó làm x và y. Thật vậy, nếu 4 π ch¼ng h¹n β − α ≤ th× víi chó ý r»ng β − α ≥ 0 ta cã 0 ≤ tg(β − α) ≤ 1 vµ 4 tgβ − tgα x−y = tg(β − α) = 1 + tgβ tgα 1 + xy π Tr−êng hîp (α + π) − δ ≤ cần sử dụng đẳng thức 4 tg(α + π − δ) = tg (α − δ).. kh«ng v−ît qu¸. C©u III. §Æt ®iÒu kiÖn : cosx ≠ 0 ; cosy ≠ 0. Ta biến đổi ph−ơng trình thứ hai của hệ đã cho thành. 3sinxcosy − sinycosx = 0.. Thay giá trị của sinx cosy trong ph−ơng trình thứ nhất của hệ đã cho vào đẳng thức vừa nhận đ−ợc ta có hÖ : 1 4 3 cosxsiny = 4. sinxcosy =. (1). céng, trõ tõng vÕ hai ph−¬ng tr×nh cña hÖ ta ®−îc : sin(x + y) = 1 sin(x − y) = − Từ đó. 1 2. π + 2kπ 2 π x − y = − + 2lπ 6. (2). x+y=. vµ. π + 2kπ 2 5π x − y = − + 2lπ 6. (3). x+y=. Tõ hÖ (3) ta cã :. (4). π + (k + l )π , 6 π y = + (k − l )π (k, l ∈ Z) 3. x=. tháa m·n ®iÒu kiÖn. Tõ hÖ (4) ta cã : x=−. tháa m·n ®iÒu kiÖn.. 2π π + (k + l )π , y = + (k − l )π (k, l ∈ Z) 3 6.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ________________________________________________________________________________ p 3B B p Þ C = + (1) 2 2 2 2 ö÷ æ 3B B B sinA = cos = cos ççç 4cos 2 - 3÷÷; ÷ø 2 2 çè 2. C©u IV. Ta cã : A =. sinB = 2sin B cos B ; sinC = cos B . 2 2 2 áp dụng định lí hàm số sin ta có: a ö Bæ B cos çç 4cos2 - 3 ÷÷÷ ç ÷ø 2è 2. =. b c Û = B B B cos cos 2sin 2 2 2. a b = c. = B B 4cos2 - 3 2sin 2 2 Theo tÝnh chÊt tû lÖ thøc ta ®ûîc: a + b =cÞ æç B 2 Bö ÷ 4ç1 - sin ÷ - 3 + 2sin èç 2 ÷÷ø 2 æ ö B B a + b = c çç - 4sin 2 + 2sin + 1÷÷÷. çè ÷ø 2 2 Do (1) ta cã: B p A B p B 1 Þ0< = < Þ 0 < sin < Þ 2 6 3 2 6 2 2 B 5 2 B 1 < - 4sin + 2 sin + 1 £ . 2 2 4 VËy : a + b £. 5 c. 4. C©u Va. 1) Ta cã ö÷ æ b ö÷ æa P =ççç ,0, c÷÷, Qççça, , o÷÷, ÷ø çè 2 ÷ø çè 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ________________________________________________________________________________ æa ö æ cö R =çç , b, o÷÷÷, S = çç0, b, ÷÷÷. çè 2 ç ÷ø è 2 ÷ø ®. §ûêng th¼ng PR ®i qua P vµ cã vect¬ chØ phû¬ng PR = (0 ; b ; -c), nªn cã phû¬ng tr×nh tham sè ì ïx = a ï ï 2 ï ï y = bt í ï ïz = c - ct ï ï ï î ® æ b cö §ûêng th¼ng QS ®i qua Q vµ cã vect¬ chØ phû¬ng QS = çç-a; ; ÷÷÷ çè 2 2 ÷ø. nªn cã phû¬ng tr×nh tham sè ì ï ïx = a - at' ï ï ï ïy = b + b t' í 2 2 ï ï ï ïz = c t' ï ï 2 î ®. ®. 2) PR^ QS Û PR = QS = 0 Û. b2 c 2 = 0 Û b = c. 2 2. 3) PR vµ QS c¾t nhau khi vµ chØ khi tån t¹i t vµ t’ nghiÖm hÖ phû¬ng tr×nh ìïa ï = a - at' ï2 ï ï ïbt = b + b t' í 2 2 ï ï ï ïc - ct = c t' ï ïî 2 æa 3 1 3b c ö÷ HÖ nµy cã nghiÖm t = , t’ = . Suy ra c¸c ®ûêng th¼ng PR vµ QS c¾t nhau t¹i ®iÓm I = çç , , ÷÷. çè 2 4 2 4 4 ÷ø ®. ®. 