Giải Tích 1 - Đạo Hàm và Vi Phân

1
Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng

Giải tích 1

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008)


2
Nội dung

1 – Đạo hàm
2 – Vi phân.
3 – Định lý giá trị trung bình
4 – Công thức Taylor, Maclaurint
3
Định nghĩa (đạo hàm)
Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm .
0
x
'
0 0
0
0
( ) ( )
( ) lim
x
f x x f x

f x
x
∆ →
+ ∆ −
=
∆
được gọi là đạo hàm của f tại điểm x
0
.
'
0
( )
f x
I. Đạo hàm
4
Ví dụ
Tìm đạo hàm của hàm tại điểm x
0

( ) cos
f x x
=
'
0 0
0
0
( ) ( )
( ) lim
x
f x x f x

f x
x
∆ →
+ ∆ −
=
∆
0 0
0
cos( ) cos
lim
x
x x x
x
∆ →
+ ∆ −
=
∆
0
0
sin sin
2 2
lim
2
x
x x
x
x
∆ →
∆ ∆
 

+ ⋅
 
 
= −
∆
0
sin( )
x
= −
5
'
0
(0 ) (0)
(0) lim
x
f x f
f
x
∆ →
+ ∆ −
=
∆
Ví dụ
Tìm , biết
2
1
sin , 0
( )
0, 0
x x

f x
x
x

 
≠

 
=
 


=

'
(0)
f
(
)
(
)
2
0
sin 1/ 0
lim
x
x x
x
∆ →
∆ ∆ −

=
∆
0
1
lim sin
x
x
x
∆ →
 
 
= ∆ ⋅
 
 
∆
 
 
0
=
(bị chặn x vô cùng bé)
6
Định nghĩa (đạo hàm phải)
Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm .
0
x
'
0 0
0
0
( ) ( )

( ) lim
x
f x x f x
f x
x
+
+
∆ →
+ ∆ −
=
∆
được gọi là đạo hàm phải của f tại điểm x
0
.
'
0
( )
f x
+
Định nghĩa (đạo hàm trái)
Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm .
0
x
'
0 0
0
0
( ) ( )
( ) lim
x

f x x f x
f x
x
−
−
∆ →
+ ∆ −
=
∆
được gọi là đạo hàm trái của f tại điểm x
0
.
'
0
( )
f x
−
7
Định nghĩa (đạo hàm vô cùng)
Nếu , thì ta nói hàm
0 0
0
( ) ( )
lim
x
f x x f x
x
∆ →
+ ∆ −
= ∞

∆
có đạo hàm vô cùng tại điểm x
0
.
Định lý
Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm , khi và chỉ khi
0
x
nó có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại điểm x
0
và
hai đạo hàm này bằng nhau.
8
'
0
(0 ) (0)
(0) lim
x
f x f
f
x
+
+
∆ →
+ ∆ −
=
∆
Ví dụ
Tìm , biết
1/

, 0
( )
0, 0
x
e x
f x
x

≠
=

=

' '
(0); (0)
f f
+ −
1/
0
0
lim
x
x
e
x
+
∆
∆ →
−
=

∆
= +∞
'
0
(0 ) (0)
(0) lim
x
f x f
f
x
−
−
∆ →
+ ∆ −
=
∆
1/
0
0
lim
x
x
e
x
−
∆
∆ →
−
=
∆

0
=
Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, nên
đạo hàm tại x = 0 không tồn tại.
9
Ví dụ
Tìm , biết
2
( ) 3| | 2
f x x x
= − +
'
( )
f x
Tại điểm x = 0:
2
2
3 2, 0
( )
3 2, 0
x x x
f x
x x x

− + ≥
=

+ + <

'

2 3, 0
( )
2 3, 0
x x
f x
x x
− >

⇒ =

+ <

' '
(0) 3; (0) 3
f f
+ −
= − =
Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, suy
ra không tồn tại đạo hàm tại x = 0.
10
'
0
(0 ) (0)
(0) lim
x
f x f
f
x
+
+

∆ →
+ ∆ −
=
∆
Ví dụ
Tìm , biết
( ) sin2
f x x
=
' '
(0); (0)
f f
+ −
0
sin2
lim
x
x
x
+
∆ →
∆
=
∆
2
=
'
0
(0 ) (0)
(0) lim

x
f x f
f
x
−
−
∆ →
+ ∆ −
=
∆
0
sin2
lim
x
x
x
−
∆ →
∆
=
∆
2
= −
Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau, nên
đạo hàm tại x = 0 không tồn tại.
11
Ví dụ
Tìm , biết
sin
, 0

