Phan on luyen tong hop 1112

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (364.3 KB, 18 trang )

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia 2018
phạm Hà Nội - HNUE

Đại học sư

PHẦN I : DÃY SỐ-CẤP SỐ CÔNG, CẤP SỐ NHÂN.
A.
1)

Công Thức

Dãy số tăng, dãy số giảm.

Dãy số

 un 

đgl dãy số tăng nếu ta có

un 1  un n  N *

Dãy số

 un 

đgl dãy số giảm nếu ta có

un 1  un n  N *

Dãy số tăng, dãy số giảm được gọi chung là dãy số đơn điệu

2)

Dãy số bị chặn.

Dãy số vô hạn

 un 

được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho

n  N *, un M

Dãy số vô hạn

 un 

được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho

n  N *, un m

Dãy số vô hạn

 un 

được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. Nghĩa là tồn tại

hai số M,m sao cho

3)

n  N *, m un M

Cấp số công, cấp số nhân.
Cấp số công

1)

Định nghĩa

2) TC của 3 số hạng liên
tiếp.
3) Số hạng tổng quát

 un  là CSC  n 2, u n un 1  d

 un  là CSN  n 2, u n un 1.q

d đgl công sai của cấp số cộng

q đgl công bội của cấp số nhân

uk  1  uk 1
k 2
2
un u1   n  1 .d

tiên

B.

uk  uk  1.uk 1

uk 

Sn 

4) Tổng n số hạng đầu

Cấp số nhân

n.  u1  un 
2

k 2

un u1.q n  1

n 1

q 1, S n n.u1 n 1

Hoặc
Sn 

n.  2u1   n  1 .d 
2

n 1

q 1, Sn u1.

1 qn
, n 1
1 q

Bài tập

Biên soạn : Th.S Trần Văn Thịnh

Trang 1

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia 2018
phạm Hà Nội - HNUE

u 
Câu 1: Cho dãy số n
 un 

Đại học sư

u1 1

n
un 1 un  n  1 .2
xác định bởi công thức 

n 1
. Chứng minh rằng:

là dãy số tăng

Câu 2: Chứng minh rằng dãy số

 un 

với

un 

n2 1
2n 2  3 là một dãy số bị chặn.

Câu 3: Ba góc trong một tam giác lập thành cấp số cộng. Tìm 3 góc đó.
Câu 4: Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng các số hạng là 176, hiệu giữa số hạng cuối và số hạng đầu là
30. Tìm cấp số cộng đó.
Câu 5: Bốn số lập thành cấp số cộng, tổng của chúng bằng 22, tổng các bình phương của chúng bằng
166. Tìm 4 số đó.
Câu 6: Cho cấp số cộng
của số hạng đó.
Câu 7: Cho cấp số cộng

 un 
 un 

2

2

u  u20 9 và  u17    u20  153 . Tìm số hạng đầu và cơng sai

có 17

có

u2  u22 60 . Tính S23

Câu 8: Tìm bốn góc của một tứ giác, biết rằng các góc của tứ giác đó lập thành cấp số nhân. Và góc cuối
gấp 9 lần góc thứ hai.

Câu 9: Tìm 4 số hạng đầu tiên của một CSN biết rằng tổng 3 số hạng đầu là
chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư, thứ tám của một CSC.

16

4
9 đồng thời theo thứ tự

Câu10: Các số x  6 y,5 x  2 y,8 x  y theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đòng thời các số

x  1. y  2, x  3 y theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Hãy tìm x và y.
Câu11: Ba số lập thành một CSN có tổng bằng 39, hiệu giữa số hạng cuối và số hạng đầu bằng 24. Tìm
ba số đó. (Hướng dẫn :3;9;27 hoặc 25;-35;49)

PHẦN II : GIỚI HẠN
A.

Công Thức

1. Giới hạn hàm số

Biên soạn : Th.S Trần Văn Thịnh

Trang 2

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia 2018
phạm Hà Nội - HNUE

Đại học sư

lim  f (x) g(x)  lim f (x) lim g(x)
x a

x a

x a

lim  f (x).g(x)  lim f (x).lim g(x)
x a

x a

x a

lim f (x)
f (x)
 x a
x  a g(x)
lim g(x)

lim

lim f (x)  lim f (x)
x a

x a

x a

*Các định lý về giới hạn hàm số :
Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất
Định lý 2:Cho 3 hàm số g(x),f(x),h(x) cùng xác định trong khoảng K chứa a và g(x) ≤ f(x) ≤
h(x). Nếu

lim g(x) lim h(x) L
x a

x a

thì

lim f (x) L
x a

1

x  a f (x)

lim f (x) 0 thì lim
Định lý 3: Nếu

x a

1
0
x  a f (x)

lim f (x)  thì lim
Nếu

Định lý 4:

x a

lim

s inx
1
x 0
x

lim

x
1
x  0 sinx

sin kx
1
x 0

kx

lim

kx
1
x  0 sin kx

lim

*Các dạng vô định: là các giới hạn có dạng ; ; 0. ;  – 

2. Hàm số liên tục
*Hàm số f(x) liên tục tại xo 

lim f (x) f (x o )

x xo

*Hàm số f(x) gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm
xo  (a;b)
*Hàm số f(x) gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng [a;b]
và

lim f (x) f (a) và lim f (x) f (b)

x a

Biên soạn : Th.S Trần Văn Thịnh

x b

Trang 3

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia 2018
phạm Hà Nội - HNUE

B.

