Tài liệu Giải phương trình lượng giác 05.05 (Bài tập và hướng dẫn giải) docx

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2010
BTVN NGÀY 05-05
(Giải các phương trình lượng giác sau)
3
3 3 2
3
1/ 4sin 1 3sin 3 os3
2 / sin 3 ( 3 2) os3 1
3 / 4sin 3cos 3sin sin cos 0
4 / 2sin 5 3 os3 sin 3 0
5 / 2sin 4 3cos2 16sin cos 5 0
x x c x
x c x
x x x x x
x c x x
x x x x
− = −
+ − =
+ − − =
+ + =
+ + − =
………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010

HDG CÁC BTVN
• BTVN NGÀY 05-05:
3
2
2
2 2
1/ 4sin 1 3sin 3 os3x
1 3 1
sin3 3 os3 1 sin 3 os3
2 2 2
2
18 3
sin 3 sin
2
3 6
2 3
2 / sin3 ( 3 2) os3 1
3 2 ( 3 2)(1 )
: tan 1 ( 3 1) 2 (3 3) 0
2 1 1
1
3
x x c
x c x x c x
k
x
x
k
x
x c x

x t t
Coi t t t
t t
t
t
π π
π π
π π
− = −
⇔ − = − ⇔ − = −

= +

   
⇔ − = − ⇔

 ÷  ÷
   

= +


+ − =
− −
= ⇒ + = ⇔ − − + − =
+ +
=

⇔ ⇔


=

3 3 2
3
3 2
2
3
tan 1
6 3
2
3 2 2
tan 3
2 9 3
3/ 4sin 3cos 3sin sin cos 0(1)
* ét sinx 0 3cos 3 0
(1) 4 3cot 3(cot 1) cot 0
cot 1
1
4
cot
3
3
1
cot
3
k
x
x
x k
x

x x x x x
X x
x x x
x
x k
x
x k
x
π π
π π
π
π
π
π


= +
=


⇔




= = +





+ − − =
= ⇒ = ± ≠
⇔ + − + − =


=


= +


⇔ = − ⇔




= ± +



=


Page 2 of 10
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
3
4 / 2sin 5 3 os3 sin 3 0
3 1

3 os3 sin3 2sin 5 os3 sin3 sin 5
2 2
5
os 3 sin 5 os( 5 )
6 2
5
3 5 2
6 2
24 4
2
5
3 5 2
3
6 2
5 / 2sin 4 3cos2 16sin cos 5 0
2sin 4
+ + =
+ = − ⇔ − − =
 
⇔ + = = −
 ÷
 


+ = − +
= − +


⇔ ⇔





= −
+ = − +




+ + − =
⇔
x c x x
c x x x c x x x
c x x c x
k
x x k
x
x k
x x k
x x x x
π π
π π
π π
π
π
π π
π
π
2
3cos2 8sin 2 .sin 5 0

1 os2
2sin 4 3cos2 8sin 2 . 5 0
2
2sin 4 3cos2 4sin 2 2sin 4 5 0
3 4
3cos2 4sin 2 5 cos 2 sin 2 1
5 5
3
cos
5
os(2 ) 1 ;( );
4
2
sin
5
+ + − =
−
 
⇔ + + − =
 ÷
 
⇔ + + − − =
⇔ + = ⇔ + =

=


⇔ − = ⇒ = + ∈



=


¢
x x x x
c x
x x x
x x x x
x x x x
C x x k k
α
α
α π
α
Page 3 of 10
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
• BTVN NGÀY 06-05
( )
( )
( )
3
3
2 3 2
2
3 2
2 2
2
1/ inx 4sin cos 0(1)

ê' : cos 0 inx 4sin 3 0
(1) t anx(1 tan ) 4tan 1 tan 0
t anx
t anx
t anx 1
1 3 2 1 0
4
3 1 0
2 / tan x sin 2sin 3 os2 sin x cos
, os
S x x
N u x S x
x x x
t
t
x k
t t t
t t t
x x c x x
Chia VT VP cho c x
π
π
− + =
⇔ = ⇒ − = ± ≠
⇔ + − + + =
=

=



⇔ ⇔ ⇔ = ⇔ = +
 
− + + =
− + + + =



− = +
( )
( )
( )
( )
2 2
3 2
2
3 2 2
3 2
2
2
ó :
os sin sin x cos
tan 2tan 3
os
t anx
tan 2 tan 3 1 tan t anx
3 3 0
t anx
t anx 1
4
1 3 0

t anx 3
3
3 / 2 2 tan 3
, os ó :
2 tan 2t
ta c
c x x x
x x
c x
t
x x x
t t t
x k
t
t t
x k
Sin x x
Chia VT VP cho c x ta c
x
π
π
π
π
− +
− =
=

