Ly thuyet va cac dang bai ve so phuc 20172018 File word co loi giai chi tiet

CHUYEN DE
SO PHUC
1. Kiến thức cơ bản.
Các phép toán trên số phức.
* Phép cộng và phép trừ, nhân hai số phức.
Cho hai số phức z = a + bï và z° = a' + b”¡. Ta định nghĩa:

Z+z'=(a+a)+(b+b}i
{ee

(a—=a)+(b—b}i

Zz'= qa — bb + (ab — a`b)i
* Phép chia số phức khác 0.

Cho số phức z= a + ð¡ #0 (ức là a“+bŸ > 0)
Ta định nghĩa số nghịch đảo z” của số phức z # 0 là số

LIÊN HỆ MUA FILE WORD TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO
MR. HIỆP : 096.79.79.369

2.1. Dạng 1: Các phép tốn trên số phức.
,

Ví dụ 1: Cho sơ phức z = Tai

1

Giải:

*Wz= X2 1z

2 2

=2.1,
2

,

Tính các sơ phức sau:

-

z; z7;

-

(z y; l+z+z7


—43

(
7,2

3L,

L3, a3

v3

v31

v3

1 v3, 3+2 l1,
1.

:r[prế lệ

Ít" DI

Ta có: lI+z+z2=l+-—-—i+—-- —i=

2

2

2

2

2

2

Vi du 2: Tim sé phir lién hop ctia: z =(1+1)(3—2i) + su.
+ỉ
Giải:
Ta có ¬..........
(3+@G-j)

10
Suy ra số

yreso

P

53
9
phức liên hợp cua
z la: z =——-——i

oP

““T0

10

Ví dụ 3: Tìm phân ảo của số phức z biết z= (2+ i) (1 —ND)
Giải:

LIÊN HỆ MUA FILE WORD TỐN CHẤT LƯỢNG CAO
MR. HIỆP : 096.79.79.369

Giải:

Ta có: z

+t yt,
5

5

(=)

Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z =

-

wi]

Vậy mơ đun của z bằng: HT

ON

2

. Tìm mơđun của số phức z +ïz.

Ta
—]

Giải:
3

Ta có: (1-V3i) =-8_

—

Dođó z=m Ỗ _ 4 4->z—-4+4i
¬

=> c+ig=—4—4i+(-4+4i)i=-8-81

Vậy |z+iz|=8/2.


Ví dụ 6: Tìm các số thực x, y thỏa mãn đăng thức:
a) 3x +y+5xi=2y—1+(x-y)i
b) (2x
+ 3y + 1) 4+ (-x
4+ 2y)i= Gx

—-2y 4+ 2)4+ (4x-y-3)1.

c) x(3+5i)+ y(1—2i) =-35+ 23:
Giải:
a) Theo gia thiét: 3x + y + Sxi = 2y 1 +(x y)iâ
x=~

ey

2

2

5x=x-y

ơ

Yr

(3x + y) + (5x)Ă = (2y 1) +(x— y)i

1
7

4
7

2x+3y+lI=3x-2y+2

b) Theo gia thiét ta co:

—x+5y=1

&

—x+2y=4x-y-3

—5x+3y=-3

LiEN HE MUA FILE WORD TOAN CHAT LUO'NG CAO
MR. HIEP : 096.79.79.365
>

Bai tap tự luyện
Bail. Tìm các số thực x. y biết:
a)

(3x—2) +(2y +l)I=(x+

b)

(2x+y)+(2y—-x)I=(x—-

]l)—(y— 5)1;
2y+3)+(y+

2x +Ì)1;

Bài 2. Chứng minh z = (1+2i)(2 - 3i)(2+i) (3-2i) là một số thực
:

2

Bài 3. Tìm các sơ thuc x, y thỏa mãn đăng thức:

3—2¡

ane
+

31

+ y—2i)

=114+4i

Bài 4. Cho hai số phức: z¿ =2+5¿; z„ = 3— 4i. Xác định phân thực, phần ảo của số phức z¡.z;

Bài 5. Tìm phản thực, phần ảo và mơ đun của số phức:
a) z=(2+37)—1)— 4i

c) z = 2i(3 + i)(2 + 4i)

b) z=(2—2i)(3+ 2i1)(5 — 4i) — (2+ 3i)°


d) z=

.