Đại học sư

Bài Tập
B.1 Bài tập giới hạn

1.Tính các giới hạn sau:
2

3

3

2

2

x −3 x +5 x−3
x 2−1
b) x →1

2 x −3 x−2
lim
x−2
a) x →2

x +2x
2
c) x →−2 x + 4 x+ 4

lim

lim

d)

2

x −x −x +1
2
x →1 x −3 x+2

lim

3

4

2

x −1

3
2
f) x →−1 x −2 x +3

x −5 x +3 x+ 9
4
2
e) x →3 x −8 x −9

lim

lim

2.Tính các giới hạn sau:

a)

d)

√ x +5−3

lim
x →4

4−x

lim √

4 x+1−3
x 2−4

x →2

b)

lim √
x →0

1+x−√ 1−x
x

2−√ x −3
2
c) x →7 x −49
lim

3−√ 5+x
f) x →4 1−√5−x

√ x+2−x
e) x →2 √ 4 x+1−3

lim

lim

3.Tính các giới hạn sau:

lim 3
x →2

a)

c)

lim

√8−x−√3 8+ x

lim 3
x →0

5

x
b)

x →−1

3

x + x +2
3

√ x +1

3

x

√1+x−1

d)

lim

3

√1+ x 2−1

x →0

x

2

e)

lim

x →4

√ x +4−√ x
x 2 −5 x+ 4

4.Tính các giới hạn sau:
sin 3 x
x→0 2 x

lim

a)

1−cos3 x
e) x →0 1−cos x
lim

b)

5x
x →0 sin 2 x

lim

c)

cos x−cos 3 x
2 x2
f) x →0
lim

sin 4 x
x→0 sin 7 x

lim

g)

d)

1−cos6 x
x →0
x2

lim

1−√ cos x
x →0
x2

lim

5.Tính các giới hạn sau:

a)

lim (
x →1

1
3
− 3 )
x−1 x −1

b)

Biên soạn : Th.S Trần Văn Thịnh

lim (
x →−2

1
4
+ 2
)
x +2 x −4

1
1


lim  2
 2

x  2 x  3x  2
x  5x  6 

b)

Trang 4

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia 2018
phạm Hà Nội - HNUE

( x−1 )( x2 +3 x )
x 3+ 4 x
c) x → ∞
lim

d)

lim √
x→ ∞

Đại học sư

x2 + x−3 x
2 x −1

e)

lim ( √ x 2 −x+ 3+ x )

f)

x→∞

lim ( √ 3−x−√ 5−x )

x →−∞

6.Tính giới hạn các hàm số sau

a)

lim

√ x2−3 x

x→ ∞

x+ 2

b)

lim ( √ x 2 −x−√ x 2 +1)

x→∞

c)

lim x 2 sin
x →0

1
x

d)

sin x +3 cos 2 x
x→ ∞
x 2 −2 x+3
lim

5 cos x +x
lim
3
e) x →+∞ x −1

2

f)

lim( x 2  x  x
x 

)

7.Tìm 2 số a,b để
2

x +1
lim (
−ax−b )
b) x → ∞ x+ 1

2

lim ( √ x + x+1−ax−b )=0

a)

x →+∞

=0

8. Tính các giới hạn sau:
a)

lim x

x  



x 2  2x  2 x 2  x  x



b)

lim

x  



3

x 3  3x 2 

x 2  2x



B.2 : Bài tập sự liên tục hàm số
1.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
a) f(x) = x2 + x – 3

