Tài liệu Tập hợp và số thực ppt

Lời giới thiệu
Do ảnh hởng của cuộc cách mạng thông tin và do sự phát
triển nội tại của toán học, việc giảng dạy toán bậc đại học và cao
học có nhiều thay đổi. Xu hớng chung là nhanh chóng cho học
viên nắm bắt đợc các kiến thức cơ bản về toán học và khả năng
ứng dụng, đồng thời sử dụng đợc các chơng trình tính toán
thực hành một cách thuần thục.
Để đáp ứng nhu cầu đó, trên cơ sở đề tài khoa học Phần mềm
Cơ sở Toán học của Trung tâm Khoa học tự nhiên và Công nghệ
Quốc gia do Viện Toán học chủ trì thực hiện từ năm 1996 đến
năm 1998, chúng tôi biên soạn bộ giáo trình Cơ sở Toán học Cao
cấp giành cho sinh viên đại học và cao học.
Bộ giáo trình này đợc biên soạn dựa theo nội dung chơng
trình toán cao cấp của các khoa cơ bản trong các trờng đại học
do Bộ Giáo dục và Đào tạo qui định, kết hợp với các giáo trình
toán hiện đang đợc giảng dạy trong các trờng đại học ở Hà Nội
và một số nớc tiên tiến trên thế giới. Mục đích của giáo trình là:
1. Trình bày những khái niệm, những nguyên lý cơ bản và cần
thiết nhất của toán học, với những chứng minh chặt chẽ, lô
gic;
2. Rèn luyện kỹ năng tính toán thực hành trên máy tính và khả
năng áp dụng công cụ toán học trong việc giải quyết các bài
toán thực tiễn;
3. Giới thiệu mét sè h−íng ph¸t triĨn míi trong to¸n häc hiƯn đại
đang đợc quan tâm trên thế giới.
Để đáp yêu cầu thứ nhất, chúng tôi chủ trơng tránh đa
vào giáo trình những phần lý thuyết nặng nề và ít sử dụng đến
sau này. Phần bài tập đợc biên soạn với mục đích giúp học viên
củng cố kiến thức lý thuyết, không sa vào những kỹ sảo tính toán
phức tạp.
Mục đích thứ hai đợc thể hiện trong giáo trình bởi phần bài

tập và tính toán thực hành biên soạn rất công phu cho từng
chơng. Nó giúp cho học viên tiếp cận một cách nhẹ nhàng và
thoải mái với công việc tính toán cụ thể, lĩnh vực luôn bị xem là
đáng ngại nhất đối với các học viên bậc đại học ở nớc ta x−a
i


nay. Ng−êi häc kh«ng chØ cã thĨ thư søc víi những bài toán thách
đố (để rèn luyện t duy), mà còn biết sử dụng máy tính để giải
một cách dễ dàng những bài toán hóc búa mà họ tởng chừng
không thể nào giải nổi. Hi vọng rằng khi ra trờng họ sẽ không
còn phải ngại ngùng trong việc đa các công cụ toán học vào công
việc của mình. Thực tế cho thấy, ở đâu toán học phát huy đợc
tác dụng thì ở đó thờng thu đợc những kết quả bất ngờ.
Công cụ tính toán thực hành giới thiệu trong giáo trình này
là bộ chơng trình Maple V. Đây là bộ chơng trình tổng hợp,
khá đồ sộ, nhng hiện nay đà có thể cài đặt trên máy tính cá
nhân với cấu hình bình thờng (bộ nhớ tối thiểu là 8MB). Với khả
năng biểu diễn và tính toán cực mạnh (kể cả trên các ký hiệu
hình thức), nó hiện đang đợc xem một trong những chơng trình
phổ biến nhất sử dụng trong công tác đào tạo ở các trờng đại
học trên thế giới. Nếu sử dụng đợc Maple một cách thuần thục
thì học viên cũng dễ dàng tiếp cận với các chơng trình tính toán
phổ biến khác nh: Matematica, Matlab, Mathcad,.. Bằng các
hớng dẫn cụ thể cho từng chơng, giáo trình giúp ngời đọc tự
mình từng bớc tiến hành công việc tính toán một cách nhẹ
nhàng nh bấm máy tính bỏ túi, không cần chuẩn bị gì đặc biệt
về kiến thức lập trình.
Để đạt đợc mục đích thứ ba, chúng tôi đa vào giáo trình
một số chơng mục không kinh điển (không bắt buộc đối với học

viên bậc đại học), giúp ngời đọc làm quen với những ý tởng mới
trong toán học hiện đại, khích lệ sự tìm tòi phát triển những cái
mà lâu nay đợc xem nh là bất di bất dịch trong toán học cổ
điển. Phần này chắc chắn sẽ đem lại hứng thú và những gợi ý về
mặt định hớng cho những ngời có nguyện vọng đợc đào tạo
cao hơn về toán học, nhất là những học viên cao học.
Giáo trình này cũng đợc thiết lập dới dạng siêu văn bản,
rất thuận tiện cho việc đọc và tra cứu trên máy tính. Phần tính
toán thực hành đợc thực hiện dễ dàng và thuận tiện ngay trong
khuôn khổ của giáo trình (học đến đâu thực hành đến đó), nhằm
xoá nhoà ranh giới giữa học toán và làm toán. Bạn đọc có nhu
cầu về giáo trình dới dạng siêu văn bản và thực hành tính toán
trên Maple V xin liên hệ với các tác giả theo địa chỉ của Viện
Toán học (Đờng Hoàng Quốc Việt, Quận Cầu Giấy, Hà Nội).

ii


phần
đọc
Giải
Trongcác tácnày chúng tôi giới thiệu với bạnbiên),cuốn Phạmtích I
của
giả : Ts. Đinh Thế Lục (chủ
Ts.
Huy
Điển, Ts. Nguyễn Xuân Tấn, Pts. Tạ Duy Phợng. Nội dung quyển
sách bao gồm những kiến thức đòi hỏi học viên phải nắm đợc về
bộ môn Giải tích trong năm thứ nhất bậc đại học.
Trong Chơng 1 chúng tôi không trình bầy chi tiết về xây dựng

trờng số thực (để không làm lại phần việc của những ngời biên
soạn giáo trình Số học), mà chỉ sử dụng lát cắt để chứng minh sự
tồn tại biên của tập bị chặn, một tính chất quan trọng đợc dùng
nhiều lần trong chơng trình Giải tích, đồng thời làm quen sinh
viên với môn học Tô pô đại cơng thông qua các khái niệm trên
đờng thẳng thực. Ngoài việc sử dụng trong giáo trình này, nó giúp
học viên hiểu rõ bản chất của những khái niệm trừu tợng trong lý
thuyết Tô pô tổng quát. Bên cạnh những khái niệm kinh điển nh:
đạo hàm, vi phân, tích phân, chuỗi hàm,... chúng tôi giới thiệu
(trong Chơng 7) một số một khái niệm mới của Giải tích không
trơn, một lĩnh vực đang đợc quan tâm và ứng dụng. Chơng
phơng trình vi phân (Chơng 11) đợc đa vào nhằm củng cố
những kiến thức về đạo hàm, tích phân và phục vụ nhu cầu tìm hiểu
các bài toán đặt ra trong cơ học, vật lý, hóa học, sinh học,... Chúng
tôi không đi sâu vào lĩnh vực này (để tránh gây chồng tréo với
những ngời biên soạn giáo trình phơng trình vi phân) mà chỉ đặt
mục đích giới thiệu khái niệm làm cơ sở cho việc thực hành tính
toán.
Để ngời đọc dễ tiếp thu, chúng tôi cố gắng trình bày giáo trình
một cách gọn gàng, đơn giản nhng đầy đủ. Ngoại trừ những phần
giành lại cho bộ môn khác, các vấn đề nêu ra trong khuôn khổ giáo
trình giải tích đều đợc chứng minh chặt chẽ và khúc triết. Phần
bài tập và tính toán thực hành đợc biên soạn công phu, có nội
dung bao quát tất cả những chủ đề cơ bản. Chúng tôi hy vọng rằng
giáo trình sẽ là một cẩm nang tốt cho sinh viên các trờng kỹ thuật
và tổng hợp.