—24+5i

ST

(1+ 37)(-2-Dd +1)
`

`e

A

z

Tơ

z

_ (1+ 2i)(-4 +1)

©)Z
251

.

.

d—i)(4+ 31)
.

4

Bài 6. Tìm các sô phức: 27+ z va —., biét z=3-—4i.
<

,

`

`

,

Bài 7. Cho sơ phức z = 2 + 3i.Tìm phân thực và phân ảo của sô phúc
Bai 8.

14+7i

Cho s6 phic z= 1

+

ZI

w=

z+ỉ

*

IZ —

+ (3—2i)(—1+ 31) Tính mơ đun của z và tìm tọa độ điểm biểu diễn

hinh hoc cua z trong hệ tọa độ Oxy.
Bài 9.

.

Cho z thỏa mãn (2 + 1)z +

2q+2j)
Ty

+1

=7+8¡. Tìm mơđun của số phức w =z + 1 +i

Bài 10.

Số phức z thỏa mãn (1+?”(2-¡)z=8+¡i+(1+2¡)z. Tìm phần thực, phần ảo của z.

.
Bài II.

.
.
2-i
.
¬
ek
Cho sơ phức z thỏa mãn (I — 2i) Z-—— = (3 — i) z.Tìm tọa độ điêm biêu diễn của z trong

LIÊN HỆ MUA FILE WORD TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO
MP.. HIỆP : 096.79.79.369

“ (141° =2i;(1-i) =-2i
“

A;A,

Vi du 1: Tinh: i! 477° + i - 7"
Giải:

Ví dụ 2: Tính sơ phức sau:

a) z= (1H)

Giải:

15

b)

l+¡

z=|——]
1-1

.\16

+]

l-i

——
l+¡

\8


a) Tacé: (1 +i) =14+2i-1=2i5 1 +i" = (i)! = 128.1= -128.i
nén z = (I+j'Ÿ = (1+0 ''(1+j = -128i (1+) = -128 (-1 + i) = 128 —128i.
b) Ta có

, tte

FOU)

2D,

2

2

1—i

.

= oti vay

(44)

1l+i

-\16

l-i

-\8

4 [P24] are pasar
l+¡ï

Ví dụ 3: Tìm phân thực, phân ảo của sô phức sau:

1+(1+i)+(1+i) +(i+iy +...4+(14i)”

Giải:

P=1+(1+i)+(1+i) +...4(1+i)
20

ø

=

(I7) -I

5

LIEN HE MUA FILE WORD TOAN CHAT LUO'NG CAO
MR. HIỆP : 096.79.79.369

` (i)—Ï t(I~0"+(2+3)(2-3)+1 i
N2

Bài 2.

Tim phan thuc va phan 4o cua s6 phire z thoa mãn:

Bài 3.

Tìm phản thực, phần ảo của số phức z =(1+?)”

(z +2— 3i)(1 — i) =(+Ð".

2.3. Dạng 3: Tìm số phức dựa vào Dạng đại số của số phức.
Nếu trong hệ thức tìm số phức z xuất hiện 2 hay nhiều đại lượng sau:
Dạng đại số của z là Z=x+yï

Với x,y€#

Ví dụ 1: Tìm số phức z biết z-(2+3i)z =1-91
Giải:
Goi z= at bi (a,b € ®) ta có:

