Định lý về giá trị trung bình flett và ứng dụng

BáGI ODệCV
OT O
TRìNG I HC QUY NHèN

NGUY NVI THO N

NH LÞ V GI TRÀ TRUNG B NH FLETT V ÙNG DÖNG

LU NV NTH CS TO NH¯C

B…nh ành - 2020


4

LI NI

U

Trong GiÊi tch toĂn hồc, nhiãu nh nghiản cứu cho r‹ng vi»c gi£ng d⁄y
c¡c kh¡i ni»m to¡n håc cho hồc sinh ph thổng hay sinh viản nôm nhĐt i
hồc nản ữổc trnh b y mt cĂch d hiu v trỹc quan hỡn nhữ dũng ỗ th, ỵ
nghắa hnh hồc thay v… c¡c kh¡i ni»m to¡n håc trłu t÷ỉng. ” l m ữổc iãu
Đy th chúng ta cn nhng nh lỵ, nhng cổng cử cn thit cho viằc
trỹc quan hõa kh¡i ni»m to¡n håc. Mºt trong nhœng cỉng cư â l cĂc nh lỵ
giĂ tr trung bnh. V dử in hnh nhĐt l o h m. Bản cnh nh nghắa
chnh thng bng khĂi niằm tru tữổng l giợi hn th o h m cặn ữổc biu
din trỹc quan qua hằ s gõc ca ữớng tip tuyn. V cĂc nh lỵ gi¡ trà trung
b…nh ch‰nh l chi‚c cƒu nŁi trong vi»c chøng minh bi”u di„n h…nh håc â
cıa ⁄o h m.
Ngo i ra, cĂc nh lỵ giĂ tr trung bnh t trữợc n nay vn cõ tm quan

trồng trong GiÊi tch toĂn hồc. CĂc nh lỵ Đy va cõ hnh thức bi”u di„n
ìn gi£n l⁄i vła l cỉng cư to¡n håc m⁄nh m‡, phị hỉp ” gi£i quy‚t nhi•u b i
to¡n. V‰ dư nh÷ h m sŁ câ ⁄o h m dữỡng l h m tông ngt ch l mt trong
những hằ quÊ suy ra t nh lỵ giĂ tr trung bnh. Trong chữỡng trnh
ToĂn hồc ca nhiãu quc gia trản th giợi trong õ cõ Viằt Nam, cĂc nh lỵ
giĂ tr trung bnh ãu ữổc ữa v o sĂch GiÊi t‰ch to¡n hoc ” gi£ng d⁄y cho
håc sinh, sinh vi¶n.
Câ rĐt nhiãu nh lỵ giĂ tr trung gian khĂc nhau nhữ Fermat, Rolle,
Lagrange, hay Cauchy, tuy nhiản chúng tổi tp trung v o nh lỵ Flett.
Lun vôn cõ tản l nh lỵ giĂ tr trung bnh Flett v ứng dửng .
Lun vôn gỗm hai chữỡng:
Chữỡng 1. TĂc giÊ s nhc li mt s kt quÊ vã h m s liản tửc, h m s
khÊ vi v chứng minh nh lỵ gi¡ trà trung b…nh Flett b‹ng hai c¡ch kh¡c
nhau. Ngo i ra, t¡c gi£ cơng ÷a ra mºt sŁ h» quÊ cụng nhữ dng thức khĂc
ca nh lỵ Flett cõ nhiãu ứng dửng trong chữỡng tip theo.


