Tài liệu Đề thi thử Đại học năm 2009 môn Toán - Bám sát cấu trúc của Bộ Giáo Dục docx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (385.87 KB, 5 trang )
Đề thi thử Đại học năm 2009 Bám sát cấu trúc của Bộ Giáo Dục
ĐỀ 02
Thi thử thứ hai hàng tuần
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm )
Câu I : ( 2 điểm ) Cho hàm số :
3
1
x
y
x
1
1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
1
.
2.
Tìm trên đồ thị của hàm số
1
những điểm
M
có tọa độ nguyên dương sao cho khoảng cách từ
M
đến
2
đường tiệm cận bằng nhau. Từ đó chứng minh rằng
M
luôn nằm trong đường tròn :
2
2
1 2 9
x y
.
Câu II: ( 2 điểm )
1.
Giải hệ phương trình :
2 2
18
( 1) ( 1) 72
x y x y
x x y y
2.
Giải phương trình :
2 2
3 1 sin 2sin .cos 3 1 cos 1
x x x x
Câu III: ( 1 điểm ) Tìm giới hạn :
t n2 cos16
8
lim
cos12
a x x
x
e e
x
Câu IV: ( 1 điểm ) Cho hình chóp
.
S ABCD
đáy là hình vuông
ABCD
cạnh
a
,
SB
vuông góc với đáy và
2
SB a
. Tính diện tích và thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABCD
.
Câu V: ( 1 điểm ) Tìm tham số thực
m
để phương trình sau có hai nghiệm
1 2
;
x x
thỏa mãn
1 2
4 6
x x
:
2
1 1
2 2
3 log 4 1 log 4 2 0
m x m x m
.
II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm )
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2 ).
1.
Theo chương trình Chuẩn :
Câu VI.a ( 2 điểm )
1.
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, viết phương trình chính tắc của elip
E
có tiêu cự bằng
8
, tâm sai
4
5
e
và các tiêu điểm nằm trên
Ox
.
2.
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxyz
cho các điểm
;0;0 , ; ;0 , 0; ;0 , 0;0;2
B a C a a D a S a
. Giả sử
N
là trung
điểm của các cạnh
SD
. Tìm giá trị nguyên dương lớn nhất của
a
để khoảng cách giữa hai đường thẳng
SB
và
CN
lớn hơn
2
7
a
.
Câu VII.a ( 1 điểm ) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
6 6
4 4
1 sin cos
1 sin cos
x x
y
x x
2.
Theo chương trình Nâng cao :
Câu VI.b ( 2 điểm )
1.
Cho tam giác
ABC
có hai đường trung tuyến
1
1
1
1
:
1
x t
d
y t
và
2
2
2
2
:
1
x t
d
y t
và điểm
1; 1
A
. Viết
phương trình
3
cạnh của tam giác .
2.
Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ , vuông góc với mặt phẳng
: 3
P x y z
, đồng thời
tiếp xúc với mặt cầu
2
2 2
: 1 2 3 4
S x y z
.
Câu VII.b ( 1 điểm ) Cho
3
số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện
1
x y z
. Chứng minh rằng :
2 2
2
2
x y z z x y
y z x
yz zx xy
.
GV ra đề : Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt .
Đề thi thử Đại học năm 2009 Bám sát cấu trúc của Bộ Giáo Dục
Đáp án đề thi 02 thi ngày thứ hai hàng tuần.
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm )
Câu I : ( 2 điểm ) ) Cho hàm số :
3
1
x
y
x
1
1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
1
.
2.
Tìm trên đồ thị của hàm số
1
những điểm
M
có tọa độ nguyên dương sao cho khoảng cách từ
M
đến
2
đường tiệm cận bằng nhau.
1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
1
. Học sinh tự làm .
2.
Tìm trên đồ thị của hàm số
1
những điểm
M
có tọa độ nguyên dương sao cho khoảng cách từ
M
đến
2
đường tiệm cận bằng nhau. Từ đó chứng minh rằng
M
luôn nằm trong đường tròn :
2
2
1 2 9
x y
.
Giả sử
0 0
;
M x y
là tọa độ điểm cần tìm , có tọa độ nguyên dương, là điểm thuộc đồ thị của hàm số
1
khi đó
0 0
0
4
1
y x
x
.
Đồ thị của hàm số
1
có tiệm cận đứng
1
1 0
x d
và
1
0
/
1
M d
d x
, có tiệm cận ngang
2
1 0
y d
và
2
0
/
0
4
1
1
M d
d y
x
.
Theo yêu cầu bài toán ta có :
0
0
2
0 0
0
0 0
0
1 2
1 .
4
1 1 4
1 2
3 3
1
x
x loai
x x
x
x y
x
.
Vậy :
3;3
M
là tọa độ cần tìm.
Đường tròn
2
2
1 2 9
x y
có tâm
1;2
I
và bán kính
3
R
Vì
2 2
2 2
3 1 3 2 5
IM R
nên
M
luôn nằm trong đường tròn :
2
2
1 2 9
x y
.