Z.Z, z|.... ta sẽ sử dụng


z—(2+3i)z=1-91
S at bi-(2+3i)(a—bi) =1-9i

4-38-34

38)/= 1-91}

-a-3b=1
3a— 3b =9

<>

{a=2
b=-1

Vậy z= 2-i
Ví dụ 2: Tính mơ đun của số phức z biết răng: (2z — ÙD{ + i) + (: + I)(- i) =2-2i

Giải:
Goi z= a+ bi(a, be R)

Ta có

(2z~1)(1+¡)+(s+1)(I-?)=2~2¡
©|(2a~1)+2b¡
|(I+¡)+| (a+1)— bi

|(—?)=2-2i

© (2a~2b—1)+(2a+2b—1)¡+(a—b+1)—(a+b+1)¡=2-2i

LIEN HE MUA FILE WORD TOAN CHAT LUO'NG CAO
MR. HIEP : 096.79.79.369

Goiz=x+t
ty

(x, yER), tac6

lef + 22.2 +z] =8 SA

—

z=x-iy;3|z|

2

—I2

=|s

—

=zg=x+y

+ y2)=8
SO (xX? +y’) =2 (I)

24+ 72=262x=2
6 x=1(2)
Tu (1) va (2) tim duoc x= 1; y= +1
Vậy các sơ phức cân tìm là l +1val
r

`

k

,

.

~

-i
- ach

Teta

1L [Ƒ

Ví dụ 4: Tìm sơ phức z thỏa mãn hai điêu kiện: lz +]- 2i| = E +3+ 4i
Giải
Đặt z= x† yI(x,y € R)

J.

và

2-21...

———

Zt+l

,

Lh

>

là một sô thuân ảo.


Theo bài ra ta có

Ix+1+(y—2)|=|x+3+(4- y)j

© (x+l) +(y-2)

=(x+3) +(y-4) >> y=x4+5

Số mục v21 „x+@=3)i _ xˆ~(y=2)=1)+3(2y=3)i
x +(y-l)

x+(I-y)¡

Z+ï

x° -(y-2)(y-1)=0

ˆ
w là một số ảo khi và chỉ khi 4x? +(y—1)>0

x.-2

»

S
ya

y=xt+5

Vậy

y

23.
12
z=——+—I

77

r

`

Ay

2

7

-Ấ

„

-Ấ

207

Ví dụ 5: Tìm tât cả các sơ phức z biệt z” =|a|

+Z

LIEW HE MUA FILE WORD TOAN CHAT LUO'NG CAO
MR. HIEP : 096.79.79.369
a —b’ =a +b’ +a

<>

2ab = —b

a=—-2b°

<>

1

<>|la=-—:b=—

b(2a+1)=0

2

1

2

a=-L,p==1
2

-

l1,

1

1,

2

2

2

2

Vậy z=0; Zz=——+—I;4=——_——I
2

Ví dụ 6: Tìm số phức z thỏa mãn H = V2 và zˆ là số thuần ảo.
Giải:

Goi z= at bi(a,b 6 8) Ta có |z|=Ala?+b? và z? =a?—b}+2abi
Co

u câu bài tốn thỏa mãn khi và chỉ khi

_la

+b =2
2

a“—-b

Vậy các số phức cần tìm là 1+ï; 1-i; -l+i; -1-i

2

=0

<>

a’ =1
bˆ

2

=]

<>

|


-

Vi du 7: Tim sé phire
z biét z—

5+iN3
<

—1=0

Giải:
Goi z= at bi(a,b ER) va a’ +b° #0 taco
mm...

.....-

Zz

=(22t82<>

~-1=0+b’ —-5-iv3-a-bi=0

atbi

a@—-a-2=0
b-—J3

Vậy z—=—l—¡N3

<>

Bj=0e [Tế g2
b+J/3=-0

|a=-l:b=-Vv3
2=a=2:b=-3

hoặc z=2+iN3

Ví dụ §: Tìm số phức z thỏa mãn

|

/2và

(z_—]l

+7 ] là số thực

LIÊN HỆ MUA FILE WORD TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO
MR. HIỆP : 096.79.79.369

(z—1)(s+i]}Từ (1) và (2) ta có x=1; y=0 hoặc x=-l; y=2
Vậy z=l; z=-I+ 2I

>

Bai tap tư luyện

Bài 1. Tìm số phức z thoa man: |z—2+ i] = 2. Biết phần ảo nhỏ hơn phản thực 3 đơn vị.
Bài 2. Tìm số phức z thỏa mãn: | z| - iz = 1 —2i
Bài 3.