b)f(x) =

b)f(x) =

2.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
3

x 2 −3 x + 4
2x −3

x − x −6
x 2 − x−2
11
3

khi x <1
khi x≥1

a)
xo = 2

f(x) =

¿¿

tại xo =

¿

 sin x

khi x 1

 x 1

khi x 1
c) f(x) =  

Biên soạn : Th.S Trần Văn Thịnh

khi x=2
¿

¿
{¿

khi x≠ 2

tại xo = 1

b) f(x) =

{¿

¿¿

¿

tại

 x 2  3x  2

khi x 1
 x 2  1

 x
khi x  1
d) f(x) =  2
tại xo = 1

Trang 5

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia 2018
phạm Hà Nội - HNUE

Đại học sư

3.Tìm a để các hàm số sau liên tục tại x0
x 3 + 2 x−3
x 2 −1
a

3 x2 +2 x − 1
khi x <1
2x + a
khi x ≥1
¿
{¿ ¿ ¿
¿

a) f(x) =

khi x ≠1
khi x=1
¿

tại x0 = 1

1  cos4x
khi x  0

x.sin 2x

x a
khi x 0
c) f(x) =  x  1

tại xo = 0

b) f(x) =

{¿

¿¿

¿

tại x0 = 1

 1 x  1 x
khi x  0


x

a  4  x
khi x 0
d) f(x) =  x  2
tại xo = 0

4.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
x 2 −3 x−7
1− x

khi x <−2
khi x ≥−2
¿

a)

f(x) =

{¿

¿¿

b) f(x) =

¿

x 2 +3 x−10
khi x <2

x 2 −4
2x+3
khi 2≤ x≤5
x +2
3x−4
khi x >5
¿
{ ¿ { ¿ ¿¿
¿

5.Tìm a để các hàm số sau liên tục trên R
 3 3x  2  2
khi x  2

x 2

ax + 1
khi x 2


4
a) f(x) =
−2sin x
asinx + b
cos x

c) f(x) =

{ ¿ { ¿ ¿¿

khi x <−



 sin(x  3 )

khi x 

3
 1  2 cos x


khi x 
a
3
b) f(x) = 

π
2

π
π
≤ x≤
2
2
π
khi x >
2
¿
khi −

2

d) f(x) =

¿

x
khi x <1
ax+ b khi 1≤ x≤3
4−x khi x >3
¿
{ ¿ { ¿ ¿¿
¿

6. Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm:
a) x3 – 2x – 7 = 0

b) x5 + x3 – 1 = 0

Biên soạn : Th.S Trần Văn Thịnh

Trang 6

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia 2018
phạm Hà Nội - HNUE

c) x3 + x2 + x + 2/3 = 0

Đại học sư

d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0

e) x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 f) cosx – x + 1 = 0
7. Chứng minh rằng phương trình
a) x3 – 3x2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
b) 2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2)
c) x3 + 3x2 – 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1)
d) x3 – 3x2 + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
e) 2x2 + 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm trong khoảng (– 3;1)
f)* x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (0;5)

PHẦN III : Hàm số mũ – Logarit
A. Công thức
I.Lũy thừa:
1. Định nghĩa:
*
 a n  a .a ...
 a (a  , n   )

 a1 a a   , a0 1 a 0

n thừa số

 a n 
 a
2k





m
n

1
an



(n  Z  , n 1, a  R /  0 )

1
m
an



1
n m

a



m
an

n

 a m  a  0; m, n  N 

 a  0; m, n  N 

x xác định khi x ³ 0 (k  ¥ )

·

2 k +1

x xác định x  ¡ (k  ¥ )

2. Các tính chất : Tất cả các loại lũy thừa đều có tính chất tương tự sau đây(Chỉ khác điều kiện):
Cho a  0; b  0 và m, n  . Ta có:

 a m .a n a m n


am
a

n

a m n

 ( a m )n ( a n ) m a m.n
 (a.b) n a n .b n

n

an
 a
    n
b
b

II.Hàm số lũy thừa:

Biên soạn : Th.S Trần Văn Thịnh

Trang 7

Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia 2018
phạm Hà Nội - HNUE
 /

x 
Đạo hàm của hàm số lũy thừa:

Đại học sư

 .x  1 ( x  0,   )

 /

u 

;

 .u  1.u / (u  0,   )

dn

log a b   a b  a  0; a 1; b  0 

III. Lơgarit:
Các tính chất : Với

a  0; a 1; b  0; b1  0; b2  0; c  0; c 1

. Ta có các tính chất:

 log a 1 0

 log a a 1

 log a ab b

 a loga  
b
 log a ( 1 ) log a b1  log a b2
b2
1
 log a n b  log a b
n

 log a (b1.b2 ) log a b1  log a b2
 log a b  .log a b

Đặc biệt :

log a N 2 2.log a N

 log a b 

 log c b log c a.log a b
1
 log a b 
 b 1
log b a
Công thức đặc biệt: a

logb c

c

log c b
log c a

1
 log k N  log a N   0 
a
k
logb a

x
Có dạng : y a ( a > 0 , a 1 ).

IV. Hàm số mũ:

 Tập xác định : D .

 Tập giá trị :

 tøc lµ: a x  0 x  R 

T 

 Tính đơn điệu:
+ a >1

x
: y a đồng biến trên  .

x
+ 0 < a < 1 : y a nghịch biến trên  .
x
 Đồ thị hàm số mũ y a :

a>1

0
 Đạo hàm hàm số mũ:



