DE 12017

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ SỐ 1 ĐỀ ÔN HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN LỚP 8 Ngày 30-10-20117 (Thời gian làm bài: 120 phút) Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 3x 2  5 x  2 b) x 2  10 xy  9 y 2 c). 2 a2 b+4 ab2 − a2 c +ac 2 − 4 b2 c +2 bc 2 − 4 abc 4 2 d). x  2015 x  2014 x  2015 3 Câu 2: a) Tìm các hằng số a và b sao cho đa thức x  ax  b chia cho x  1 thì dư 7, chia cho x  3 thì dư  5 .. n3  2n 4 2 b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số: n  3n  1 là phân số tối giản. Câu 3: a) Cho ax  by  cz 0 . Rút gọn biểu thức:. A. bc ( y  z ) 2  ca( z  x) 2  ab( x  y ) 2 ax 2  by 2  cz 2. ab b) Cho 4a2 + b2 = 5ab, và 2a > b > 0. Tính P=. 4 a2 − b2. x 2 2  1  y Câu 4: a) Tìm các số tự nhiên x, y thoả mãn: . 2 b) Giải phương trình: 2 x(8 x  1) (4 x  1) 9 . Câu 5: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Các điểm M, N thuộc các cạnh AD, BC sao. AM CN  cho MD NB . Gọi các giao điểm của MN với BD, AC theo thứ tự là E, F. Qua M kẻ. đường thẳng song song với AC, cắt DC ở H. Gọi O là giao điểm của AC và BD. a) Chứng minh rằng: HN // BD. b) Gọi I là giao điểm của HO và MN. Chứng minh rằng: IE = IF, ME = NF. Câu 6: 1 1 1   a) Cho x, y, z là ba số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thoả mãn x y z . Hỏi. xy. có là số chính phương không ? Vì sao ? b) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn: z 60; x  y  z 100 . Tìm giá trị lớn nhất của. A  xyz ..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> híng dÉn chÊm KS hSG líp 8- M«n: to¸n Câu 1 (2đ). Nội dung trình bày a) (1đ). 2. Điểm 1đ. 2. 3 x  5 x  2 3x  6 x  x  2  x  2   3x  1. 1đ. x 2  10 xy  9 y 2 x 2  xy  9 xy  9 y 2  x  y   x  9 y  b) (1đ) a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi nhóm thích hợp: 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 a b+4 ab − a c +ac − 4 b c +2 bc − 4 abc 2 a2 b+4 ab2 − a2 c +ac 2 − 4 b 2 c +2 bc 2 − 4 abc 2 2 2 2 2 a b+4 ab − a c − 2 abc+ac − 4 b 2 c +2 bc2 − 2 abc=¿ 2ab ( a+2 b ) − ac ( a+ 2b ) +c 2 ( a+2 b ) − 2 bc ( a+2 b ) ( a+2 b ) ( 2 ab −ac +c 2 − 2 bc ) =( a+ 2b ) [ a ( 2 b − c ) − c ( 2 b −c ) ] ( a+2 b ) ( 2 b −c ) ( a −c ). b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức ¿ ( x 4 − x ) + 2007 x 2 +2007 x +2007 x 4 +2007 x 2+206 x +2007 x ( x − 1 ) ( x2 + x +1 ) +2007 ( x 2 + x+1 ) ( x 2 + x+ 1 )( x 2 − x +2007 ) 2 (2đ). 0,5đ. x 3  ax  b  x  1 P  x   7  x  3 Q  x   5 a) (1đ) Ta có: Thay x = -1 và x = 3 vào đẳng thức trên ta được:. a  b  8;3a  b  32  a  10; b  2. 0,5đ. b) (1đ) Gọi  n3  2n d d  n  2n, n  3n  1   4  2 n  3n  1d.  n 4  2n 2 d  n2  1d  4 2 n  3n  1d. 0,5đ. n 3  2n 4 2 Vậy phân số n  3n  1 tối giản với mọi số nguyên n. 2 2 2 2 2 2 Ta có: ax  by  cz 0  a x  b y  c z  2(bcyz  acxz  abxy ) 0(1). 0,5đ. 3. 4. 2. 2.   n 2  1   n 4  2n 2  d  1d  d 1. 3 (1đ). B bc( y  z ) 2  ca( z  x) 2  ab( x  y ) 2 2 2 2 2 2 2 Ta lại có: bcy  bcz  caz  acx  abx  aby  2(bcyz  acxz  abxy ) 0(2). Từ (1) và (2) suy ra. B ax 2  b  c   by 2  a  c   cz 2  a  b   a 2 x 2  b 2 y 2  c 2 z 2. 0,5đ. (a 2 x 2  b 2 y 2  c 2 z 2 )  a  b  c . A. bc( y  z )2  ca( z  x) 2  ab( x  y )2 a  b  c ax 2  by 2  cz 2. Do đó Giải: Biến đổi 4a2 + b2 = 5ab. ⇔. 4a2 + b2 - 5ab = 0 2. ⇔ ( 4a - b)(a - b) = 0. 4 (2đ). ⇔ a = b. Do đó. P=. ab a 1 = 2= 2 2 4 a −b 3a 3. 2 x  1  y 2  2 x  y  1  y  1  y  1 2m  n 1  x 3   (m  n)  2m  2 n 2n  2m  n  1 2     n  m 2  y 3 a) (1đ) Ta có:  y  1 2. 0,5đ 0,5đ 0,5đ.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 2 2 b) (1đ) 2 x(8 x  1) (4 x  1) 9  8 x(8 x  1) (8 x  2) 72 2 2 Đặt 8x – 1 = y ta có:  y  1 y  y A1 72  y 9. 1   x 2  y 3    x  1  4. O E G. 5 (2đ). D. N. F. I. M. 0,5đ. B. K. 0,5đ. Q C. H. DH DM BN    HN / / BD a) (1đ) Theo đlí Ta-let ta có: HC MA NC (theo đlí Ta-let đảo). 0,5đ 0,5đ. b)(1đ) Gọi G là giao điểm của HM và BD, Q là giao điểm của HN và AC. Ta 0,5đ. MG AO BO NQ     GQ / / MN GH OC OD QH có:. Gọi K là giao điểm của HO và GQ. Do OGHQ là hình bình hành nên GK = KQ. Do đó: IE = IF, IM = IN, ME = NF. 6 (1đ). 0,5đ. 1 1 1    z  x  y  xy   x  z   y  z   z 2 a)( 0,5đ) Ta có: x y z d  x  z , y  z  z d  x d  y d  d 1.   Gọi Do đó x – z và y – z đều là số chính phương.. 0,25đ.  x  z k 2 2 (k , m  N )  z 2  km   z km  2 Đặt:  y  z m 2  x  y  x  z    y  z   2 z k 2  m 2  2km  k  m . 0,25đ. Vậy x + y là số chính phương. z 60; x  y  z 100  y  60. b) (0,5đ) Ta có   60  y   60  z  0  3600  60  y  z   yz 0  yz 60  y  z  60   A xyz 60 x  y  z  60 .  x  y  z  60  60 4. 2. 15.402 24000. (áp dụng bất đẳng thức Côsi) z 60   x x  y  z  60     x  y  z 100  x, y 0 Dấu “=” xảy ra khi   z 60  Vậy Max A = 24000  x  y 20.  z 60   x  y 20. 0,25đ. 0,25đ.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>