Tìm số phức z thỏa mãn:

|: — (2+ ¡)| =A10

Bài 4. Tìm số phức z thỏa mãn |: — (I + 2i)| =/26

và z.z= 25.

va z.z=25.

Bài 5. Tìm số phức z thỏa mãn từng trường hợp:
a)

H =2 vàz là số thuầnảo.

b) H = 5 và phân thực của z bằng hai lần phần ảo của nó.


Bai 6. Tìm số phức z thoả mãn lz| = 42

và zˆ là số thuần ảo.

Bài 7. Giải phương trình:
a) z?+z=0.

b) z”+|z|=z

¬
Ấm]
Bài . 8. Tìm số. phức z biết. (+)d+Ð+7—
=|zf.
—Ĩ

Bài 9. Tìm số phức z biết: |z — | =1 va 1+i)( z —1) có phan ao bang 1.

Bài 10. Tìm số phức z thỏa mãn: |z—1|=5 va 17(z+z)=5zz.
Bài 11. Tìm số phức z thỏa mãn

LỊ=v5

:

2(1+i

32:
4

y+)

2.4. Dạng 4: Biểu diễn hình học một số phức. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z.

LIEN HE MUA FILE WORD TOÁN CIIẤT LƯỢNG CAO
MR. HIỆP : 096.79.79.369
mãn một trong các điêu kiện sau đây:

a)|ze=l+i=2 — b) |J2+ä|=ll-i

c)|z— 4|+|z + 4| =10

GIải:

Đặt z = x +yi (x, y e R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y)

a) Xét hệ thức: |z—I+¡| =2 (1)
Đặt z = x +yI (x,

yce R)>z_— l+1=(x— l)+(y+ l)I.

Khi đó (1) <> x1?
+(y +? =2

© (x-I) + (y + L” =4.— Tập hợp các điểm MŒz) trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức
z thỏa mãn (1) là đường tròn có tâm tai I(1;-1) va ban kinh R = 2.

b) Xét hệ thức |2+z|=|z—i|_ © |&+2) +yil = |-x+(1-y)i
& (x42)
+ yˆ = x” + (I-y)Ÿ© 4x+2y+3=0.


Vậy tập hợp các điểm M là đường thắng 4x + 2y + 3 = 0.

Nhận xét: Đường thăng 4x + 2y + 3 = 0 chính là
đường trung trực của đoạn AB.

c) Xét hệ thức: |z— 4/|+|z
+ 4/|= 10
Xét F¡, F› tương ứng biểu diễn các điểm 4i và -4i tức là F¡ (0:4) và Fa =(0:-4). Do đó:

|z—4|+|z+4|= 10 © MEI + ME; = I0
Ta có FIF; = 8 — Tập hợp tât cả các điểm M nam trên (E) có hai tiêu điểm là F¡ và F; và có độ dài trục
lớn bằng 10.
2

2

Phương trình của (E) là: 42 =|
9
16

LIÊN HỆ MUA FILE WORD TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO
MR. HIỆP : 096.79.79.369

©xz'+(y-I

=(x-y} +(+ y)

©+?+y?+2xy-l=0©x?+(y+lI}
=2
Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là đường tròn có phương trình x” + ( yr ly =2

Ví dụ 3: Cho số phức z, =

(1 + v3)

Giải
<>f

5

_

-4r=0<>

t

"

t=0=> B(0;-1),C(4;-1)