iii

Chơng 1

__________________

1.1. Khái niệm tập hợp

Tập hợp và Số thực
______________________________

1.1.1. Tập hợp
Tập hợp, trong Toán học, đợc xem là một khái niệm khởi đầu không định nghĩa.
Nó đồng nghĩa với các từ họ, hệ, lớp,... và đợc dùng để mô tả một quần thể của những
đối tợng phân biệt đợc mµ chóng ta t− duy nh− mét thĨ trän vĐn.
ThÝ dụ Khi ta nói: Họ các đờng tròn đồng tâm, hệ các phơng trình tuyến tính, lớp các hàm

đa thức, cũng có nghĩa là tập hợp của các đối tợng nói trên. Tập hợp xe cơ giới của
thành phố Hà Nội, tập hợp các sinh viên Việt Nam, tập hợp những đờng phố xuất phát
từ Hồ Gơm, v.v... là những ví dụ điển hình về khái niệm tập hợp không chỉ trong
Toán học, mà cả trong ngôn ngữ thông thờng.
Những thành viên của tập hợp gọi là phần tử (hay ®iĨm). Cho A lµ mét tËp, ta viÕt
x ∈ A (đọc: x thuộc A) có nghĩa x là một phần tử của A, và viết x A (đọc: x không
thuộc A) có nghĩa x không phải là phần tử của A.

1.1.2. Diễn tả tập hợp
Để diễn tả tập hợp ng−êi ta dïng dÊu mãc {...}. Trong dÊu mãc ta có thể liệt kê tất cả
các phần tử của tập hợp {x1 ,..., x n } , hoặc nêu thuộc tính chung (P) của các phần tử tập
hợp bằng cách viÕt {x : x tháa m·n (P)}.
ThÝ dô A = {1, 2, 3, 4, 5}

hc A = {1, 2,...,5}

hc A = {x : x là số tự nhiên sao cho 1 x 5}.

1.1.3. Tập rỗng
Ta quy ớc Tập rỗng (hay tập trống) là tập hợp không có một phần tử nào cả. Ngời ta
thờng ký hiệu tập rỗng là .
Thí dụ Tập hợp các cầu thủ bóng đá Việt Nam đà đoạt giải Olympic năm 1996 là tập rỗng; tập

hợp các số lẻ chia hết cho 4 là tập rỗng.

5


Chơng 1.

Tập hợp và Số thực

1.1.4. Tập trùng nhau
Ta nói tËp A vµ tËp B trïng nhau (hay b»ng nhau) và viết A = B (đọc: A bằng B)
nếu chúng có cùng những phần tử, tức là x A khi và chỉ khi x B . Khi chúng
không trïng nhau ta viÕt A ≠ B.
ThÝ dơ A lµ tập gồm số 2 và số 4, còn B là tập các số chẵn dơng bé hơn 5. Ta có A = B.

1.1.5. Tập hợp con
Ta nói A là tập con cđa tËp B nÕu mäi phÇn tư cđa A là phần tử của B. Khi đó ta
viết A B (đọc: A nằm trong B), hoặc B A (đọc: B chứa A). Nếu A B và
A B ta nãi A lµ tËp con thËt sù cđa B. Quy ớc: Tập rỗng là tập con của mọi tập.
Chú ý Mỗi phần tử x của A tạo thành tập con {x} của A. Cần phân biệt phần tử x của tập

hợp A (viết là x A ) với tập con {x} của tập hợp A (viết là {x} A) .

1.2. Các phép toán

____________________________________

1.2.1. Hợp của hai tập
Hợp của hai tập A và B đợc ký hiệu A B (đọc: A hợp B) là tập gồm tất cả các
phần tử thuộc A hoặc thuộc B. Nghĩa lµ, A ∪ B = {x : x ∈ A hc x ∈ B }.
ThÝ dơ A = {1,2,10,{a, b}}, B = {a,2,{a,b}}, A ∪ B = {1,2,10,{a,b},a}.
Chó ý {a,b} là một tập nhng nó lại là một phần tử cđa A vµ cđa B.

1.2.2. Giao cđa hai tËp
Giao cđa hai tập A và B đợc ký hiệu A B (đọc: A giao B) là tập gồm tất cả các
phần tử vừa thuộc A lại vừa thuộc B. Vậy A ∩ B= { x : x ∈ A vµ x ∈ B }.
ThÝ dơ Víi A = {a,b,c}, B = {{a},b,d}, thì A B = {b} .

1.2.3. Phần bù
Phần bù của A trong B đợc ký hiệu B \ A là tập gồm tất cả các phần tử thuộc B
nhng không thuộc A. Đôi khi ngời ta gọi B \ A lµ hiƯu cđa B vµ A.
VËy B \ A = {x : x ∈ B vµ x ∉ A }.
ThÝ dô A = {1,5,10,b}, B = {5,b}. Khi đó B \ A = .

Minh họa hình häc:

6


Chơng 1.

Tập hợp và Số thực

1.2.4. Tính chất của các phép tính
Cho A, B và C là ba tập hợp bất kỳ. Khi đó ta có:

Tính kết hợp
(1)
A (B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C ,
(1’) A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C .

TÝnh giao ho¸n
(2)

A ∪ B=B ∪ A ,

(2’) A ∩ B= B ∩ A .

TÝnh ph©n phèi
(3)

A ∪ ( B ∩ C )=( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) ,

(3’) A ∩ ( B ∪ C )=( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ,
(4) A \ ( B ∪ C )=( A \ B) ∩ ( A \ C ),
(4’) A \ ( B ∩ C )=( A \ B ) ∪ ( A \ C ) .
Chứng minh Để chứng minh đẳng thức X = Y giữa hai tập X và Y ta chỉ ra rằng
với x ∈ X th× suy ra x ∈ Y tøc là X Y , và ngợc lại với y Y thì suy ra y X,
tức là Y ⊆ X .
Tr−íc hÕt ta chøng minh (3). Cho x là phần tử bất kỳ của A ( B C ) . Khi đó x A
hoặc x ∈ ( B ∩ C ) . NÕu x ∈ A thì x A B và x A ∪ C , cã nghÜa lµ
x ∈ ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) . NÕu x ∈ ( B ∩ C ) th× x ∈ B và x C . Lúc đó x A ∪ B vµ
x ∈ A ∪ C , cã nghÜa lµ x ∈ ( A ∪ B ) ∩ ( A C ) . Ngợc lại, cho y là phần tử bất kỳ của

( A B ) ∩ ( A ∪ C ) . Khi ®ã y ∈ A ∪ B vµ y ∈ A ∪ C . Vậy hoặc y A tức là
y A ∪ ( B ∩ C ) , hc y ∉ A . Nh−ng y ∉ A th× y ∈ B vµ y ∈ C , cã nghÜa lµ
y ∈ B ∩ C . Rót cuéc y ∈ A ∪ ( B C ) và (3) là đúng.
Những đẳng thức khác chứng minh tơng tự.
Chú ý 1) Dùng cách diễn tả, chứng minh trên có thể viết ngắn gọn nh sau:

A ∪ ( B ∩ C ) = {x : x ∈ A hc x ∈ ( B ∩ C )}
= {x : x ∈ A hc {x ∈ B và x C}}
= {x : {x A hoặc x B} và {x A hoặc x C}}
= { A ∪ B}∩{ A ∪ C }.

7


Chơng 1.

Tập hợp và Số thực

2) Do tính kết hợp, víi ba tËp A, B, C cho tr−íc ta cã thể lấy hợp hai tập bất kỳ sau đó
mới hợp với tập còn lại và kết quả đều cho ta một tập, đó là hợp A B C . Tơng
tự nh thế đối với phép giao, cũng nh phép hợp và phép giao của nhiều tập hơn.

1.2.4. Tích của các tập hợp
Cho 2 tập hợp A và B. Tập hợp tất cả các cặp điểm (a,b), với a A và b B, lập
thành một tập hợp míi gäi lµ tÝch cđa hai tËp A vµ B, và đợc ký hiệu là A ì B. Nh
vậy, mỗi phần tử z của tập tích A ì B luôn biĨu diƠn d−íi d¹ng z=(a,b), víi a ∈ A, b
B, và ngời ta gọi a,b là các thành phần (hay toạ độ) của z.

