nghiem nguyen

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN PhÇn I: Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn A. Tãm t¾t lý thuyÕt. 1.Sè 2 lµ sè nghuyªn tè ch½n duy nhÊt. 2.Phơng trình đợc đa về dạng f(x).g(x) = k với f(x) và g(x) là các đa thức hệ số nguyên. Ta ph©n tÝch k ra thõa sè nguyªn tè råi gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh.  f ( x) m   g ( x ) n víi m.n = k.. 3.Phơng trình đối xứng các ẩn của x, y, z.....Khi tìm nghiệm nguyên dơng ta có thể giả sử 1  x  y  z ..... 4.Kh«ng tån t¹i sè chÝnh ph¬ng n»m gi÷a hai sè chÝnh ph¬ng liªn tiÕp. B. c¸c d¹ng to¸n Thêng gÆp. D¹ng 1: Sö dông phÐp chia hÕt vµ chia cã d. Hai vÕ cña ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn khi chia cho cïng mét sè cã sè d kh¸c nhau thì phơng trình đó không có nghiệm nguyên. 2 2 VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh sau. x 2 y (1) Gi¶i: Râ rµng x = y = 0 lµ nghiÖm cña (1)..  x0 y0   ,  1. NÕu x0 , y0 0 vµ ( x0 , y0 ) lµ nghiÖm cña (1). Gäi d ( x0 , y0 ) , suy ra  d d  2. 2. 2. x x x  y  y  x 2 y   0  2  0   0 2  0  4  0 d ch½n  d  d ch½n, v« lý. d   d  Ta cã: 2 0. 2 0. VËy ph¬ng tr×nh (1) chØ cã nghiÖm nguyªn duy nhÊt lµ (0,0). 2 2 VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh sau. x  2 y 5 (1) Gi¶i:. 2 y 2  x 2  5  5  y 5   x 2  2 y 2  25 1)NÕu x5 th× v« lý. 2. 2. 2. 2. 2)NÕu x  5 th× tõ y  5 ta cã x 1(mod 5) vµ y 1(mod 5) suy ra x  2 y 1, 3(mod 5) . VËy ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn. VÝ dô 3: Chøng minh r»ng tæng b×nh ph¬ng cña ba sè nguyªn trong phÐp chia cho 8 2 2 2 không thể có d là 7 từ đó suy ra phơng trình 4 x  25 y 144 z 2007 không có nghiệm nguyªn. Gi¶i: 2 2 2 2 Gi¶ sö: x  y  z 7(mod 8) mµ x 0, 1, 2, 3, 4(mod8) nªn x 0,1, 4(mod8) suy ra.

<span class='text_page_counter'>(2)</span>  7(mod 8) y 2  z 2 7, 6,3(mod 8) nhng y 2  z 2 0,1, 2, 4,5, (mod8) v« lý. VËy x 2  y 2  z 2  2 2 2 Phơng trình đã cho có thể viết: (2 x)  (5 y )  (12 z ) 6 125  7 Từ đó suy ra phơng trình kh«ng cã nghiÖm nguyªn. 4 4 4 VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau trªn tËp sè nguyªn: x1  x2  ....  x7 2008. Gi¶i:. 1)NÕu x = 2k th× x16 . 4 2 2 2)NÕu x = 2k + 1 th× x  1 ( x  1)( x 1)( x  1)16, v× ( x  1)( x  1)8 vµ ( x 1)2 . 4 4 4 4 Vậy x 0;1(mod16) Do đó khi chia tổng x1  x2  ....  x7 cho 16 có số d không vợt quá 7,. trong khi đó 2008 8(mod16) . Suy ra phơng trình không có nghiệm nguyên. D¹ng 2: Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch. T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: a( x+ y ) + b = cxy ( víi a, b, c  Z ) (1) Ta cã: (1).  cxy   ay b  y (cx  a ) . a a2 (cx  a )   b c c.  (cx  a )(cy  a ) a 2  bc. cx  a m  2 Phân tích a  bc m.n với m, n  Z, sau đó lần lợt giải các hệ: cy  a n. VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh: 2( x  y)  16 3 xy Gi¶i: Ta cã: 2( x  y ) 16 3xy  3xy  2 x  2 y 16  y (3x  2) . 2 4 (3 x  2) 16   (3 x  2)(3 y  2) 52 3 3. Giả sử: x  y khi đó 1 3 x  2 3 y  2 và 52 = 1.52 = 2.26 = 4.13 ta có các hệ sau: 3x  2 1 ;  3 y  2 52. 3 x  2 2 ;  3 y  2 26. 3x  2 4 ;  3 y  2 13. Giải các hệ trên ta đợc các nghiệm nguyên dơng của phơng trình là: ( 1, 18); ( 18, 1); ( 2, 5); ( 5, 2); x 2 VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: (2 x  5 y 1)(2  y  x  x) 105. Gi¶i:. 2. V× 105 lµ sè lÎ nªn 2 x  5 y  1 lÎ suy ra y ch½n mµ x  x x( x  1) ch½n nªn 2 lÎ  x = 0. Víi x = 0 ta cã ph¬ng tr×nh ( 5y + 1 ) ( y + 1 ) = 21.5 Do ( 5y + 1, 5 ) =1 nªn x. 5 y  1 21 5 y  1  21  y 4    y  1 5 hoÆc  y  1  5 Thö l¹i ta thÊy x = 0, y = - 4 lµ nghiÖm nguyªn cña ph-. ¬ng tr×nh..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> VÝ dô 3: T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã c¸c c¹nh lµ sè nguyªn vµ cã diÖn tÝch b»ng chu vi. Gi¶i: Gäi x, y, z lµ c¸c c¹nh cña tam gi¸c vu«ng : 1 x  y  z . Ta cã:  x 2  y 2  z 2 (1)   xy 2( x  y  z )(2) 2 2 2 Tõ (1) ta cã: z ( x  y )  2 xy ( x  y )  4( x  y  z ).  ( x  y ) 2  4( x  y )  4 z 2  4 z  4  ( x  y  2) 2 ( z  2) 2  x  y  2  z  2 do ( x  y 2) Thay z  x  y  4 vào (2) ta đợc:  x   y  ( x  4)( y  4) 8    x     y . 4 1 4 8.   x 5   y 12    x 6 4 2  4 4   y 8. vËy c¸c cÆp: ( x, y, z ) (5,12,13);(6,8,10);. VÝ dô 4: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: p( x  y ) xy. víi p lµ sè nguyªn tè. Gi¶i: Ta cã:. p( x  y ) xy  xy  px  py  p 2  p 2   x  p   y  p   p 2. 2 2 2 Mà p  p. p ( p).( p) 1. p ( p ).( 1) .Từ đó phơng trình đã cho có các nghiệm nguyên 2. 2. 2. 2. lµ: ( x, y ) (0, 0);(2 p, 2 p);( p 1, p  p);( p  p, p 1);( p  p , p  1);( p  1, p  p ); Dạng 3: Phơng trình đối xứng. Để tìm nghiệm nguyên của phơng trình đối xứng ta giả sử 1  x  y  z ..... rồi chặn trªn mét Èn. VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x  y  z xyz (1). Gi¶i: V× x, y ,z cã vai trß nh nhau nªn ta gi¶ sö 1  x  y  z . Tõ (1) suy ra: 1. 1 1 1 3    2  x 1. xy yz zx x.  y  1 1 1  y  z  yz  ( y  1)( z  1) 2     z  1 2 Víi x = 1 ta cã.  y 2   z 3 .. VËy (1) cã nghiÖm nguyªn d¬ng ( x, y, z ) = ( 1, 2, 3 ) vµ c¸c ho¸n vÞ cña nã. VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: 5( x  y  z  t )  10 2 xyzt (1). Gi¶i: V× x, y ,z cã vai trß nh nhau nªn ta gi¶ sö x  y  z  t 1 . Tõ (1) suy ra:.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2. 5 5 5 10 30      xyz xzt xyt xyzt t 3.  t 1  t 2 . .  z 1 5 5 5 15 30 2 5( x  y  z )  15 2 xyz  2      2  z 15   z 2. xy yz xz xyz z  z 3 t  1 *)Víi ta cã:  2 x  5 65  2 y  5 1 5( x  y )  20 2 xy  (2 x  5)(2 y  5) 65     2 x  5 13   2 y  5 5.   