+i)

. Tìm tập hợp điểm biểu diễnA = |: +2iz „ biết rằng x— y—1=0.


t=4=>

B(4,-1),C(0;-1)

Gia stt z, =x+yi

x,y €R biểu diễn bởi điểm M(x;y). Khi đó ta có:

Np = (a,b,c),a° +b? +c’ £0

Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z„ là đường trịn tâm O, bán kính 2
Ví dụ 4: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện lz —2— il = | Z— 2i| .Tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất.
Giả sử số phức z cần tìm có dạng z=x + yi

Ta c6|x-2+(y—4)i]=|x+(y-2)i]

(x,y e R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y).

<> fx 29 +(y-4)? =f? + (9-2

<> y=-—x+4. Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn (1) là đường thắng

x +

y=4. Mặt khác |z|= f/x? + y? = Vx? +27 -8x +16 = V2x? -8x416

Hay |z|=a|2(x2}+8 >2vđ

Dat
Z= xt yl

(X, y

â A)

taco

u= | (x+3)+(y-1)i |] (x +1)-(y-3)i | =x’ +y?+4x—-4y+6+ 2(x--y-4)i
Tacé: ue RS x-y-4=0

Tập hop cac diém biéu dién ctia z la duong thang d: x-y-4=0, M(x;y) là điểm biểu diễn của z thì mơ đun
của z nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dai OM nho nhat <> OM .L đ Tìm được M(-2;2) suy ra z=-2+2i.
Ví dụ 6: Tìm số phức Z. có mơ đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện Iz( + i) —3+ 2i| =

Giai
Gọi z—x+ yi(x,y€
R)>z =x— Vi

v13
Fd +i)-342)= > ox? + y?

5y

=0

đã
2

Goi M (x:y) là điểm biểu diễn của z trong mặt phắng tọa độ Oxy = M e (C) là đường trịn có tâm

26

ICL:>)và bán kính ®=——
2'2
4

Gọi d là đường thăng đi qua O và [ > d:y=5x
Gọi M¡, M; là hai giao điểm của d va (C) > M, as)

OM, > OM,

Ta tha

* lo

=OI +

vaM, Co)

R>OM(M e(€))

.
:
gk
ek
ger

15,
—>sô phức cân tìm ứng với điêm biêu diễn MỊ hay z = 4 + a!

Ví dụ 7: Tìm tập hợp các điểm biêu diễn của số phức z sao cho u =

z+2+3¡

là một sô thuân ảo.

Z—I

Giải

LIEN HE MUA FILE WORD TOAN CHAT LUO'NG CAO
MR. HIEP : 096.79.79.369

,

Ộ

u là số thuần ảo khi và chi Ẫ

2

x“+y

2

+2x+2y-3=0

x +(y-1)

>0

S

x+1)

(x+1)

2

+(v4+1yY

+(y +1)

=5

(x; y) # (051)

Vay tap hop cac diém biéu dién ctia z là đường tròn tâm I(-1:-1), bán kính V5

>

2

trừ điểm (0:1)

Bài (tâp tự luyện

Bài 1. Giả sử M(2) là điểm trên mặt phăng tọa đô biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp những điểm M2)
thỏa mãn điêu kiện sau

a) |e+(=30|=|e+3—2j| — b 2|z-j|=|z-z+2j|
A

.

3

©)|z=(3-42|=2
⁄

x

Bài 2. Trong các sô phức thỏa mãn lz —2+ 3i = 5 Tìm sơ phức z có médun nho nhat.
xe


Bài 3. Trong mặt phăng tọa độ. Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
|z —I | = E — 3i- 2 . Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mơdun nhỏ nhất
Bài 4. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện |z —2— il = |z —2i| .Tìm số phức z có mơđun nhỏ
nhất.
Bài 5. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện |z +ÌT— 5i| = E +3-

. Tìm số phức z có mơđun nhỏ

nhất.