1.3. Phép ứng và lực lợng

____________________________

1.3.1. Phép ứng
Cho A và B là hai tập khác rỗng. Phép ứng từ A tới B là một quy tắc cho phép với mỗi
phần tử x A chỉ ra đợc một phần tử y B ứng với nó. Th«ng th−êng ng−êi ta ký
hiƯu f : A → B cã nghÜa f lµ phÐp øng tõ A tíi B, vµ viÕt y = f ( x) cã nghÜa y đợc
y ). Tập A đợc gọi là miền xác định
ứng với x, hoặc x ứng với y (đôi lúc ta viết x
của phép ứng và tập B đợc gọi là miền giá trị của phép ứng. Khi B là một tập hợp số
nào đó ngời ta còn gọi f là hàm số.
Chú ý Có thể nhiều phần tử của B đợc ứng với một phần tử của A và có thể một phần tử của

B đợc ứng với nhiều phần tử của A.
Đơn ứng là một phép ứng cho phép với mỗi phần tử của A chỉ ra đợc một và chỉ một
phần tử của B ứng với nó. (Điều này không loại trừ khả năng nhiều phần tử của A cùng
đợc ứng với 1 phần tử của B).
Phép ứng từ A tới B đợc gọi là phép ứng 1-1 (hay phép tiêm) nếu 2 phần tử khác nhau
trong A thì đợc ứng với 2 phần tử khác nhau trong B.

Toàn ứng là một phép ứng mà mỗi phần tử của tập B đều đợc ứng với (ít nhất) một
phần tư trong A.
Song øng tõ A tíi B lµ mét phép ứng mà mỗi x A chỉ ứng với một y B và mỗi
y B chỉ đợc øng víi mét x ∈ A . Nh− vËy, song øng võa lµ toµn øng, võa lµ phÐp
øng 1-1.
ThÝ dơ a) A = {a,b,c,d}, B = {1,2,3}.

PhÐp øng a

1, b

1, c

1 vĂ d

2 không phải song ứng từ A tới B.

b) A = {1,2,...,n,...}, B = {2,4,...,2n,...}.
PhÐp øng n
2n lµ mét song øng tõ A tíi B.
Chó ý NÕu cã mét song øng f tõ A tíi B th× ta cã thĨ x©y dùng mét song øng tõ B tíi A

bằng cách với mỗi y B ta cho ứng víi x ∈ A mµ f ( x) = y . Song ứng này có tên gọi
là song ứng ngợc của f và thờng đợc ký hiệu là

8

f

1

.


Chơng 1.

Tập hợp và Số thực

1.3.2. Tơng đơng
Hai tập A và B gọi là tơng đơng nếu có thể xây dựng đợc một song ứng giữa A và B.
Khi đó ta viÕt A ∼ B .

ThÝ dơ a) Víi A là tập hợp các số thực dơng, B là tập hợp các số thực âm, thì A B vì phÐp

øng a

− a lµ mét song øng.

b) A={1,2,...},B={±1,± 2,... } .
Khi đó A B vì phép ứng 2n

n và 2n − 1

n lµ song øng.

Chó ý NÕu A vµ B hữu hạn thì A B khi và chỉ khi sè phÇn tư cđa A b»ng sè phÇn tư của B.

1.3.3. Lực lợng
Những tập tơng đơng thì đợc gọi là cùng lực luợng.
Khi A có hữu hạn phần tử thì ngời ta thờng xem lực lợng của A là số phần tử của
nó và ký hiệu là card(A) (đọc là cac-đi-nal của A) .
Thí dụ a) Tập A rỗng th× card(A) = 0.

b) A = {1,a,{10,b}} th× card ( A) = 3;
Khi A có vô hạn phần tử thì ta nói lực lợng của A là vô hạn (hay siêu hạn), và viết
card( A) = .

1.3.4. Tập đếm đợc
Ký hiệu tập số tự nhiên là

. Đây là tập vô hạn.

Tập A gọi là đếm đợc nếu nó hữu hạn hoặc tơng đơng với .
Định lý Tập con của tập đếm đợc là tập đếm đợc.

là tập đếm
Chứng minh Dïng phÐp song øng ta chØ cÇn chøng tá tËp con của
đợc. Cho A . Ký hiệu a1 là phần tử đầu của A, a 2 là phần tử đầu của A \ { a1 },
v.v... a n là phần tử đầu của A \ { a1 ,..., a n 1 }. Nếu nh đến số n nào đó
A \ { a1 ,..., a n −1 } kh«ng cã phần tử nào thì A hữu hạn (nó chỉ chứa (n-1) phần tử) và,
theo định nghĩa, nó là đếm đợc. NÕu víi mäi n tËp A \ {a1 ,...,a n 1 } thì ta thiết lập
đợc phép ứng f (n) = a n víi mäi n = 1,2,... Nó là một song ứng từ
tới A. Thật
vậy, với mỗi n , f(n) là phần tử đầu của A \ { a1 ,..., a n −1 } nªn sè này là duy nhất.
Ngợc lại với mỗi a A , ta biết đợc số các phần tử đứng trớc nã, thÝ dơ lµ k, vËy
f (k + 1) = a . Song øng f chØ ra r»ng A ∼ khi A không hữu hạn.
Chú ý Không phải tập vô hạn nào cũng đếm đợc.
Thí dụ a) Họ các cặp số tự nhiên {(m,n)}: m,n

} là tập đếm đợc.

Thật vậy, xếp các phần tử của họ trên theo hàng vµ cét nh− sau :

9


Chơng 1.

Tập hợp và Số thực

(1,1) (1,2)

(1,4) ....

(2,1) (2,2)

(2,3)

(2,4) ....

(3,1) (3,2)

(3,3)

(3,4) ....

(4,1) (4,2)

(4,3)

(4,4) ....

....... .......
X©y dùng phÐp øng tíi

(1,3)

.......

.......

....

theo quy tắc đi theo đờng xiên :

(1,1)

1

(2,1)

2 ; (1,2)

3;

(1,3)

4 ; (2,2)

5 ; (3,1)

6....

Dễ kiểm tra đây là một song ứng. Do đó họ cặp các số tự nhiên là đếm đợc.
b) Họ gồm tất cả các tập con của là tập không đếm đợc. Giả sử trái lại nó là đếm
đợc thì có một song ứng f từ vào . Ký hiệu xn là phần tử ứng víi n,
nghÜa lµ f( x n ) = n. Khi ấy ta xây dựng đợc tập X gồm các số tự nhiên không nằm
| n x n }. Ta sÏ chØ ra r»ng nã kh«ng
trong tËp øng víi nã, nghĩa là X:={n
đợc ứng với số tự nhiên nào. Thật vậy, giả sử ngợc lại rằng X đợc ứng với số tự
nhiên k nào đó, tức là X = X k . Khi ấy chỉ có 2 khả năng: hoặc là k nằm trong X k
hoặc là k nằm ngoài X k . Trong trờng hợp thứ nhất thì k không thể là phần tử của X

và điều này m©u thn víi viƯc X = X k . Trong trờng hợp thứ 2 thì k sẽ là phần tử
của X và điều này cũng lại dẫn đến mâu thuẫn trên. Tất cả các mâu thuẫn này chứng tỏ
rằng giả thiết đếm đợc là không thể xảy ra.
Nhận xét Phơng pháp chứng minh trên cũng cho phép ta đi đến một khẳng định tổng quát là:

tập tất cả các tập con của một tập khác rỗng A (thờng đợc ký hiệu là 2A) là không
cùng lực lợng với A.

1.4. Số thực

___________________________________________

Để tập trung trình bày các phơng pháp cơ bản của Giải tích toán học, chúng ta không đi
sâu vào việc xây dựng khái niệm số thực, một việc đòi hỏi nhiều công phu và thời gian.
Trong phần này chúng ta chỉ nhắc lại một số tính chất quan trọng của số thực cần thiết
cho việc thiết lập các nguyên lý cơ bản của Giải tích và các ứng dụng của chúng.

