Tài liệu Vài lời giải hay cho một bài toán đẹp pdf

V y o
I .Bài toán
Đề bài: Cho
,,
xyzR
+
∈
và
1
xyz
++≤
.C/m:

222
222
111
82
Axyz
xyz
=+++++≥

(câu 5 đề thi đại học khối A năm 2003)
Lý do chọn bài toán:
• Có thể giải bởi hầu hết các BĐT quen thuộc tử cổ điển đến hiện đại.
• Ẩn chứa nhiều điều khi tổng quát hóa.
• Cần sử dụng các kĩ thuật hay như: điểm rơi, tách-nhóm-ghép-tạo,
• Thể hiện rõ đặc tính của BĐT quen thuộc.
Nhận xét:
• Dấu bằng của BĐT xảy ra tại

1
3
xyz
===

• Gt là
1
xyz
++≤
nên xu hướng ta sẽ dùng BĐT cộng mẫu (xem mục IV) và tạo mẫu dạng
,(1),
aaa
xyzxyza++<


II .Các li gii

1.AM-GM(côsi)

Ta có:
2
22
82
222281281
828140
41
1111821
82
81818181.()
81

AMGM
x
xx
xxxxx
x
−
+=++++≥=

C
1
:
→
222
222
4141
82814040408281404040
4141
4141
11182111829
.().
8181
Svac
Axyz
xyz
xyzxyz
−
=+++++≥++≥
++

Khi này ta đã bắt gặp dạng

(1)
aaa
xyza
++<
và sẽ xử lý như sau:

4040
41
41
41
1
40
11
3
41.
33
1
41.
3
x
xxxxx
+
++++≥→≤ →
41404040
41
41
414141
111
404040
333

111
41.41.41.
333
xyz
xyz
+++
++≤++≤

Chắc các bạn đã ra ?

C
2
:
→
3
222222
3
3
222222
41
8281404040
41
41
11111182111
3.()()()3
81
AMGM
Axyzxyz
xyzxyz

xyz
−
=+++++≥+++≥

Khi này ta đã bắt gặp dạng xyz và sẽ xử lý như sau:
3
1
13
27
xyzxyzxyz
≥++≥→≥

Chắc các bạn đã ra ?



B Cách gi i trên mang đậm tính AM-GM: ạ bậc ,điểm rơi ,tách.


2.B.C.S(Bunhiacopxki)

Ta có
222
222
113193
()(3)()
33823
BCS
xx
xx

xxxx
++≥+→+≥+

→
222
222
1119333
()
82333
xyz
Axyz
xyzxyz
=+++++≥+++++

Ta sẽ chỉ cần chú ý tới:
3331111
()3()
3333
xyz
Bxyz
xyzxyz
=+++++=+++++

Cũng gần giống như các cách giải với AM-GM. Ta có 2 lựa chọn:
a/Mẫu xyz:
3
3
111111??
()3().33.3?
33

AMGMAMGM
xyzxyz
xyzxyz
xyz
−−
+++++≥+≥+

Chắc các bạn đã ra ?
b/Mẫu
xyz
++
.Đến đâu tiếp tục có 2 cách
b
1
/
111119??
()3()()3?
33
AMGM
xyzxyz
xyzxyzxyz
−
+++++≥+++≥+
++++
Chắc các bạn đã ra ?

b
2
/
111111180111??

()3()()()()()?
332732732727
AMGM
xyz
xyz
xyzxyzxyzxyz
−
+++++=++++++++≥+
++


Chắc các bạn đã ra ?
Bình: Vẻ đẹp đã phần nào lộ rõ: trái với AM-GM , BCS giúp tăng bậc

3.Mincopxki(pp tọa độ)
Chọn
111
(,),(,),(,)
axbycz
xyz

.Ta có:
abcabc
++≥++

⇔
22222
222
111111
()()

Axyzxyz
xyzxyz
=+++++≥+++++

Qua việc xử lý B của mục 2 chắc chúng ta cũng đã định hướng được cho mình cách giải:
222
22
11181??
()()()?
()()
xyzxyz
xyzxyzxyz
+++++≥+++≥+
++++
Chắc các bạn đã ra ?
Nếu tinh ý hơn 1 chút thì ta còn có
2222
111111
()()(19)9()
BCS
xyzxyz
xyzxyz


++++++≥+++++




và dạng này y như B rồi.

Chắc các bạn đã ra ?

Bình: Bạn có thấy tuyệt diệu ? Hãy ghi nhớ Mincop khi có
22

+


4.Holder
Dạng m=n=3: Với a,b,c,x,y,z là các số thực dương:
3333333333
()()()(axm+byn+czp)
abcxyzmnp++++++≥

222222
3
222222
111111
3.()()()
AMGM
Axyzxyz
xyzxyz
−
=+++++≥+++

Có:


222222222
3

33
222222222222222
11111111111
()()()()()()
22222288

+++=++++++≥++




=
222
3
3
222
222
3
1??
2?
8
A
−
+≥+
ắ các bạn đã ra ?
Bình: Lời giải này có vẻ hơi gượng ép nhưng hãy cứ ghi nhớ nó.