( )
1, 0
x
x
f x
x
x

≠

=


=

'
( )
f x
'
2
cos sin
, 0
( )
,?
0
x x x
x
f x
x
x

−

≠

=


=

'
0
(0 ) (0)
(0) lim
x
f x f
f
x
∆ →
+ ∆ −
=
∆
0
sin
1
lim
x
x
x
x
∆ →

∆
−
∆
=
∆
( )
2
0
sin
lim
x
x x
x
∆ →
∆ − ∆
=
∆
0
=
0,
12
'
0
1
arctan
2
(0) lim
x
x
f

x
π
+
+
∆ →
+
∆
=
∆
Ví dụ
Tìm , biết
1
arctan , 0
( )
, 0
2
x
x
f x
x
π

≠


=


− =



' '
(0); (0)
f f
+ −
= +∞
'
0
1
arctan
2
(0) lim
x
x
f
x
π
−
−
∆ →
+
∆
=
∆
1
= −
13
Đạo hàm
hàm hợp
(

)
'
1. 0
a
=
(
)
'
1
2.
x x
α α
α
−
=
(
)
'
3.
x x
e e
=
(
)
'
4. sin cos
x x
=
(
)

'
5. cos sin
x x
= −
( )
'
1
6. ln x
x
=
( )
'
2
1
7. tan
cos
x
x
=
( )
'
2
1
8. cot
sin
x
x
−
=
(

)
'
1 '
2.
u u u
α α
α
−
= ⋅
(
)
'
'
3.
u u
e e u
= ⋅
(
)
(
)
'
'
4. sin cos
u u u
= ⋅
(
)
(
)

'
'
5. cos sin
u u u
= − ⋅
( )
'
'
6. ln
u
u
u
=
( )
'
'
2
7. tan
cos
u
u
u
=
( )
'
'
2
8. cot
sin
u

u
u
−
=
14
Đạo hàm các hàm lượng giác ngược và hyperbolic
( )
'
2
1
1. arcsin
1
x
x
=
−
( )
'
2
1
2. arccos
1
x
x
−
=
−
( )
'
2

1
3. arctan
1
x
x
=
+
( )
'
2
1
4. arccot
1
x
x
−
=
+
(
)
'
5. sinh cosh
x x
=
(
)
'
6. cosh sinh
x x
=

( )
'
2
1
7. tanh
cosh
x
x
=
( )
'
2
1
8. coth
sinh
x
x
= −
15
Công thức tính đạo hàm
(
)
'
'
1.
u u
α α
=
(
)

'
' '
2.
u v u v
± = ±
(
)
'
' '
3.
u v u v u v
⋅ = ⋅ + ⋅
(
)
'
' ' '
4.
u v w u v w u v w u v w
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
'
' '
2
5.
u u v u v
v
v
⋅ − ⋅
 
=
 

 
' ' '
( ), ( ) ( ) ( ) ( )
f f u u u x f x f u u x
= = ⇒ = ⋅
Qui tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương,
hàm hợp.
Đạo hàm của hàm hợp
16
Đạo hàm của hàm ngược.
'
0
'
0
1
( )
( )
g y
f x
=
Hàm y = f(x) là hàm 1-1 có hàm ngược x = g(y).
'
'
1
( )
( )
x y
y x
=
Nếu f(x) có đạo hàm hữu hạn khác không tại x

0
, thì hàm
g(y) sẽ có đạo hàm tại y
0
= f(x
0
) và
17
Ví dụ
Tìm đạo hàm hàm ngược của hàm
3
( )
f x x x
= +
f(x) là hàm 1-1 trên R, đạo hàm
' 2
( ) 1 3 0,
f x x x
= + ≠ ∀
' 2
1 1
( ) 1 3
dx
dy
y x x
= =
+
x = sinh(y) là hàm 1-1, đạo hàm
'
( ) 1/cosh 0,

x y y y
= ≠ ∀
'
'
2 2
1 1 1
( )
( )
1 sinh 1
dy
y x
dx
x y
y x
= = = =
+ +
Ví dụ
Tìm , biết
sinh
2
y y
e e
x y
−
−
= =
'
( )
y x
18

Đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số.
' '
'
' '
( ) ( )
( )
( ) ( )
dy y t dt y t
y x
dx
x t dt x t
= = =
( )
( )
x x t
y y t
=


=

Hàm y = y(x) cho bởi pt tham số:
Giả sử hàm có hàm ngược
( )
x x t
=
( )
t t x
=
Khi đó là hàm y theo biến x.

