De 37

<span class='text_page_counter'>(1)</span>www.khoabang.com.vn. LuyÖn thi trªn m¹ng. __________________________________________________________________ C©u I. x2 + y2 = 4 1) Víi a = 1 ⇒  ⇒ (x + y)2 = 4. x + y = ±2  xy = 0. ⇒ nghiệm của hệ đã cho là : (0,2) ; (2,0) ; (0, - 2) ; (- 2, 0). 2) Gi¶ sö hÖ cã nghiÖm lµ (xo ,yo ) ⇒ c¸c cÆp (−xo , −yo ) ; (yo ,xo ) ; (−yo , −xo ) còng lµ nghiÖm, cÆp (xo ,yo ) ≠ (−xo , − yo ) , v× nÕu ng−îc l¹i xo = 0 , yo = 0 mµ (0, 0) kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña hÖ. VËy hÖ cã hai nghiÖm th× hai nghiệm là (xo ,yo ) và (−xo , −yo ) ⇒ (xo ,yo ) ≡ (yo ,xo ) ; (−xo , −yo ) ≡ (−yo , −xo ) ; điều đó xảy ra khi xo = yo . Khi đó hÖ trë thµnh : 2 2xo = 2(1 + a) ⇒a=0  2 4x = 4  o. Ng−ợc lại với a = 0 : hệ đã cho là : 2 2  x + y = 2  (x + y)2 = 4. ⇔.  x + y = ±2   xy = 1. ⇒ hÖ chØ cã 2 nghiÖm lµ : (1, 1) ; (- 1, - 1). §¸p sè : a = 0 C©u II.. π .  . 1) sin C = cosB = sin  − B  ⇒ 2 π π π ⇒ ∆ ABC vu«ng ë A. − B hay B + C = ⇒ A = 2 2 2 π  π β) C = π −  − B  = + B . 2  2 π π V× A + B + C = π ⇒ A + B + + B = π ⇒ A + 2B = 2 2 ⇒ ∆ ABC tháa m·n π  0 < B < 4  π  C = + B 2  π   A = 2 − 2B. . α) C =. 2) Đặt x = p − a , y = p − b , z = p − c ta có x, y, z > 0, x2 + y2 + z2 = 3p − (a + b + c) = p ⇒ bất đẳng thức phải chøng minh trë thµnh : x2 + y2 + z2 < x + y + z ≤ 3(x2 + y2 + z2 ) .. Sử dụng bất đẳng th−c Bunhiacôpxki - Côsi ta có : (x2 + y2 + z2 )(1 + 1 + 1) ≥ (x + y + z)2 ⇒. 3(x2 + y2 + z2 ) ≥ x + y + z .. L¹i cã x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz > x2 + y2 + x2 ⇒ (x + y + z)2 > x2 + y2 + z2 ⇒ x + y + z > x2 + y2 + z2 . Bất đẳng thức đ−ợc chứng minh hoàn toàn..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> www.khoabang.com.vn. LuyÖn thi trªn m¹ng. __________________________________________________________________ C©u III.. 1 ) Bạn đọc tự giải. 2) NhËn xÐt thÊy y = f(x) lµ hµm ch½n v× f(a) = f(−a), ∀a. §Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè trªn ®o¹n [−2 ; 1] ta xÐt c¸c ®iÓm cùc trÞ vµ c¸c gi¸ trÞ t¹i 2 ®Çu mót cña nã. f '(x) = 4x3 − 12bx = 4x(x2 − 3b) .. a) b ≤ 0 : x2 − 3b ≥ 0 ⇒ f' (x) = 0 t¹i xo = 0(−2 < xo < 1) : max f(x) = max[f(−2);f(1)]. [ −2;1]. (vì tại x = 0, f(x) đạt giá trị cực tiểu) = max[(16 − 24b + b2 ) ; (1 − 6b + b2 )] = b2 − 24b + 16 .. b) b > 0 ⇒ f'(x) = 0 t¹i x = 0, x = − 3b , x = 3b . Bằng cách xét t−ơng tự nh− bảng xét dấu ở phần 1) ta có : tại x = ± 3b , y = f(x) đạt giá trị cực tiểu ; tại x = 0, y = f(x) đạt giá trị cực đại. Vậy max f(x) = max[f( −2);f(0);f(1)] = max[16 − 24b + b2 ;b2 ;1 − 6b + b2 ] .. [ −2;1].   =  . b2 − 24b + 16 víi 0 < b ≤. b2 víi b >. 2 3. KÕt luËn : 2 2  b − 24b + 16 víi b ≤ 3  max f(x) =  2 [ −2; 1]  b2 víi b >  3. 2 3.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> LuyÖn thi trªn m¹ng. www.khoabang.com.vn. _______________________________________________________________ C©u IVa. 1) § a ph û¬ng tr×nh cña (Em) vÒ d¹ng (x - m) 2 y2 + = 1, m m2 ta thÊy elip cã t©m I (m , 0). V× 0 < m < 1, nªn m > m, vËy trôc lín cña (Em) song song với Oy, và các đỉnh trên trục lớn (Hình ve) là A = A(m , m ), A’ = A’(m , - m). 2) Các tọa độ của A và A’ thỏa mãn hệ thức y2 = x. V× x = m, nªn 0 < x < 1 ; vËy tËp hîp c¸c ®iÓm A vµ A’ lµ hai cung trªn parabol y2 = x, gồm các điểm có hoành độ x ẻ (0 ; 1). 3) Các tiêu điểm phải nằm trên trục lớn của elip, vậy có tọa độ x = m, y = ± m - m2 . 2. æ 1ö 1 Các tọa độ này thỏa mãn hệ thức y = x - x hay ỗỗ x - ữữữ + y 2 = . çè 2ø 4 2. 2. Do 0 < x < 1, nªn tËp hîp c¸c tiªu ®iÓm lµ ®ûêng trßn t©m w ( b¸n kÝnh R =. 1 , 0), 2. 1 , bá ®i hai ®iÓm (0 , 0) vµ (1 , 0) (hai ®iÓm nµy cã hoµnh 2. độ x = 0, x = 1 nªn bÞ lo¹i). C©u IVb. Gäi N lµ giao ®iÓm cña mÆt ph¼ng (MBC) vµ SD. 1) Thiết diện MBCN là hình thang vuông tại B và M (bạn đọc tự chứng minh). Ta cã : MN = AD .. æ SM xö = bçç1 - ÷÷÷ , èç 2a ø SA. do vËy h×nh thang vu«ng MBCN cã diÖn tÝch S = MB .. 1 b (MN + BC) = (4a - x) a 2 + x 2 . 2 4a.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> LuyÖn thi trªn m¹ng. www.khoabang.com.vn. _______________________________________________________________ 2) Do S > 0 nªn S lín nhÊt khi S2 lín nhÊt. Ta cã S2 =. b2 (x2 + a2) (x - 4a)2, 2 16a. nên bài toán quy về việc xác định x ẻ [0 ; 2a] sao cho hàm f(x) = (x2 + a2)(x - 4a)2đạt giá trị lớn nhất. Để ý rằng f’(x) = 2(x - 4a)(2x2 - 4ax + a2), nªn ta lËp ®ûîc b¶ng biÕn thiªn cña hµm f(x) trªn ®o¹n [0 ; 2a] x. 0. f’ f. (1-. 2 )a 2. 0. (1+ +. 2 )a 2. 2a. 0. -. (71+ 8 2)a 4 4. 16a4. æç 2 ö÷÷ Thành thử f(x) đạt giá trị lớn nhất trên [0 ; 2a] khi x = ỗỗ1 + ÷a. 2 ÷ø çè 3) Gọi V là thể tích hình chóp S.ABCD. Ta cần xác định x để VS.BMNC = Ta cã VS.BMNC = VSMBC + VSMNC ,VSMBC = VSABC . SM SN 1 æ SM ö÷ VSMNC = VSADC . . = V çç ÷ SA SD 2 çè SA ÷ø §Æt t =. VËy. SM 1 SM = V . , SA 2 SA. 2. -1 + 2a - x SM , ta ®ûîc t2 + t - 1 = 0 Þ t = = 2 SA 2a. 2a - x -1 + 5 = Þ x = (3 - 5). a 2a 2. 5. (v× t > 0).. 1 V. 2.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>