1.4.1. Số hữu tỷ và số vô tỷ
Nh trên, ký hiệu

là tập các số tự nhiên và
là tập các số nguyên. Theo định
m
nghĩa số hữu tỷ là số có dạng
trong đó n , m
và (m, n) = 1 (−íc sè
n
chung lín nhÊt cđa m vµ n là 1, hay m và n là hai số nguyên tố cùng nhau). Ta ký
hiệu là tập các số hữu tỷ. Những số không biểu diễn đợc dạng trên gọi là số vô tỷ.
Nh vậy, tập các số thực bao gồm tất cả số vô tỷ và hữu tỷ, và sẽ đợc ký hiệu là .

10


Chơng 1.

Thí dụ 0,5 là số hữu tỷ vì 0,5 =

Tập hợp và Số thực

1
.
2

q = 2 là số vô tỷ vì không thể biểu diễn dới dạng

m
nêu ở trên. ThËt vËy nÕu
n

m
th× m 2 = 2n 2 . Chøng tỏ m 2 là số chẵn, do đó m là sè ch½n: m = 2m'. Khi Êy
n
n 2 = 2(m' ) 2 và có nghĩa n cũng là số chẵn. Điều này phi lý vì (m,n) = 1.
2=

1.4.2. Biểu diễn số thực
Để dễ hình dung ngời ta hay biểu diễn số thực trên trục số Ox. Mỗi điểm trên trục này
sẽ biểu diễn một số thực. Điểm O là gốc và là biểu diễn của số không. Số 1 đợc biểu
diễn bởi điểm bên phải gốc sao cho đoạn [0,1] có độ dài bằng đơn vị. Khi đó số hữu tỷ

m
m
với m > 0 sẽ là điểm nằm phía bên phải gốc sao cho đoạn [0, q] có độ dài
q=
n
n
m
m
lần đơn vị. Số hữu tỷ q =
với m < 0 sẽ là điểm đối xứng với
qua gốc. Những
n
n
điểm khác trên trục số biểu diễn những số vô tỷ.
Thí dụ

2 là điểm bên phải gốc tọa độ và cách gốc tọa độ một đoạn bằng độ dài đờng chéo
của hình vuông với cạnh đơn vị. Ta biết rằng khoảng cách này không thể biểu diễn
đợc dới dạng tỷ số của hai số nguyên, cho nên nó biểu diễn một số vô tû.

1.4.3. C¸c phÐp tÝnh
Trong cịng nh− trong
cã bèn phÐp tÝnh số học cơ bản: cộng, trừ, nhân và chia.
Các phép tính này có tính chất sau:

Giao hoán : a + b = b + a và ab = ba.
Kết hợp

: (a + b) + c = a + (b + c) và

Phân phối

: a (b + c) = ab + ac.

ab(c)=a(bc).

1.4.4. Thứ tự
Bất cứ hai phần tử a, b (thuộc
hoặc ) đều có thể so sánh a > b (a lớn hơn b), a = b
hoặc a < b (a nhỏ hơn b). Thứ tự (>) có tính chất sau:

Bắc cầu

: a > b, b > c thì a > c,

Trù mật

: a > b thì có c để a > c > b.

Tiên đề (Archimedes): Với mọi số c > 0 tồn tại số tự nhiên n > c .

Ngoài ra số hữu tỷ còn có tính chất trù mật mạnh hơn sau đây: Cho a, b thuộc
a > b thì có q thuộc
để a > q > b.

. NÕu

11

Chơng 1.

Tập hợp và Số thực

1.5. Biên trên và biên dới

_____________________________

1.5.1. Tập giới nội và cận
Ta nói A bị chặn trên nếu có số để a víi mäi a ∈ A ; sè α nµy gäi là cận
trên của A. Tơng tự A bị chặn dới nếu có số (gọi là cận dới) để a ≥ β víi mäi

a ∈ A . Mét tËp võa bị chặn dới vừa bị chặn trên gọi là bị chặn hay giới nội.
Biên trên của A, ký hiệu sup A , là cận trên nhỏ nhất của A. Nếu sup A ∈ A th× viÕt
max A thay cho sup A. Đây là số lớn nhất trong A.

Biên dới của A, ký hiƯu inf A , lµ cËn d−íi lín nhÊt cđa A. NÕu inf A ∈ A th× viÕt min
A thay cho inf A . Đây là số nhỏ nhÊt trong A.
ThÝ dô

A={ x :0 < x < 1} thì mọi 1 đều là cận trên của A, còn biên trên của A: sup A =1.

Trong thí dụ này max A không tồn tại.

1.5.2. Lát cắt trong
Chia

và

.

làm hai lớp khác rỗng A và B sao cho A ∪ B =

vµ a < b víi mäi a ∈ A, b B .

Phép chia trên gọi là lát cắt và ký hiệu A|B. Dễ thấy chỉ có ba dạng lát cắt:
a) Trong A có số hữu tỷ lớn nhất và trong B không có số nhỏ nhất.
b) Trong A không có số lớn nhất và trong B có sè nhá nhÊt.
c) Trong A kh«ng cã sè lín nhÊt và trong B không có số nhỏ nhất.
Trong 2 trờng hợp đầu lát cắt A|B xác định số hữu tỷ, và trong trờng hợp còn lại lát
cắt A|B xác định sè v« tû α tháa m·n:

a < α < b, ∀a ∈ A, b ∈ B .
T−¬ng tù, ta nãi A|B là lát cắt trong
a A, b B .
Bổ đề (Dedekind): Với lát cắt A|B bất kỳ trong

hoặc α nhá nhÊt trong B.

nÕu A ≠ ∅, B ≠ ∅, A ∪ B = , a < b víi mọi
, luôn luôn tồn tại số thực lớn nhất trong A

Chøng minh XÐt AQ = A ∩ , BQ = B . Khi đó AQ | BQ là lát cắt trong

. Nó

xác định số thực . Khi ®ã α ∈ A hc α ∈ B , do A ∪ B = . NÕu α ∈ A th× đó là
số lớn nhất trong A vì nếu không sẽ có số A để < và theo tính trù mật sẽ tìm
đợc số hữu tỷ r ∈ A ®Ĩ α < r < β . VËy r AQ và trái với điều a ≤ b , víi mäi

a ∈ AQ , b ∈ BQ . Tơng tự, nếu B thì nó là số nhỏ nhất trong B.

1.5.3. Tồn tại biên
Định lý Mọi tập khác rỗng bị chặn trên (dới) đều có biªn trªn (d−íi).

12


Chơng 1.

Tập hợp và Số thực

Chứng minh Giả sử M bị chặn trên. Nếu M có điểm lớn nhất x o ∈ M (tøc lµ
a ≤ xo víi mäi a ∈ M ), th× xo = sup M v× mọi cận trên của M đều lớn hơn hoặc bằng x o .
Nếu M không có điểm lớn nhất, ta xây dựng lát cắt A|B nh sau:

B = {x : x là cận trên của M } và A=

\B.

Do M và bị chặn trên, nên A , B ≠ ∅ , A ∪ B = . Râ rµng a < b víi mäi
a ∈ A, b B . Nói cách khác A và B xác định lát cắt của . Theo Bổ đề Dedekind ta có
thể tìm đợc lớn nhất trong A hoặc bé nhÊt trong B, ký hiƯu lµ α. DƠ thÊy α A và
vì thế B . Ta có = sup M theo định nghĩa.
Đối với tập bị chặn dới, việc chứng minh hoàn toàn tơng tự.

13


_________________________________

Bài tập và
Tính toán thực hành Chơng 1

1.

Câu hỏi củng cố lý thuyết

_______________________

1.1. Tập hợp
Bài 1 Giả sử A là tập tất cả các ớc số của 60. Các khẳng định sau đây đúng hay sai:

a) 9 A ;

b) 15 ∈ A ;

c) 30 ∉ A .

LiƯt kª tÊt cả các phần tử của A.
Bài 2 Giả sử A là tập tất cả các nghiệm của phơng trình

x 2 − 7 x + 12 = 0 .
Trong c¸c mƯnh ®Ị sau, mƯnh ®Ị nµo ®óng, mƯnh ®Ị nµo sai?
a) 3 ∉ A ;

b) 5 ∈ A ;

c) 4 ∈ A ;

d) 7 A .