Câu II: ( 2 điểm )
1.
Giải hệ phương trình :
2 2
18
( 1) ( 1) 72
x y x y
x x y y
Hệ phương trình :
2 2
2 2
2 2
( ) ( ) 18
18
*
( 1) ( 1) 72
( )( ) 72
x x y y
x y x y
x x y y
x x y y
. Đặt
2 2
,
S x x P y y
Khi đó hệ
2
2
2
2
3
12 4
2
6
3
18 12
*
. 72 6
2
6 3
3
12
4
x
x x x
y
y y
y
S P S
S P P
x
x x x
y
y y
y
Vậy hệ phương trình cho có
8
nghiệm :
; 3;2 , 3; 3 , 4;2 , 4; 3 , 2;3 , 2; 4 , 3;3 , 3; 4
x y
.
2.
Giải phương trình :
2 2
3 1 sin 2sin .cos 3 1 cos 1
x x x x
Đề thi thử Đại học năm 2009 Bám sát cấu trúc của Bộ Giáo Dục
2 2 2 2
3 1 sin 2sin .cos 3 1 cos 1 3 sin 2sin .cos 3 cos 0 *
x x x x x x x x
cos 0
x
không là nghiệm phương trình .
cos 0
x
chia cả hai vế phương trình cho
2
cos
x
.Khi đó phương trình
2
tan tan
tan 3
3
3
* 3.tan 2tan 3 0 ( )
1
tan
tan tan
3
6
6
x
x
x k
x x k
x
x k
x
Câu III: ( 1 điểm ) Tìm giới hạn :
t n2 cos16
8
lim
cos12
a x x
x
e e
x
. Chú ý rằng : Ban cơ bản không học phần giới hạn lũy
thừa , logarit . Tuy nhiên bài toán thuộc đề 01 ( thứ 5) và đề 02( thứ 2 ) lại thuộc phạm viên kiến thức chung của
hai ban : chuẩn và nâng cao .
t n2 cos16 t n2 cos16
8 8
1 1
lim lim
cos12 cos12
a x x a x x
x x
e e e e
A
x x
t n2 cos16
8 8 8
1 1
8
lim lim .lim
cos12
8 8
a x x
x x x
x
e e
x
x x
Và
t n
t n2 t n2
4
t n2
8 8 8
1 0
lim lim lim ' ,
8
8 8 8
a
a x a x
a x
x x x
e e e f x f
f f x e
x x x
cos16 cos16 cos2
cos16
8 8 8
1 0
lim lim lim ' 0 ,
8 8 8
x x
x
x x x
e e e g x g
g g x e
x x x
Đặt
0,cos12 cos12 sin12
8 8 8
t x x t x x t
0
1
' ' .lim 4 0
8 8 sin12 12 3
t
t e
A f g e
t
Câu IV: ( 1 điểm ) Cho hình chóp
.
S ABCD
đáy là hình vuông
ABCD
cạnh
a
,
SB
vuông góc với đáy và
2
SB a
. Tính diện tích và thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABCD
.
I
D
CB
A
S
Ta có :
SB ABCD SB BD
tam giác
BSD
vuông tại
B
.
Mặt khác
AB AD SA AD
( định lý
3
đường vuông góc)
tam
giác
ASD
vuông tại
A
.
Tương tự :
BC CD SC CD
tam giác
CSD
vuông tại
C
.
Do đó mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABCD
có tâm
I
là trung điểm
SD
có bán kính
2 2
2 2
4 ( 2)
6
2 2 2 2
a a
SD SB BD a
R
Diện tích mặt cầu :
2 2
4 6
S R a
(đvdt).
Thể tích của khối cầu :
3 3
4
6
3
V R a
(đvtt)
Chú ý : Ngoài ra học sinh có thể dùng phương pháp tọa độ để giải.
Câu V: ( 1 điểm ) Tìm tham số thực
m
để phương trình sau có hai nghiệm
1 2
;
x x
thỏa mãn
1 2
4 6
x x
:
2
1 1
2 2
3 log 4 1 log 4 2 0
m x m x m
.
Đề thi thử Đại học năm 2009 Bám sát cấu trúc của Bộ Giáo Dục
Đặt
1
2
log 4 ,4 6 0 4 2 1
t x x x t
Bài toán trở thành : Tìm tham số thực của
m
để phương trình:
2
3 1 2 0
f t m t m t m
có hai
nghiệm
1 2
;
t t
thỏa mãn
1 2
1
t t
Ta có hệ :
0 8 25 0
25
0
8
3 1 0 4 3 0
3
4 5
01 0
2 32
m
m
m f m m
m
m
S
m
Chú ý : Học sinh có thể giải bằng phương pháp hàm số.
II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm )
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc 2 ).
1.
