Tài liệu Side bài giảng sác xuất thống kê pptx

ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK

Trang
1

XC SUT V THNG Kấ
(i hc v Cao ủng)
Ti liu tham kho:
1. Giỏo trỡnh Xỏc sut Thng kờ v ng dng Nguyn Phỳ Vinh NXB Thng kờ.
2. Ngõn hng cõu hi Xỏc sut Thng kờ v ng dng HCN TP.HCM.
3. Lý thuyt Xỏc sut v Thng kờ inh Vn Gng NXB Giỏo dc.
4. Lý thuyt Xỏc sut v Thng kờ toỏn Nguyn Thanh Sn, Lờ Khỏnh Lun NXBTKờ.
5. Xỏc sut Thng kờ Lý thuyt v cỏc bi tp u Th Cp NXB Giỏo dc.
6. Lý thuyt Xỏc sut v Thng kờ inh Vn Gng NXB Giỏo dc.
7. Xỏc sut Thng kờ v ng dng Lờ S ng NXB Giỏo dc.
8. Xỏc sut v Thng kờ ng Hn NXB Giỏo dc.
9. Giỏo trỡnh Xỏc sut v Thng kờ Phm Xuõn Kiu NXB Giỏo dc.
10. Giỏo trỡnh Lý thuyt Xỏc sut & Thng kờ ToỏnNguyn Cao VnNXB Kt Quc dõn.


PHN I. Lí THUYT XC SUT

B TC I S T HP
1. Tớnh cht cỏc phộp toỏn

,


a) Tớnh giao hoỏn:
A B B A
=

,
A B B A
=

.
b) Tớnh kt hp:
(A B) C A (B C)
=

,
(A B) C A (B C)
=

.
c) Tớnh phõn phi:
A (B C) (A B) (A C)
=

,
A (B C) (A B) (A C)
=

.
d) Tớnh ủi ngu (DeMorgan):
A B A B
=

,
A B A B

=

.


2. Quy tc nhõn
Gi s mt cụng vic no ủú ủc chia thnh k giai
ủon. Cú n
1
cỏch thc hin giai ủon th 1, cú n
2
cỏch
thc hin giai ủon th 2, , cú n
k
cỏch thc hin giai
ủon th k. Khi ủú ta cú n = n
1
.n
2
n
k
cỏch thc hin
ton b cụng vic.

3. Quy tc cng
Gi s mt cụng vic cú th thc hin ủc k cỏch
(trng hp) loi tr ln nhau: cỏch th nht cho m
1
kt
qu, cỏch th hai cho m

2
kt qu, , cỏch th k cho m
k

kt qu. Khi ủú vic thc hin cụng vic trờn cho
m = m
1
+ m
2
+ + m
k
kt qu.



4. Mu lp, mu khụng lp

Mu khụng lp: cỏc phn t ca mu ch cú mt mt
ln (cỏc phn t khỏc nhau tng ủụi mt).
Mu cú lp: cỏc phn t ca mu cú th lp li nhiu
ln trong mu.
Mu khụng th t: khi thay ủi v trớ cỏc phn t khỏc
nhau ca mu ta khụng nhn ủc mu mi.
Mu cú th t: khi thay ủi v trớ cỏc phn t khỏc
nhau ca mu ta nhn ủc mu mi.

5. Cỏc cụng thc thng dựng
5.1. Hoỏn v
nh ngha: Hoỏn v ca n phn t l mt nhúm cú th
t gm ủ mt n phn t ủó cho. S hoỏn v ca n phn

t ủc ký hiu l
n
P
,
n
P n!
=
.

5.2. Chnh hp lp (cú th t)
nh ngha: Chnh hp lp k ca n phn t
(k n)

l
mt nhúm (b) cú th t gm phn k t khụng nht thit
khỏc nhau chn t n phn t ủó cho. S cỏc chnh hp
lp k ca n phn t l n
k
.



5.3. Chnh hp (mu khụng lp, cú th t)
nh ngha: Chnh hp chp k ca n phn t
(k n)

l
mt nhúm (b) cú th t gm phn k t khỏc nhau chn
t n phn t ủó cho. S chnh hp chp k ca n phn t
ký hiu l

k
n
A
.
k
n
n!
A n(n 1) (n k 1)
(n k)!
= + =

.

5.4. T hp (mu khụng lp, khụng cú th t)
nh ngha: T hp chp k ca n phn t
(k n)

l
mt nhúm (b) khụng phõn bit th t gm k phn t
khỏc nhau chn t n phn t ủó cho.
S t hp chp k ca n phn t ký hiu l
k
n
C
v
(
)
k
n
n!

C
k! n k !
=

. Quy c: 0! = 1.
Tớnh cht:
k n k
n n
C C

=
;
k k 1 k
n n 1 n 1
C C C


= +
.




ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK

Trang
2
Chng 1. CC KHI NIM C BN CA XC SUT

Đ1. BIN C NGU NHIấN

1.1. Phộp th v bin c
Phộp th l vic thc hin 1 thớ nghim hay quan sỏt
mt hin tng no ủú ủ xem cú xy ra hay khụng.
Hin tng cú xy ra hay khụng trong phộp th ủc gi
l bin c ngu nhiờn.
Bin c ngu nhiờn thng ủc ký hiu A, B, C
VD 1. + Tung ủng tin lờn l mt phộp th, bin c l
mt sp xut hin hay mt nga xut hin.
+ Chn ngu nhiờn mt s sn phm t mt lụ hng ủ
kim tra l phộp th, bin c l chn ủc sn phm
tt hay chn ủc ph phm.
+ Gieo mt s ht lỳa l phộp th, bin c l ht lỳa ny
mm hay ht lỳa khụng ny mm.

1.2. Cỏc loi bin c
a) Khụng gian mu v bin c s cp
Trong mt phộp th, tp hp tt c cỏc kt qu cú th
xy ra ủc gi l khụng gian mu ký hiu l

.
Mi phn t

khụng th phõn nh thnh hai bin
c ủc gi l bin c s cp.
VD 2. Xột phộp th gieo 3 ht lỳa.
Gi A
i
l bin c cú i ht ny mm (i = 0, 1, 2, 3).
Khi ủú cỏc A
i

l cỏc bin c s cp v

= {A
0
, A
1
, A
2
, A
3
}.
Gi B l cú ớt nht 1 ht ny mm thỡ B khụng l
bin c s cp.


b) Bin c chc chn v bin c khụng th
Trong mt phộp th, bin c nht ủnh xy ra l chc
chn, ký hiu l

.
Bin c khụng th l bin c khụng th xy ra khi thc
hin phộp th, ký hiu

.
VD 3.
T mt nhúm cú 6 nam v 4 n chn ra 5 ngi.
Khi ủú, bin c chn ủc 5 ngi n l khụng th,
bin c chn ủc ớt nht 1 nam l chc chn.

c) S trng hp ủng kh nng

Hai hay nhiu bin c trong mt phộp th cú kh nng
xy ra nh nhau ủc gi l ủng kh nng.
Trong mt phộp th m mi bin c s cp ủu ủng
kh nng thỡ s phn t ca khụng gian mu ủc gi
l s trng hp ủng kh nng ca phộp th.
VD 4.
Gi ngu nhiờn mt hc sinh trong lp ủ kim tra thỡ
mi hc sinh trong lp ủu cú kh nng b gi nh nhau.
d) Cỏc phộp toỏn
Tng ca A v B l C, ký hiu
C A B
=

hay
C = A + B, xy ra khi ớt nht 1 trong hai bin c A, B
xy ra.
VD 5. Bn hai viờn ủn vo 1 tm bia. Gi A
1
: viờn th
nht trỳng bia, A
2
: viờn th hai trỳng bia v
C: bia b trỳng ủn thỡ
1 2
C A A
=
.


Tớch ca A v B l C, ký hiu

C AB A B
= =

, xy
ra khi v ch khi c A v B cựng xy ra.
VD 6.
Mt ngi chn mua ỏo. Gi A: chn ủc ỏo mu
xanh, B: chn ủc ỏo smi v
C: chn ủc ỏo smi mu xanh thỡ C = AB.
VD 7.
Chn ngu nhiờn 10 linh kin trong 1 lụ ra kim tra. Gi
A
i
: chn ủc linh kin th
i
tt v
C: chn ủc 10 linh kin tt thỡ
10
1 2 10 i
i 1
C A A A A
=
= =

.
Phn bự ca A, ký hiu:
{
}
A \ A A
= =

.
VD 8.
Bn ln lt 2 viờn ủn vo 1 tm bia.
Gi A
i
: cú i viờn ủn trỳng bia (i = 0, 1, 2),
B: cú khụng quỏ 1 viờn ủn trỳng bia.
Khi ủú
2
B A
= ,
0 2
A A
v
1 2
A A
.
1.3. Quan h gia cỏc bin c
a) Bin c xung khc
Hai bin c v B ủc gi l xung khc nu chỳng
khụng ủng thi xy ra trong mt phộp th.

H cỏc bin c A
1
, A
2
,, A
n
ủc gi l xung khc
(hay ủụi mt xung khc) khi mt bin c bt k trong h

xy ra thỡ cỏc bin c cũn li khụng xy ra.
Ngha l
i j
A A , i j
=
.
VD 9. Mt hp cú 3 viờn phn mu ủ, xanh v trng.
Chn ngu nhiờn 1 viờn. Gi A: chn ủc viờn mu
ủ, B: chn ủc viờn mu trng v C: chn ủc
viờn mu xanh thỡ A, B, C l xung khc.
b) Bin c ủi lp
Hai bin c A v B ủc gi l ủi lp nhau nu chỳng
tha món 2 ủiu sau:
1) A v B xung khc vi nhau.

2) Phi cú ớt nht mt trong 2 bin c xy ra.
VD 10.
Trng 1 cõy bch ủn. Gi A: cõy bch ủn
sng, B: cõy bch ủn cht thỡ A v B l ủi lp.

H cỏc bin c {A
i
} (i = 1,, n) ủc gi l h ủy ủ
cỏc bin c nu tha món 2 ủiu sau:
1) H xung khc, ngha l
i j
A A , i j
=
.
2) Phi cú ớt nht 1 bin c trong h xy ra,

ngha l
1 2 n
A A A
=
.
VD 11.
H {A, B, C} trong VD 9 l ủy ủ.
Chỳ ý. H
{
}
A, A
l ủy ủ vi bin c A tựy ý.

ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK

Trang
3
§2. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

2.1. ðịnh nghĩa xác suất dạng cổ điển
• Trong một phép thử có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả
năng, trong đó có m khả năng thuận lợi cho biến cố A
xuất hiện thì xác suất của A là:
m
P(A)
n
= =
Số biến cố thuận lợi cho A
Số tất cả các biến cố có thể
.

VD 1. Một hộp chứa 10 sản phẩm trong đó có 3 phế
phẩm. Tính xác suất:
a) Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ hộp được phế phẩm.
b) Chọn ngẫu nhiên 1 lần từ hộp ra 2 sản phẩm được 2
phế phẩm.

VD 2. Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 4 phế phẩm.
Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra 3 sản phẩm (lấy 1 lần), tính
xác suất để:
a) Cả 3 sản phẩm đều tốt; b) Có đúng 2 phế phẩm.
VD 3. Một lớp có 60 học sinh trong đó có 28 em giỏi
tốn, 30 em giỏi lý, 32 em giỏi ngoại ngữ, 15 em vừa
giỏi tốn vừa giỏi lý, 10 em vừa giỏi lý vừa giỏi ngoại
ngữ, 12 em vừa giỏi tốn vừa giỏi ngoại ngữ, 2 em giỏi
cả 3 mơn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp. Tính
xác suất:
a) Chọn được em giỏi ít nhất 1 mơn.
b) Chọn được em chỉ giỏi tốn.
c) Chọn được em giỏi đúng 2 mơn.


Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa dạng cổ điển
• Ưu điểm: Tính được chính xác giá trị của xác suất mà
khơng cần thực hiện phép thử.
• Hạn chế: Trong thực tế có nhiều phép thử vơ hạn các
biến cố và biến cố khơng đồng khả năng.

2.3. ðịnh nghĩa theo hình học
Cho miền
Ω

. Gọi độ đo của
Ω
là độ dài, diện tích, thể
tích (ứng với
Ω
là đường cong, miền phẳng, khối).
Gọi A là biến cố điểm
M S
∈ ⊂ Ω
.
Ta có
P(A) =
Ω
độ đo S
độ đo
.
VD 6. Tìm xác suất của điểm M rơi vào hình tròn nội
tiếp tam giác đều cạnh 2 cm.

VD 7. Hai người bạn hẹn gặp nhau tại 1 địa điểm theo
quy ước như sau:
– Mỗi người độc lập đi đến điểm hẹn trong khoảng từ 7
đến 8 giờ.
– Mỗi người đến điểm hẹn nếu khơng gặp người kia thì
đợi 30 phút hoặc đến 8 giờ thì khơng đợi nữa.
Tìm xác suất để hai người gặp nhau.
2.4. Tính chất của xác suất
1)
0 P(A) 1
≤ ≤

, với mọi biến cố A;
2)
P( ) 0
∅ =
; 3)
P( ) 1
Ω =
.
2.5. Ý nghĩa của xác suất
• Xác suất là số đo mức độ tin chắc, thường xun xảy ra
của 1 biến cố trong phép thử.
Chú ý. Xác suất phụ thuộc vào điều kiện của phép thử.

