Olympic toan 7

PHỊNG GD&ĐT NGHĨA ĐÀN
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2016 – 2017
Mơn: Tốn 7
Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề)

(Đề thi có 01 trang)

Câu 1: ( 4,0 điểm) Tính giá trị biểu thức:
2

  1
  1    1 
 10.    5.    1 :   1
 5 
 5    5

a) A = 
1 1 1 1
1
 

 ... 
90
b) B = 2 6 12 20

Câu 2: ( 5,0 điểm)
x 1
x 3
a) Tìm x biết: 5  5 650

b) Tìm x biết:

x  1  x  2  .....  x  100 605 x

2 x 1 4 y  5 2x  4 y  4


9
7x
c) Tìm x , y biết : 5

Câu 3: ( 4,0 điểm)
a) Cho d·y tØ sè b»ng nhau:

2 a+ b+c +d a+2 b+ c+ d a+ b+2 c+ d a+b+ c+2 d
=
=
=
a
b
c
d
TÝnh M = a+b + b+c + c +d + d +a
c+ d d +a a+b b+c
2016
2017  x  2016

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B =
2
2

2
x

3
y
77
c) Tìm các số nguyên x, y biết:

Câu 4: ( 6,0 điểm)
Cho ABC vuông cân tại A, gọi M là trung điểm của BC, lấy điểm D trên đoạn
BM. Kẻ BH, CK lần lượt vng góc với tia AD tại H và K.
a) Chứng minh BH = AK;
b) Tam giác HMK vuông cân;
0
c) Trên nữa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, kẻ tia Bx sao cho ABx 135 .
Lấy E trên đoạn thẳng AB, qua E kẻ đưởng thẳng vng góc với EC cắt Bx tại F.
Chứng minh EC = EF.
Câu 5: ( 1,0 điểm) Cho dãy số 10, 102, 103, ... , 1020. Chứng minh tồn tại một số
chia 19 dư 1.

------------------HẾT-----------------

Họ và tên thí sinh:…………………………………………………SBD:…………


HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM THI OLYMPIC
Mơn thi: Tốn 7
Năm học: 2016 – 2017
Câu

Ý

a
2,0đ
1
(4,0
đ)
b
2,0đ

2
(5,0
đ)

Đáp án
2

  1
  1    1 
A  10.    5.    1 :  1
 5 
 5    5


1

 6
 10.  1  1 :
 25
 5

10  6
 :
25 5
2 5 1
 .

5 6 3
1 1 1 1
1
B  

 ... 
2 6 12 20
90
1  1
1
1
1 
 


 ... 

2  2.3 3.4 4.5
9.10 

1
 
2
1

 
2

Biểu
điểm

1,0
0,5
0,5

1,0

1 1
1 1 1 1 1 1
       ...  

9 10 
2 3 3 4 4 5
1 1
1
 
2 10 10

5 x 1  5x  3 650

0,5
0,5

5 x 32  5x  3 650

0,5

5 x 3  52  1 650

0,5

a
5 25
2,0đ x 3
5 52
x  3 2
x 5
x 3

b
1,5đ

0,25
0,25
0,25
0,25

x  1  x  2  .....  x  100 605 x
x  1  x  2  .....  x  100 0

Ta có:
 605 x 0  x 0
x 1  0
x  2  0


 
...
 x  100  0

với x

0,25
0,25

0,25
với x


 x  1  x  2  x  3  ...  x  100 605 x
 100 x   1  2  3  ...  100  605 x
 100 x  5050 605 x
 505 x 5050  x 10

0,25
0,25
0,25

2 x 1 4 y  5 2 x  4 y  4


5
9
7x
ĐK: x  0

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 x 1 4 y  5 2 x  4 y  4 2 x  4 y  4



5
9
14
7x
1
1
2 x  4 y  4 0 
  x 2
14 7 x
TH1: Nếu

0,5
0,25

 x 2


c

7
2.2  1 4 y  5
7
 y  2
1,5đ  5  9  y  2
(tm)

0,25

 2 x  1 0

2 x  4 y  4 0  4 y  5 0
 2 x  4 y  4 0


0,25

TH2: Nếu

3
(4,0
đ)
a
2,0đ

1

 x  2
 
 y 5

4
(tm)
2 a+ b+c +d a+2 b+ c+ d a+ b+2 c+ d a+b+ c+2 d
=
=

=
Từ
a
b
c
d
2a  b  c  d
a  2b  c  d
a  b  2c  d
a  b  c  2d

 1
 1
 1
1
a
b
c
d
a b c  d a b c  d a b c d a b c d




a
b
c
d
Nếu a + b + c + d = 0  a + b = - ( c + d) ; ( b + c) = - ( a + d)

a b bc c d d a
M



 4
c d d a a b b c

Nếu a + b + c + d 0  a = b = c = d 
a+b b+c c +d d +a
M=
+
+
+
=4
c+ d d +a a+b
2016
B
2017  x  2016

b+c

Ta có: B.2017  B x  2016 2016
b
2017 B  2016
x

2016

1,0đ

B
Nên
2016
 B 2017 và B < 0


c
1,0đ

Vậy không tồn tại giá trị nhỏ nhất của B
2 x 2  3 y 2 77  2 x 2 77  3 y 2 0 với x, y

0,25

0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25

0,5
0,25
0,25

0,25


3 y 2 77  0  y 2 

77
3 . Vì 2x2 chẵn nên 77 – 3y2 chẵn suy ra y2 lẻ.

 y 2   1,9,25
Nếu y2 = 1  2x2 = 77 – 3 ( không thỏa mãn )
Nếu y2 = 9  2x2 = 77 – 27 = 50  x2 = 25  x = 5 hoặc x = -5
Nếu y2 = 25  2x2 = 77 – 75 = 2  x2 = 1  x = 1 hoặc x = -1
Vậy
x
1
1 -1 -1 5
5 -5 -5
y
5 -5 5 -5 3 -3 3 -3
4
(6,0
đ)

0,25
0,25
0,25

A

K

E

N

D

B

C
M
H

0,5

F

x

a
2đ

b
2đ

Xét ACK và BAH có :
AKC AHB 900


BAH
ACK ( vì cùng phụ với KAC
)
AB = AC ( gt)
 ACK BAH (ch  gn)
 AK BH .

Xét AKM và BHM có :
AM là trung tuyến ABC
nên AM  BC  AMB vuông cân tại M.
 AM BM
AK = BH ( chứng minh trên)

0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25




KAM
HBM
( vì cùng phụ với ADM )
 AKM BHM  c.g .c   MK MH .(1)
0



AMK
Ta có: KMA  KMD 90 mà BMH



 BMH
 KMD
900
 KM  MH (2)
Từ (1) và (2) => KMH vuông cân tại M.
Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = AE.
=> EB = NC và ANE vuông cân tại A.
Xét EBF và CNE có:
c NC = EB
1,5đ 


NCE BEF
( vì cùng phụ với AEC )


EBF
ENC
1350
 EBF CNE ( g.c.g )  EC EF.
Theo ngun lí diriclet dãy có 20 số nên tồn tại hai số cùng dư khi
chia cho 19.
Giả sử hai số đó là 10m và 10n (0=5(1,
Ta có: 10m – 10n chia hết cho 19
0đ)
 10m(10m-n – 1) chia hết cho 19, do 10m không chia hết cho
19(là số nguyên tố)
 10m-n – 1 chia hết cho 19 hay 10m-n chia cho 19 dư 1 (đpcm)
Lưu ý : Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25