5

Chữỡng 2. TĂc giÊ s sò dửng cĂc hằ quÊ v dng thức khĂc ca nh lỵ
Flett Chữỡng 1 v o vi»c gi£i mºt sŁ b i to¡n v• nh lỵ giĂ tr trung bnh, v
vã sỹ tỗn ti nghiằm ca phữỡng trnh toĂn tò Volterra.
Quy Nhỡn, ng y 09 thĂng 7 nôm 2020
Hồc viản

Nguyn Vit Ho n


6

Chữỡng 1
nh lỵ Flett
1.1

Kin thức chu'n b

phn n y chúng tổi s nhc li vã mt s nh nghắa, tnh chĐt ca
giợi hn h m s, h m s liản tửc v cĂc nh lỵ giĂ tr trung bnh cho cĂc h m
s khÊ vi liản tửc.
nh nghắa 1.1.1. Cho h m sŁ f x¡c ành trong kho£ng (a; b) ; ta nâi h m
sŁ f câ giỵi h⁄n L khi x ! x0, vi‚t lim f (x) = L; n‚u måi d¢y fxng

(a; b)

x!x0
m xn ! x0 th… lim f (xn) = L:
n!1

ành ngh¾a 1.1.2. Cho h m sŁ f x¡c ành trong kho£ng (a; b). H m s f
ữổc gồi l liản tửc ti

im x0 2 (a; b) nu lim f (xn) = f(x0) vợi mồi dÂy
n!1

fxng (a; b) v xn ! x0 khi n ! 1: H m s f ữổc gồi l liản tửc trong kho£ng (a;
b) n‚u nâ li¶n tưc t⁄i måi i”m x0 2 (a; b):
ành ngh¾a 1.1.3. Cho h m sŁ f x¡c ành trong kho£ng (a; b). H m sŁ f
÷ỉc gồi l liản tửc ãu trong khoÊng (a; b) nu:
8" > 0; 9 sao cho 8x1; x2 2 (a; b); jx1

x2j < ) jf (x1)

f (x2) j < ":

ành ngh¾a 1.1.4. Cho h m sŁ f x¡c ành tr¶n o⁄n [a; b]: H m s f ữổc gồi
l liản tửc tr¶n o⁄n [a; b] n‚u nâ li¶n tưc t⁄i måi i”m x 0 2 (a; b) v h m sŁ f li¶n
tưc ph£i t⁄i a, li¶n tưc tr¡i t⁄i b. Tp hổp tĐt cÊ cĂc h m s liản trản on [a; b]
ữổc kỵ hiằu l C([a; b]):


7

nh lỵ 1.1.1 ( nh lỵ Weierstrass). Nu h m sŁ f li¶n tưc tr¶n o⁄n [a; b]
th… nâ ⁄t ữổc giĂ tr lợn nhĐt, giĂ tr nhọ nhĐt trản [a; b]:
ành ngh¾a 1.1.5. Cho h m sŁ f x¡c ành trong kho£ng (a; b) v x 0 2 (a;
b). Nu giợi hn
f(x) f(x )
0
lim
x!x0 x x0
tỗn ti hu hn th giĂ tr giợi hn õ ữổc gồi l o h m cıa h m sŁ f t⁄i x 0 v
0
ữổc kỵ hiằu l f (x0): Nu h m s f kh£ vi t⁄i måi i”m x 0 2 (a; b) th… chóng
ta nâi f kh£ vi trong kho£ng (a; b):
ành ngh¾a 1.1.6. Cho h m sŁ f x¡c ành trản on [a; b]. H m s f ữổc gồi
l kh£ vi tr¶n o⁄n [a; b] n‚u nâ kh£ vi t⁄i måi i”m x 0 2 (a; b) v h m sŁ f câ ⁄o h
m ph£i t⁄i a, câ ⁄o h m tr¡i t⁄i b. T“p hỉp t§t c£ c¡c h m sŁ kh£ vi v câ ⁄o h m
1

liản tửc trản on [a; b] ữổc kỵ hiằu l C ([a; b]):

nh lỵ 1.1.2 ( nh lỵ Fermat). GiÊ sò rng h m s f liản tửc trản on [a; b]
0

0

v ⁄t cüc trà t⁄i i”m c 2 (a; b). Nu f (c) tỗn ti th f (c) = 0.
nh lỵ 1.1.3 ( nh lỵ Darboux). GiÊ sò rng h m sŁ f kh£ vi trong (a; b).
Khi â f cõ tnh chĐt giĂ tr trung bnh trản (a; b).
nh lỵ 1.1.4 ( nh lỵ Rolle). GiÊ sò h m sŁ f li¶n tưc tr¶n o⁄n [a; b] câ ⁄o h
0