§3. CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT
3.1. Cơng thức cộng xác suất
a) Biến cố xung khắc
• A và B xung khắc thì:
P(A B) P(A) P(B)
= +
∪
.
• Họ {A
i
} (i = 1, 2,…, n) thì:
(
)
1 2 n 1 2 n
P A A A =P(A )+P(A )+ +P(A )
∪ ∪ ∪
.

b) Biến cố tùy ý
• A và B là hai biến cố tùy ý thì:
P(A B) P(A) P(B) P(AB)
= + −
∪
.
• Họ {A
i
} (i = 1, 2,…, n) các biến cố tùy ý thì:
n
n
i i i j
i 1 i 1 i j
n 1
i j k 1 2 n
i j k
P A P(A ) P(A A )
P(A A A )+ +( 1) P(A A A )
= = <
−
< <
 




= −







 
+ −
∑ ∑
∑
∪
.

c) Biến cố đối lập
(
)
P A 1 P(A)
= −
.

VD 1. Một hộp phấn có 10 viên trong đó có 3 viên màu
đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 viên phấn. Tính xác suất
để lấy được ít nhất 1 viên phấn màu đỏ.

VD 2. Có 33 học sinh tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi
gồm 2 vòng thi. Biết rằng có 17 học sinh thi đỗ vòng 1;
14 học sinh thi đỗ vòng 2 và 11 học sinh trượt cả hai
vòng thi. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong danh sách
dự thi. Tìm xác suất để học sinh đó chỉ thi đỗ duy nhất 1
trong 2 vòng thi.


3.2. Cơng thức nhân xác suất

a) Xác suất có điều kiện
• Trong một phép thử, xét 2 biến cố bất kỳ A, B với
P(B) 0
>
. Xác suất có điều kiện của A với điều kiện B
đã xảy ra được ký hiệu và định nghĩa:
( )
P(AB)
P A B
P(B)
=
.
• Xác suất có điều kiện cho phép chúng ta sử dụng thơng
tin về sự xảy ra của 1 biến cố để dự báo xác suất xảy ra
biến cố khác.
• Tính chất: 1)
(
)
0 P A B 1
≤ ≤
;
2)
(
)
P B B 1
=
; 3)
(
)
(

)
P A B 1 P A B
= −
;

4) nếu A
1
và A
2
xung khắc thì:
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2
P A A B P A B P A B
= +∪
.
VD 3. Một hộp có 10 vé, trong đó có 3 vé trúng thưởng.
Người thứ nhất đã bốc 1 vé khơng trúng thưởng. Tính
xác suất để người thứ 2 bốc được vé trúng thưởng (mỗi
người chỉ bốc 1 vé).
b) Cơng thức nhân
• A và B là 2 biến cố độc lập nếu B có xảy ra hay khơng
cũng khơng ảnh hưởng đến khả năng xảy ra A và ngược
lại, nghĩa là
(
)

P A B P(A)
=
và
(
)
P B A P(B)
=
.
Khi đó ta có
P(AB) P(A).P(B)
=
.
• Với A, B khơng độc lập (phụ thuộc) thì:
(
)
(
)
P(AB) P(B)P A B P(A)P B A
= =
.
ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK

Trang
4


VD 4. Mt lụ hng cú 100 sn phm trong ủú cú 10 ph
phm. Kim tra liờn tip khụng hon li 5 sn phm, nu
cú ớt nht 1 ph phm thỡ khụng nhn lụ hng ủú. Tớnh
xỏc sut ủ nhn lụ hng.

VD 5. Mt lụ hng gm 12 sn phm trong ủú cú 8 sn
phm tt v 4 ph phm. Rỳt ngu nhiờn 1 sn phm t
lụ hng v khụng ủ ý ti sn phm ủú, sau ủú rỳt tip
sn phm th 2. Tớnh xỏc sut ủ sn phm th hai l tt.
VD 6. Mt cu th búng r cú 4 qu búng ủang nộm
tng qu vo r. Nu búng vo r hoc ht búng thỡ cu
th ngng nộm. Bit xỏc sut vo r ca qu búng th 1,
2, 3 v 4 ln lt l 90%, 80%, 85% v 70%.
Tớnh xỏc sut cu th nộm ủc búng vo r.

3.3. Cụng thc xỏc sut ủy ủ v Bayes.
a) Cụng thc xỏc sut ủy ủ
Cho h cỏc bin c {A
i
} (i = 1, 2,, n) ủy ủ v B l
bin c bt k trong phộp th, ta cú:
( )
(
)
(
)
n
i i
i 1
1 1 n n
P(B) P(A ) B A
P(A )P B A P(A )P B A
=
=
= + +

.

VD 7. Mt ủỏm ủụng cú s ủn ụng bng na s ủn b.
Xỏc sut ủ ủn ụng b bnh tim l 0,06 v ủn b l
0,0036. Chn ngu nhiờn 1 ngi t ủỏm ủụng, tớnh xỏc
sut ủ ngi ny b bnh tim.


b) Cụng thc Bayes
Cho h cỏc bin c {A
k
} (k = 1, 2,, n) ủy ủ v B l
bin c bt k trong phộp th. Xỏc sut ủ xut hin A
k

sau khi ủó xut hin B l:
( )
(
)
( )
k k
k
n
i i
i 1
P(A )P B A
P A B
P(A )P B A
=

=

.

VD 8. T s ụtụ ti v ụtụ con ủi qua ủng cú trm
bm du l 5/2. Xỏc sut ủ 1 ụtụ ti ủi qua ủng ny
vo bm du l 10%; ụtụ con l 20%. Cú 1 ụtụ qua
ủng ủ bm du, tớnh xỏc sut ủ ủú l ụtụ ti.

VD 9. Cú 3 bao lỳa cựng loi. Bao 1 nng 20kg cha 1%
ht lộp, bao 2 nng 30kg cha 1,2% ht lộp v bao 3
nng 50kg cha 1,5% ht lộp. Trn c 3 bao li ri bc
ngu nhiờn 1 ht thỡ ủc ht lộp.
Tớnh xỏc sut ủ ht lộp ny l ca bao th ba.

VD 10. Ba kin hng ủu cú 20 sn phm vi s sn
phm tt tng ng l 12, 15, 18. Ly ngu nhiờn 1 kin
hng (gi s 3 kin hng cú cựng kh nng) ri t kin
ủú ly tựy ý ra 1 sn phm.
a) Tớnh xỏc sut ủ sn phm chn ra l tt.
b) Gi s sn phm chn ra l tt, tớnh xỏc sut ủ sn
phm ủú thuc kin hng th hai.


Chng II. BIN (I LNG) NGU NHIấN

Đ1. BIN NGU NHIấN V LUT PHN PHI XC SUT
1.1. Khỏi nim v phõn loi bin ngu nhiờn
a) Khỏi nim
Mt bin s ủc gi l ngu nhiờn nu trong kt qu

ca phộp th nú s nhn mt v ch mt trong cỏc giỏ
tr cú th cú ca nú tựy thuc vo s tỏc ủng ca cỏc
nhõn t ngu nhiờn.
Cỏc bin ngu nhiờn ủc ký hiu: X, Y, Z, cũn cỏc
giỏ tr ca chỳng l x, y, z,
VD 1.
Khi tin hnh gieo n ht ủu ta cha th bit cú bao
nhiờu ht s ny mm, s ht ny mm cú th l 0, 1, ,
n. Kt thỳc phộp th gieo ht thỡ ta bit chc chn cú bao
nhiờu ht ny mm. Gi X l s ht ny mm thỡ l X
bin ngu nhiờn v X = {0, 1, 2, , n}.

b) Phõn loi bin ngu nhiờn
Bin ngu nhiờn (bnn) ủc gi l ri rc nu cỏc giỏ
tr cú th cú ca nú lp nờn 1 tp hp hu hn hoc
ủm ủc.
Bin ngu nhiờn ủc gi l liờn tc nu cỏc giỏ tr cú
th cú ca nú lp ủy 1 khong trờn trc s.
VD 2. + Bin X trong VD 1 l bnn ri rc (tp hu hn).
+ Gi Y l s ngi ủi qua 1 ngó t trờn ủng ph thỡ Y
l bnn ri rc (tp ủm ủc).
VD 3. + Bn 1 viờn ủn vo bia, gi X l khong cỏch
t ủim chm ca viờn ủn ủn tõm ca bia thỡ X l
bin ngu nhiờn liờn tc.
+ Gi Y l sai s khi ủo 1 ủi lng vt lý thỡ Y l
bin ngu nhiờn liờn tc.


1.2. Lut phõn phi xỏc sut ca bin ngu nhiờn
Lut phõn phi xỏc sut ca bin ngu nhiờn l mt

cỏch biu din quan h gia cỏc giỏ tr ca bin ngu
nhiờn vi cỏc xỏc sut tng ng m nú nhn cỏc giỏ
tr ủú.
1.2.1. Phõn phi xỏc sut ca bin ngu nhiờn
a) Trng hp ri rc
Cho bin ngu nhiờn ri rc X cú
1 2 n
X {x , x , , x }
=

vi xỏc sut tng ng l
i i
p P(X x )
= =
.
Ta cú phõn phi xỏc sut (dng bng)
X x
1
x
2
x
n
P p
1
p
2
p
n

Trong ủú:

i
p 0

;
n
i
i 1
p 1
=
=

;
i
i 1
p 1

=
=

(vụ hn);

i
i
a x b
P(a X b) p
< <
< < =

.
VD 4. Mt lụ hng cú 12 sn phm tt v 8 ph phm.
Ly ngu nhiờn t lụ hng ra 8 sn phm.
Gi X l s ph phm trong 8 sn phm ly ra.
Tỡm phõn phi xỏc sut ca X v chng minh:
0 8 1 7 7 1 8 0 8
8 12 8 12 8 12 8 12 20
C C C C C C C C C
+ + + + =
.


ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK

Trang
5


VD 5. Xỏc sut ủ 1 ngi thi ủt mi khi thi ly bng
lỏi xe l 0,3. Ngi ủú thi cho ủn khi ủt mi thụi.
Gi X l s ln ngi ủú d thi.
Tỡm phõn phi xỏc sut ca X v tớnh xỏc sut ủ ngi
ủú phi thi khụng ớt hn 2 ln.
b) Trng hp liờn tc
Cho bin ngu nhiờn liờn tc X. Hm f(x),
x



ủc gi l hm mt ủ xỏc sut ca X nu tha:

1)
f(x) 0, x


; 2)
f(x)dx 1
+

=

;
3)
b
a
P(a X b) f(x)dx
< < =

(a < b).

Chỳ ý
1) Nhiu khi ngi ta dựng ký hiu f
X
(x) ủ ch hm mt
ủ xỏc sut ca X.
2) Do
a
a
P(X a) f(x)dx 0
= = =

nờn ta khụng quan
tõm ủn xỏc sut ủ X nhn giỏ tr c th. Suy ra
b
a
P(a X b) P(a X b) P(a X b)
P(a X b) f(x)dx
< = < =
= < < =

.
3) V mt hỡnh hc, xỏc sut bin ngu nhiờn (bnn) X
nhn giỏ tr trong (a; b) bng din tớch hỡnh thang cong
gii hn bi x = a, x = b, y = f(x) v trc Ox.


4) Nu f(x) tha
f(x) 0, x


v
f(x)dx 1
+

=


thỡ f(x) l hm mt ủ xỏc sut ca 1 bnn no ủú.
VD 6. Chng t
3
4x , x (0; 1)

f(x)
0, x (0; 1)


=



l hm mt ủ
xỏc sut ca bin ngu nhiờn X.
VD 7. Cho bnn X cú hm mt ủ xỏc sut:
2
0, x 1
f(x)
k
, x 1
x
<


=




.
Tỡm k v tớnh
P( 1 X 2)
<
.

1.2.2. Hm phõn phi xỏc sut
Hm phõn phi xỏc sut ca bin ngu nhiờn X, ký
hiu F(x) hoc F
X
(x), l xỏc sut ủ X nhn giỏ tr nh
hn x (vi x l s thc bt k). F(x) = P(X < x),
x


.
Hm phõn phi xỏc sut cho bit t l phn trm giỏ tr
ca X nm bờn trỏi ca s x.
Vi bin ngu nhiờn ri rc X = {x
1
, x
2
, , x
n
}:

i i
i i
x x x x
F(x) P(X x ) p
< <
= = =

.
Vi bin ngu nhiờn liờn tc X:

x
F(x) f(t)dt

=

.