x 35    y 3   x 9    y 5. 1)Víi z = 1 ta cã: Ta cã c¸c nghiÖm( x, y, z, t) =( 35, 3, 1, 1 ),( 9, 5, 1, 1 ) vµ c¸c ho¸n vÞ cña chóng, 2) Víi z = 2, z= 3, ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn d¬ng. *) Víi t 2 , ta cã:. 5( x  y  z )  20 4 xyz  4 . 5 5 5 20 35 35     2  z2   9 xy yz xz xyz z 4.  z 2. v× ( z t 2) .. Khi đó: 5( x  y )  30 8 xy  (8 x  5)(8 y  5) 265. Do x  y  z t 2 nªn 8 x  5 8 y  5 11 , mµ 265 = 53.5 Trêng hîp nµy ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn d¬ng. Ví dụ 3: Một tam giác có số đo độ dài của đờng cao là mhững số nguyên dơng và đờng tròn nội tiếp tam giác có bán kính bằng 1. Chứng minh tam giác đó là tam giác đều. Gi¶i: Đặt a = BC, b = CA, c = AB. Gọi độ dài các đờng cao ứng với các cạnh a, b, c của tam giác. Bán kính đờng tròn nội tiếp bằng 1 nên x, y, z > 2. Giả sử x  y  z > 2. 1 1 1 S  a.x  b. y  c.z (1) 2 2 2 DiÖn tÝch tam gi¸c ABC: 1 S S AOB  S BOC  S AOC  ( a  b  c)(2) 2 MÆt kh¸c: a.x b. y c.z a  b  c  a  b  c . Tõ (1) vµ (2) Suy ra: . a b c a b c    1 1 1 1 1 1   x y z x y z. 1 1 1 3 1 1 1   1   z 3  z 3.    1. x y z z Thay z = 3 vµo x y z ta đợc:.  2 x   1 1 2 2 y     3( x  y ) 2 xy  (2 x  3)(2 y  3) 9    2 x  x y 3   2 y . 3 9 3 1.   x 6 ( Loai)  y  2      x 3 3 3  3 3   y 3. Vậy x = y = z = 3, khi đó a = b = c. Vậy tam giác ABC là tam giác đều. D¹ng 4: Ph¬ng ph¸p lo¹i trõ..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 2 2 TÝnh chÊt: NÕu cã sè nguyªn m sao cho m  n  (m  1) th× n kh«ng thÓ lµ sè chÝnh ph¬ng. 2 VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: 1! 2! 3! 4!....  x !  y . Gi¶i:. Víi x  5 th× x! cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0 nªn: 1! 2! 3! 4! 5!....  x ! 33  5! ...  x !. Có chữ số tận cùng là 3 nên không thể là số chinh, Vậy x  5 thì phơng trình đã cho kh«ng cã nghiÖn nguyªn d¬ng. Víi 1  x < 5, b»ng c¸ch thö trùc tiÕp x = 1, 2, 3, 4 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (1,1) vµ (3,3). 6 3 4 VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x  3x  1  y . Gi¶i:. Râ rµng x = 0, y =  1 lµ nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh. +)Víi x > 0 ta cã: ( x 3  1) 2  x 6  2 x 3  1  x 6  3 x 3  1  y 4  ( x 3  2) 2  x 3  1  y 2  x 3  2 ( v« lý ).. +)Víi x  - 2 th× :. ( x 3  2) 2  y 4  ( x 3  1)2  x 3  2  y 2  x 3  1. ( v« lý ).. 4. +)Víi x = - 1 th× : y  1 , ( v« lý ). Vậy phơng trình đã cho có hai cặp nghiệm ( 0; 1 ); ( 0; -1 ). 2 2 4 4 VÝ dô 3: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x  ( x 1)  y  ( y 1) . Gi¶i: Khai triển và rút gọn hai vế ta đợc:. x( x  1)  y 4  2 y 3  3 y 2  2 y  x 2  x  y 2 ( y  1)2  2 y ( y  1).  