Bài 6. Trong các số phức z thỏa mãn lz —2— i = V52, tìm số phức z mà |z —4+2iJ

là nhỏ nhật.

Bài 7. Tìm số phức Z có mơ đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện Trong tất cả các số phức z thỏa mãn
|z —2+ 2i| =1, hãy tìm số phức có H nhỏ nhất
Bài §. Trong các sô phức z thỏa mãn điêu kiện

(+z,

—I

=1.Tim so phuc c6 m6 dun nho nhất,

LIÊN HỆ MUA FILE WORD TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO
ME. HIỆP : 099,79.79.369
+) Nếu w = 0 > w có một căn bậc hai là 0
+) Nếu w=a>0(a

€ R) > wo hai can bac hai la Va

+) Néu w=a<0(a

€ R)

> wc hai căn bậc hai là

va-Va

J—ai va

-J—ai

+) Néu w=a + bi (b# 0)
Giả sử z =x +yi (x, y thuéc R) la mot can bac hai cia W © 2 = w © (xtyi)’=a + bi
=

x? _ y? -~a

2xy =b

Để tìm căn bậc hai của w ta cần giải hệ này để tìm x, y. Mỗi cặp (x. y) nghiệm đúng phương trình
đó cho ta một căn bậc hai của w.

Nhận xét: Môi sô phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai sơ đơi nhau.
Ví dụ: Tìm các căn bậc hai của mỗi sơ phức sau:

a) 4+6A5i

b) -1-2V6i


Giải:
1) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là một căn bac hai cha w = 4+ 6V5i
Khi đó: z?= w © (x+yj)?=
4+ 645

vxy s4

[ye

2xy=6

x°T

Ko
5

©

|
=4

(2)

(2) ©xỶ!- 4x”°— 45=0<>x”=0<>x=+3.
xXx=3>y= V5
x=-3>y=-J5
Vậy số phức w =4 + 6^/5 ¡ có hai căn bậc hai là: zr=3+

5i và

z2 = -3 -^|5ï

2) Giả sit z = x +yi (x, y thuộc R) là một căn bậc hai của w = -1-2
V6 i

LIÊN HỆ MUA FILE WORD TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO
MR. HIỆP : 096.79.79.369
Vậy số phức w =4 + 64/5 ¡ có hai căn bậc hai là: z¡ = 42

-^3/3i và

Zo =

-/2

+3 i

2.5.2. Vẫn đề 2: Giải phương trình bậc hai
Cho phuong trinh bac hai: Az* +Bz +C = 0 (1) (A, B, C e C, A¥0)
Phuong phap:

Tinh A = B*—4AC
*) Néu A # 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z¡ = “Bro ,Z2= —
(trong đó õ là một căn bậc hai cua A).
*) Néu A = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép: z¡ = Z2 = ¬
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau trên tập sô phức
a)z°—z+l1=0
Giải:

b) x°+2x+5=0

€)z°+2z”-3=0

0


a) z’—-z+1=0
vA=l-4=-3=3/7
vx

căn bậc hai của A là +iJf3

vx Phương trình có nghiệm: z¡ =

1+iV3
2

1 43.
=—†_——I.
2
2

1 43.
Z;=————I
2
2

b)x °+2x+5=0

¥

A=4-20=-16=16i"

¥

Can bac hai cua A 1a +47.