Gi s
1 2 n
x x x
< < <
, ta cú hm phõn phi xỏc
sut ca X:

1
1 1 2
1 2 2 3
1 2 n 1 n 1
0 x x
p x x x
p p x x x
F(x)


p p p x x x


<
+ <

=
+ + + <
neỏu
neỏu
neỏu
neỏu
n
n
1 x x



















>

neỏu



Tớnh cht:
1)
0 F(x) 1, x


;
2) F(x) khụng gim.
3)
F( ) 0; F( ) 1
= + =
;
4)
P(a X b) F(b) F(a)
< =
.
Liờn h vi phõn phi xỏc sut
1) X ri rc: p
i
= F(x
i+1
) F(x
i
);
2) X liờn tc: F(x) liờn tc ti x v
F (x) f(x)

=
.
VD 8. Mt phõn xng cú 2 mỏy hot ủng ủc lp.
Xỏc sut trong 1 ngy lm vic cỏc mỏy ủú hng tng
ng l 0,1 v 0,2. Gi X l s mỏy hng trong 1 ngy
lm vic.
Lp hm phõn phi xỏc sut ca X v v ủ th ca F(x).

VD 9. Tui th X(gi) ca 1 thit b cú hm mt ủ xỏc
sut
2
0, x 100
f(x)
100
, x 100
x
<


=




.
a) Tỡm hm phõn phi xỏc sut ca X.
b) Thit b ủc gi l loi A nu tui th ca nú kộo di
ớt nht l 400 gi. Tớnh t l (xỏc sut) loi A.
VD 10. Bin ngu nhiờn X cú hm mt ủ xỏc sut:

a cos x, x ;
2 2
f(x)
0, x ;
2 2












=

.
Tỡm a v hm phõn phi xỏc sut F(x).


VD 11.
Thi gian ch phc v ca khỏch hng l bnn
X(phỳt) liờn tc cú hm ppxs
4
0, x 0
F(x) ax , x (0; 3]
1, x 3



=


>

.

a) Tỡm a v hm mt ủ xỏc sut f(x) ca X.
b) Tớnh
(
)
P 2 Y 5
<
vi
2
Y X 1

= +
.
c) V ủ th ca F(x).

ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK

Trang
6


1.3. Phõn phi xỏc sut ca hm ca bin ngu nhiờn
Trong thc t, ủụi khi ta xột bnn ph thuc vo 1 hay
nhiu bnn khỏc ủó bit lut phõn phi.

Bi toỏn. Cho hm
(x)

v bnn ri rc X cú phõn phi
xỏc sut cho trc. Tỡm phõn phi xỏc sut ca
(x)

.
a) Trng hp 1 bin
VD 12. Lp bng phõn phi xỏc sut ca
2
Y (X) X 2
= = +
, bit:
X 1 0 1 2
P 0,1 0,3 0,4 0,2

b) Trng hp nhiu bin
VD 13. Cho bng:
Y
X

1

0

1
1 0,1 0,15 0,05
2 0,3 0,2 0,2

Lp bng phõn phi xỏc sut ca:
a)
2
Y 2X X 1
= +
.
b)
Z (X,Y) 2X Y 5
= = +
.
c)
2 2
Z (X, Y) X Y
= = .

1.4. Phõn phi xỏc sut ca bnn 2 chiu (X, Y) ri rc
a) nh ngha
Cp 2 ủi lng ngu nhiờn ri rc ủc xột ủng thi
(X, Y) ủc gi l 1 vector ngu nhiờn ri rc.
Ký hiu bin c (X < x).(Y < y) = (X < x; Y < y).
Hm phõn phi xỏc sut ủng thi ca X v Y l:
F(x, y) P(X x; Y y), x, y
= < <

.
X v Y ủc gi l ủc lp nu:
X Y
F(x, y) F (x).F (y), x, y
=

.
Chỳ ý
1) Nu X, Y ủc lp thỡ hm phõn phi ủng thi ca X,
Y ủc xỏc ủnh qua cỏc hm phõn phi ca X, ca Y.
2) Chng trỡnh ch xột hm phõn phi biờn ca X, Y.

b) Bng phõn phi xỏc sut ủng thi ca (X, Y)
Y
X
y
1
y
2
y

j
y
n
P
X
x
1

x
2

.
x
i

.
x
m

p
11
p
12
p
1j
p
1n
p
21
p

22
p
2j
p
2n

p
i1
p
i2
p
ij
p
in

p
m1
p
m2
p
mj
p
mn

p
1
p
2

p

i

p
m

P
Y
q
1
q
2
q
j
q
n
1
P
ij
= P(X = x
i
, Y = y
j
) (i = 1,,m; j = 1,,n) l xỏc sut
ủ X = x
i
, Y = y
j
v
m n
ij

i 1 j 1
p 1
= =
=

.


c) Phõn phi xỏc sut biờn (l)
T bng phõn phi xỏc sut ủng thi ca X, Y ta cú:
Phõn phi xỏc sut biờn ca X
X x
1
x
2
x
i
x
m

P
X
p
1
p
2
p
i
p
m

n n
ij i j i i
j 1 j 1
p p(X x , Y y ) p(X x ) p
= =
= = = = = =

.
Phõn phi xỏc sut biờn ca Y
Y y
1
y
2
y
i
y
n

P
Y
q
1
q
2
q
i
q
n

m m
ij i j j j
i 1 i 1
p p(X x , Y y ) p(Y y ) q
= =
= = = = = =

.

Tớnh cht. X v Y ủc lp
ij i j
p p .q , i, j
=
.
VD 14.
Cho bng phõn phi xỏc sut ủng thi ca X v Y:
Y
X

10

20

30

40
10 0,2 0,04 0,01 0
20 0,1 0,36 0,09 0
30 0 0,05 0,1 0
40 0 0 0 0,05

a) Tỡm phõn phi biờn ca X, ca Y.
b) Xột xem X v Y cú ủc lp khụng ?
c) Tỡm phõn phi xỏc sut ca Z = X + Y.



Đ2. CC C TRNG S (THAM S C TRNG) CA BIN NGU NHIấN

Nhng thụng tin cụ ủng phn ỏnh tng phn v bin
ngu nhiờn giỳp ta so sỏnh gia cỏc ủi lng vi nhau
ủc gi l cỏc ủc trng s.
Cú ba loi ủc trng s:

Cỏc ủc trng s cho xu hng trung tõm ca bnn:
K vng toỏn, Trung v, Mod,

Cỏc ủc trng s cho ủ phõn tỏn ca bnn:
Phng sai, lch chun, H s bin thiờn,

Cỏc ủc trng s cho dng phõn phi xỏc sut.

2.1. K vng toỏn
2.1.1. nh ngha
a) Bin ngu nhiờn ri rc
Cho X = {x
1
, x
2
,, x

n
} vi xỏc sut tng ng l p
1
,
p
2
,, p
n
thỡ k vng toỏn (gi tt l k vng) ca X, ký
hiu EX hay M(X), l:
n
1 1 2 2 n n i i
i 1
EX x p x p x p x p
=
= + + + =

.
VD 1.
Mt lụ hng gm 10 sn phm tt v 2 ph phm.
Ly ngu nhiờn 2 sn phm t lụ hng ủú, gi X l s
ph phm trong 2 sn phm ly ra.
Lp bng phõn phi xỏc sut v tớnh k vng ca X.

ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK

Trang
7

b) Biến ngẫu nhiên liên tục
• Bnn X có hàm mật độ là f(x) thì:
EX x.f(x)dx
+∞
−∞
=
∫
.
VD 2. Tìm kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X có hàm mật
độ xác suất
2
3
(x 2x), x (0; 1)
f(x)
4
0, x (0; 1)



+ ∈

=



∉


.
Chú ý

1) Nếu
X {x A}
= ∈
, X liên tục thì
EX A
∈
.
2) Nếu X = {x
1
,…, x
n
} thì:
1 n 1 n
EX [min{x , , x }; max{x , , x }]
∈
.

VD 3. Thời gian chờ mua hàng của khách là biến ngẫu
nhiên liên tục T (đơn vị: phút) có hàm mật độ xác suất
3
4
t , t (0; 3)
f(t)
81
0, t (0; 3)



∈


=



∉


. Tính thời gian trung bình
chờ mua hàng của 1 khách hàng.
VD 4. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất
2
ax bx , x (0; 1)
f(x)
0, x (0; 1)


+ ∈

=


∉


.
Cho biết EX = 0,6 hãy tính
1
P X
2
 



<





 
.


2.1.2. Ý nghĩa của EX
• Kỳ vọng là giá trị trung bình (theo xác suất) của biến
ngẫu nhiên X, nó phản ánh giá trị trung tâm của phân
phối xác suất của X.
• Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh nếu cần chọn
phương án cho năng suất (hay lợi nhuận) cao, người ta
chọn phương án sao cho năng suất kỳ vọng (hay lợi
nhuận kỳ vọng) cao.
VD 5. Theo thống kê, một người Mỹ 25 tuổi sẽ sống
thêm trên 1 năm có xác suất là 0,992 và người đó chết
trong vòng 1 năm tới là 0,008. Một chương trình bảo
hiểm đề nghị người đó bảo hiểm sinh mạng cho 1 năm
với số tiền chi trả là 10000 USD, phí bảo hiểm là 100
USD. Hỏi cơng ty đó có lãi khơng?


VD 6. Một dự án xây dựng được viện C thiết kế cho cả 2
bên A và B xét duyệt một cách độc lập. Xác suất (khả

năng) để A và B chấp nhận dự án này khi xét duyệt thiết
kế là 70% và 80%. Nếu chấp nhận dự án thì bên A phải
trả cho C là 400 triệu đồng, còn ngược lại thì phải trả
100 triệu đồng. Nếu chấp nhận dự án thì bên B phải trả
cho C là 1 tỉ đồng, còn ngược lại thì phải trả 300 triệu
đồng. Biết chi phí cho thiết kế của C là 1 tỉ đồng và 10%
thuế doanh thu.
Hỏi viện C có nên nhận thiết kế hay khơng?



2.1.3. Tính chất của EX
1) E(C) = C với C là hằng số.
2) E(CX) = C.EX.
3) E(X
±
Y) = EX
±
EY, với X và Y là hai biến ngẫu
nhiên.
4) E(XY) = EX.EY nếu X và Y là hai bnn độc lập.
5) Nếu
Y (X)
= ϕ
thì:
i i
i
(x )p ,
EY
(x)f(x)dx,

+∞
−∞

ϕ





=



ϕ




∑
∫
nếu X rời rạc
nếu X liên tục
.

VD 7. Tính EY với
2
Y (X) X 3
= ϕ = −
, biết X có
bảng phân phối xác suất:

X –1 0 1 2
P 0,1 0,3 0,35 0,25
VD 8. Cho bnn X có hàm mật độ xác suất:
2
2
, x [1; 2]
f(x)
x
0, x [1; 2]



∈


=



∉



.
a) Tính EX.
b) Tính kỳ vọng của
5
2
Y X
X

= −
.


2.2. Phương sai
2.2.1. ðịnh nghĩa
• Phương sai của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu VarX hay
VX hay D(X), được xác định:

(
)
(
)
2 2
2
2
2
i i i i
i i
2
2
VarX E X EX E(X ) EX
x .p x .p ,

x .f(x)dx x.f(x)dx ,
+∞ +∞
−∞ −∞
= − = −



 





−







 


=

 








−












 


∑ ∑
∫ ∫
nếu X rời rạc
nếu X liên tục


VD 9. Tính phương sai của biến ngẫu nhiên X có bảng
phân phối xác suất:
X 1 2 3
P 0,2 0,7 0,1

VD 10.
Tính phương sai của biến ngẫu nhiên X trong VD 2.

VD 11. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất:
2
3

(1 x ), x 1
f(x)
4
0, x 1



− ≤

=



>


.
Tìm phương sai của biến ngẫu nhiên Y = 2X
2
.



ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK

Trang
8


2.2.2. Ý nghĩa của VarX

• Do X – EX là ñộ lệch giữa giá trị của X so với trung
bình của nó nên phương sai là trung bình của bình
phương ñộ lệch ñó. Phương sai dùng ñể ño mức ñộ phân
tán của X quanh kỳ vọng. Nghĩa là: phương sai nhỏ thì
ñộ phân tán nhỏ nên ñộ tập trung lớn và ngược lại.
• Trong kỹ thuật, phương sai ñặc trưng cho ñộ sai số của
thiết bị. Trong kinh doanh, phương sai ñặc trưng cho ñộ
rủi ro ñầu tư.
• Do ñơn vị ño của VarX bằng bình phương ñơn vị ño
của X nên ñể so sánh ñược với các ñặc trưng khác người
ta ñưa vào khái niệm ñộ lệch tiêu chuẩn
(X) VarX
σ =
.


VD 12. Năng suất của hai máy tương ứng là các bnn X,
Y (ñơn vị: sản phẩm/phút) có bảng phân phối xác suất:

X 1 2 3 4
P 0,3 0,1 0,5 0,1
và
Y 2 3 4 5
P 0,1 0,4 0,4 0,1

Nếu phải chọn mua 1 trong 2 loại máy này thì ta nên
chọn máy nào?

2.2.3. Tính chất của VarX
1)
VarX 0
≥
; VarC = 0, với C là hằng số.
2) Var(CX) = C
2
.VarX;
(CX) C . X
σ = σ
.
3) Nếu a và b là hằng số thì Var(aX + b) = a
2
.VarX.
4) Nếu X và Y ñộc lập thì:
Var(X Y) VarX VarY
± = +
;
2 2
(X Y) (X) (Y)
σ ± = σ + σ
.
2.3. Trung vị và Mod
2.3.1. Trung vị
• Trung vị của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu medX, là số m
thỏa
1
P(X m)
2
< ≤

và
1
P(X m)
2
> ≤
.