Liệt kê tất cả các phần tử của A.
Bài 3 Giả sử A là tập tất cả các đa thức một biến với hệ số nguyên, các kết luận sau đây đúng

hay sai:

a ) x 3 − 3x + 1∈ A ;
b) 15 ∉ A ;
c) x 2 + y 2 + 3 ∈ A ;
1
1
d ) x 4 + 12 x + ∉ A ;
e) x 3 + x 2 + 1 ∈ A .
3
2
Bµi 4 Trong các tập hợp dới đây, các phần tử, trừ một phần tử, đều có chung một tính chất
nhất định. HÃy tìm phần tử không mang tính chất ấy:

a) {6, 15, 84, 1670}, {2, 7, 13, 25, 29}, {1, 9, 25, 79, 121};
b) {tam giác, hình vuông, hình tròn, hình thang, lục giác đều}.
Bài 5 Mô tả tính chất của các tập hợp vô hạn sau và viết công thức số hạng tổng quát của các

tập hợp:
3 4 5 6
2 4 6 8
a ) { , , , ,...} ;
b) { , , , ,...} ;
4 9 16 25
5 8 11 14

1 1 1 1 1 1
c) { , , , , , ,...} ;
d ) {2,12,36,80,150,...} .
2 6 12 20 30 42
n2 + 1
2 17 1 5
Bµi 6 Xét xem các số sau đây: , , , số nào thuộc tập hợp A: A = {x : x = 2
, n ∉ N} .
5 20 7 6
n +4

14


Bài tập và tính toán thực hành Chơng 1

Bài 7 Trong số các tập sau đây, tập nào là rỗng:

a) Tập hợp các chữ nhật có các đờng chéo không bằng nhau.
b) Tập hợp các tam giác có các đuờng trung trực không đồng quy.
c) Tập nghiệm hữu tỷ của phơng trình x 2 2 = 0 .
d) Tập nghiệm thực của bất phơng trình x 2 + x + 1 < 0 .
e) Tập nghiệm nguyên của phơng tr×nh 4 x 2 − 1 = 0 .
f) TËp nghiệm tự nhiên của phơng trình 2 x 2 3x 9 = 0 .
Bài 8 Mô tả tập hợp các điểm M(x, y) của mặt phẳng thoả mÃn:

a) 3x + 1 ≤ y

b) ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 = 1

c) y ≤ x 2 − 2 x − 3

d) y ≤ x 2 .

1.2. Phép ứng và tơng đơng
Bài 1 Hỏi các tập sau đây có tơng đơng nhau không:

a) Tập các số tự nhiên

và các tập số nguyên

.

b) Tập các số tự nhiên và các số hữu tỷ.
c) Tập các nghiƯm phøc cđa hai ®a thøc cã cïng bËc n.
d) Tập các nghiệm thực của hai đa thức cùng bậc n.
e) Tập các điểm của một cạnh hình vuông và các tập điểm trên một đờng chéo của nó.
f) Tập xác định của một hàm số và đồ thị của nó.
Bài 2 Bằng cách thiết lập các phép song ứng, hÃy chứng minh rằng các tập sau đây là tơng

đơng:

a) Tập các số thực

và khoảng (0,1).

b) Tập hợp các điểm của hai đoạn thẳng [a,b] và [c,d].
c) Tập các điểm của hình tròn mở và tập các điểm của mặt phẳng.

2.

Các phép toán trên tập hợp

_____________________

Bài 1 Cho A, B, C là các tập tùy ý. HÃy chứng minh các mƯnh ®Ị sau:

1) A ∩ A = A = A ∪ A .
2) A ∩ B ⊆ A, A ⊆ A ∪ B, A ∩ B ⊆ B, B ⊆ A ∪ B .
3) NÕu A ⊆ B th× A ∩ B = A .
4) NÕu A ⊆ B th× A ∪ B = B .
5) NÕu A ⊆ B th× B ⊆ C th× A ⊆ C .
6) NÕu A C và B C thì A B ⊆ C .
7) NÕu C ⊆ A vµ C ⊆ B th× C ⊆ A ∩ B .
15


Bài tập và tính toán thực hành Chơng 1

Bài 2 Cho A vµ B lµ hai tËp con cđa X. Ký hiệu CA là phần bù của A trong X, tức là CA=X\A.

HÃy chứng minh các tính chất sau đây:
1) A ∩ X = A, A ∪ ∅ = A , A ∩ ∅ = ∅, A ∪ X = X .
2) A ∩ CA = ∅ , A ∪ CA = X .
3) CCA = A.
4) C ( A \ B ) = B ∪ CA .
5) NÕu A ⊆ B th× CB ⊆ CA .
6) LuËt Moorgan

C ( A ∩ B ) = CA ∪ CB, C ( A ∪ B ) = CA ∩ CB .

Bµi 3 Chứng minh:

1) Tính kết hợp của hợp và giao các tËp hỵp
a) A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C ;

b) A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C .
2) Tính giao hoán của phép hợp và giao các tập hợp
a) A B = B A ;
b) A ∩ B = B ∩ A .
3) TÝnh phân phối của giao đối với hợp (hoặc của hợp đối với giao) các tập hợp
a) A ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) ;

b) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) .
4) TÝnh ph©n phèi cđa hiệu đối với hợp (hoặc giao) các tập hợp
a) A \ ( B ∩ C ) = ( A \ B) ∪ ( A \ C ) ;

b) A \ ( B ∪ C ) = ( A \ B) ∩ ( A \ C ) .
Bµi 4 Chøng minh

a) A \ [∪{ Ai , i = 1..n}] = ∩{ A \ Ai , i = 1..n} .
b) A \ [∩{ Aa , a ∈ I } = ∪{( A \ Aa ), a ∈ I } , I lµ tËp chØ sè bÊt kú.
Bµi 5 Ký hiƯu A∆B = ( A \ B) ∪ ( B \ A) lµ hiệu đối xứng của hai tập hợp A và B. Chøng

minh r»ng

3.

A∆B = ( A ∪ B) \ ( A B ) .

___________________________________

Phép ứng và
sự tơng đơng của hai tập hợp

Bài 1 Cho phép ứng f : X Y vµ A, B lµ hai tËp con cđa X. Chøng minh:

1) NÕu A ⊆ B th× f ( A) ⊆ f ( B) ;
2) f ( A ∪ B) = f ( A) ∪ f ( B) ;
3) f ( A ∩ B) = f ( A) ∩ f ( B) .

16


Bài tập và tính toán thực hành Chơng 1

Bài 2 Cho phÐp øng f : X → Y vµ A, B lµ hai tËp con cđa Y. H·y chøng minh:

1) f

−1

2) f

−1

3)

f

( A ∪ B) = f

−1

( A ∩ B) = f

−1

−1

( A \ B) = f

−1

( A) ∪ f

−1

( B) ;

( A) ∩ f

−1

( B) ;

( A) \ f

−1

( B) .

Bµi 3 Cho g : X → Y , f : Y → Z vµ h : X → Z , h(x) = f(g(x)). Chøng minh r»ng:

1) h( A) = f [ g ( A)]∀A ⊂ X ;
2) h −1 ( B) = g −1[ f −1 ( B)]∀B ⊂ Z .
Bµi 4 Gäi

lµ tËp sè thùc. XÐt phÐp ứng f từ

vào

đợc cho bởi công thức sau:

x +1
với x ≠ 2 vµ y(2) = 1.
x−2
Chøng minh r»ng f lµ song ứng. Tìm phép ứng ngợc.
x y=

Bài 5 Cho phép øng x → y, y = x + 1 − 2 x víi 0 ≤ x . Chøng minh:

1) f không phải là một song ứng.
2) Xác định hai khoảng mà trong mỗi khoảng ấy f là song ứng. Tìm phép ứng ngợc
trong mỗi trờng hợp.
Bài 6 Chứng minh định lý Cantor-Bernstein: Cho hai tập hợp bất kỳ A và B. Nếu tồn tại

một song ứng f từ A lên mét tËp con B1 cđa B vµ mét song øng g từ B lên một
tập con A1 của A thì các tập hợp A và B tơng đơng .