x 2  x  1 ( y 2  y  1) 2 (1) 2 2 2 2 +)NÕu x > 0 th× tõ x  1  x  x  ( x  1) . suy ra 1  x  x kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng nªn (1) kh«ng cã nghiÖm nguyªn. 2 2 2 +)NÕu x < - 1 th× tõ ( x 1)  1  x  x  x suy ra (1) kh«ng cã nghiÖm nguyªn..  y 0 y 2  y  1 1    y  1 . +)NÕu x = 0 hoÆc x = - 1 th× tõ (1) suy ra. VËy ph¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm nguyªn ( x; y ) = ( 0; 0 ); ( 0; -1 ); ( -1; 0 ); (-1; -1 ); D¹ng 5: Ph¬ng ph¸p xuèng thang. 3 3 3 VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x  3 y  9 z 0. Gi¶i:. x ,y ,z Giả sử  0 0 0  là nghiệm nguyên của phơng trình khi đó x0 3 đặt x0 3 x1. thay x0 3x1. vào 3 3 3 (1) ta đợc: 9 x1  y0  9 z0 0  y0 3. đặt y0 3 y1  z0 3, khi đó:.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 9 x13  27 y13  3z03 0  3x13  9 y13  z03 0  z0 3. đặt z0 3 z1 khi đó: x13  3 y13  9 z13 0 .  x0 y0 z0   , ,  VËy  3 3 3  còng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.  x0 y0 z0  k, k, k Quá trình này tiếp tục thì đợc:  3 3 3.    lµ c¸c nghiÖm nguyªn cña (1) víi mäi k ®iÒu nµy. chØ x¶y ra khi x0  y0 z0 0. VËy ( 0, 0, 0 ) lµ nghiÖm duy nhÊt cña phơng trình đã cho. 2 2 2 2 VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x  y  z  t 2 xyzt (1). Gi¶i:. x , y , z ,t Giả sử  0 0 0 0  là nghiệm nguyên của phơng trình khi đó: x0 2  y0 2  z0 2  t0 2 2 x0 y0 z0t0 (1).. lµ sè ch½n nªn trong c¸c sè x0 , y0 , z0 , t0 ph¶i cã sè. ch½n sè lÎ (0; 2 hoÆc 4 ). 2 2 2 2 +)Nếu x0 , y0 , z0 , t0 đều lẻ thì ( x0  y0  z0  t0 )4 , trong khi đó 2 x0 y0 z0t0  4 . 2 2 2 2 +)Nếu trong các số x0 , y0 , z0 , t0 có hai số lẻ thì ( x0  y0  z0  t0 ) 2(mod 4) , trong khi đó. 2 x0 y0 z0t0 4 . VËy x0 , y0 , z0 , t0 ph¶i lµ c¸c sè ch½n,. đặt x0 2 x1. , y0 2 y1. , z0 2 z1. , t0 2t1. phơng trình trở thành: x12  y12  z12  t12 8 x1 y1 z1t1 (1). 2 2 2 2 Lý luËn t¬ng tù ta cã: x2  y2  z2  t2 8 x2 y2 z2t2 (1).. Víi. x2 . x y z t x1 y z t , y2  1 , z 2  1 , t 2  1 , xn  0n , yn  n0 , zn  0n , tn  0n , 2 2 2 2 tiÕp tôc ta cã: 2 2 2 2. Lµ sè nguyªn v¬i mäi n, ®iÒu nµy chØ x¶y ra khi x0  y0 z0 t0 0. VËy ( 0, 0, 0, 0 ) lµ nghiệm duy nhất của phơng trình đã cho. D¹ng 6: H¹n chÕ tËp hîp chøa nghiÖm dùa vµo ®iÒu kiÖn cña c¸c Èn. VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh: Gi¶i: Ta thÊy 0 x, y 50 tõ. y  50  2. x.. x  y  50.. ta cã y 50  x  2 50 x 50  x  10 2 x . 2. 2. 2. V× y nguyªn nªn 2 x 4k  x 2k .(k  Z ) víi 2k 50  k 25.(k  Z )  k chØ cã thÓ nhận các giá trị: 0; 1; 2; 3; 4; 5. Lựa chọn k trong các số trên để thoả mãn phơng trình ta đợc các nghiệm: ( x; y ) (0;50);(2;32);(8;18);(18;8);(32; 2);(50;0) . D¹ng 7: Mét sè d¹ng kh¸c. 2 2 VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: 3 x  5 y 12(1)..