III. M rng

1.Từ những gì đã có

Sau khi thưởng thức 4 lời giải trên bạn có cảm nhận gì ? Nếu thấy nó rưa rứa như nhau thì ta hãy phân tích tính
hiệu quả của các cách giải qua mở rộng nho nhỏ:
• Thay đổi bậc:
3

→

• Thay đổi tính đồng nhất
22
22
11
xx
xy
+→+

Ta sẽ có BĐT sau:
222
3
33
3
222
11182
3
9
Axyz
yzx
=+++++≥

Giờ ta quay lại thử

Thay đổi bậc Thay đổi tính đồng nhất
AM-GM
không sao ch t ngay
BCS
ch
bậc 2,4,16, thì đ c mặc bay
Mincop
ch
t luôn không hề gì
Holder
vẫn hiên ngang vẫn hiên ngang
**Holder nè :
222222
3
3
3
33
222222
111111
3()()()
AMGM
Axyzxyz
yzxyzx
−
=+++++≥+++
222222222
3
33
222222222222222
11111111111

()()()()()()
22222288
xyzxyzxyz
yzxyyzzxxxyzxyz

+++=++++++≥++




**Bạn nhìn vào bảng so sánh sẽ thấy nếu ”song ki m hợp bích” cho AM-GM & BCS thì thật tuyệt vời.

Tính đồng nhất đã làm khó AM-GM khi xử lý từng căn mà ở đây Mincop cũng pó tay trong việc hợp căn.
Do đó công việc hợp căn hoặc phá căn sẽ cần AM-GM & BCS cùng làm.Dựa vào lời bình ta thấy
BCS giúp tăng
bậc >< AM-GM: hạ bậc. Và thực tế thì BCS chỉ tăng lên bậc 2,4,16 còn AM-GM hạ từ cao xuống đâu cũng
chơi.

Để phá căn ta sẽ lên 4 xuống 3:
1.Lên 4

2
22
4
22
2
2
2
113
()(3)

33
13.9
()?
3.9
313.9
(9)
39
3.9
x
x
yx
x
x
y
x
xx
x
x


++≥+





→+≥+







++≥+










2.Xuống 3
4443
4
3.93.93.9823.9
()?
9
3.93.93.93.9
xxxx
xxxx

++++++≥+




Làm xong 2 quá trình trên là ta đã đưa được từ

2
3
2
1
x
y
+
ra. Vấn đề cần giải quyết tại đây chỉ còn là
1111
()3.9()
3.9
xyz
xyz
+++++
tôi xin dành cho bạn đọc.

2.Sử dụng hệ quả dạng trung bình nhân của AM-GM
Với
123123
,,, ,,,, 0
nn
aaaabbbb
>
có
112233123123
()()() ()
nnn
nnnn
ababababaaaabbbb
++++≥+

Sử dụng kết quả n=3 ta có :
22
22
33
3333
2222
2
3
111811181
()(9)(9)()()
998181
1
(9)
9
xx
xx
yyyy
+++≥+→+≥+
+

→
222
222
333
33
33
33
222222
2

3
1111818181
()
818181
1
(9)
9
xyz
Axyz
yzxxyz
=+++++≥+++++
+

Chắc các bạn đã ra ?


IV.
 lc
Phần này sẽ trình bày cho các bạn các BĐT được nói tới trong bài viết và một vài
cách chứng minh

1.AM-GM(côsi)
• Cho
123
,,, 0
n
aaaa
≥
có
123123

n
nn
aaaaaaaa
++++≥
• Dấu bằng xảy ra
123

n
aaaa
⇔====

• CM với n=3. Có
4
3333
()()22.4.3
abcabcabcabcabcabcabcabc
+++≥+≥→++≥
→đpcm

2.B.C.S(Bunhiacopxki)
• Cho
123123
,,, ,,,, 0
nn
aaaabbbb
>
có
2222222
12121122

( )( )( )
nnnn
aaabbbababab
++++++≥+++

• Dấu bằng xảy ra
12
12

n
n
a
aa
bbb
⇔===




3.Mincopxki
Thực ra BĐT này có rất nhiều dạng. Ở đây tôi chỉ lấy tới căn bậc 2 để cách chứng minh dễ dàng
• Cho
123123
,,, ,,,,
nn
aaaabbbb
có
22222222
1212123123
( )( )

nnnn
aaabbbaaaabbbb
+++++++≥+++++++++

• Dấu bằng xảy ra
12
12

n
n
a
aa
bbb
⇔===

• CM:tương tự như cách làm ở mục I



4.Holder
BĐT này rất mạnh nhưng ta hãy chỉ quan tâm tới m=n=3
• Với a,b,c,x,y,z là các số thực dương:
3333333333
()()()(axm+byn+czp)
++++++≥

• Dấu bằng xảy ra

==



⇔


==



• CM: Dùng AM-GM có:
333
333333333
333333333
3
3
()()()
++≥
++++++
++++++

Làm tương tự cho (b,y,n) và (c,z,p) rồi cộng lại-khử-nhân chéo là được đpcm

5.Hệ quả dạng trung bình nhân của AM-GM
• Với
123123
,,, ,,,, 0
>
có
112233123123
()()() ()
++++≥+

• Dấu bằng xảy ra
12
12
⇔===

• CM: Có
123123 12
1122331122331122
12
112233123
1122


()()() ()()()() ()
1()()() ()
A −
+≤+++
+++++++++++
+++=⇔++++≥+
+++
123

→



6. BĐT cộng mẫu

Đây chỉ là cách gọi quen thuộc của tôi cho BĐT S-vac:
• Cho

123
,,,
và
123
,,, 0
>
có
22
22
1212
1212
( )


+++
+++≥
+++

• Dấu bằng xảy ra
12
12

⇔===

• CM: Dùng BCS có
222
2222
12
1212
12

()() () ( )


++++++≥+++→






• Hệ quả:
2
1212
111


+++≥
+++
với x
i
>0
V.  thúc
Để tổng hợp lại bài viết tôi muốn đưa ra 1 vài lới khuyên khi học toán:
• Hãy nhìn bài toán dưới nhiều góc độ
• Hãy phân tích và đánh giá sức mạnh của từng cách giải
• Phải tổng quát hóa hay mở rộng đề hiểu sâu hơn