4.

Tập hợp đếm đợc

_____________________________

Bài 1 Chứng minh các tính chất sau đây của tập đếm đợc:

ã

Tính chất 1: Điều kiện cần và đủ để một tập A đếm đợc là ta có thể đánh số nó,
tức là có thể biểu diễn nó d−íi d¹ng mét d·y:

A = {a1 , a 2 ,..., a n ,...} .

ã

Tính chất 2: Trong mọi tập vô hạn đều có một tập con đếm đợc.

ã

Tính chất 3: Nếu lấy một tập hữu hạn M ra khỏi tập đếm đợc A thì tập còn lại
A\M (phần bù của M trong A) là đếm đợc.

ã

Tính chất 4: Hợp của một tập đếm đợc những tập đếm đợc là đếm đợc.

Bài 2 Chứng minh rằng mọi tập vô hạn đều có chứa một tập con thực sự tơng đơng với nó.

5.

Số thực

_______________________________________

Bài 1 Chứng minh rằng các số sau là các số vô tỷ

a) 5 ;

b) 2 + 3 ;

c) 3 2 + 3 3 .
17


Bài tập và tính toán thực hành Chơng 1

Bài 2 Số nào lớn hơn

4 + 7 4 + 7 − 2 hay 0 ?

Bµi 3 Chøng minh r»ng nÕu a, b, c thuộc

b cũng thuộc

thoả mÃn đẳng thức

a + b = c thì

a và

.

Bài 4 Chứng minh rằng tập các số hữu tỷ là đếm đợc.
Bài 5 Chứng minh rằng tập các số vô tỷ có cùng lực lợng với

.

Bài 6 Chứng minh định lý Kantor: Tập tất cả các số thực nằm giữa 0 và 1 là không

đếm đợc.

6.

___________________________

Tập hợp nghiệm của
phơng trình và bất phơng trình

Nhiều tập hợp số trong Toán học thờng đợc cho bởi một hệ phơng trình và bất
phơng trình. Giải phơng trình cũng chính là tìm tập tất cả các nghiệm của
phơng trình đà cho. Trong chơng trình phổ thông, chúng ta đà biết giải thành
thạo khá nhiều loại phơng trình và bất phơng trình. Tuy nhiên, ở đây chúng tôi
muốn cung cấp một số bài tập giải phơng trình và bất phơng trình có cách giải
hay hoặc tơng đối khó, nhằm giúp các bạn thử sức, so sánh và vận dụng khả năng
của máy tính (nếu là bài tập khó, bạn có thể nhờ máy tính giải ra đáp số, từ đó bạn
có những gợi ý tích cực để tìm ra lời giải; nếu là bài dễ, bạn có thể dùng máy để
kiểm tra đáp số). Ngoài ra, bạn có thể tìm ra những cách giải hay hơn máy, do đó
đáp số gọn hơn. Cũng cần nói thêm rằng, có những bài bạn giải đợc (nhờ mẹo đặt

ẩn phụ, v.v...) mà máy không giải nổi. Cuối cùng, việc giải thành thạo phơng trình
và bất phơng trình (tự lực và bằng máy) ở chơng này giúp bạn dễ dàng giải bài
tập (tự lực và bằng máy) ở các chơng tiếp theo.

6.1. Tập hợp nghiệm của phơng trình
Tìm tập hợp nghiệm của các phơng trình sau:
Bài 1 x 4 + 5 x 3 + 6 x 2 − 4 x − 16 = 0 .
Bµi 2

x + x−5 = 5 .

Bµi 3

2 − x2 + 2 −

Bµi 4 x + x

log 2 3

1
1

= 4−x+  .
2
x
x


= x log 2 5 .

Bµi 5

2 x − 1 − 3 x − 1 = 3 3x − 2 .

Bµi 6

18

3

3

2x
1 1
+3 +
= 2.
x +1
2 2x


Bài tập và tính toán thực hành Chơng 1

6.2. Tập hợp nghiệm của bất phơng trình
Giải các bất phuơng trình sau:
Bµi 1

x −1
1
1
< x+ − x− .

x
x
x

Bµi 2 2 x 2 − 4 x + 5 ≤ x 2 − 4 x + 2 .

1+ x − 1− x ≤ x .

Bµi 3

x4 − 2x2 + 1 .
 πx 
tan  + 2 x + 3
 4

Bµi 4 1 − x ≤
Bµi 5 0 <

4 − x2 − x

.

Bµi 6 50 ≤ 25 − x + 5 − x +1 .

2 x 2 − 11x + 15
< 0.
2x − 6
3x − 2
Bµi 8 0 <
.

5 x 2 + 22 x − 15
Bµi 7

1
Bµi 9  
2
Bµi 10

x 3 −1

 2 ( x −1) 
−

2 

 1 
< 
2

log 3+ x 2 ( x 2 − 6) 2
2

.

log
< 2+

 1 

64 .

12
2

6.3. Tập hợp nghiệm của hệ phơng trình
Tìm tập hợp nghiệm của các hệ phơng trình sau:


x + y + xy = 5
x+ y =5


Bµi 1 

 x + 2− y = 2


Bµi 2 

 2− x + y = 2


6.4. TËp hỵp nghiƯm cđa hƯ bất phơng trình
Tìm tập hợp nghiệm của các hệ bất phơng trình sau:
Bài1

4x 7 < x


4 < x + 5 + x − 5


− 3 ≤ x 2 + 2 xy − 7 y 2

Bµi 2 
3 x 2 + 10 xy − 5 y 2 ≤ −2

19


Bài tập và tính toán thực hành Chơng 1

7.

Thực hành tính toán trên máy

____________________

Trong giáo trình này chúng ta sẽ sử dụng máy tính để giải quyết các bài toán khó trong chuyên
ngành giải tích. Hiện nay có nhiều bộ chơng trình đợc thiết lập cho mục đích này. Mỗi
chơng trình có một thế mạnh riêng. Chỉ cần sử dụng thành thạo một chơng trình là sẽ dễ
dàng sử dụng các chơng trình khác. Trong khuôn khổ giáo trình này chúng tôi giới thiệu bộ
chơng trình Maple V, hiện đang đợc sử dụng rộng rÃi trong các trờng học ở nớc ngoài.

7.0. Sơ lợc về Maple V
Maple V là bộ chơng trình tính toán đa năng khá đồ sộ, nhng có thể cài đợc trên
các máy cá nhân với cấu hình bình thờng (bộ nhớ tối thiểu là 8MB). Cài đặt chơng
trình trên máy là phần việc của các nhà cung cấp phần mềm, chúng ta chỉ cần quan
tâm tới việc sử dụng chơng trình để tính toán. Việc khởi động chơng trình cũng dễ
dàng nh bất kỳ chơng trình ứng dụng nào khác (nh Word, Excel,...).
Các lệnh của Maple rất gần với các ngôn ngữ toán học, cho nên ngời sử dụng chỉ cần

nắm vững các khái niệm toán học cơ bản và những qui ớc thông thờng về thứ tự thực
hiện các phép tính, mà không cần phải biết trớc một ngôn ngữ lập trình nào. Việc viết
tên các khái niệm toán học bằng tiếng Anh không phải là điều phiền hà, vì các khái
niệm này vốn không nhiều, và ta cũng không cần phải biết trớc vì sẽ đợc giới thiệu
trong quá trình thực hành tính toán. Các biểu thức toán học đợc viết trực tiếp vào
dòng lệnh và đợc thực hiện theo thủ tục thông thờng. Chỉ cần lu ý rằng phép nhân
đợc biểu diễn bằng dấu sao (thí dụ, ab đợc viết là a*b), phép luỹ thừa bằng dấu mũ
(thí dụ, a2 đợc viết là a^2), phép chia biểu thị bằng gạch chéo (thí dụ a chia cho b
đợc viết là a/b), căn bậc 2 của số a đợc viết là sqrt(a), v.v... Kết thúc dòng lệnh
phải là dấu chấm phẩy (;), trừ phi ta không muốn cho kết quả của lệnh hiện ra màn
hình (để không phải xem các kết quả tính toán trung gian) th× ta kÕt thóc lƯnh b»ng dÊu
2 chÊm (:). Thùc hiƯn lƯnh b»ng c¸ch nhÊn phÝm “Enter”, khi con trỏ đang ở trên dòng
lệnh.
Các tính toán đối với từng chuyên mục cụ thể sẽ đợc hớng dẫn song song với các
phần lý thuyết. Ngời học sẽ thấy công việc tính toán cũng nhẹ nhàng và hấp dẫn, chứ
không đáng ngại nh tra bản số và rút thớc logarit.
Ta bắt đầu việc tính toán thực hành (cho chuyên mục này cũng nh cho bất cứ chuyên
mục nào sau này) với việc đa vào một cụm xử lý bằng cách ấn chuột vào nút có biểu
tợng [> (hoặc bằng chức năng Insert/Execution Group/After Cursor có sẵn trên thanh
lệnh của giao diện làm việc). Một dấu nhắc lệnh "[>" sẽ hiện ra chờ đợi ta đa lệnh vào
thực hiện.