– Nếu X rời rạc thì medX = x
i
với
i i 1
1
F(x ) F(x )
2
+
≤ ≤
.
– Nếu X liên tục thì medX = m với
m
F(m) f(x)dx 0,5
−∞
= =
∫
.

VD 13. Cho bnn X có bảng phân phối xác suất:

X 1 2 3
4
5

P 0,1 0,2 0,15
0,3
0,45
Khi ñó ta có medX = 4.


VD 14. Tìm med của bnn X có bảng phân phối xác suất:
X –1 0 1 2
P

0,25 0,15 0,30 0,30
VD 15. Cho hàm
5
4
, x 1
f(x)
x
0, x 1



≥


=



<




.
a) Chứng tỏ f(x) là hàm mật ñộ xác suất của biến ngẫu
nhiên X.
b) Tìm medX.
2.3.2. Mod
• ModX là giá trị x
0
mà tại ñó X nhận xác suất lớn nhất
(nếu X rời rạc) hay hàm mật ñộ ñạt cực ñại (nếu X liên
tục). ModX còn ñược gọi là số có khả năng nhất.

VD 16. Cho bnn X có bảng phân phối xác suất:

X 0 1
2
4 5 8
P 0,1 0,2
0,3
0,05 0,25 0,1
Khi ñó ta có modX = 2.
VD 17. Tìm medX và modX với biến ngẫu nhiên X có
bảng phân phối xác suất:
X 20 21 22 23 24
P 0,30 0,25 0,18 0,14 0,13
VD 18. Cho bnn X có hàm mật ñộ xác suất:
2
x
2

1
f(x) .e , x
2
−
= ∈
π
ℝ
. Tìm modX.

§3. MỘT SỐ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

3.1. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
3.1.1. Phân phối siêu bội
• Xét tập có N phần tử, trong ñó có N
A
phần tử có tính
chất A. Từ tập ñó lấy ra n phần tử. Gọi X là số phần tử
có tính chất A thì X có phân phối siêu bội.
Ký hiệu:
A
X H(N, N , n)
∈
hay
A
X H(N,N , n)
∼
.

a) ðịnh nghĩa
• Phân phối siêu bội là phân phối của biến ngẫu nhiên rời

rạc X = {0; 1; 2; …; n} với xác suất tương ứng là:
A A
k n k
N N N
k
n
N
C C
p P(X k)
C
−
−
= = =
.

VD 1.
Trong 1 cửa hàng bán 100 bóng ñèn có 5 bóng
hỏng. Một người chọn mua ngẫu nhiên 3 bóng từ cửa
hàng này. Gọi X là số bóng hỏng người ñó mua phải.
Lập bảng phân phối xác suất của X.
b) Các số ñặc trưng
N n
EX np; VarX npq
N 1
−
= =
−
,
với
A

N
p , q 1 p
N
= = −
.
VD 2.
Một rổ mận có 20 trái trong ñó có 6 trái bị hư.
Chọn ngẫu nhiên từ rổ ñó ra 4 trái. Gọi X là số trái mận
hư chọn phải. Lập bảng phân phối xác suất của X và tính
EX, VarX bằng hai cách.

ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK

Trang
9


3.1.2. Phõn phi nh thc
a) Cụng thc Bernoulli
Dóy phộp th Bernoulli l dóy n phộp th tha 3 ủiu
kin:
1) Cỏc phộp th ca dóy ủc lp vi nhau.
2) Trong mi phộp th ta ch quan tõm ủn 1 bin c A,
ngha l ch cú A v
A
xut hin.
3) Xỏc sut xut hin A trong mi phộp th ca dóy luụn
l hng s:
(
)

P(A) p, P A 1 p q, (0 p 1)
= = = < <
.
Cho dóy n phộp th Bernoulli, xỏc sut xut hin k ln
bin c A l:
k k n k
k n
p C p q , p P(A)

= =
.

VD 3. Mt b m sinh 2 con (mi ln sinh 1 con) vi xỏc
sut sinh con trai l 0,51. Gi X l s con trai trong 2 ln
sinh. Lp bng phõn phi xỏc sut ca X.
VD 4. Mt mỏy sn xut ln lt tng sn phm vi xỏc
sut 1 ph phm l 1%.
a) Cho mỏy sn xut ra 10 sn phm, tớnh xỏc sut cú 2
ph phm.
b) Mỏy cn sn xut ớt nht bao nhiờu sn phm ủ xỏc
sut cú ớt nht 1 ph phm nh hn 3%.
VD 5. Cho X cú hm mt ủ
3
4x , x (0; 1)
f(x)
0, x (0; 1)

=





.
Tớnh xỏc sut ủ trong 3 phộp th ủc lp cú 2 ln X
nhn giỏ tr trong khong
(0, 25; 0,5)
.


b) nh ngha
Phõn phi nh thc l phõn phi ca bin ngu nhiờn
ri rc X = {0; 1; 2; ; n} vi xỏc sut tng ng l:
k k n k
k n
p P(X k) C p q

= = =
.
Ký hiu: X

B(n, p) hay X ~ B(n, p).
Chỳ ý
Khi n = 1 thỡ X

B(1, p) B(p), khi ủú X cũn ủc
gi l cú phõn phi khụng mt hay Bernoulli.

c) Cỏc s ủc trng
0 0
EX np; VarX npq;
ModX x , np q x np p
= =
= +
.

VD 6. Mt nh vn trng trng 5 cõy lan quý, vi xỏc
sut n hoa ca mi cõy trong 1 nm l 0,8.
a) Lp bng phõn phi xỏc sut ca s cõy lan trờn n
hoa trong 1 nm.
b) Giỏ 1 cõy lan n hoa l 1,2 triu ủng. Gi s nh
vn bỏn ht nhng cõy lan n hoa thỡ mi nm nh
vn thu ủc chc chn nht l bao nhiờu tin?
c) Nu mun trung bỡnh mi nm cú 10 cõy lan n hoa
thỡ nh vn phi trng my cõy lan?
VD 7. Mt lụ hng cha 20 sn phm trong ủú cú 4 ph
phm. Chn liờn tip 3 ln (cú hon li) t lụ hng, mi
ln chn ra 4 sn phm. Tớnh xỏc sut ủ trong 3 ln cú
ủỳng 1 ln chn cú nhiu nht 3 ph phm.


3.1.3. Phõn phi Poisson
a) Bi toỏn dn ủn phõn phi Poisson
Gi X l s ln xut hin bin c A ti nhng thi ủim
ngu nhiờn trong khong thi gian (t
1
; t

2
) tha món hai
ủiu kin:
1) S ln xut hin bin c A trong khong (t
1
; t
2
) khụng
nh hng ủn xỏc sut xut hin A trong khong thi
gian k tip.
2) S ln xut hin bin c A trong 1 khong thi gian
bt k t l vi ủ di ca khong ủú.
Khi ủú X cú phõn phi Poisson, ký hiu
X P( )

vi
2 1
c(t t ) 0
= >
, c: cng ủ xut hin A.

Chng hn, s xe qua 1 trm hoc s cuc ủin thoi ti
1 trm cụng cng cú phõn phi Poisson.

b) nh ngha
Bin ngu nhiờn X cú phõn phi Poisson vi tham s
0
>
(trung bỡnh s ln xut hin A) nu X nhn cỏc
giỏ tr 0, 1, 2,, n, vi xỏc sut tng ng l:

k
k
e .
p P(X k)
k!


= = =
.
c) Cỏc s ủc trng
0 0
EX VarX ; ModX x , 1 x
= = =
.


VD 8. Trung bỡnh c 3 phỳt cú 1 khỏch ủn quy mua
hng. Tớnh xỏc sut ủ trong 30 giõy cú 2 khỏch ủn
quy mua hng.
VD 9. Mt trm ủin thoi trung bỡnh nhn ủc 300
cuc gi trong 1 gi.
a) Tớnh xỏc sut ủ trm nhn ủc ủỳng 2 cuc gi
trong 1 phỳt.
b) Tớnh xỏc sut ủ trm nhn ủc ủỳng 5 cuc gi
trong 3 phỳt.
c) Tớnh xỏc sut ủ 2 trong 3 phỳt liờn tip, mi phỳt
trm nhn ủc nhiu nht 1 cuc gi.
VD 10. Trung bỡnh 1 ngy (24 gi) cú 10 chuyn tu vo
cng Cam Ranh. Chn ngu nhiờn liờn tip 3 gi trong 1
ngy. Tớnh xỏc sut ủ 2 trong 3 gi y cú ủỳng 1 tu

vo cng.

3.2. Phõn phi xỏc sut ca bin ngu nhiờn liờn tc
3.2.1. Phõn phi chun
a) nh ngha
Bnn X ủc gi l cú phõn phi chun vi tham s
à

v
2


( 0)
>
, ký hiu
(
)
2
X N ,
à
, nu hm mt
ủ phõn phi xỏc sut ca X cú dng:
2
2
(x )

2
1
f(x) e , x
2

à


=


.

Cỏc s ủc trng
2
ModX MedX EX ; VarX
= = = à =
.



ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK

Trang
10


b) Phõn phi chun ủn gin
Cho
(
)
2
X N ,
à
, ủt

X
T
à
=

thỡ T cú phõn
phi chun ủn gin
(
)
T N 0, 1

.
Hm mt ủ phõn phi xỏc sut ca T:
2
t

2
1
f(t) e
2

=

(giỏ tr ủc cho trong bng A).
Cụng thc xỏc sut:
2
b
t

2

a
1
P(a T b) e dt
2

< < =


.


Hm
2
x
t

2
0
1
(x) e dt
2

=


(
x 0

) ủc gi l hm
Laplace (giỏ tr ủc cho trong bng B).

Tớnh cht ca hm Laplace (dựng ủ tra bng)
1)
( x) (x)
=
(hm l);
2) vi x > 5 thỡ
(x) 0,5

;
3)
P(T x) 0,5 (x)
< = +
.
Phõn v mc
Ta gi
t

l phõn v mc

ca T nu:
(
)
P T t

> =
.

c) Phng phỏp tớnh xỏc sut phõn phi chun tng
quỏt

Cho
(
)
2
X N ,
à
, ủ tớnh
P(a X b)
< <
ta ủt
a
à
=

,
b
à
=


P(a X b) ( ) ( )
< < =
, tra bng B ta ủc
kt qu.
VD 11. Thi gian X (phỳt) ca 1 khỏch ch ủc phc
v ti 1 ca hng l bnn vi
(
)
X N 4,5; 1,21

.
a) Tớnh xỏc sut khỏch phi ch ủ ủc phc v t 3,5
phỳt ủn 5 phỳt; khụng quỏ 6 phỳt.
b) Tớnh thi gian ti thiu t nu xỏc sut khỏch phi ch
vt quỏ t l khụng quỏ 5%.

VD 12. Thng kờ ủim thi X (ủim) trong mt k tuyn
sinh i hc mụn toỏn ca hc sinh c nc cho thy X
l bin ngu nhiờn vi
X N(4; 2, 25)

.
Tớnh t l ủim thi X 5,5.

VD 13. Tui th ca 1 loi búng ủốn l X (nm) vi
X N(4,2; 6,25)

. Khi bỏn 1 búng ủốn thỡ lói ủc 100
ngn ủng nhng nu búng ủốn phi bo hnh thỡ l 300
ngn ủng. Vy ủ cú tin lói trung bỡnh khi bỏn mi
búng ủốn loi ny l 30 ngn ủng thỡ cn phi quy ủnh
thi gian bo hnh l bao nhiờu?

VD 14. Cho X cú phõn phi chun vi EX = 10 v
(
)
P 10 X 20 0,3
< < =
. Tớnh
(

)
P 0 X 15
<
.

VD 15. Mt cụng ty cn mua 1 loi thit b cú ủ dy t
0,118cm ủn 0,122cm. Cú 2 ca hng cựng bỏn loi thit
b ny vi ủ dy l cỏc bin ngu nhiờn cú phõn phi
chun N(à,
2
). Giỏ bỏn ca ca hng X l 3
USD/hp/1000 cỏi v ca hng Y l 2,6 USD/hp/1000
cỏi. Ch s ủ dy trung bỡnh à (cm) v ủ lch chun
(cm) ủc cho trong bng:
Ca hng à (cm) (cm)
I 0,12 0,001
II 0,12 0,0015
Hi cụng ty nờn mua loi thit b ny ca hng no?
Chỳ ý. Nu
(
)
2
X N ,
à
thỡ:
(
)
2
aX b N a b, a
+ à +

.

3.2.3. Phõn phi
2
(n) (xem giỏo trỡnh)

3.2.4. Phõn phi Student T(n) (vi n bc t do)
Cho
T N(0, 1)

v
2
Y (n)

thỡ

T
X T(n)
Y
n
=
cú hm mt ủ xỏc sut:
n 1
2
2
n 1
2 x
f(x) 1
n n
n .

2
+


+













= +

.
Giỏ tr ủc ca t(n) ủc cho trong bng C.