m trong kho£ng (a; b). N‚u f(a) = f(b) th tỗn ti c 2 (a; b) sao cho f (c) =
0.
nh lỵ 1.1.5 ( nh lỵ Lagrange). GiÊ sò h m sŁ f li¶n tưc tr¶n o⁄n [a; b]
câ o h m trong khoÊng (a; b). Khi õ tỗn ti c 2 (a; b) sao cho
f0(c) =

f(b) f(a)

b

:

a

nh lỵ 1.1.6 (T‰nh kh£ vi cıa h m c“n tr¶n). N‚u f l h m li¶n tưc tr¶n [a;
b] th… h m sŁ F (x) x¡c ành bði
x

F (x) =

Z
a

f(t)dt


8

Hnh 1.1: ị nghắa hnh hồc ca nh lỵ giĂ tr trung bnh Rolle.

Hnh 1.2: ị nghắa hnh hồc ca

nh lỵ giĂ tr trung bnh Lagrange.

khÊ vi ti mồi x
nh nghắa 1.1.7 (Khổng gian cĂc h m bnh phữỡng khÊ t‰ch).
2

L [0; 1] := ff : [0; 1] ! R o ÷ỉc sao cho
0


9
2

Tr¶n L [0; 1] chóng ta x¡c ành mºt t‰ch vổ hữợng nhữ sau:
Z 1

hf; gi =

f(x)g(x)dx:
0

2

Chúng ta bit rng L [0; 1] l khổng gian Hilbert.
nh lỵ 1.1.7 ( nh lỵ giĂ tr trung bnh tch phƠn thứ nhĐt). X†t c¡c h m
f; g kh£ t‰ch tr¶n [a; b] v gồi m = inf
x2[a;b]

khổng Ơm (hoc khổng dữỡng) trản [a; b] th…

Z

b
a f (x) g (x) dx =

Z

b
a g (x) dx vỵi 2 [m; M]:

Hìn nœa, n‚u f 2 C[a; b] th… 9 2 [a; b]
Zb
Zb
f (x) g (x) dx = f ( )
g (x) dx:
a

a

nh lỵ 1.1.8 ( nh lỵ giĂ tr trung bnh tch phƠn thứ hai). X†t c¡c h m
sŁ f; g kh£ t‰ch v g l h m ìn i»u tr¶n [a; b]. Khi â 9 2 [a; b] sao cho
Zb
a

f (x) g (x) dx = g (a)

Z
a

f (x) dx + g (b)

Zb

f (x) dx:

2

ành nghắa 1.1.8 (ToĂn tò Volterra). GiÊ sò f 2 L [0; 1]. Chúng ta nh
2

2

nghắa toĂn tò V : L [0; 1] ! L [0; 1] nh÷ sau:
Zx
V (f)(x) =
f(t)dt:
0

Chóng ta bi‚t r‹ng to¡n tß V l to¡n tß tuy‚n tnh b chn v cõ toĂn tò liản
hổp l
Z

V (f)(x) =

1

x

f(t)dt:


10

1.2

nh lỵ Flett v mt s hằ quÊ

phn n y chúng tổi s trnh b y vã nh lỵ Flett, nh lỵ n y  ữổc
Flett chứng minh v ữa ra ỵ nghắa hnh hồc v o nôm 1958 trong [1]. Cõ
th nõi nh lỵ Flett nhữ l nh lỵ Lagrange vợi iãu kiằn ca nh lỵ Rolle. Sau
Ơy chúng tổi s chứng minh li nh lỵ bng hai cĂch khĂc nhau.
nh lỵ 1.2.1 ( nh lỵ giĂ tr trung b…nh Flett). Cho f : [a; b] ! R khÊ vi
0

0

trản [a; b] v thọa mÂn f (a) = f (b). Khi õ tỗn ti c 2 (a; b) sao cho

0

f (c) =
Chøng minh. Ta thüc hi»n chøng minh b‹ng hai c¡ch nh÷ sau:
C¡ch 1:
X†t h m sŁ
g(x) =