⇔ − = − + ⇔

+ − − =



= − +
=


= −


⇔ ⇔ ⇔



+ − =
= ±




= ± +


+ =
+
( )
( )
2 2
3 2
2
tan

an (tan 1) 3(tan 1)
2 3 4 3 0
tan
t anx 1
1 2 3 0
4
t x
x x x
t t t
t x
x k
t t t
π
π
=

+ = + ⇔

− + − =

=


⇔ ⇔ = ⇔ = +

− − + =


Page 4 of 10
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE

P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
2 2
2
2
2
4 2 2 4
4
2 4
4 2
4 / os 3sin 2 1 sin
, os ó :
t anx
1 2 3 t anx 2tan 1
2 2 3 0
t anx 0
t anx 3
3
5 / 3cos 4sin cos sin 0
, os ó :
t anx
3 4tan tan 0
4 3 0
C x x x
Chia VT VP cho c x ta c
t
x
t t
k
x

k
x x x x
Chia VT VP cho c x ta c
t
x x
t t
π
π
π
− = +
=


− = + ⇔

+ =



=


⇔ ⇔ =


− +
= −


− + =

=

− + = ⇔

− + =

2
2
tan 1
4
tan 3
3
x k
x
x
x k
π
π
π
π

= ± +


=
⇔ ⇔


=



= ± +


• BTVN NGÀY 07-05
2 2
1/ inx cos 7sin 2 1
: sinx cos ;( 2)
sinx cos 1
7(1 ) 1 7 6 0
6
sinx cos
7
2
2
1
sin
2
4
2
3 2
;sin
7
2
3 2
sin
4
4 7
2
4

S x x
Coi t x t
x
t t t t
x
x k
x
x k
x k
x
x k
π
π
π
π π
α
π
α π
π
π
α π
− + =
= − ≤
− =


⇒ + − = ⇔ − − = ⇔

− =



= +


 

− =
= +
 ÷


 


⇔ ⇔ = −

= + +

 
− = −

 ÷

 


= − +


Page 5 of 10

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
2
0
2
2
2 / 2 2 sin 1
4
: sinx cos ;( 2)
2
4
0 0
1 1 2 sin 2
1 1
4 2
2
3 / Tìm : 2 4(cos sinx) ó
: cos sinx;( 2) 1 4
( ) 4
Sin x x
Coi t x t
x k
t
t t x x k
t
x k
m cho PT Sin x x m c ng
Coi t x t t t m
m f t t t

π
π
π
π π
π
π π
 
+ − =
 ÷
 
= − ≤

= +


=
 
 

⇒ − + = ⇔ ⇔ − = ⇔ = +
 ÷
 

=
 
 

= +




+ − =
= − ≤ ⇒ − + =
⇔ = = − +
2 2
1 '( ) 2 4 0; 2
( 2) ( 2) 4 2 1 4 2 1
4 / os2 5 2(2 cos )(sinx cos )
os2 5 4(sinx cos ) sin 2 os2 1
4((sinx cos ) sin 2 4 0
: sinx cos ;( 2) 4 ( 1) 4 0 4 3 0
2 sin 1 si
4
f t t t
f m f m
C x x x
C x x x c x
x x
Coi t x t t t t t
x
π
+ ⇒ = − + > ∀ ≤
⇒ − ≤ ≤ ⇔ − − ≤ ≤ −
+ = − −
+ = − − + +
⇔ − − − =
= − ≤ ⇒ − − − = ⇔ − + =
 
⇔ − = ⇔
 ÷

 
( ) ( )
( )
( )
3 3 5 5
3 2 3 2
2 2
2
1
n
2
4
2
2
5 / os 2(sin os )
1 2sin os 2cos 1 0
os2 sinx cos sin sin x cos os 0
os2 0
4 2
k
x x
k
Sin x c x x c x
Sin x x c x x
c x x x x c x
k
c x x
π
π
π

π π
π π

+
 

− = ⇔ =
 ÷

 
+

+ = +
⇔ − + − =
⇔ − − + =
⇔ = ⇔ = +
Page 6 of 10
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
• BTVN NGÀY 08-05
( ) ( )
3 2
2 2
2 2
1
1/ 2cos 2 8cos 7 (1)
cos
:
2

cos 1 2
cos ( )
(1) ;
1
cos 2
4 8 5 1 0
2 3
2 / 4cos 3tan 4 3 cos 2 3 t anx 4 0(2)
:
2
(2) 2cos 3 3 t anx 1 0
3
cos 2
2 6
1
t anx
3
x x
x
DK x k
x x k
t x t
k
x x k
t t t
x x x
DK x k
x
x x k
π

π
π
π
π
π
π
π
π
− + =
≠ +
= ⇒ =

= ≠


⇔ ⇔ ∈


= ⇒ = ± +
− + − =


+ − + + =
≠ +
⇔ − + + =
= ⇒ = ± +
⇔
= − ⇒
¢
( )

( )
2
6
6
3 / 3 cos cos 1 2
3 cos cos 1 2 4 cos 1 2(cos 1)
2(cos 1) 0;
: cos 1 0 cos 1 2
4 cos 1;
x k k
x k
x x
x x x x
x x
Do x x x k k
x x
π
π
π
π
π π