Chng III. NH Lí GII HN TRONG XC SUT
Đ1. MT S LOI HI T TRONG XC SUT V CC NH Lí (H ủi hc)
1.1. Hi t theo xỏc sut Lut s ln
a) nh ngha
Dóy bin ngu nhiờn {X
i
} (i = 1, 2,, n) ủc gi l
hi t theo xỏc sut ủn bin ngu nhiờn X nu:
(
)
n
n
, 0 : lim P X ( ) X( ) 0

> =
.
Ký hiu:
P
n

X X (n )

.
H bin ngu nhiờn {X
i
} (i = 1, 2,, n) ủc gi l
tuõn theo lut s ln (dng Tchộbyshev) nu:
n n
i i
n
i 1 i 1
1 1
0 : lim P X EX 1
n n

= =





> < =

( )
n
P
i i
i 1
1
X EX 0
n
=


.

b) Bt ủng thc Tchộbyshev
Nu bin ngu nhiờn X cú EX v VarX hu hn thỡ:
( )
2
VarX
0 : P X EX >


hay
( )
2
VarX
P X EX 1 <

.

ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK

Trang
11


VD (tham kho). Thu nhp trung bỡnh hng nm ca
dõn c 1 vựng l 700USD vi ủ lch chun 120USD.
Hóy xỏc ủnh mt khong thu nhp hng nm xung
quanh giỏ tr trung bỡnh ca ớt nht 95% dõn c vựng ủú.
Gii. Gi X(USD) l thu nhp hng nm ca dõn c
vựng ủú. Ta cú:
( )
2
VarX
P X EX 1 <



( )
2
2
120
P X 700 1 0, 95
< =



536,656USD
=

.
Vy ớt nht 95% dõn c vựng ủú cú thu nhp hng nm
trong khong (163,344USD; 1236,656USD).

c) nh lý lut s ln Tchộbyshev
nh lý
Nu h cỏc bin ngu nhiờn {X
i
} (i = 1, 2,, n) ủc
lp tng ủụi cú EX
i
hu hn v VarX
i
b chn trờn bi
hng C thỡ:
n n
i i
n
i 1 i 1
1 1
0 : lim P X EX 0
n n

= =





> =

.
H qu
Nu h cỏc bin ngu nhiờn {X
i
} (i = 1, 2,, n) ủc
lp tng ủụi cú EX
i
= à v VarX
i
=
2
thỡ:
n
P
i
i 1
1
X
n
=
à

.



í ngha

Th hin tớnh n ủnh ca trung bỡnh s hc cỏc bin
ngu nhiờn ủc lp cựng phõn phi v cú phng sai hu
hn.

ủo 1 ủi lng vt lý no ủú ta ủo n ln v ly trung
bỡnh cỏc kt qu lm giỏ tr thc ca ủi lng cn ủo.

p dng trong thng kờ l da vo mt mu khỏ nh
ủ kt lun tng th.

1.2. Hi t yu nh lý gii hn trung tõm

a) nh ngha
Dóy bin ngu nhiờn {X
i
} (i = 1, 2,, n) ủc gi l
hi t yu hay hi t theo phõn phi ủn b.n.n X nu:
n
n
lim F (x) F(x), x C(F)

=
.
Trong ủú, C(F) l tp cỏc ủim liờn tc ca F(x).

Ký hiu:
d
n
X X
hay
d
n
F F

.

Chỳ ý
Nu
P
n
X X
thỡ
d
n
X X
.

Đ2. CC LOI XP X PHN PHI XC SUT
b) nh lý Liapounop (gii hn trung tõm)
Cho h cỏc bin ngu nhiờn {X
i
} (i = 1, 2,, n) ủc
lp tng ủụi. t
n n
i i

i 1 i 1
Y X , EX
= =
= à =

,
n
2
i
i 1
VarX
=
=

. Nu EX
i
, VarX
i
hu hn v
3
n
i i
3
n
i 1
E X EX
lim 0

=

=


thỡ
(
)
2
Y N ,
à
.
í ngha
Dựng ủnh lý gii hn trung tõm ủ tớnh xp x (gn
ủỳng) cỏc xỏc sut.
Xỏc ủnh cỏc phõn phi xp x ủ gii quyt cỏc vn ủ
ca lý thuyt c lng, kim ủnh,

2.1. Liờn h gia phõn phi Siờu bi v Nh thc
Nu n c ủnh, N tng vụ hn v
A
N
p (0 p 1)
N


thỡ
A A
k n k
N N N
d
k k n k

n
n
N
C C
C p q
C




.
Xp x phõn phi siờu bi bng Nh thc
Nu N khỏ ln v n rt nh so vi N (n < 0,05N) thỡ
A
N
X B(n;p), p
N
=
.
VD 1. Mt vn lan cú 10000 cõy sp n hoa, trong ủú
cú 1000 cõy hoa mu ủ. Chn ngu nhiờn 20 cõy lan
trong vn ny.
Tớnh xỏc sut ủ chn ủc 5 cõy lan cú hoa mu ủ.


2.2. Liờn h gia Nh thc v Poisson
Nu
n , p 0, np

thỡ:

k
d
k k n k
n
e .
C p q
k!




.
Xp x phõn phi Nh thc bng Poisson
Cho X cú phõn phi nh thc B(n, p),
np
=
. Khi ủú:
a) Nu n ln v p khỏ bộ (gn bng 0) thỡ
X P( )


.
b) Nu n ln v p cng khỏ ln (gn bng 1) thỡ
X P( )


.
VD 2. Mt lụ hng cú 0,1% ph phm. Tỡm xỏc sut ủ
khi chn ra 1000 sn phm cú:
a) Tt c ủu tt; b) Khụng quỏ 2 ph phm.

2.3. nh lý gii hn Moivre Laplace

nh lý 1 (gii hn ủa phng)

Gi p
k
l xỏc sut xut hin k ln bin c A trong n
phộp th Bernoulli vi P(A) = p (p khụng quỏ gn 0 v
khụng quỏ gn 1) thỡ
n
n
k
npq.P (k)
lim 1
f(x )

=
.
Trong ủú,
2
x

2
k
1 k np
f(x) e , x
2 npq

= =

hu hn.

ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK

Trang
12


ðịnh lý 2 (giới hạn Moivre – Laplace)
• Cho
X B(n, p)
∈
và
n
X np
S
npq
−
=
thì:
F
n
S N(0, 1)
→ .
Xấp xỉ Nhị thức bằng phân phối chuẩn
• Cho
X B(n, p)
∈

, nếu n khá lớn, p khơng q gần 0
và 1 thì
2
X N( ; )
µ σ
∼
với
2
np, npq
µ = σ = .
Khi đó:
1)
1 k
P(X k) .f
 
− µ


= =





σ σ
 
(tra bảng A, f(–x) = f(x)).
2)
2 1
1 2

k k
P(k X k )
   
− µ − µ
 
 
 
≤ ≤ = ϕ − ϕ
 
 
 
 
 
σ σ
   
.


VD 3. Trong một kho lúa giống có tỉ lệ hạt lúa lai là
13%. Tính xác suất sao cho khi chọn 1000 hạt lúa giống
trong kho thì có khơng q 15 hạt lúa lai.

VD 4. Một khách sạn nhận đặt chỗ của 325 khách hàng
cho 300 phòng vào ngày 1/1 vì theo kinh nghiệm của
những năm trước cho thấy có 10% khách đặt chỗ nhưng
khơng đến. Biết mỗi khách đặt 1 phòng, tính xác suất:

a) Có 300 khách đến vào ngày 1/1 và nhận phòng.

b) Tất cả các khách đến vào ngày 1/1 đều nhận được

phòng.

…………………………………………………………………


PHẦN II. LÝ THUYẾT THỐNG KÊ
Chương IV. LÝ THUYẾT MẪU
§1. KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG PHÁP XÁC ðỊNH MẪU

1.1. Mẫu và tổng thể (đám đơng)
• Tập hợp có các phần tử là các đối tượng mà ta nghiên
cứu được gọi là tổng thể. Số phần tử của tổng thể được
gọi là kích thước của tổng thể.
• Từ tổng thể ta chọn ra n phần tử thì n phần tử đó được
gọi là một mẫu có kích thước (cỡ mẫu) n. Mẫu được
chọn ngẫu nhiên một cách khách quan được gọi là mẫu
ngẫu nhiên.
VD 1. Khi nghiên cứu về số cá trong một hồ thì số cá
trong hồ là kích thước của tổng thể. Từ hồ đó bắt lên 10
con cá thì được 1 mẫu khơng hồn lại kích thước là 10.

Nếu từ hồ đó bắt lên 1 con cá rồi thả xuống, sau đó tiếp
tục bắt con khác, tiến hành 10 lần như thế ta được mẫu
có hồn lại kích thước 10.
• Khi mẫu có kích thước lớn thì ta khơng phân biệt mẫu
có hồn hay khơng hồn lại.
1.2. Phương pháp xác định mẫu
• Mẫu định tính là mẫu mà ta chỉ quan tâm đến các phần
tử của nó có tính chất A nào đó hay khơng.
VD 2. ðiều tra 100 hộ dân của một thành phố về thu

nhập trong 1 năm. Nếu hộ có thu nhập dưới 10 triệu
đồng/năm là hộ nghèo. Thì trong 100 hộ được điều tra ta
quan tâm đến hộ nghèo (tính chất A).


• Mẫu định lượng là mẫu mà ta quan tâm đến một yếu tố
về lượng (như chiều dài, cân nặng,…) của các phần tử
trong mẫu.
VD 3. Cân 100 trái dưa gang được chọn ngẫu nhiên từ 1
cách đồng là mẫu định lượng.

• Mẫu có kích thước n là tập hợp của n biến ngẫu nhiên
độc lập X
1
, X
2
,…, X
n
được lập từ biến ngẫu nhiên X và
có cùng luật phân phối với X là mẫu tổng qt. Tiến
hành quan sát (cân, đo,…) từng biến X
i
và nhận được
các giá trị cụ thể X
i
= x
i
, khi đó ta được mẫu cụ thể x
1
,

x
2
,…, x
n
.



VD 4. Chiều cao của cây bạch đàn là biến ngẫu nhiên có
phân phối chuẩn. ðo ngẫu nhiên 5 cây X
1
, X
2
,…, X
n
ta
được X
1
=3,5m; X
2
=3,2m; X
3
=2,5m; X
4
=4,1m; X
5
=3m.
Khi đó, {X
1
, X

2
,…, X
n
} là mẫu tổng qt có phân phối
chuẩn và {3,5m; 3,2m; 2,5m; 4,1m; 3m} là mẫu cụ thể.

• Xác suất nghiên cứu về tổng thể để hiểu về mẫu còn
thống kê thì ngược lại.



• Xét về lượng
– Trung bình tổng thể là
EX
µ =
.
– Phương sai tổng thể
2
VarX
σ =
là biểu thị cho mức
độ biến động của dấu hiệu X.
• Xét về chất
– ðám đơng được chia thành 2 loại phần tử: loại có tính
chất A đó mà ta quan tâm và loại khơng có tính chất A.
– Gọi X = 0 nếu phần tử khơng có tính chất A và X = 1
nếu phần tử có tính chất A, p là tỉ lệ phần tử có tính chất
A thì:
X B(p), p EX∈ = =
Số phần tử có tính chất A

Số phần tử của tổng thể
.

1.3. Sắp xếp số liệu thực nghiệm
1.3.1. Sắp xếp theo các giá trị khác nhau
• Giả sử mẫu (X
1
, X
2
,…, X
n
) có k quan sát khác nhau là
X
1
, X
2
,…, X
k
(
k n
≤
) và X
i
có tần số n
i
(số lần lặp lại)
với
1 2 k
n n n n
+ + + =

. Số liệu được sắp xếp theo
thứ tự tăng dần của X
i
.

VD 5.
Kiểm tra ngẫu nhiên 50 sinh viên, kết quả:

X (điểm) 2 4 5 6 7 8 9 10
n
i
(số SV) 4 6 20 10 5 2 2 1

ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK

Trang
13


1.3.2. Sắp xếp dưới dạng khoảng
• Giả sử mẫu (X
1
, X
2
,…, X
n
) có nhiều quan sát khác
nhau, khoảng cách giữa các quan sát khơng đồng đều
hoặc các X
i

khác nhau rất ít thì ta sắp xếp chúng dưới
dạng khoảng.
Xét khoảng
(
)
min max
x , x
chứa tồn bộ quan sát X
i
.
Ta chia
(
)
min max
x , x
thành các khoảng bằng nhau (còn
gọi là lớp ) theo ngun tắc:
Số khoảng tối ưu là 1 + 3,322lgn, độ dài khoảng là:
max min
x x
h
1 3,322 lg n
−
=
+
.


VD 6. ðo chiều cao của n = 100 thanh niên, ta có bảng
số liệu ở dạng khoảng:

Lớp (khoảng)
(đơn vị: cm)
Tần số n
i

(số thanh niên)
Tần suất
i
n
n

148 – 152
152 – 156
156 – 160
160 – 164
164 – 168
5
20
35
25
15
0,05
0,2
0,35
0,25
0,15

Sử dụng cơng thức
i 1 i
i
a a
x
2
−
+
=
ta có bảng số liệu ở
dạng bảng (dùng để tính tốn):

x
i

Tần số n
i

Tần suất
i
n
n

150
154
158
162
166
5
20

35
25
15
0,05
0,2
0,35
0,25
0,15
Chú ý
• ðối với trường hợp số liệu được cho bởi cách liệt kê thì
ta sắp xếp lại ở dạng bảng.