4) Gäi a lµ gãc gi÷a c¸c vect¬ PR vaQS . Ta cã.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ________________________________________________________________________________ ®. cosa =. ®. PR . QS ®. b2 - c 2. =. ®. b2 + c 2 .. |PR| . |QS|. .. 4a 2 + b2 + c 2. V× 0 £ a £ π, suy ra 2 a2 b2 + b2 c2 + c2 a2. sinα = 1 - cos 2 a =. b 2 + c 2 . 4a 2 + b 2 + c 2. ,. từ đó suy ra diện tích của tứ giác PQRS: 1 ® ® S = ` . PR . QR .sin a = 2. a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 2. C©u Vb. 1) Ta cã (AB’C’D’) ^ SC nªn AB’ ^ SC ; mÆt kh¸c (SAB) ^ BC (vì BC ^ AB và BC ^ SA) nên AB’ ^ BC, do đó AB’ ^ (SBC). Từ đó suy ra AB’ ^ B’C’.Chøng minh hoµn toµn tû¬ng tù ta cã AD’ ⊥ D’C’.VËy tø gi¸c AB’C’D’ cã c¸c gãc B’, D’ vu«ng. 2) Gäi D lµ giao tuyÕn cña c¸c mÆt ph¼ng (ABCD) vµ (AB’C’D’). V× D thuéc (ABCD) nªn D ⊥ SA ; v× D thuéc (AB’C’D’) nªn D ⊥ SC; vËy D^ (SAC), do đó D^ AC. Vì D đi qua điểm cố định A và D^ AC cố định nên D cố định. Hiển nhiên rằng 4 điểm A, B, C, D nằm trên mặt cầu (cố định) đỷờng kính AC. Ta có AC’^ C’C, vậy C’ cũng nằm trên mÆt cÇu Êy. Mặt khác, ta thấy AB’^ (SBC) nên AB’ ^ B’C và AD’ ^ (SDC), do đó AD’ ^ D’C. Vậy B’ và D’ cũng nằm trên mặt cầu đỷờng kính AC cố định. 3) Gọi cạnh của hình vuông đáy là a. ^. V× BC⊥(SAB) nªn CSB = x..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ________________________________________________________________________________ Ta cã : V = VS.ABCD = 1 a2 . SA; 3 V’ = VS.AB’C’D’ = 1 SC’ . dt(AB’C’D’). 3 Vì AB = AD nên các tam giác vuông ASB và ASD bằng nhau. Mặt khác, AB’ ^ SB, AD’ ^ SD, do đó SD’ = SB’. Xét tam giác SBD ta có : B’D’//BD, do đó B’D’ ^ (SAC) và vì vậy B’D’ ^ AC’. Vậy dt(AB’C’D’) = 1 AC’ . B’D’. 2 Ta cã : SB = acotgx ; SC = BC = a ; sinx sinx 2 SA = SB2 - AB2 = a cos2x ; SB’= SA = acos2x ; sinxcosx SB sinx 2 a 2 cos2x ; SC’ = SA = acos2x ; B’D’ = BD . SB' = cos2 x SB SC sinx. AC’ =. SA . AC = a 2cos2x ; SC. 3 3 2 V' cos 2 2x do đó V = a cos2x ; V' = a cos 2x cos2x . VËy = V cos 2 x 3sinx 3sinxcos2 x. C¸ch kh¸c : Vì ABCD là hình vuông, (SAC) là mặt phẳng đối xứng của hình chóp nên ta có: V 2VSAB'C' V' = = SAB'C' . V 2VSABC VSABC MÆt kh¸c ta cã: SB' . SC' VSAB'C' SA SB' SC' . = . . = SB . SC VSABC SA SB SC Ta còng tÝnh SB, SB’, SC, SC’ nh c¸ch trªn vµ thay vµo th× ® ûîc cïng kÕt qu¶..

<span class='text_page_counter'>(7)</span>