7.1. Các phép toán trên tập hợp
Việc cho một tập hợp cũng đồng nghĩa với việc định nghĩa tập hợp đó và đợc thực
hiện bằng lệnh có cú pháp nh sau
[> A:={ các phần tử của tập hợp};
trong đó A là tên của tập hợp và := là dấu định nghĩa (gồm dấu 2 chÊm ®i liỊn víi
dÊu b»ng). ThÝ dơ, ta cho tËp A gồm 4 phần tử a,b,c,d bằng dòng lệnh sau:
[> A:={a,b,c,d};

20


Bài tập và tính toán thực hành Chơng 1

Sau khi ấn phím Enter để thực hiện lệnh, máy sẽ cho hiện kết quả là
A := {a, b, c, d }
và một dấu nhắc lệnh [> tự động xuất hiện cho ta đa lệnh khác vào thực hiện. Thí
dụ, ta có thể định nghĩa tiếp một tập hợp B gồm có 6 phÇn tư c,d,e,f,g,h nh− sau
[> B:={c,d,e,f,g,h};
B := {c, d , e, f , g , h} .
B©y giê ta có thể tiến hành các phép toán trên tập hợp nh đà học trong phần lý thuyết,
chỉ xin lu ý mấy từ tiếng anh: hợp là union, giao là intersect, phần bù (trừ) là
minus.
Thí dụ [> A union B ;

{a, b, c, d , e, f , g , h}

[> A intersect B ;

[> B minus A ;

{c, d }
{e, f , g , h} .

Muốn biết phần tử này có thuộc tập hợp kia hay không ta dùng lệnh member. Nếu
có thì máy cho trả lời true (đúng), còn nếu không thì nó cho trả lời false (sai).
Thí dụ [> member(a,A);

true

[> member(c,A);
true
[> member(a,B);
false .

7.2. Tính toán trên tập số thùc
Mäi biĨu thøc sè häc ®Ịu cã thĨ thùc hiƯn đợc trên Maple một cách đơn giản. Chỉ
việc viết biểu thức cần tính vào sau dấu nhắc lệnh theo qui tắc đà nói ở trên (đừng quên
dấu chấm phẩy ở cuối dòng lệnh) và nhấn phím Enter.
Thí dụ [>(2^64+19!)/(31!-3^15+123456789);

9284194587059191808
4111419327088961408862781494553941
Maple có khả năng tính toán chính xác trên mọi số thực, và vì vậy không cần phải đa
dữ kiện vô tỷ dới dạng các số thập phân xấp xỉ . Thí dụ, các số vô tỷ nh

, 3 , + 2 , ... đợc đa vào tính toán trực tiếp mà không cần qua công đoạn xấp

21


Bài tập và tính toán thực hành Chơng 1

xỉ bằng các số thập phân gần đúng. Ta có thể xem xấp xỉ thập phân của bất kỳ số vô
tỷ nào với độ chính xác tuỳ thích (tới hàng ngàn chữ số thập phân). Để thực hiện điều
này ta dùng lệnh đánh giá dới dạng thập phân có cú pháp nh sau:
[> evalf(a,n);
Trong đó a là số vô tỷ, còn n là số chữ số thập phân (tức độ chính xác của phép xấp
xỉ).
Thí dụ [> evalf(Pi,50);

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751
Nếu không cho giá trị n thì máy tự động lấy độ chính xác là 10 chữ số thập
phân.Trong thực tế, có những số vô tỷ đợc biểu diễn bằng những công thức cồng kềnh
và phức tạp, khiến ta rất khó hình dung giá trị cđa nã. ThÝ dơ nh−:

π + 3 π +1 − + 5
Khi ấy việc biết đợc giá trị thập phân xấp xỉ của nó là rất có ý nghĩa.
Thí dụ [> evalf(sqrt(sqrt(Pi+3*sqrt(Pi+1))-sqrt(Pi+5)));

.4330334698
Rõ ràng, đây là một công cụ hữu hiệu để so sánh các số vô tỷ phức tạp (chỉ cần đánh
giá hiệu của chúng là ta biết đợc số nào lớn hơn).
Trong quá trình tính toán, nhất là khi giải phơng trình, lấy giới hạn, tính vi phân và
tích phân,... ta có thể gặp phải những số vô tỷ cha từng đợc biết đến bao giờ (nên
cũng cha từng đặt tên hoặc có ký hiệu biểu diễn cho nó). Khi ấy máy cũng không có
cách nào biểu thị cho ta xem đợc. Với những số nh vậy thì chỉ còn cách là xem xấp
xỉ thập phân của nó.

7.3. Tìm tập nghiệm của phơng trình và bất phơng trình
1. Tìm tập nghiệm của phơng trình f(x)=0.
Ta biết rằng phơng trình bậc 2 có thể giải dễ dàng bằng căn thức, và do đó có thể không cần
nhờ tới máy. Phơng trình bậc 3 và bậc 4 cũng giải đợc bằng căn thức, nhng không mấy ai
nhớ đợc công thức giải chúng (vì quá cồng kềnh phức tạp). Với phơng trình bậc 5 trở lên (và
các phơng trình vô tỷ) thì chẳng có công thức nào để nhớ, dù muốn. Nói chung, với các
phơng trình từ bậc 3 trở lên ta thờng chỉ quen giải bằng mẹo hoặc mò nghiệm, và chỉ có
thể giải đợc vài phơng trình đặc biệt do con ngời tự thiết kế ra. Trớc các phơng trình
nảy sinh từ các bài toán thực tiễn (không đợc tạo ra theo ý muốn) thì ta thờng phải bó tay.
Với Maple, tình trạng này sẽ không còn nữa. Nó sẽ giúp ta vợt qua những bài toán khó thực sự
(chứ phải là khó giả tạo do ai đó dựng lên).

