Gui HT 3 bai BDT 2911

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Nhờ chú Sang Lâm Thao-Phú Thọ Bài 1 Cho a,b>0 .Chứng minh rằng 2a (a  b)3  b 2(a 2  b 2 ) 3 a 2  b 2  Bài 2 Cho a,b, c >0 .Chứng minh rằng a2 b2 c2 2  2  2 1 2a 2   b  c  a  2b 2   c  a  b  2c 2   b  a  c  2 2 2 Bài 3 Cho a,b, c >0 a  b  c 2  ab  bc  ca  . Chứng minh rằng a b b c a c   2 2ab  c 2 2bc  a 2 2ac  b 2 Bài 1 Hướng dẫn Áp Dung BĐT CôSi cho 2 số 2 2 a  b   2a (a  b)  a  b   2a 2  2ab  3 2a(a  b)  a  b  2a (a  b)   ,(1) 2 2 2b 2  a 2  b 2 3b 2  a 2 b 2(a 2  b 2 )  2b. a 2  b 2   ,(2) 2 2 Từ (1) & (2) ta có M  2a( a  b)3  b 2(a 2  b 2 ) 2.  3a 2  3b 2  2ab 4a 2  4b 2  4ab 4a 2  4b 2  2(a 2  b 2 )   3  a 2  b 2  2 2 2 a  b  2(a  b)  Dau " " xay ra khi  2b  a 2  b 2  a b  0 a b  0  Bài 2 Cho a,b, c >0 .Chứng minh rằng.  a  b M. Q. a2 2a 2   b  c  a . 2. . b2 2b 2   c  a  b . 2. . 2. M 3 . c2 2c 2   b  a  c . 2. 1. 2. 2.  b  c  a   c  a  b   b  a  c 2Q  2 2 2 2 2a   b  c  a  2b 2   c  a  b  2c 2   b  a  c . 1. Bất đẳng thức được chứng minh mang tính thuần nhất nên ta chuẩn hóa a  b  c 3 2. M 3 . 2. 2.  3  2a    3  2b    3  c  2Q  2 2 2 2 2a   3  2 a  2b 2   3  2b  2c 2   3  2c . Ta có Xét 3 số a  1; b  1; c  1 theo nguyên tắc Dirichlet có 2 số có tích không âm giả sử.  b  1  c  1 0  bc  b  c  1 0 2 2  b  c  1 b2  c 2  1  2bc  2b  2c   b  c  1  1 b 2  c 2  2(bc  b  c  1) b 2  c 2 2 2 b 2  c 2 1   b  c  1 1   2  a  . Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2. 2. 2.  3  2b    3  2c    6  2b  2c  N 2 2 2 2 2b   3  2b  2c 2   3  2 c  2b 2   3  2b   2c 2   3 . 2c . 2. . 4a 2 6  b 2  c 2  2(b  c)  3. 2a 2 2a 2 N  3  1  (2  a) 2  2(3  a)  3 3  a 2  2a  2  2. . 3  2a   2a 2 M 2  2 3  a 2  2a  2  2a   3  2a . Ta chứng minh 2. 3  2a   2a 2 M 2  1  2 3  a 2  2a  2  2a   3  2a . 9  12a  4a 2 2a 2  1 6a 2  12a  9 3  a 2  2a  2 . . 9  12a  6a 2  2a 2 2a 2 2a 2 2a 2   1   0 6a 2  12a  9 3  a 2  2a  2  3  a 2  2a  2  6a 2  12a  9. . 1 1 2 2 2   0  6 a  12 a  9  3 a  6 a  6  0  3 a  1 0   2 3  a 2  2a  2  6a  12a  9 2. BĐT. 3  a  1 0. luôn đúng Vậy M 3  2Q 1  Q 1 dau " " xay ra khi a b c  0. Bài 3 Hướng dẫn Từ GT ta có a 2  b 2  c 2 2  ab  bc  ca   2ab  c 2 a 2  b 2  2c 2  2ac  2bc (b  c) 2  (c  a) 2 a 2  b 2  c 2 2  ab  bc  ca   2bc  a 2 c 2  b 2  2c 2  2ac  2ab (a  b) 2  (c  a) 2 a 2  b 2  c 2 2  ab  bc  ca   2ac  b 2 a 2  c 2  2b 2  2ab 2bc (b  c) 2  (a  b) 2 Đặt a b b c a c 2 2 2    a  b  x;  b  c   y;  c  a  z;P  2ab  c 2 2bc  a 2 2ac  b 2 x y z   yz xz x y Nếu trong 3 số x,y,z có ít nhất 2 số bằng 0=> a=b=c=>không thỏa mãn GT Nếu trong 3 số có 1 số bằng 0. G/s x=0 Ta có: x y z y z  P     2 yz xz x y z y Dấu bằng xảy ra khi a=b. Thay vào GT ta có c=4a=4b Nếu x,y,z>0 thì ta có:  P.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  a  b. 2.  P Ta co tuong tu. 2. 2. x;  b  c   y;  c  a  z;P . a b 2ab  c 2. . b c 2bc  a 2. . a c 2ac  b 2. x y z   yz xz x y yz yz 1 y  z  x y  z  .1    1   x x 2 x 2x . x 2x  ,(1) yz xyz. y 2y z 2z  ,(2);  ,(3) xz x yz yx x yz. Tu (1),(2),(3) ta co P . 2 x  y  z  x y z    2 yz xz xy xyz. Dấu bằng ở TH này không xảy ra Vậy a b b c a c   2 2ab  c 2 2bc  a 2 2ac  b2 Dấu bằng xảy ra khi c=4a=4b hoặc b=4a=4c hoặc a=4b=4c ( Cháu kiểm tra lại nhé để chú xem bài 2 có cách khác hay hơn không , chú dùng phương pháp chuẩn hóa khi chứng minh BĐT. Cháu vào mạng xem kĩ thuật chuẩn hóa BĐT nhé).

<span class='text_page_counter'>(4)</span>