DA HSG Toan Bac Ninh 2017

<span class='text_page_counter'>(1)</span>UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO. HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn: Toán - Lớp 9. Đáp án. Điểm. Câu 1.1. (1.5 điểm). B = 13 + 30 2 + 9 + 4 2 = 13 + 30 2 + 8 + 2 8 + 1 0.75 2 = 13 + 30 2 + ( 8 + 1) = 13 + 30 2 + 8 + 1. = 13 + 30 2 + 2 2 + 1 = 13 + 30 ( 2 + 1)2 0.75 = 18 + 2 18.5 + 25 = ( 18 + 5)2 = 3 2 + 5 1.2. (1.5 điểm). P =. a2 2. ( b + c) - b2 - c2. +. b2 2. ( c + a) - c2 - a2. +. c2. ( a + b). 2. - a2 - b2. 0.75. a2 b2 c2 a3 + b3 + c3 = + + = 2bc 2ca 2ab 2abc Ta có a3 + b3 + c3 - 3abc = ( a + b + c) a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca = 0. (. 3. 3. ). 0.75. 3. Þ a + b + c = 3abc 3 P = 2 Do vậy,. 2.1. (2.0 điểm). Ta có éy = 2 x ê y - 5y x + 6x = 0 Û ê êy = 3 x ë Với 2. y = 2 x Þ 2x + 1 = 2 x Û x +. 1.0. (. ). 2. x- 1 =0. , không có x thỏa mãn.. Với é x =1 ê y = 3 x Þ 2x + 1 = 3 x Û ê Û êx =1 ê 2 ë Từ đó tìm được các điểm M ( 1;3) thỏa mãn là æ 1 3ö ÷. Mç ç ; ÷ ÷ ç 4 2÷ è ø hoặc. 2.2. (2.0 điểm). éx = 1 ê ê êx = 1 ê 4 ë. 1.0.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Với. a = 0Þ b= -. 5 c 4. 5 cx = c ta được 4 . c = 0 , Nếu phương. 1.0. trình nghiệm đúng với mọi x Î ¡ . Nếu c ¹ 0, phương trình 4 x= . 5 có nghiệm Với a ¹ 0,. æ4 ö 2 16 4 ÷ 8 16 64 8 ÷ D = b2 - 4ac = b2 - 4a ç a b = b + ab + a2 = b2 + ab + a2 + ç ÷ ç 5 ÷ 5 3 5 25 75 è 6 ø 2. æ 8 ÷ ö 8 ÷ =ç b + a + a2 > 0, " a ¹ 0, " b. ç ÷ ç è 5 ÷ ø 75. 1.0. Suy ra, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Vậy phương trình luôn có nghiệm. 3.1. (2.0 điểm) Ta có 8 8 8 (a + b)2 2 2 ³ = ; a + b ³ 0.5 2 (a + b)2 + 4abc (a + b)2 + c(a + b)2 (c + 1)(a + b)2 nên 8 a2 + b2 8 (a + b)2 + ³ + 0.5 ³ 2 4 (a + b)2 + 4abc (c + 1)(a + b)2 2 2 c +1. =. 8 2. 2( c + 1). ³. 8 c+3. 0.5. Do đó, 8 a2 + b2 8 + ³ 2 2 c+3 (a + b) + 4abc Tương tự 8 b2 + c2 8 + ³ 2 2 a+3 (b + c) + 4abc , 8 a2 + c2 8 + ³ 2 2 b+ 3 (a + c) + 4abc . Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.. 0.5. 3.2. (2.0 điểm) Vì VP chia 3 dư 1 nên. 0.5. 2 2 c +1.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> VT chia 3 dư 1. Mà bình phương của số nguyên tố chia 3 dư 1 hoặc 0 nên hai trong ba số a,b,c phải bằng 3. TH1: a = b = 3 ta có 18 + 16c2 = 9k2 + 1 Þ 17 = 9k2 - 16c2 = (3k - 4c)(3k + 4c) ïì 3k - 4c = 1 Þ ïí ïï 3k + 4c = 17 î 0.5 ìï k = 3 ï Þ í ïï c = 2 î (thỏa mãn) Vậy ta được ( a;b;c;k) = ( 3;3;2;3) . TH2: Nếu c = 3 ; a = 3 hoặc b = 3. Với a = 3 ta có 32 + b2 + 16×32 = 9k2 + 1 Þ 152 = 9k2 - b2 = (3k - b)(3k + b) = 23 ×19. Vì 3k - b,3k + b cùng tính chẵn lẻ mà tích là chẵn nên chúng cùng chẵn. Ta được các trường hợp: ìï 3k - b = 2 ìï k = 13 ï ï Û í í ïï 3k + b = 76 ïï b = 37 î î (thỏa mãn) Ta được các bộ ( a;b;c;k) thỏa mãn là (a,b,c, k) = (3,37,3,13). ïìï 3k - b = 4 ïì k = 7 Û ïí í ïï 3k + b = 38 ïï b = 17 î î (thỏa mãn) Ta được các bộ ( a;b;c;k) thỏa mãn là (a, b,c, k) = (3,17,3,7) Tương tự ta có các bộ (a,b,c, k) = (37,3,3,13),(17,3,3,7). 