( ) ( ( ))
y y t y t x
= =
'
'
'
( )
( )
( )
y t
y x
x t
⇒
=
19
Ví dụ
Tìm đạo hàm của hàm y = y(x) cho bởi pt tham số
3 3
cos , sin , (0, / 2).
x a t y b t t
π
= ⋅ = ⋅ ∈
'
'
'
( )
( )
( )
y t
y x

x t
=
' 2
( ) 3 cos sin 0, (0, /2)
x t a t t t
π
= − ≠ ∀ ∈
' 2
( ) 3 sin cos
y t b t t
=
2
2
3 sin cos
tan
3 cos sin
b t t b
t
a
a t t
= = −
−
20
Đạo hàm của hàm ẩn.
Để tìm đạo hàm của hàm ẩn, ta đạo hàm hai vế: coi x
là biến, y là hàm theo x.
Hàm y = y(x) với cho ẩn bởi phương trình
( , )
x a b
∈

nếu với .
( , ) 0
F x y
=
( , ( )) 0
F x y x
=
( , )
x a b
∀ ∈
Ví dụ
2 3
cos
x y
e x y
+
= +
Tìm , biết y = y(x) là hàm ẩn xác định từ
'
( )
y x
phương trình
(
)
2 ' 2 '
2 ( ) 3 ( ) sin
x y
e y x x y x y
+
+ = − ⋅

2 2
'
2
3 2
( )
sin
x y
x y
x e
y x
e y
+
+
−
⇒ =
+
21
Ví dụ
Tìm , biết
3
( ) ln ; (2 1),
1 cos
x
e
f x x n n Z
x
π
= ≠ + ∈
+

'
( )
f x
1 1 1
ln ln(1 cos ) ln(1 cos )
3 3 3 3
x
x
y e x x
= − + = − +
'
1 1 sin
3 3 1 cos
x
y
x
−
= − ⋅
+
'
1 1 sin
3 3 1 cos
x
y
x
= + ⋅
+
22
Ví dụ
Tìm , biết

2
3
4 7
1
( ) ,
sin
x
f x x n n Z
x x
π
+
= ≠ ∈
;
'
( )
f x
2
4
ln ln(1 ) ln 7lnsin
3
f x x x
= + − −
2
'
2
3
4 7
1 2 4 cos
7
3 sin

1
sin
x x x
y
x x
x
x x
+
 
⇒ = ⋅ − −
 
+
 
Đạo hàm hai vế
'
2
2 4 cos
7
3 sin
1
f x x
f x x
x
= − −
+
23
Ví dụ
Tìm , biết
sin
( ) (2 1)

x
f x x
= +
'
( )
f x
Đạo hàm hai vế
sin
ln ln(2 1) sin ln(2 1)
x
f x x x
= + = ⋅ +
'
2sin
cos ln(2 1)
2 1
f x
x x
f x
= ⋅ + +
+
'
2sin
cos ln(2 1)
2 1
x
f f x x
x
 
⇒ = ⋅ + +

 
+
 
sin
2sin
(2 1) cos ln(2 1)
2 1
x
x
x x x
x
 
= + ⋅ + +
 
+
 
Có thể sử dụng:
sin ln(2 1)
( )
x x
f x e
⋅ +
=
24
Định nghĩa (đạo hàm cấp cao)
Đạo hàm của hàm y = f(x) là một hàm số.
(
)
'
'' '

( ) ( )
f x f x
=
Có thể lấy đạo hàm một lần nữa của đạo hàm cấp
một, ta được khái niệm đạo hàm cấp hai.
Tiếp tục quá trình ta có đạo hàm cấp n.
(
)
'
( ) ( 1)
( ) ( )
n n
f x f x
−
=
25
Công thức Leibnitz (tính đạo hàm cấp cao)
Dùng qui nạp ta chứng minh được
( )
( )
( ) ( )
0
n
n
k k n k
n
k
f g C f g
−
=

⋅ = ⋅
∑
Giả sử
y f g
= ⋅
(
)
( )
0 (0) ( ) 1 (1) ( 1) ( ) (0)
n
n n n n
n n n
f g C f g C f g C f g
−
⇔ ⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅
L
Trong đó qui ước:
(0) (0)
; .
f f g g
= =