Vv

Phuong trinh co nghiém: x, =—1-—2i,

x, =—1+2i

c) z+2z7 -3=0

¥ datt=z.
v

Phương trình trở thành:

LIEN HE MUA FILE WORD TỐN CHẤT LƯỢNG CAO
MP. HIEP : 096.79.79.369
b) z+ (1-3i)z— 2(1 + i) = 0 (tham khdao)
Giải:
a) Xét phương trình: z” + 2z + 5 =0
Ta có: A = -4 = 47° = phương trình có hai nghiệm: z¡ = -1 +2i và z¿ = -l — 2i.

b) Ta có: A = (1-31)? +8(1+i) = 2i = (14i)”
nén 1+i 1a mét can bac hai cua s6 phitc 21
31-14+1+4+i

— Phương trình có hai nghiệm là: z¡ = ——————=2i;Z¿=
2

31-1-1-i

————
2

Vi du 3: Goi z va za là hai nghiệm phức của phương trình z” +2z+10=0

A=|z|

2

Giai:
Ta co

+|z,|

2

=-l+i

Tính giá trị biểu thức


2 +2z+10=0(z+1) =-9(z41) =(3i)
z=-143i

<>

z=-l-ải

ä ==1+3i =|a|=a|(IŸ +3? =x10
Z2 =—1~3i =|z;|= v10

Vay A= Fan +|z) = 20
Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn z” — 6z +13 = 0Tính

6

z+——

Zt+l

-

Giải:

?—6z+13=0
-3\'
c°~6+13=0©(z—3ÿ

=-4

-3Ý
= (27)
=-4s(s—3)
ai =|

Zz=3+2¡

LIÊN HỆ MUA FILE WORD TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO
MR. HIỆP : G96.79.79.369

Giải

Điều kiện: z—Ï

Phương trình đã cho tương đương với zˆ — (4 + 3i ) z+14+7i=0

Phương trình có biệt thức A =(4+3/} —4(1+7i)=3-4i =(2-i)
Phương trình có hai nghiệm là: z = Ï+ 2¡ và z=3+¡.

>

Bài tập tự luyện
Bail.

Cho z„. z, là các nghiệm phức của phương trình 2z” —4z+11=0. Tính giá trị của biêu thức
2

_ la +Ìs:]

2

(z,+2z,)°


q

+ i) 2009

Bai2.

Giai phuong trinh: z* — 2

Bài 3.

Gọi z,:z, là các nghiệm phức của phương trình: zZ”“—4z+5=0.Tính:

. q

_—

iy*

z+2¡ =0 trên tập số phức. (Tham khảo)

(— ĐẾ” +(
2.5.3. Vấn đề 3: Phương trình quy về bậc hai
- Đối với dang nay ta thường øặp phương trình bậc 3 hoặc phương trình bậc 4 dạng đặc biệt có thể
quy được về bậc hai.

- Đối với phương trình bậc 3 (hoặc cao hơn), về ngun tặc ta cơ găng phân tích về trái thành nhân
tử ( để đưa về phương trình tích) từ đó dẫn đến việc giải phương trình bậc nhật và bậc hai.
- Đối với một số phương trình khác, ta có thê đặt ân phụ để quy về phương trình bậc hai mà ta đã
biệt cách giải.
q. Plhurơng pháp phân tích thành nhân từ.

Ví dụ 2: Giải phương trình trên tập hợp số phức:

zˆ — zÌ+z”—6z—16=0

Giải:
Nhận biết được hai nghiệm z=-l và z=2

Phương trình đã cho tương đương với (z — 2)(z + )(£
Giải ra ta được bốn nghiệm:

z=-—Ï;

+ 8) =0

z= 2; z= +24/2i

Ví dụ 3: Cho phương trình sau: z + (2— 20z” + (5 — 4i)z — 10i = 0 (1)biết răng phương trình có nghiệm
thn ảo. (Tham khảo)
Giải:
Đặt z = yI vớiy c R

Phuong trinh (1) c6 dang: (iy)’ + (2i-2)(yi)? + (5-4i)(yi) — 10i= 0


© -iy` — 2y” + 2iy” + 5iy + 4y— 10i=0=0+0i
đồng nhất hoá hai về ta được:

L7

táy=6

—y'+2y*+5y-10=0

giải hệ này ta được nghiệm duy nhất y = 2

Suy ra phương trình (1) có nghiệm thuần ảo z = 2i.
* Vì phương trình (1) nhận nghiệm 21
= vé trái của (1) có thể phân tích dưới dạng:

z”+(2—202Z”+(5—4jz— I0i =(z—20ŒŸ +az+b)

(a,be R)

đồng nhất hoá hai về ta giải được a= 2 và b = 5.