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Gi¶i: 2 2 2 2 Ta cã: (1)  3( x  1) 5(3  y ). Do (3, 5) = 1 nªn ( x  1)5. vµ (3  y )3. 2 2 §Æt x  1 5k. , 3  y 3l. Ta cã: 3.5k 5.3l  k l (k , l  Z ) . 2  x 5k  1 0   2  y 3  3l 0. 1  k  5  k l 1  l 1 . VËy x =  2, y = 0.. Do đó: Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm nguyªn ( 2, 0 ); ( -2, 0 ).. 2 2 VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x  4 xy  5 y 16. Gi¶i: 2 2 2 2 Tac cã: x  4 xy  5 y 16  ( x  2 y )  y 16 ..  x  2 y 4  x  2 y 0   V×: 16 4  0 nªn  y 0 hoÆc  y 4 2. 2. Giải các hệ phơng trình trên ta đợc các nghiệm nguyên của phơng trình là: ( x; y ) (4;0);(  4;0);(8; 4);(  8;  4); 2 2 VÝ dô 3: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: 3( x  xy  y )  x  8 y. Gi¶i: 2 2 Phơng trình đã cho đợc viết lại là: 3 x  (3 y  1) x  3 y  8 y 0(1) . 2 2 2 Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm khi vµ chØ khi:  (3 y  1)  12(3 y  8 y ) 0   27 y  90 y  1 0.. .  Do y nguyªn nªn +)Víi y = 0 ta cã x = 0. +)Víi y = 1 ta cã x = 1. +)Với y = 2 và y = 2 ta có không tìm đợc x nguyên. VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm nguyªn lµ ( x ; y ) = ( 0 ; 0 ); ( 1 ; 1 ); PhÇn II: Bµi tËp D¹ng 1: Sö dông phÐp chia hÕt vµ chia cã d. Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn tËp sè nguyªn. 0  y 3  y  0;1; 2;3. 2 2 a) x  3 y 17 . x. 2. 2. 2 2 b) x  5 y 17 . 2. 2. 2. 2 2 c) x  2 y 1 . 2. 2. d) 2  12  y  3 . e) 15 x  7 y 9 . f) x  2 x  4 y 37 . D¹ng 2: Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch. Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn tËp sè nguyªn. a) 5( x  y )  2 3xy . 2. 2. b) 2( x  y ) 3xy . 2. 2. 2 2 c) x  y 91 . 2. 2. d) x  x  6  y . e) x  y 169 . e) x  y 1999 . Dạng 3: Phơng trình đối xứng. T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña c¸c ph¬ng tr×nh sau..

<span class='text_page_counter'>(8)</span> a) x  y  1 xyz .. b) x  y   z  9 xyz .. c) x  y  z  t xyzt .. 1 1  2 x y d) .. 1 1 1 1    1 x y z t e) .. 1 1 1 1  2  2  2 1 2 f) x y z t .. D¹ng 4: Ph¬ng ph¸p lo¹i trõ. Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn tËp sè nguyªn. 2 2 a) x  6 xy 13 y 100 .. 2 3 3 b) 1  x  x  x  y .. x 2  y ( y  1)( y  2)( y  3) .. 4. 4. 2 3 4 2 c) 1  x  x  x  x  y . d). 3. 2. e) ( x  2)  x  y . f) x( x  1)( x  7)( x  8)  y . D¹ng 5: Ph¬ng ph¸p xuèng thang. Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn tËp sè nguyªn. 3. 3. 2. a) x  2 y  4 z 0 . D¹ng 6 vµ D¹ng 7.. 4 4 4 4 b) 8 x  4 y  2 z u .. 2 2 2 c) x  y  z 2 xyz .. Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn tËp sè nguyªn. 2 2 2 a) ( x  y  1) 3( x  y  1) .. x  y 1 z 2 . 1  x  y  z 2 .. 2 2 2 b) x  2 y  2 z  2 xy  2 yz  2 z 4 . c).

<span class='text_page_counter'>(9)</span>