Để tiến hành giải phơng trình, ta đa vào cụm xử lý với dấu nhắc lệnh "[>" rồi tiến
hành khai báo phơng trình cần giải f(x) = 0 (và đặt tên cho nó là eqn) với dòng lệnh
có cú pháp nh− sau:

22


Bài tập và tính toán thực hành Chơng 1

[> eqn:=f(x)=0;
Sau khi Ên phÝm "Enter" sÏ xt hiƯn ra c«ng thøc biểu diễn phơng trình.
Sau dấu nhắc "[>" ( tự động sinh ra sau lệnh trớc) ta đánh tiếp lệnh giải phơng trình
vừa nhập, có cú pháp nh sau:
[> solve(eqn,{x});
Sau khi Ên phÝm "Enter" m¸y sÏ thùc hiƯn viƯc tÝnh to¸n và cho ta tập nghiệm của
phơng trình cần giải.
Với những phơng trình ngắn gọn (không sợ nhầm lẫn), ta có thể gói gọn cả 2 bớc
trên trong 1 câu lệnh
[> solve(f(x)=0,{x});
Thí dụ Giải phơng trình

x 4 + 5 x 3 + 6 x 2 − 4 x − 16 = 0

Nhập phơng trình
[> eqn:= x^4+5*x^3+6*x^2-4*x-16 = 0;

Sau dấu (;) ta ấn phím "Enter" máy hiện phơng trình cần giải, tức lµ
eqn := x 4 + 5 x 3 + 6 x 2 − 4 x − 16 = 0 ;

Gi¶i phơng trình
[> solve(eqn,{x});
Sau dấu (;) ta ấn phím "Enter" máy sẽ hiện tập nghiệm của phơng trình gồm hai
nghiệm thực vµ hai nghiƯm phøc nh− sau
{x = 5 − 1},
{x = −

3 1
+ I 7 },
2 2

{x = −1 − 5} ,
{x = −

3 1
− I 7} ,
2 2

trong ®ã I là ký kiệu đơn vị ảo (chứ không phải là i nh ta vẫn quen dùng).
Lu ý Khi phơng tr×nh cã nhiỊu nghiƯm víi biĨu diƠn cång kỊnh th× m¸y cã thĨ chØ
cho ta mét trong sè c¸c nghiƯm. NÕu mn biÕt tÊt c¶, ta dïng lƯnh xem tÊt cả các giá
trị tập nghiệm với cú pháp
[> allvalues();
và khi nghiệm là một số vô tỷ cha từng thấy bao giờ thì máy đa ra nghiệm tợng
trng dới dạng RootOf{...}. Ta có thể biết giá trị xấp xỉ thập phân của nó (với độ
chính xác tuỳ ý) bằng lệnh đánh giá xấp xỉ thập phân (đà giới thiệu ở trên).
Thí dụ Ta giải phơng trình x 4 x 3 + 6 x 2 − x + 3 = 0 b»ng lÖnh

23

Bài tập và tính toán thực hành Chơng 1

[> solve(x^4-x^3+6*x^2-x+3=0,{x});

{

}

RootOf Z 4 − Z 3 + 6 Z 2 − Z + 3

và để biết nó là gì ta dùng tiếp lệnh xem xấp xỉ thập phân của tất cả các thành phần
trong tập hợp trên
[> evalf(allvalues("));
{x = .4541395393-2.269448485*I}, {x = .4541395381+2.269448485*I},
{x = .4586046318e-1+.7469601590*I}, {x = .4586045942e-1-.7469601584*I}
NhËn xÐt Râ rµng trên đây là những phơng trình mà không thể giải đợc bằng mẹo hay bằng

mò nghiệm, mà chỉ có thể giải bằng các phơng pháp cơ bản với sự hỗ trợ của máy
tính.

a. Thực hành
1) Kiểm tra các lệnh giải phơng trình

x + x 5 = 5 dới đây råi thùc hiƯn

[> eqn:=sqrt(x)+sqrt(x-5)=sqrt(5);
[> solve(eqn,{x});
hc dïng 1 lƯnh sau
[>solve(sqrt(x)+sqrt(x-5)=sqrt(5),{x});

2) KiĨm tra các lệnh giải phơng trình 2 x + x 3 = 16 dới đây rồi thực hiện
[> eqn:=2*x+sqrt(x-3)=16;
[> solve(eqn,{x});
hoặc dùng 1 lệnh sau
[>solve(2*x+sqrt(x-3)=16,{x});

b. Bài tập rèn luyện kỹ năng
HÃy giải các phơng trình sau bằng cả 2 cách (dùng máy và không dùng máy)
1)
3)

2 x2 + 2 −

1
x

2

1

= 4−x+  ;
x


x + 2 x −1 + x − 2 x −1 =

x+3
;
2

2)

x + 2 − 2 x − 3 = 3x − 5 ;

4) (4 x − 1) x 2 + 1 = 2 x 2 + 2 x + 1 ;

5) 1 + 1 + x 2 ( (1 + x) 3 − (1 − x) 3 ) = 2 + 1 − x 2 . 6)

3x 2
x
=
x
1 x

.

2. Tìm tập hợp nghiệm của bất phơng trình f(x)< 0.
Sau đa vào dấu nhắc " [> " thì nhập dòng lệnh khai báo và đặt tên cho bất phơng
trình f(x) < 0 cần giải

24


Bài tập và tính toán thực hành Chơng 1

[> ineq:=f(x)<0;
Sau khi ấn phím "Enter" sẽ xuất hiện bất phơng trình cần giải và dấu nhắc mới. Ta
vào tiếp lệnh giải
[> solve(ineq, {x});
Sau khi Ên phÝm "Enter" m¸y sÏ hiƯn tËp nghiệm của bất phơng trình cần giải.

Lu ý rằng dấu đợc biểu thị trong câu lệnh bằng 2 dấu < và = đi liền nhau.
Thí dụ Ta giải bất phơng trình 2 x 2 4 x + 5 ≤ x 2 − 4 x + 2 nh− sau

[> ineq:=2*sqrt(x^2-4*x+5) <= x^2-4*x+2;
ineq := 2 x 2 − 4 x + 5 ≤ x 2 − 4 x + 2
[> solve(ineq,{x});

{x ≤ 2 − 2 2}, {2 + 2 2 ≤ x}

a. Thùc hµnh
x −1
1
1
< x + − x − bằng các lệnh sau:
x
x
x
[> ineq:=sqrt(x+1/x)-sqrt(x-1/x)>(x-1)/x;
[> solve(ineq,{x});

1) Giải bất phơng trình

1 + x − 1 − x ≤ x b»ng c¸c lệnh
3) Giải bất phơng trình
[> ineq:=sqrt(1+x)-sqrt(1-x) <= x;
[> solve(ineq,{x});
4) Giải bất phơng trình 1 x x 4 2 x 2 + 1 b»ng c¸c lƯnh
[> ineq:= 1-x <= sqrt(x^4-2*x^2+1);
[> solve(ineq,{x});

b. Bài tập rèn luyện kỹ năng
Giải các bất phơng trình sau bằng cả 2 cách (dùng máy và không dùng máy)
1)

2x 1 < 2x 3 ;

2)

3)

1
< 3 − x − x +1 ;
2

5)

5 x+

5
2 x

< 2x +

4)

x − 3 + x − 2 < x −1 ;
5 − 2x + 4 < x + 9 ;

1
+4

2x

3. Tìm tập hợp nghiệm của hệ phơng trình và bất phơng trình
Trớc hết cần từng nhập phơng trình của hƯ, thÝ dơ:

[> eqn1:=f[1](x,y)=0;
25


Bài tập và tính toán thực hành Chơng 1

[> eqn2:=f[2](x,y);
Sau đó ta ra lệnh giải có cú pháp nh sau:

[> solve({eqn1,eqn2},{x,y});
Sau khi Ên phÝm "Enter" m¸y sÏ hiƯn tËp nghiƯm của hệ phơng trình cần giải.
Với hệ có nhiều phơng trình và nhiều ẩn ta cũng làm tơng tự.
Thí dụ Giải hệ phơng trình

x + y + xy = 5


x + y = 5

bằng các lệnh nh sau đây:

[> eqn1 := sqrt(x)+sqrt(y)+sqrt(x*y)=5;
eqnl := x + y + xy = 5
[> eqn2:=x+y=5;
eqn2:= x + y = 5

[> solve({eqn1,eqn2},{x,y});
{y = 4, x = 1}, {x = 4, y = 1}
ThÝ dô Giải hệ bất phơng trình

4x 7 < x


4 < x + 5 + 5 − x


.

b»ng c¸c lƯnh sau:

[> ineq1:=sqrt(4*x-7)ineq1 := 4 x − 7 < x
[> ineq2:=sqrt(x+5)+sqrt(5-x)>4;
ineq 2 := 4 < x + 5 + 5 − x
[> solve({ineq1,ineq2},{x});
{-4 < x, x < 4} ,

{4 < x} .

Thực hành
1) Giải hệ phơng trình

x + 2 y = 2


 2− x + y = 2


b»ng c¸c lƯnh:

[> eqn1:=sqrt(x)+sqrt(2-y)=sqrt(2);
[> eqn2:=sqrt(2-x)+sqrt(y)=sqrt(2);
[> solve({eqn1,eqn2},{x,y});

26

.