=(1)©(z-200”+2z+5)=0©

£=

2j

+,

Z=2I

41

zZ+2z+5=0

©4z=-I-2i
z=-l+2¡

.

Vậy phương trình (1) có 3 nghiệm.

TÊN HỆ MUA FILE WGRD TỐN CHẤT LƯƯỢNG CAO
MR. HIEP : 096.79.79.369

&

eee

S%

=-2

Khi đó ta có phương trình (z+2)(z ~(5-i)z+8-i) =0
Tìm được các nghiệm của phương trình là z= -2; z= 2+ 1; z= 3- 21

Ví dụ 5:

Giải phương trình zÌ— (2 — 3i)z

+ 3“ — 2i)z + 9i =O biét rang phuong trinh co một nghiệm

thuan ảo. (tham khảo)

Giải

Giả sử phương trình có nghiệm thuần ảo là bi, be R
Thay vào phương trình ta được:


(bi) (2-3i)(bi) +3(1-2i)(bi) +91 =0
;
ơ
â 2b +6b+(b 3b +3b+9]i =0

2b?
+ 6b =0
œb=-3
~b3—3b?+3b+9
=0

>z=-3i

Phương trình có thê phân tích thanh (z+ 3i)(z? -2z+3)=0
Các nghiệm của phương trình là z= -31; z = l+ V2i
b. Phương pháp đặt ẩn phụ.

Ví dụ 1: Giải phương trình sau trên tập số phức (Z” + z)” + 4(Z + z) -12= 0
Giải:
Dat t =z’ + z, khi đó phương trình đã cho có dạng:
a

—l+ V23i

LIEN HE MUA FILE WGRD TSAN CHAT LUO'NG CAO
MR. HIEP : 096.79.79.369

Vi du 2: Giai phuong trinh sau trén tap sé phire (z* + 3z +6)” + 2z(z* + 3z +6) — 3z°=0
Giải:
Đặt t = zˆ + 3z +6 phương trình đã cho có dang:

t+2zt— 3zˆ = 0 ©(t— z)(+3z) =0 <> ,

Noten

t=zZz

3

=z

4ter6-1=00742066=065]

=--.

ae...

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

z--14+VJ5i
z--1-VJ5i

z=-3+3
z=-3-/3


Vi du 3: Giai phuong trinh: (z* — z)(z+3)(z+ 2) =10,z€C.

Giải:
PTS z(z+2)(z—(z£+3)=10<© (z”+2z)(z?+2z—3)=0
Đặt 7 = zˆ +2z. Khi đó phương trình (8) trở thành:
Đặt 7 = zˆ +2z. Khi đó phương trình (8) trở thành
t? —3t-10=0
<>

=>
t=5

z=-l+6

Vậy phương trình có các nghiệm:

z=—1+ V6 ;z=-lti

2

Ví dụ 4: Giải phương trình sau trên tập số phức

z” — z` + > +z+l=0_

(tham khảo)

LIÊN HỆ MUA FILE WORD TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO
MR, HIỆP : 096.79,79.369

5

Phương trình (2) có dạng:

=0

@)

A=1-4.2=-9=97
2

PT (3) co 2 nghiém
t=

Với t=

1

1437
I-31
t3 t=
3
2
2
1

tải ta CĨ Z——=
<

1+3;

TỶ —2z?—(1+3/)z—2=0@)

Có A=(I+3)”+16=8+6¡=9+6ï+¡ =(3+0)7
PT(4) có 2 nghiệm:

Voi
te

013011)

4

taco z—-—= —
xj

iy ie (43) - G+)
4

& 22° -(1-3i)z-2=0(4)

= inl
2