VD 7. Theo dõi mức ngun liệu hao phí để sản xuất ra
một đơn vị sản phẩm ở một nhà máy, ta thu được các số
liệu sau (đơn vị: gam). Hãy sắp xếp số liệu dưới dạng
bảng?
20; 22; 21; 20; 22; 22; 20; 19; 20; 22; 21;
19; 19; 20; 18; 19; 20; 20; 18; 19; 20; 20;
21; 20; 18; 19; 19; 21; 22; 21; 21; 20; 19;
20; 22; 21; 21; 22; 20; 20; 20; 19; 20; 21;
19; 19; 20; 21; 21.


§2. CÁC ðẶC TRƯNG MẪU (tham khảo)

2.1. Các đặc trưng mẫu
• Giả sử tổng thể có trung bình
EX
= µ
, phương sai

2
VarX
= σ
và tỉ lệ p phần tử có tính chất A.
2.1.1. Tỉ lệ mẫu F
n

• Cho mẫu định tính kích thước n, ta gọi
n
n i i
i 1
0
1
F X , X
1
n
=



= =




∑
là tỉ lệ mẫu tổng qt.
• Cho mẫu định tính kích thước n, trong đó có m phần tử
có tính chất A. Khi đó ta gọi:
n

m
f f
n
= =
là tỉ lệ mẫu cụ thể.


Tính chất

a) Kỳ vọng của tỉ lệ mẫu bằng tỉ lệ tổng thể:
( )
1 n
n
X X
M F M p
n
 
+ +



= =





 
.

b) Phương sai của tỉ lệ mẫu:
1 n
n
X X
pq
VarF Var
n n
 
+ +



= =





 

(các X
i
có phân phối Bernoulli).


2.1.2. Trung bình mẫu
• Trung bình mẫu:
n
n i
i 1

1
X X X
n
=
= =
∑
.
Trung bình mẫu cụ thể:
n
n i
i 1
1
x x x
n
=
= =
∑
.
Tính chất
(
)
n
E X EX
= µ =
,
(
)
2
n
VarX

Var X
n n
σ
= =
.



Chú ý

• Tỉ lệ mẫu
1 n
n
X X
F
n
+ +
=
và trung bình mẫu
1 n
n
X X
X
n
+ +
=
khác nhau ở chỗ là trong F
n
, các
X

n
chỉ có phân phối Bernoulli:
i
0,
X



=




nếu phần tử không có tính chất A
1, nếu phần tử có tính chất A
.




ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK

Trang
14


2.1.3. Phng sai mu
Phng sai mu:
( )
n

2 2
2
n
i n
i 1
1
S S X X
n
=
= =


.
Mu c th:
( )
n
2 2
2
n
i n
i 1
1
s s x x
n
=
= =


.
Phng sai mu hiu chnh:

( )
n
2
2 2
n i n
i 1
1
S S X X
n 1
=
= =


.
Mu c th:
( )
n
2
2 2
n i n
i 1
1
s s x x
n 1
=
= =


.
Tớnh cht.

2
2
n 1
E S
n




=







,
(
)
2 2
E S
=
.

Trong tớnh toỏn ta s dng cụng thc:
( )
n
2 2 2
2 2

n n
n n i
i 1
n 1
s x x , x x
n 1 n
=


= =




.
2.2. Liờn h gia ủc trng ca mu v tng th
Cỏc ủc trng mu
2
n
n n
F , X , S
l cỏc thng kờ dựng
ủ nghiờn cu cỏc ủc trng
2
p, ,
à
tng ng ca
tng th. T lut s ln ta cú:

2 2

n
n n
F p, X , S
à
(theo xỏc sut).
Trong thc hnh, khi c mu n khỏ ln (c hng chc
tr lờn) thỡ cỏc ủc trng mu xp x cỏc ủc trng tng
ng ca tng th:
2
2 2 2
x , f p, s , s
à

.

Đ3. PHN PHI XC SUT CA CC C TRNG MU (tham kho)
3.1. Phõn phi xỏc sut ca t l mu F
Do EF = p v
pq
VarF
n
=
nờn vi n khỏ ln thỡ:
pq
F N p,
n

.
Vi mu c th kớch thc n, t l mu f thỡ
p f

.
Ta cú:
f(1 f) (F p) n
F N p, hay N(0, 1)
n
f(1 f)












.
3.2. Phõn phi xỏc sut ca trung bỡnh mu

3.2.1. Trng hp tng th X cú phõn phi chun
(
)
2
X N ,
à


Do EF = p v
2
EX , VarX
n

= à =
nờn:
( )
2
X
X N , hay n N 0, 1
n

à



à

.
Vi mu c th kớch thc n ủ ln, thỡ
2 2
s

. Ta
cú:
( )
2
s X
X N , hay n N 0, 1
n s

à



à







.

Khi n < 30 v
2

cha bit thỡ:
2
X
n (n 1)
s
à

cú phõn phi Student vi n 1
bc t do.


3.2.2. Trng hp X khụng cú phõn phi chun
T ủnh lý gii hn trung tõm, ta suy ra:
( )
d
X
n N 0, 1
à



( )
d
X
n N 0, 1
s
à

.
Vi
n 30

, ta cú cỏc phõn phi xp x chun:
a)
2

ủó bit thỡ:
( )
2
X
n N 0, 1 , X N ,
n

à



à








.

b)
2

cha bit thỡ:
( )
2
X S
n N 0, 1 , X N ,
S n

à



à







.

3.3. Phõn phi xỏc sut ca phng sai mu
Gi s tng th
(
)
2

X N ,
à
, khi ủú:
( )
n
2
2
2
n
i
2 2 2
i 1
n n 1 1
S S X X
=

= =



s cú phõn
phi
2
(n 1)

.

Đ4. THC HNH TNH CC C TRNG MU C TH
4.1. Tớnh t l mu f
Trong mu cú m phn t cú tớnh cht A m ta quan tõm

thỡ t l mu l
m
f
n
=
.
4.2. Tớnh trung bỡnh mu
x

Mu cú n giỏ tr x
i
thỡ trung bỡnh mu l:
n
1 2 n
i
i 1
x x x
1
x x
n n
=
+ + +
= =

.
Nu x
i
lp li n
i
(i = 1,, k

n

) ln thỡ trung bỡnh
mu l:
k
i i
i 1
1
x x n
n
=
=

.

VD.
Xột 10 kt qu quan sỏt:
102, 102, 202, 202, 202, 302, 302, 302, 302, 402.
Ta cú:
1
x (102.2 202.3 302.4 402.1)
10
= + + +
.
4.3. Tớnh phng sai mu
2
s


Tớnh

x
v
( )
n
2
2 2 2 2
1 2 n i
i 1
1 1
x x x x x
n n
=
= + + + =

.
Phng sai mu l:
(
)
2
2 2
s x x
=

.
Phng sai mu cú hiu chnh l:
2
2
n
s s
n 1

=


.
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK

Trang
15

SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI ðỂ TÍNH CÁC ðẶC TRƯNG CỦA MẪU

1. SỐ LIỆU ðƠN (không có tần số)

VD 1. Cho mẫu có cỡ mẫu là 5: w = (12, 13, 11, 14, 11).

a) Máy fx 500MS
• Xóa nhớ: MODE -> 3 -> = -> =
• Vào chế ñộ thống kê nhập dữ liệu
– MODE -> 2 (chọn SD ñối với fx500MS); MODE -> MODE -> 1 (chọn SD ñối với fx570MS)
– Nhập các số:
12 M+ 13 M+…. 11 M+
• Xuất kết quả
– SHIFT -> 2 -> 1 -> = (xuất kết quả
x
: trung bình mẫu)
– SHIFT -> 2 -> 2 -> = (xuất kết quả
s
⌢
=
x

n
σ
: ñộ lệch chuẩn của mẫu)
– SHIFT -> 2 -> 3 -> = (xuất kết quả s =
x
n 1
σ −
: ñộ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh)

b) Máy fx 500ES
• Xóa nhớ: SHIFT -> 9 -> 3 -> = -> =
• Vào chế ñộ thống kê nhập dữ liệu
– SHIFT -> MODE -> dịch chuyển mũi tên tìm chọn mục Stat -> 3 (chế ñộ không tần số)
– MODE -> 3 (stat) -> 1 (1-var) -> (nhập các số) 12 = 13 =…. 11 =
• Xuất kết quả
– SHIFT -> 1 -> 5 (var) -> 1 -> = (n: cỡ mẫu)
– SHIFT -> 1 -> 5 (var) -> 2 -> = (
x
: trung bình mẫu)
– SHIFT -> 1 -> 5 (var) -> 3 -> = (
x
n
σ
: ñộ lệch chuẩn của mẫu)
– SHIFT -> 1 -> 5 (var) -> 4 -> = (
x
n 1
σ −
: ñộ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh)

2. SỐ LIỆU CÓ TẦN SỐ

VD 2. Cho mẫu như sau
x
i
12 11 15
n
i
3 2 4
a) Máy fx 500MS
• Xóa nhớ: MODE -> 3 -> = -> =
• Vào chế ñộ thống kê nhập dữ liệu
– MODE -> 2 (chọn SD ñối với fx500MS); MODE -> MODE -> 1 (chọn SD ñối với fx570MS)
– Nhập các số:
12 -> SHIFT -> , -> 3 -> M+
11 -> SHIFT -> , -> 2 -> M+
15 -> SHIFT -> , -> 4 -> M+
• Xuất kết quả, làm như 1a)

b) Máy fx 500ES
• Xóa nhớ vào chế ñộ thống kê nhập dữ liệu có tần số:
– SHIFT -> MODE (SETUP) dịch chuyển mũi tên -> 4 -> 1
– MODE -> 3 (stat) -> 1 (1-var)
– Nhập các giá trị và tần số vào 2 cột trên màn hình
X FREQ
12 3
11 2
15 4
• Xuất kết quả, làm như 1b)
VD 3. ðiều tra năng suất của 100 ha lúa trong vùng, ta có bảng số liệu sau:

Năng suất (tấn/ha) 3 - 3,5 3,5 - 4 4 - 4,5 4,5 - 5 5 - 5,5 5,5 - 6 6 - 6,5 6,5 - 7
Diện tích (ha) 7 12 18 27 20 8 5 3
Những thửa ruộng có năng suất ít hơn 4,4 tấn/ha là có năng suất thấp.
a) Tính tỉ lệ diện tích lúa có năng suất thấp.
b) Tính năng suất lúa trung bình, phương sai và ñộ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh.
……………………………………………………………




ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK

Trang
16
Chng V. C LNG C TRNG CA TNG TH (M ễNG)

Đ1. C LNG IM

1.1. Thng kờ
Mt hm ca mu tng quỏt T = T(X
1
, X
2
,, X
n
) ủc
gi l 1 thng kờ.
Cỏc vn ủ ca thng kờ toỏn ủc gii quyt ch yu
nh vo vic xõy dng cỏc hm thng kờ ch ph thuc
vo mu tng quỏt, khụng ph thuc cỏc tham s.

1.2. c lng ủim
c lng ủim ca tham s

(t l, trung bỡnh,
phng sai,) l thng kờ
(
)
1 n
X , , X
=

ch ph
thuc vo n quan sỏt X
1
, , X
n
, khụng ph thuc vo

.

VD 1.
T l mu
1 2 n
X X X
F
n
+ + +
=
l c lng

ủim ca t l tng th p.
Trung bỡnh mu
1 2 n
X X X
X
n
+ + +
=
l c
lng ủim ca trung bỡnh tng th
à
.
1.3. c lng khụng chch (tham kho)
Thng kờ
(
)
1 n
X , , X


l c lng khụng chch ca

nu
(
)
1 n
E X , , X

=

.


VD 2.
EF = p (t l mu l c lng khụng chch ca t l
tng th).

(
)
E X
= à
(trung bỡnh mu l c lng khụng chch
ca trung bỡnh tng th
à
).

( )
2
2 2
E S E S



= =

(phng sai mu l c lng
khụng chch ca phng sai tng th
2

).
VD 3. Cõn 100 sn phm ca 1 xớ nghip ta cú bng s
liu:
x (gr) 498 502 506 510
n
i
40 20 20 20


Ta cú:
498.40+502.20+506.20+510.20
x
100
=
502, 8(gr)
=
.
D ủoỏn (c lng): Trng lng trung bỡnh ca cỏc
sn phm trong xớ nghip l
502, 8(gr)
à
.

VD 4 (tham kho). T mu tng quỏt W = (X
1
, X
2
) ta
xột hai c lng ca trung bỡnh tng th
à
sau:
1 2
1 1
X X X
2 2
= +
v
1 2
1 2
X X X
3 3

= +
.
a) Chng t
X
v
X

l c lng khụng chch ca
à
.
b) c lng no hiu qu hn?

Gii

a)
(
)
( ) ( )
1 2 1 2
1 1 1 1
E X E X X E X E X
2 2 2 2



= + = +







1 1
2 2
= à + à = à
.