4.1. (1.0 điểm). 1.0.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Tam giác AOC cân tại OD O , có là đường cao nên là phân giác trong · góc AOC , do đó · · AOD = COD. ¼ ¼ = DM Þ AD nên DA = DM . Vậy tam giác AMD cân tại D.. 0.5. 0.5. 4.2. (1.0 điểm) · · D OEA = D OEC ( c.gc . ) Þ OAE = OCE = 900. 0.5 Do đó, AE ^ AB . Vậy AE là tiếp tuyến chung của 4.3. (2.0 điểm). (O ). và. (O ') .. 0.5. (O ) tại Giả sử AM cắt N ' . D OAN ' cân tại O, có OM ^ AN ' nên OM là đường trung trực của AN ' Þ CA = CN '. · · Ta có CN 'A = CAM · · mà CAM = DOM , do · · đó CN 'H = COH . Bốn điểm C , N ',O, H thuộc. 1.0. một đường tròn. Suy ra, N ' thuộc đường tròn ngoại tiếp D CHO. Do vậy, N ' trùng với N . Vậy ba điểm A, M , N thẳng hàng.. 1.0. Vì ME / / AB và AB ^ AE nên ME ^ AE . Ta có hai tam giác MAO, EMA đồng dạng. 1.0. 4.4. (2.0 điểm).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> nên. MO MA AO = = Þ MA 2 = AO.EM EA EM MA (*) Dễ thấy D MEO cân tại M nên ME = MO. Thay vào (*) ta được. MA 2 = OA.MO (**) Đặt MO = x > 0 ta có MA 2 = OA2 - MO 2 = a2 - x2. Từ (**) suy ra. 1.0. a2 - x2 = ax Û x2 + ax - a2 = 0 . Từ đó tìm được. OM =. (. ). 5- 1 a 2. 5.1. (1.5 điểm) Dựng tam giác ANB vuông cân tại N ( A, B nằm khác phía đối với NP ). 2 2 Ta có AB = 2AN , · BAN = 450 và. 1.0. D AMN = D BNP ( c.gc . ) Þ AM = BP. . Do đó, AP 2 + AB 2 = AP 2 + 2AN 2 = AM 2 = BP 2 Þ D ABP vuông tại A. 0.5 Nên · · · PAN = PAB + BAN = 900 + 450 = 1350 5.2. (1.5 điểm) Gọi. x1, x2, x3. là ba P ( x). nghiệm của ta có P ( x) = ( x - x1) ( x - x2 ) ( x - x3). 0.5. Suy ra,. (. ) ( )( P ( Q ( x) ) = 0 Do vô. )(. P Q ( x) = Q ( x) - x1 Q ( x) - x2 Q ( x) - x3. nghiệm nên các phương trình Q ( x) - xi = 0( i = 1,2,3) vô nghiệm.. ).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Hay các phương trình x2 + 2016x + 2017 - xi = 0( i = 1,2,3) vô nghiệm Do đó, các biệt thức tương ứng 2 D i ' = 10082 - ( 2017 - xi ) < 0 Û 2017 - xi > 1008 1.0 Suy ra, P ( 2017) = ( 2017 - x1) ( 2017 - x2 ) ( 2017 - x3 ) > 10086. Chú ý: 1. Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm. 2. HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm. Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn sai sót thi giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải quyết. 3. Tổng điểm của bài thi không làm tròn. -----------Hết-----------.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>