De dap an HSG Quang Ninh bang B nam 2017

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM 2017 Môn thi: TOÁN - Bảng B. ĐỀ THI CHÍNH THỨC. Ngày thi: 03/03/2017 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi này có 01 trang). Bài 1: (3,5 điểm) 5 x 4 3 2 x x 2   x5 x  4 x 4 x 1 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của x để A  1 .. Cho biểu thức A . (với x  0; x  16; x  1). Bài 2: (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x2  x  6 x  1  9 . 4 x 2  y 2  5 xy  10 b) Giải hệ phương trình:   xy  4 x  2 y  7 Bài 3: (2,5 điểm) Tìm số tự nhiên n sao cho n chỉ thỏa mãn hai trong ba tính chất sau: 1) n là bội số của 5. 2) n  8 là số chính phương. 3) n  3 là số chính phương. Bài 4: (7,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Gọi A là một điểm cố định trên nửa đường tròn ( A  B; C ), D là điểm chuyển động trên AC . Hai đoạn thẳng BD và AC cắt nhau tại M, gọi K là hình chiếu của M trên BC. a) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK. b) Chứng minh rằng BM .BD  CM .CA không đổi khi D di chuyển trên AC . c) Khi D di chuyển trên AC ( D  C ), chứng minh đường thẳng DK luôn đi qua một điểm cố định. Bài 5: (2,0 điểm) 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  2 x  1  4 x  5x 2 với 1  x  . 5 -----------------Hết----------------. - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:................................................... Số báo danh............................. Chữ kí giám thị 1:.........................................Chữ kí giám thị 2...................................