Ta câ g l h m kh£ vi tr¶n

g0(x) =

N¶n

g0

v

Suy ra

f0(x)



11

Theo nh lỵ Lagrange th tỗn ti x0 2 (a; b) sao cho
0

g (x0) =

Suy ra
0

0

0

0

g (b)g (x0) = b

1

0
ag (b)(g(b)

g(a)) 0:

+) N‚u g (b)g (x0) < 0 th… ta s chứng minh tỗn ti c 2 (x0; b) sao cho
0
g (c) = 0.
0

0

Th“t v“y, khỉng m§t t‰nh tŒng qu¡t gi£ sß g (x0) < 0 v g (b) > 0. Khi â

ta x†t h m g(x) li¶n tưc tr¶n [x0; b].
N‚u g(x0) =

0
N‚u g(b) =

V“y g(x) khæng ⁄t cüc tr ti biản nản tỗn ti c 2 (x0; b) sao cho

0

0

Theo nh lỵ Fermat suy ra g (c) = 0 hay f (c) =
0

0

+) N‚u g (x0) = 0 th… f (x0) =
0

0

0

0

+) N‚u g (b) = 0 th… f (b) = g(b), dÔn n g(a) = f (a) = f (b) = g(b).
0

Khi â, g (x0) = 0, Ơy chnh l trữớng hổp bản trản v
b i toĂn. nh lỵ ữổc chứng minh.
8
>

f(x) f(a)



Ta câ g l h m kh£ vi tr¶n [a; b] v
0

g (x) =
Do g(x) l h m li¶n tưc trản [a; b] nản tỗn ti x1; x2 2 [a; b] sao cho
v

g(x1) = max g(x)

g(x2) = min g(x):

x2[a;b]

x2[a;b]

+) N‚u x1 2= fa; bg ho°c x2 2= fa; bg th… g(x) t cỹc tr trong (a; b), theo
0

nh lỵ Fermat th tỗn ti c 2 (a; b) sao cho g (c) = 0, iãu n y tữỡng ữỡng vợi
0

f (c) = g(c) =
+) N‚u x1 = a; x2 = b th theo nh lỵ Lagrange tỗn ti c1 2 (a; b) sao
cho g(b) =

f(b) f(a)
b

a

= f0(c1):

Khi â
g(c1)

0

f (c1) = g(c1)

g(b) > 0

v
g(b)

0

f (b) = g(b)

0

f (a) = g(b)

g(a) < 0:

V… vy

0

0

(g(c1)f (c1))(g(b) f (b)) < 0
0

nản theo nh lỵ Darboux tỗn ti c 2 (c1; b) sao cho f (c) = g(c), iãu n y
tữỡng ữỡng vợi
0

f (c) =
+) Nu x1 = b; x2 = a th theo nh lỵ Lagrange tỗn ti c1 2 (a; b) sao cho
g(b) =
Khi â
g(c1)

0

f (c1) = g(c1)

g(b) < 0


13

v
g(b)

0

f (b) = g(b)

0

f (a) = g(b)

g(a) > 0:

V… v“y
0

0

(g(c1)f (c1))(g(b) f (b)) < 0
0

nản theo nh lỵ Darboux tỗn t⁄i c 2 (c1; b) sao cho f (c) = g(c), iãu n y
tữỡng ữỡng vợi
0

f (c) =
B i toĂn

ữổc chứng minh ho n to n.