Theo chương trình Chuẩn :
Câu VI.a ( 2 điểm )
1.
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, viết phương trình chính tắc của elip
E
có tiêu cự bằng
8
, tâm sai
4
5
e
và các tiêu điểm nằm trên
Ox
.
Elip
2 2
2 2
: 1 0
x y
E a b
a b
Theo bài toán ta có hệ :
2 2
2 2 2
2 8
4
4
5 : 1
5 25 9
3
c
c
c x y
a E
a
b
c a b
.
2.
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxyz
cho các điểm
;0;0 , ; ;0 , 0; ;0 , 0;0;2
B a C a a D a S a
. Giả sử
N
là trung
điểm của các cạnh
SD
. Tìm giá trị nguyên dương lớn nhất của
a
để khoảng cách giữa hai đường thẳng
SB
và
CN
lớn hơn
2
7
a
.
;0;2 , ; ; , ; ; 2
2
a
BS a a CN a a SC a a a
2
2 2 3
, , , , , .
2
a
BS CN a a BS CN SC a
3
;
2
2
2 2
2 2
2
3
2
SB CN
a
a
d
a
a a
Theo bài toán :
2 2
;
2 14
0
7 3 7 3
SB CN
a a a
d a
Mà
a
nguyên dương , do đó giá trị thực cần tìm của
a
là
1;2;3;4
và
a
có giá trị lớn nhất là
4.
Câu VII.a ( 1 điểm ) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
6 6
4 4
1 sin cos
1 sin cos
x x
y
x x
2
6 6
2
4 4
2
3
2 sin 2
1 sin cos 3 8
4
, sin 2 , 0;1
1
1 sin cos 2 8
2 sin 2
2
x
x x t
y f t t x t
x x t
x
Đề thi thử Đại học năm 2009 Bám sát cấu trúc của Bộ Giáo Dục
Hàm số
3 8
2 8
t
f t
t
xác định và liên tục trên đoạn
0;1
.
Ta có
2
8
' 0, 0;1
2 8
f t t
t
nên hàm số
f t
liên tục và nghịch biến trên đoạn
0;1
Và
5
0 1, 1
6
f f .
Do đó hàm số cho đạt giá trị nhỏ nhất bằng
5
6
khi
2
sin 2 1 ,
4 4
x x k k và đạt giá trị lớn nhất
bằng
1
khi
2
sin 2 0 ,
2
x x n n .
2.
Theo chương trình Nâng cao :
Câu VI.b ( 2 điểm )
1.
Cho tam giác
ABC
có hai đường trung tuyến
1
1
1
1
:
1
x t
d
y t
và
2
2
2
2
:
1
x t
d
y t
và điểm
1; 1
A
. Viết
phương trình
3
cạnh của tam giác .
Đường trung tuyến
1 2
,
d d
cắt nhau tại trọng tâm
G
. Tìm được
G
.
Cách 1 :
Dễ thấy điểm
A
không thuộc đường thẳng
1 2
,
d d
, ta giả sử
1 2
,
B d C d
.
Đến đây ta có thể dung kiến thức trọng tâm tam giác hoặc trung điểm để suy ra
2
điểm
;
A B
Viết phương trình đi qua
2
điểm.
Cách 2 :
Gọi
'
A
là điểm đối xứng của
A
qua trọng tâm
G
.
Dễ thấy
'
BA CG
là hình bình hành nên ta viết được phương trình
'
A C
qua
C
và song song với
1
d
Tọa độ
C
là giao điểm của
2
d
và
'
A C
, từ đó suy ra tọa độ
B
thông qua trọng tâm
G
.
Viết phương trình đi qua
2
điểm.
2.
Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ , vuông góc với mặt phẳng
: 3
P x y z
, đồng thời
tiếp xúc với mặt cầu
2
2 2
: 1 2 3 4
S x y z
.
Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ có phương trình :
2 2 2
: 0, 0
Q Ax By Cz A B C
Mặt phẳng
0
P Q A B C
Dùng điều kiện tiếp xúc của mặt cầu và mặt phẳng .
Câu VII.b ( 1 điểm ) Cho
3
số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện
1
x y z
. Chứng minh rằng :
2 2
2
2
x y z z x y
y z x
yz zx xy
.
Trước hết ta có
2
0, ,
x y x y
hay
2 2
, * ,
x xy y xy x y
.
Vì
, 0 0
x y x y
nên ta nhân cả
2
vế của đẳng thức
*
cho
0
x y
, ta được đẳng thức
3 3
, , 0
x y xy x y x y
hay
2 2
, 1 , 0
x y
x y x y
y x
Tương tự
2 2
, 2 , 0
y z
y z y z
z y
,
2 2
, 3 , 0
z x
z x x z
x z
Cộng vế theo vế các đẳng thức
1 , 2 , 3
ta được điều phải chứng minh . Đẳng thức xảy ra khi
1
3
x y z
.
Bài toán này có nhiều cách giải .