⇔ = − + ∈

= − +


− − + =

⇔ − = + + ⇔ + = − +
− + ≤ ∀


⇒ + = ⇔ = − ⇔ = + ∈

+ ∀


¢
¢
Page 7 of 10
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
2
2
4 / in os os2 .tan .tan
4 4
sinx-cos 1 sin x cos os2 sinx-cos 1 sin x cos sinx cos 0
sinx-cos 0 sin 0
4 4
sinx cos ( 2)
1 sin x cos sinx cos 0
1
1 0 2 1
2
S x c x c x x x

x x c x x x x
x x x k
t x t
x x
t
t t t
π π
π π
π
   
− = + −
 ÷  ÷
   
+ = − ⇔ + + + =
 
= ⇒ − = ⇔ = +
 ÷
 
⇔
= + ≤
+ + + = ⇔
−
+ + = ⇔ + + =
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
0 1

4
4
2 ;
1
2
sin
2
4
2
2 1
5 / os os (sinx 1)
3 3 2
1 1 1
cos 3 sinx cos 3 sinx (sinx 1)
4 4 2
1 1
1 2sin (sinx 1) 2sin s
2 2
t
x k
x k
x k k
x
x k
C x C x
x x
x x
π
π
π

π
π
π
π
π π
π π









⇔ = −





= +


= +




⇔ ⇔ = − + ∈


 

+ = −

 ÷

= +
 




   
+ + + = +
 ÷  ÷
   
⇔ − + + = +
⇔ + = + ⇔ −
¢
2
sinx 0
in 0 2 ;
1
6
sinx
2
5
2
6

x k
x x k k
x k
π
π
π
π
π


=
=




= ⇔ ⇔ = + ∈


=



= +

¢

• BTVN NGÀY 10-05
Page 8 of 10
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE

P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Bài 1:
Tìm các nghiệm thuộc khoảng (2π/5; 6π/7) của phương trình:
3sin 7 cos7 2x x
− =
Giải:
1
5 2
3 1 2
84 7
sin 7 os7 sin 7 sin ;( )
11 2
2 2 2 6 4
84 7
5 2 2 5 2 6 2 5 2 6 5
* :
84 7 5 84 7 7 5 84 7 7 84
53
2
84
11 2 2 11 2 6 2 11 2 6 11
* :
84 7 5 84 7 7 5 84 7 7 84
k
x
PT x c x x k
k
x
k k k

Khi x
k x
k k k
Khi x
π π
π π
π π
π π π π π π
π
π π π π π π

= +

 
⇔ − = ⇔ − = ⇔ ∈

 ÷
 

= +


= + ⇒ < + < ⇔ − < < −
⇔ = ⇔ =
= + ⇒ < + < ⇔ − < < −
⇔
¢
2 3
35 59
1,2 ;

84 84
k x x
π π
= ⇔ = =
Bài 2:
Tìm các nghiệm thuộc khoảng (π/2; 3π) của phương trình:

5 7
sin 2 3cos 1 2sin
2 2
x x x
π π
   
+ − − = +
 ÷  ÷
   
Giải:

2
2 2 3cos 4 1 2sin
2 2
os2 3sin 1 2sin 1 2sin 1 sinx
PT Sin x x x
c x x x x
π π
π π
   
⇔ + + − + − = +
 ÷  ÷
   

⇔ + = + ⇔ − = −
Page 9 of 10
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010

2
1 2 3 4 5
sinx 0
2
2sin sinx 0
1
6
sinx
5
2
2
6
13 5 17
( ;3 ) ; 2 ; ; ;
2 6 6 6
x k
x k
x
x k
Do x x x x x x
π
π
π
π

π
π π π π
π π π
= ⇒ =




= +

⇔ − = ⇔

= ⇒




= +



⇔ ∈ ⇒ = = = = =
Bài 3:
Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm thuộc khoảng (-π;7π/3):
sinx cosm x m
+ =
Giải:
cos 1 0 à 2
sinx (1 cos )
sinx sinx

(*)
1 cos 1 cos
x x v x
PT m x
m m
x x
π
= = =
 
 
⇔ = − ⇔ ⇔
 
= =
− −
 
Vậy để phương trình ban đầu có 4 nghiệm thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt thuộc
khoảng (-π;7π/3).
Nhưng số nghiệm của (*)thuộc khoảng (-π;7π/3) lại chính là số giao điểm của
đường thẳng y=m với đồ thị (C) có phương trình:
( )
2
sinx 7
ê ;
1 cos 3
cos 1
ét àm : ' 0
1 cos
y tr n D
x
x

X h y x D
x
π
π
 
= = −
 ÷
−
 
−
= < ∀ ∈
−
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
0
3; 0 ó 4m m PT c ng
≥ ≤

………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang


Page 10 of 10