ị nghắa hnh hồc ca nh lỵ Flett: Nu ữớng cong y = f(x) cõ ti‚p tuy‚n
t⁄i mØi i”m thuºc (a; b) v hai ti‚p tuy‚n t⁄i c¡c i”m cuŁi (a; f(a))
(b; f(b)) song song th nh lỵ Flett khflng nh rng tỗn ti c 2 (a; b) sao
cõ th xƠy dỹng ữổc mt tip tuy‚n t⁄i c v i qua (a; f(a)).

v

H…nh 1.3: Þ nghắa hnh hồc ca nh lỵ giĂ tr trung bnh Flett.

nh lỵ Flett dÔn

n mt s kt quÊ khĂc nhữ sau:


14

H» qu£ 1.2.1. Cho f : [a; b] ! R l h m kh£ vi tr¶n [a; b]. Khi â tỗn ti c 2 (a;
b) sao cho
0

f(c) f(a) = (c a)f (c)
Chøng minh. X†t h m sŁ

g(x) = f(x)
Khi â ta câ
0

0

g (x) = f (x)
0

0

v g (b) = g (a): Theo nh lỵ Flett th tỗn ti c

0

g (c) =
hay
0

f(c) f(a) = (c a)f (c)
Ta câ i•u ph£i chøng minh.
H» qu£ 1.2.2. Cho f : [a; b] ! R l
Khi õ tỗn ti c 2 (a; b) sao cho

mt h m liản tửc thọa mÂn f(a) = f(b).
Z c


Chøng minh. X†t h m sŁ F (x) =
( ) nản

fb

nghắa l
Z

(c
Ta cõ iãu phÊi chứng minh.

a)f(c) =

c

a

f(x)dx:


15

H» qu£ 1.2.3.
c 2 (a; b) sao cho
Z

a

Chøng minh. H» qu£ n y ÷ỉc suy trüc ti‚p tł H» qu£ 1.2.1 b‹ng c¡ch x†t h
m F (x) =

1.3

R

0

x

f(t)dt.

Mºt sŁ d⁄ng thức khĂc ca

nh lỵ Flett

Mằnh ã 1.3.1. Cho f l mºt h m li¶n tưc tr¶n [a; b] v kh£ vi trong (a; b). Khi õ
tỗn ti s thỹc c 2 (a; b) sao cho
0

f (c) =
Chøng minh. X†t h m g(x) = xf(b)
0

v g(a) = g(b) = af(b) n¶n theo nh lỵ Rolle tỗn ti c 2 (a; b) sao cho g (c) =
0 hay
0

f (c) =
V“y ta câ i•u ph£i chøng minh.
M»nh • 1.3.2. N‚u f l mºt h m sŁ li¶n tưc tr¶n [a; b] v kh£ vi trong (a; b)
th tỗn ti c 2 (a; b) sao cho
0

f (c) =
Chøng minh. X†t h m sŁ
g(x) = xf(a) + (b x)f(x):
Ta câ g(b) = g(a) = bf(a) nản theo nh lỵ Rolle, tỗn ti c 2 (a; b) sao cho
0
g (c) = 0 hay


0

f (c) =
V“y ta câ i•u ph£i chøng minh.

16

M»nh• 1.3.3. N‚u f l mºt h m kh£ vi liản tửc trản [a; b] thọa mÂn

f(b) f(a)
th tỗn ti c 2 (a; b)

Chøng minh. X†t h
tưc tr¶n [a; b] v g(a)g(b) < 0 nản theo nh lỵ giĂ tr trung bnh th tỗn ti
c 2 (a; b) sao cho g(c) = 0 hay
0

f (c) =
Ta câ i•u ph£i chøng minh.
Mằnh

ã 1.3.4. Nu f l h m khÊ vi liản tửc trản [a; b] thọa mÂn
f(b)

f(a)

f(b)

f(a)

(b

0

a)f (a) < 0

th tỗn t⁄i c 2 (a; b) sao cho
0

f (c) =
Chøng minh. X†t h m sŁ
g(x) = f(b)

f(a)

(b

0

x)f (x):

Ta câ g li¶n tưc tr¶n [a; b] v g(a)g(b) < 0 n¶n theo nh lỵ giĂ tr trung gian,
tỗn ti c 2 (a; b) sao cho g(c) = 0 hay
0

f (c) =
V“y ta câ i•u ph£i chøng minh.