<span class='text_page_counter'>(2)</span> SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH. HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2017. ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (BẢNG B) (Hướng dẫn chấm này có 04 trang). Bài A. Câu a 2,0 đ. Bài 1 3,5đ. . Sơ lược bài giải 5 x 4 3 2 x x 2   x 4 x 1 x 4 x 1.  x  4  2.  5 x  3 x  1   x  2    x  4 x  1  x  13 x  1  3 x  1 =  x  1 x  4 x  4. Điểm. x 4. . 3 x 1 2 x 5 1  0  0 x 4 x 4 Có 2 x  5  0 Câu b 1,5 đ Nên 2 x  5  0  x  4  0  x  4  0  x  16 x 4 Kết hợp với điều kiện xác định tìm được 0  x  16; x  1 A 1. (nếu không chỉ đủ kq là 0  x  16; x  1thì không cho điểm bước này ). 1,0. 1,0. 0,5 0,25 0,25 0,5. x2  x  6 x  1  9 ( đkxđ x  1 ). 0,25.  x2  2 x  1  x  1  6 x  1  9. 0,5. .  x  1. 2. . . x 1  3. x 1  x 1  3. . . 2. 0,25 x  4  x 1.  .  x  1   x  1  3  2  x  x  1 Trường hợp 1: x  4  x  1 Câu a do x  1  0  x  4  0 2,5 đ hai vế 2không âm bình phương2 ta có x + 8x + 16 = x + 1  x + 7x + 15 = 0 Bài 2 5,0đ   72  4.15  0  phương trình vô nghiệm (1) 1  x  2 Trường hợp 2: 2  x  x  1   2  x  4 x  4  x  1 (2). Pt(2)  x2  5x  3  0   (5)2  3.4  13  0 Phương trình (2) có hai nghiệm x1 =. 0,5. 0,5. 0,5 5  13 5  13 ; x2 = 2 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Đối chiếu với điều kiện (1) ta thấy 5  13 chỉ có nghiệm x2 = thỏa mãn 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là. 5  13 2. 4 x 2  y 2  4 xy  4 x  2 y  3   xy  4 x  2 y  7. 1,0. (2 x  y )  2(2 x  y )  3  0 (1)  (2)  xy  4 x  2 y  7 2.  y  2x  1 Pt(1)   2 x  y  1 2 x  y  3  0    y  2x  3 Câu b TH1: y  2 x  1 thay vào phương trình (2) ta có 2,5đ 2 x2  x  9  0 (phương trình vô nghiệm) TH2: y  2 x  3 thay vào phương trình (2) ta có 2 x2  3x  1  0 phương trình có hai nghiệm  x1  1  y1  1   x2  1  y2  2  2 1  Vậy hệ đã cho có hai nghiệm 1; 1 và  ; 2  2  Giả sử tìm được n thỏa tc/1 ta đi chứng minh n không thỏa tc2;3. n là bội của 5  n có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 Vậy n + 8 có chữ số tận cùng là 3 hoặc 8 n  3 có chữ số tận cùng là 2 hoặc 7. Bài 3 2,5đ. Mà một số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là 0; 1;4; 5;6;9 Nên n+8 và n  3 đều không phải là số chính phương  t/c 2 và 3 đều sai (trái gt). Vậy tính chất 1 sai; t/c 2; 3 đúng. Ta đi tìm n thỏa mãn tc 2,3 (cho hs 0,75đ nếu làm được phần này mà không lập luận phần trên) n  8  p 2 Đặt  (p; k  N)  p2  k 2  11  ( p  k )( p  k )  11 2 n  3  k Do p,k N  p  k  N ; p  k  Z ; p  k  p  k ;  p  k  11  p  6  Kết hợp với (1)   p  k 1 k  5. Vậy n  28 (hs có thể làm bài tập này bằng cách xét 3TH mỗi TH chỉ đúng 2 trong 3 tc; mỗi phần đúng được 0,75đ). 0,25 0,5. 0,5. 0,25. 0,25 0,5. 0,5. 0,25. 0,75. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> D A M. B. Câu a 2đ. K. O. C. I. a. Tứ giác MKCD nội tiếp  MDK  MCK. 0,5. ADB  ACB. Bài 4 7,0đ. (hai góc nội tiếp (O) cùng chắn AB )  MDK  MDA hay DM là phân giác của tam giác ADK. Tương tự chứng minh được AM là phân giác của tam giác ADK. Vậy M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK b. Hai tam giác BMK và BCD đồng dạng. 1,0. BM BC   BM. BD  BK. BC BK BD Tương tự ta có CM.CA  CK.CB. 1,0. . Câu b 2,5đ.  BM. BD  CM.CA  BK. BC  CK. BC  BC. 2. Do BC không đổi, vậy BM. BD  CM.CA không đổi khi D. Câu c 2,5đ. 0,5 0,5. chuyển động trên cung AC. 0,5. c. Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt DK tại I.. 0,5.  AI MK  IAC  KMC. 0,5 0,5. Lại có tứ giác MDCK nội tiếp  KMC  KDC . Vậy IAC  IDC  tứ giác ADCI nội tiếp hay I  đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC  I   O cố định, mà I  đường thẳng qua A cố định, vuông góc với BC cố định. Vậy I cố định hay DK qua I cố định. A  2 x  1  4 x  5x 2  2 x  ( x  1)(1  5x). với 1  x  Bài 5 2,0đ. 0,5. 1 có ( x  1)  0 và 1  5x  0 5. Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số ( x  1) và 1  5x không âm Có. ( x  1)  (1  5 x) ( x  1)(1  5 x)   1 2x 2. A  2x  1  2x  A  1. 1,0. 0,5 0,25. 0,5 0,25.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ( x  1)  1  5x  6 x  0  x  0 thỏa điều kiện 1  x . Vây giá trị lớn nhất của A là 1 đạt được khi x  0. 1 5. 0,25 0,25. 1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới cho điểm tối đa. 2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết. 3. Có thể chia nhỏ điểm thành phần nhưng không dưới 0,25 điểm và phải thống nhất trong cả tổ chấm. Điểm toàn bài là tổng số điểm toàn bài đã chấm, không làm tròn. ............................. Hết ............................

<span class='text_page_counter'>(6)</span>

<span class='text_page_counter'>(7)</span>