(
)

( ) ( )
1 2 1 2
1 2 1 2
E X E X X E X E X
3 3 3 3




= + = +







1 2
3 3
= à + à = à
(ủpcm).


b)
(
)
1 2
1 1
Var X Var X X
2 2

= +







( ) ( )
2 2 2
1 2
1 1
Var X Var X
4 4 4 4 2

= + = + = .

(
)
1 2
1 2
Var X Var X X
3 3

= +







( ) ( )
2 2 2
1 2
1 4 4 5
Var X Var X
9 9 9 9 9

= + = + =

(
)
(
)
Var X Var X

< .
Vy c lng
X
hiu qu hn.

Đ2. C LNG KHONG

2.1. nh ngha
Khong
(
)
1 2
;


ca thng kờ


ủc gi l khong
tin cy ca tham s

nu vi xỏc sut
1

cho trc
thỡ
(
)
1 2
P 1
< < =

.
Xỏc sut
1

l ủ tin cy ca c lng,

2 1
2
=

l ủ di khong tin cy v

l ủ chớnh
xỏc ca c lng. Khi ủú:
(
)
1 2
;


.

Bi toỏn tỡm khong tin cy ca

l bi toỏn c
lng khong.


Chỳ ý

Do tng th X l bin ngu nhiờn liờn tc nờn:
(
)
(
)
1 2 1 2

P P
< < =

.
Do ủú, ta cú th ghi
1 2
;





.

2.2. c lng khong cho t l tng th p
Gi s t l p cỏc phn t cú tớnh cht A ca tng th
cha bit. Vi ủ tin cy
1

cho trc, khong tin
cy cho p l
(
)
1 2
p ; p
tha:
(
)
1 2
P p p p 1

< < =
.

ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK

Trang
17


Trong thc hnh vi t l mu
n
m
f f
n
= =
(n: c mu;
m: s phn t quan tõm), khong tin cy cho p l:
(
)
f ; f
+
, vi
(
)
f 1 f
t
n


=

.
Trong ủú
t

l mc phõn v, tỡm ủc t

1
(t )
2


=
bng cỏch tra bng B.
Chỳ ý

( )
2
2
t
n f 1 f 1



= +




l kớch thc mu cn chn
ng vi

,
1

cho trc ([x] l phn nguyờn ca x).


VD 1. Mt trng H cú 10.000 sinh viờn. im danh
ngu nhiờn 1000 sinh viờn thy cú 76 ngi b hc. Hóy
c lng s sinh viờn b hc ca trng vi ủ tin cy
95%.



VD 2. c lng s cỏ trong 1 h ngi ta bt lờn
3000 con, ủỏnh du ri th li xung h. Sau 1 thi gian
bt lờn 400 con thy cú 60 con cú ủỏnh du.
Vi ủ tin cy 97%, hóy c lng s cỏ cú trong h.



VD 3. Ly ngu nhiờn 200 sn phm trong 1 kho hng
thy cú 21 ph phm.

a) c lng t l ph phm cú trong kho hng vi ủ tin
cy 99%.

b) Da vo mu trờn, nu mun ủ chớnh xỏc ca c
lng l = 0,035 thỡ ủ tin cy ca c lng l bao
nhiờu ?

c) Da vo mu trờn, nu mun ủ chớnh xỏc l 0,01 vi
ủ tin cy 97% thỡ cn kim tra thờm bao nhiờu sn
phm na ?


2.3. c lng trung bỡnh tng th
à

Gi s tng th cú trung bỡnh
à
cha bit. Vi ủ tin
cy
1

cho trc, khong tin cy cho
à
l
(
)
1 2
;
à à

tha:
(
)
1 2
P 1
à < à < à =

.
Trong thc hnh ta cú 4 trng hp sau
a) Trng hp 1. Kớch thc mu
n 30

v phng
sai tng th
2

ủó bit.
Tớnh
x
(trung bỡnh mu).
T
B
1
1 (t ) t
2


=
.
Suy ra
(
)
x ; x
à +
vi
t
n

=
.

VD 4. Kho sỏt ngu nhiờn 100 sinh viờn thy ủim
trung bỡnh mụn XSTK l 5,12 ủim vi ủ lch chun
0,26 ủim. Hóy c lng ủim trung bỡnh mụn XSTK
ca sinh viờn vi ủ tin cy 97%.
b) Trng hp 2. Kớch thc mu
n 30

v phng
sai tng th
2

cha bit.
Tớnh
2 2 2
n
x, s s s s
n 1
=


(ủ lch chun
mu hiu chnh).
T
B
1

1 (t ) t
2


=
(bng B)

(
)
x ; x
à +
vi
s
t
n

=
.

VD 5. o ủng kớnh ca 100 trc mỏy do 1 nh mỏy
sn xut thỡ ủc bng s liu:
ng kớnh (cm) 9,75 9,80 9,85 9,90
S trc mỏy 5 37 42 16

a) Hóy c lng ủng kớnh trung bỡnh ca trc mỏy
vi ủ tin cy 97%.
b) Da vo mu trờn, vi ủ chớnh xỏc 0,006, hóy xỏc
ủnh ủ tin cy.
c) Da vo mu trờn, nu mun cú ủ chớnh xỏc l 0,003
vi ủ tin cy 95% thỡ cn phi ủo bao nhiờu trc mỏy ?

c) Trng hp 3. Vi
n 30
<
, phng sai tng th
2


ủó bit v X cú phõn phi chun thỡ ta lm nh trng
hp 1.

d) Trng hp 4. Vi
n 30
<
, phng sai tng th
2


cha bit v X cú phõn phi chun.
Tớnh
2 2 2
n
x, s s s s
n 1
=


.
T
C
n 1

1 t


(bng C)
Suy ra
(
)
x ; x
à +
vi
n 1
s
t .
n


= .
Chỳ ý
Trong thc hnh, nu ủ bi khụng cho X cú phõn phi
chun thỡ ta b sung vo.
VD 6.
Bit chiu di ca 1 sn phm l ủi lng ngu
nhiờn cú phõn phi chun. o ngu nhiờn 10 sn phm
ny thỡ ủc trung bỡnh 10,02m v ủ lch chun ca

mu cha hiu chnh l 0,04m. Tỡm khong c lng
chiu di trung bỡnh ca loi sn phm ny vi ủ tin cy
95%.
VD 7.
Nng sut lỳa trong 1 vựng l ủi lng ngu

nhiờn cú phõn phi chun. Gt ngu nhiờn 115 ha lỳa ca
vựng ny ta cú s liu:
Nng sut (t/ha) 40 42 42 44 44 46
Din tớch (ha) 7 13 25
Nng sut (t/ha) 46 48 48 50 50 52
Din tớch (ha) 35 30 5
a) Hóy c lng nng sut lỳa trung bỡnh vựng ny
vi ủ tin cy 95%.
b) Nhng tha rung cú nng sut khụng quỏ 44 t/ha l
nng sut thp. Hóy c lng nng sut trung bỡnh ca
nhng tha rung cú nng sut thp vi ủ tin cy 99%.
ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK

Trang
18



VD 8. nghiờn cu nhu cu v loi hng A 1 khu
vc ngi ta tin hnh kho sỏt 400 trong ton b 4000
gia ủỡnh, kt qu:
Nhu cu (kg/thỏng) 01 12 23 34
S gia ủỡnh 10 35 86 132
Nhu cu (kg/thỏng) 45 56 67 78
S gia ủỡnh 78 31 18 10

a) c lng nhu cu trung bỡnh loi hng A ca khu
vc trờn trong 1 nm vi ủ tin cy 95%.
b) Vi mu kho sỏt trờn, nu mun cú c lng vi ủ
chớnh xỏc 4,8 tn v ủ tin cy 95% thỡ cn kho sỏt ti

thiu bao nhiờu gia ủỡnh trong khu vc?


2.4. c lng phng sai tng th
2


Gi s tng th X cú phõn phi chun vi phng sai
2

cha bit. Vi ủ tin cy
1

cho trc, khong
tin cy cho
2

l
(
)
2 2
1 2
;

tha:
(
)
2 2 2
1 2
P 1

< < =
.

Trong thc hnh ta cú hai trng hp sau





a) Trng hp 1. Trung bỡnh tng th
à
ủó bit.
T mu ta tớnh
( )
k
2
2
i i
i 1
n.s n x , k n
=
= à


.
T
1
2

, tra bng D tỡm ủc:
2 2
n n
1 ,
2 2











.
2 2
2 2
1 2
2 2
n n
n.s n.s
,
1
2 2
= =

.


b) Trng hp 2. Trung bỡnh tng th
à
cha bit.
T mu ta tớnh
( )
k
2
2
i i
i 1
x (n 1)s n x x , k n
=
=

.
T
1
2

, tra bng D tỡm ủc:
2 2
n 1 n 1
1 ,
2 2












.
2 2
2 2
1 2
2 2
n 1 n 1
(n 1)s (n 1)s
,
1
2 2

= =











.


VD 9. Trng lng gúi mỡ X(gr) l bnn cú phõn phi
chun. Cõn kim tra 15 gúi mỡ cú s liu:
X(gr) 84 84,5 85 85,5
S gúi 2 3 8 2
Vi ủ tin cy 93%, hóy c lng phng sai X trong
mi trng hp sau:
a) Bit trng lng trung bỡnh gúi mỡ l 84,9gr.
b) Cha bit trng lng trung bỡnh gúi mỡ.

VD 10. Kho sỏt 16 sinh viờn v ủim trung bỡnh ca
hc k 2 thỡ tớnh ủc s
2
= 2,25 ủim. c lng
phng sai v ủim trung bỡnh hc k 2 ca sinh viờn

vi ủ tin cy 97%, bit rng ủim trung bỡnh X ca sinh
viờn l bin ngu nhiờn cú phõn phi chun.


VD 11. Mc hao phớ nguyờn liu cho 1 ủn v sn phm
l ủi lng ngu nhiờn X (gr) cú phõn phi chun.
Quan sỏt 28 sn phm ny ngi ta thu ủc bng s
liu:

X (gr) 19,0 19,5 20,0 20,5
S sn phm 5 6 14 3

Vi ủ tin cy 90%, hóy c lng phng sai ca mc
hao phớ nguyờn liu trờn trong 2 trng hp:
a) Bit EX = 20gr.
b) Cha bit EX.


Chng VI. KIM NH GI THIT THNG Kấ
Đ1. KIM NH GI THIT V C TRNG TNG TH (M ễNG)

1.1. Khỏi nim bi toỏn kim ủnh
Dựng cỏc thng kờ t mu ủ chp hay bỏc b mt gi
thit H no ủú núi v tng th gi l kim ủnh gi thit
thng kờ.
Khi kim ủnh gi thit H cú th xy ra 1 trong 2 sai
lm sau:
1) Loi 1: Bỏc b H trong khi H ủỳng;
2) Loi 2: Chp nhn H trong khi H sai.
Phng phỏp kim ủnh l cho phộp xỏc sut xy ra sai

lm loi 1 khụng vt quỏ mc ý ngha . Vi mc ý
ngha ủó cho, ta chp nhn H nu xỏc sut xy ra sai
lm loi 2 l nh nht.

Chỳ ý
Mc ý ngha gim thỡ P(loi I) gim

P(loi II)
tng, ngha l kh nng chp nhn H tng.

1.2. Kim ủnh gi thit t l tng th p

ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK

Trang
19


Vi t l p
0
cho trc thỡ
0
0 0
F p
T N(0; 1)
p q
n

=
v

{
}
W t T P(t t )

= >
l min bỏc b gi
thit H.
Cỏc bc gii
t gi thit H: p = p
0
(ngha l t l tng th nh t l
cho trc).
T mu c th ta tớnh t l mu
m
f
n
=
v
giỏ tr kim ủnh
0
0 0
f p
t
p q
n

=
.

T mc ý ngha

1


B
1
(t ) t
2


=
.
Nu
t t


thỡ ta chp nhn gi thit, ngha l p = p
0
.
Nu
t t

>
thỡ ta bỏc b gi thit, ngha l
0
p p

.

Trong trng hp bỏc b, nu f > p
0

thỡ kt lun p > p
0

v f < p
0
thỡ p < p
0
.

VD 1. Kim tra 800 sinh viờn thy cú 128 sinh viờn gii.
Trng bỏo cỏo tng kt l cú 40% sinh viờn gii thỡ cú
th chp nhn ủc khụng vi mc ý ngha 5%?



VD 2. kim tra 1 loi sỳng th thao, ngi ta cho bn
1000 viờn ủn vo bia thy cú 540 viờn trỳng ủớch. Sau
ủú, bng ci tin k thut ngi ta nõng t l trỳng lờn
70%. Hóy cho kt lun v ci tin vi mc ý ngha 1%.

VD 3. Theo bỏo cỏo, t l hng ph phm trong kho l
12%. Kim tra ngu nhiờn 100 sn phm thy cú 13 ph
phm. Vi mc ý ngha 5% thỡ bỏo cỏo trờn cú ủỏng tin
khụng ?