17

Mằnh

ã 1.3.5. Nu f khÊ vi liản tửc trản [a; b] thäa m¢n
0

0

f (a) f(b) f(a) (b a)f (b) > 0
th tỗn ti s thỹc c 2 (a; b) sao cho
0

f (c) =
Chøng minh. X†t h m sŁ
0

g(x) = f(x) f(a) (b a)f (x):
Ta câ g l h m sŁ li¶n tưc tr¶n [a; b] v
c 2 (a; b) sao cho g(c) = 0 hay
0

f (c) =
V“y ta câ i•u ph£i chøng minh.
M»nh

• 1.3.6. N‚u f l mºt h m khÊ vi liản tửc trản [a; b] thọa mÂn
0

0

f (b) f(b) f(a) (b a)f (a) > 0
th tỗn ti s thüc c 2 (a; b) sao cho
0

f (c) =
Chøng minh. X†t h m sŁ
0

g(x) = f(b) f(x) (b a)f (x):
Ta câ g l h m sŁ li¶n tưc tr¶n [a; b] v
c 2 (a; b) sao cho g(c) = 0 hay
0

f (c) =


Tł

â ta câ i•u ph£i chøng minh.


18
00

M»nh • 1.3.7. Cho f l h m kh£ vi n cĐp hai trản [a; b] sao cho f (x) > 0;
8x 2 [a; b]. Vỵi mØi x0 2 (a; b), chứng minh rng tỗn ti c 2 [a; b] sao cho
0

f (x0) =
Chøng minh. C¡ch 1: Düa tr¶n vi»c chứng minh nh lỵ Flett thổng qua
xƠy dỹng 2 h m sŁ:
h1(x) =

v
h2(x) =

:
C¡ch 2: Düa v o t‰nh ìn
ta xt ỗng thới hai h m s:

iằu ca h m sŁ. Th“t v“y, vỵi måi x0 2 (a; b)

v
l
g

c¡c h m s liản tửc khÊ vi n cĐp 2.
0
Ta cõ g
0

2

(x
1

0

(x) = f (x)
0

Do õ g

trản ta xt cĂc trữớng hæp
+) N‚u

1

f(a)


v

g1(b) = 0.


19

Khi â düa v o b£ng bi‚n thi¶n ta câ g1(x0) < 0 suy ra g1(a)g1(x0) 0. Theo
nh lỵ giĂ tr trung bnh th tỗn ti c 2 [a; x0] sao cho g1(c) = 0 hay

+) N‚u

v

g2(a) = 0.
Khi â düa v o b£ng bi‚n thi¶n ta câ g2(x0) < 0 suy ra g2(b)g2(x0) 0, theo

nh lỵ giĂ tr trung bnh tỗn ti c 2 [x0; b] sao cho g2(c) = 0 hay

f0(x0) =
B i to¡n

f(a) f(c)
:

÷ỉc chøng minh ho n to n.

a

c


20

Chữỡng 2
ng dửng
2.1

ng dửng nh lỵ Flett v o viằc gi£i mºt sŁ b i to¡n

Trong phƒn n y tr…nh b y mt s vn dửng ca

nh lỵ Flett trong cĂc

i toĂn vã nh lỵ giĂ tr trung bnh. Nhn thĐy viằc xƠy dỹng h m sò
dửng nh lỵ Flett l mt b i toĂn khõ, do vy dữợi ¥y tæi ch¿ tr…nh b y mºt
sŁ b i to¡n àp vã mt hnh thức v cĂch thức tữ duy ” cho th§y mºt øng
dưng m⁄nh m‡ cıa Flett v o vi»c chøng minh mºt sŁ b i to¡n v• nh lỵ
giĂ tr trung bnh.
b

B i toĂn 1. Cho f l h m sŁ li¶n tưc tr¶n [0; 1] v thọa mÂn f(1) = 0. Chứng

minh tỗn ti c 2 (0; 1) sao cho
f(c) =

Z

1

f(x)dx:

0
t

Líi gi£i. X†t h m sŁ g(t) = te

t

R

â

f(x)dx: Khi
0

t

0

g (t) = e
0

t

Z

0
t

f(x)dx + e t

1


Z
0

t

f (x)dxC :

A