VD 4. Mt cụng ty tuyờn b rng 40% dõn chỳng a
thớch sn phm ca cụng ty. Mt cuc ủiu tra 400 ngi
tiờu dựng thy cú 175 ngi a thớch sn phm ca cụng
ty. Vi mc ý ngha 3%, hóy kim ủnh tuyờn b trờn ?

1.3. Kim ủnh gi thit trung bỡnh tng th à
Vi trung bỡnh à
0
cho trc, tng t bi toỏn c
lng khong cho trung bỡnh tng th, ta cú cỏc trng
hp sau (túm tt):
t gi thit H: à = à
0
(ngha l trung bỡnh tng th
nh trung bỡnh cho trc).
a) Trng hp 1. Vi
2
n 30,

ủó bit.
Tớnh
0
x
t , t
n

à
=

.
Nu
t t


ta chp nhn gi thit;

t t

>
ta bỏc b gi thit.


b) Trng hp 2. Vi
2
n 30,

cha bit.
Lm nh trng hp 1 nhng thay
s
=
.
c) Trng hp 3. Vi
2
n 30,
<
ủó bit, X cú phõn
phi chun (lm nh trng hp 1).
d) Trng hp 4. Vi
2
n 30,
<
cha bit, X cú
phõn phi chun.
Tớnh
0

x
t
s
n
à
=
. T mc ý ngha
C
n 1
t


.
Nu
n 1
t t


ta chp nhn gi thit;

n 1
t t


> ta bỏc b gi thit.


Chỳ ý
Trong trng hp bỏc b:
Nu

0 0
x
> à à > à
v
0 0
x
< à à < à
.

VD 5. Trng lng trung bỡnh ca ca mt loi sn
phm l 6kg. Kim tra 121 sn phm thy trng lng
trung bỡnh l 5,795 kg v phng sai
2
s 5,712
=

.
Hóy kim ủnh v trng lng trung bỡnh ca sn phm
ny vi mc ý ngha 5%.




VD 6. Cõn th 15 con g tõy 1 tri chn nuụi khi xut
chung ta tớnh ủc
x 3,62kg
=
. Bit trng lng g
tõy l bin ngu nhiờn cú
2

0, 01
=
.

a) Giỏm ủc tri núi rng trng lng trung bỡnh ca g
tõy l 3,5kg, vi mc ý ngha 2% hóy kim ủnh li núi
trờn ?
b) Gi s ngi ta dựng thc n mi v khi xut chung
trng lng trung bỡnh ca g tõy l 3,9 kg. Vi mc ý
ngha 3%, hóy cho kt lun v loi thc n ny ?

VD 7. Khi lng ca mt bao go ca 1 nh mỏy l
bin ngu nhiờn cú ủ lch tiờu chun l 0,3kg. Ban
giỏm ủc tuyờn b khi lng mi bao go ca nh mỏy
l 50kg. Cõn th 50 bao thỡ thy khi lng trung bỡnh l
49,97kg. Vi mc ý ngha 1%, hóy kim tra li tuyờn b
trờn ?
VD 8. im trung bỡnh mụn toỏn ca sinh viờn nm
trc l 5,72. Nm nay theo dừi 100sv ủc s liu:
im 3 4 5 6 7 8 9
S sinh viờn 3 5 27 43 12 6 4
Vi mc ý ngha 5%, phi chng ủim trung bỡnh ca
sinh viờn nm nay cao hn nm trc?
ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK

Trang
20


VD 9. Chiu cao cõy ging X(m) trong mt vm m

l bin ngu nhiờn cú phõn phi chun.
o ngu nhiờn 25 cõy ta cú:
X (m) 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3
S cõy 1 2 9 7 4 2
Theo quy ủnh khi no cõy cao trung bỡnh trờn 1m thỡ
ủem ra trng. Vi mc ý ngha 5%, cú th ủem cõy ra
trng ủc cha ?

1.4. Kim ủnh gi thit phng sai tng th cú phõn
phi chun
2

(tham kho)
Vi
2
0

cho trc, ta thc hin cỏc bc sau:
t gi thit H:
2 2
0
=
(ngha l phng sai tng th
nh phng sai cho trc).

T mu ta tớnh giỏ tr kim ủnh
2
2
2
0

(n 1)s

=

.
T
D
2 2
n 1 n 1
1 , 1
2 2 2












.
Nu
2 2 2
n 1 n 1
1
2 2

< <






ta chp nhn
gi thit, ngc li thỡ bỏc b gi thit.
Trong trng hp bỏc b, nu
2 2
0
s
>
thỡ kt lun
2 2
0
>
v
2 2
0
s
<
thỡ
2 2
0

<
.
VD 10. Tin hnh 25 quan sỏt v ch tiờu X ca 1 loi
sn phm, ta tớnh ủc s
2
= 416,667. Cú ti liu núi rng
phng sai ca ch tiờu X l 400. Vi mc ý ngha 3%,
cho nhn xột v ti liu ny?

Đ2. KIM NH SO SNH HAI C TRNG
2.1. So sỏnh hai t l p
x
v p
y
ca hai tng th X, Y

t gi thit H: p
x
= p
y
.
T 2 mu ta tớnh
x
x
x
m
f
n
=
,

y
y
y
m
f
n
=
,
x y
0
x y
m m
p
n n
+
=
+
(t l thc nghim chung ca hai mu).
Tớnh
0 0
q 1 p
=

x y
0 0
x y
f f
t
1 1
p q

n n

=





+






(giỏ tr kim ủnh).

Nu
t t


thỡ chp nhn H
x y
p p
=
;
nu
x y
x y
t t

p p
f f


>


<


<


; nu
x y
x y
t t
p p
f f


>


>


>

.

VD 1. T hai tng th X
1
, X
2
tin hnh 2 mu cú kớch
thc n
1
= 100, n
2
= 120 ta tớnh ủc f
1
= 0,2 v f
2
= 0,3.
Vi mc ý ngha 1% hóy so sỏnh hai t l ca hai tng
th ủú.
VD 2. Kim tra 120 sinh viờn trng A thy cú 80 sinh
viờn gii, 150 sinh viờn trng B cú 90 sinh viờn gii.
Hi t l sinh viờn gii ca 2 trng nh nhau khụng vi
mc ý ngha l 5%?



VD 3. Kim tra 120 sn phm kho I thy cú 6 ph
phm. Kim tra 200 sn phm kho II thy cú 24 ph
phm. Cht lng hng hai kho cú khỏc nhau khụng
vi: 1) Mc ý ngha 5% ? 2) Mc ý ngha 1% ?

2.2. So sỏnh hai trung bỡnh à
x
v à
y
ca hai tng th
Túm tt 4 trng hp (chp nhn hay bỏc b gi thit
nh bi kim ủnh trung bỡnh):

t gi thit H: à
x
= à
y
.
Trng hp 1.
x y
n , n 30

v
2 2
x y
,

ủó bit.

T 2 mu c th ta tớnh kim ủnh
2
2
y
x
x y

x y
t
n n

=


+
v
so sỏnh vi
t

.
Trng hp 2.
x y
n , n 30
v
2 2
x y
,

cha bit.
Ta thay
2 2
x y
,

bi
2 2
x y

s , s
trong trng hp 1.
Trng hp 3.
x y
n , n 30
< v
2 2
x y
,

ủó bit ủng
thi X, Y cú phõn phi chun (nh trng hp 1).


Trng hp 4.
x y
n , n 30
< v
2 2
x y
,

cha bit; X, Y
cú phõn phi chun.

Tớnh phng sai mu chung cha hiu chnh ca 2 mu

2 2
x x y y
2

x y
(n 1)s (n 1)s
s
n n 2
+
=
+
.
Tớnh giỏ tr kim ủnh
x y
x y
t
1 1
s.
n n

=
+
.
T
x y
n n 2
C
t
+


v so sỏnh vi t.

VD 4.

Cõn th 100 trỏi cõy nụng trng I ta tớnh ủc
2
x
x 101,2gr; s 571,7
= =
v 361 trỏi cõy nụng
trng II tớnh ủc
2
y
y 66, 39gr; s 29,72
= =
.
Hóy so sỏnh trng lng trung bỡnh ca trỏi cõy 2 nụng
trng vi mc ý ngha 1%.

VD 5. o ủng kớnh 20 trc mỏy do mỏy I sn xut v
22 trc mỏy do mỏy II sn xut ta tớnh ủc
x 251,7mm
=
;
2
x
s 52,853
=
v
y 249, 8mm
=
;
2
y

s 56,2
=
. Cú th xem ủng kớnh trung bỡnh ca cỏc
trc mỏy 2 mỏy nh nhau vi mc ý ngha 1% khụng?
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK

Trang
21



VD 6. Khối lượng trung bình của 50 trái dưa hấu do xã
A trồng là 6,72kg với s
x
= 0,72kg. Khối lượng trung bình
của 80 trái dưa hấu do xã B trồng là 6,46kg với
s
y
= 0,91kg. Với mức ý nghĩa 1% có kết luận khối lượng
trung bình trái dưa hấu do xã A trồng nặng hơn không ?

VD 7. Khối lượng trung bình của 23 trái dưa hấu do xã
A trồng là 6,72kg với s
x
= 0,72kg. Khối lượng trung bình
của 19 trái dưa hấu do xã B trồng là 6,46kg với
s
y
= 0,91kg. Với mức ý nghĩa 1% có kết luận khối lượng
trung bình trái dưa hấu do xã A trồng nặng hơn không ?

2.3. So sánh hai phương sai
2
x
σ
và
2
y
σ
của hai tổng
thể (so sánh tỉ lệ phương sai) (tham khảo)

• ðặt giả thiết H:
2 2
x y
σ = σ
.
• Tính giá trị kiểm ñịnh
2
x
2
y
s
g
s
=
.
• Từ mức ý nghĩa
α

2
α
⇒
.
Tra bảng E ta tìm ñược
x y
2
f f (n 1, n 1)
α
= − −
.


• Nếu g < f ta chấp nhận giả thiết, nếu g > f ta bác bỏ giả
thiết.
• Trong trường hợp bác bỏ giả thiết:
– Nếu
2 2
x y
s s
>
thì kết luận
2 2
x y
σ > σ
và ngược lại.

VD 8. Giá cổ phiếu là biến ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn. ðiều tra ngẫu nhiên giá cổ phiếu của công ty X

trong 25 ngày tính ñược ñộ lệch tiêu chuẩn mẫu hiệu
chỉnh là 7,5 ngàn ñồng; của công ty Y trong 22 ngày là
6,2 ngàn ñồng. Với mức ý nghĩa 5%, hãy so sánh về ñộ
rủi ro cổ phiểu của hai công ty trên.


VD 9. Doanh số bán hàng (ñơn vị: triệu ñồng) của 1
công ty A là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Công
ty A cho người theo dõi doanh số bán hàng trong 7 ngày
ở vùng X thì tính ñược phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh
là 82,1; ở vùng Y trong 6 ngày thì tính ñược 25,3.
Với mức ý nghĩa 3%, hãy so sánh ñộ rủi ro ñầu tư của
công ty A ở hai vùng trên.



Chương VII. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HÀM HỒI QUY


1. Hệ số tương quan giữa X và Y

• ðể minh họa cho vấn ñề, chúng ta thử xem xét nghiên
cứu sau ñây mà trong ñó nhà nghiên cứu ño lường ñộ
cholesterol (Y) trong máu của 10 ñối tượng nam ở ñộ
tuổi (X).
Kết quả ño lường như sau:
X 20 52 30 57 28
Y 1,9 4,0 2,6 4,5 2,9

X 43 57 63 40 49

Y 3,8 4,1 4,6 3,2 4,0


Biểu ñồ liên hệ giữa ñộ tuổi và ñộ cholesterol:


Biểu ñồ trên ñây gợi ý cho thấy mối liên hệ giữa ñộ tuổi
(X) và cholesterol (Y) là một ñường thẳng (tuyến tính).



• ðể “ño lường” mối liên hệ này, chúng ta có thể sử
dụng hệ số tương quan:
n
i i
i 1
xy
n n 2 2
x y
2 2
i i
i 1 i 1
(x x)(y y)
xy x.y
r
s .s
(x x) (y y)
=
= =
− −

−
= =
− −
∑
∑ ∑
⌢ ⌢
.
Trong ñó
ij i i
i 1
j 1
1
xy
n x
n
y
=
=
=
∑
,
ij
n
n
=
∑
.
Chú ý.

2 2

x y
s .s
⌢ ⌢
có sai số bé hơn
x y
s .s
⌢ ⌢
.

Ý nghĩa

• Hệ số tương quan ño mối quan hệ tuyến tính giữa x, y.
1)
xy
1 1
r
− ≤ ≤
.
2) Nếu
xy
r
0
=
thì hai biến số không có quan hệ tuyến
tính; nếu
xy
r 1
=
±
thì hai biến số có quan hệ tuyến tính

tuyệt ñối.
3) Nếu
xy
r
0
<
thì quan hệ giữa x, y là giảm biến
(có nghĩa là khi x tăng thì y giảm).
4) Nếu
xy
r
0
>
thì quan hệ giữa x, y là ñồng biến
(có nghĩa là khi x tăng thì y cũng tăng).


ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK

Trang
22
VD 1. Tớnh h s tng quan gia ủ tui v cholesterol
cho bng trờn. Ta cú:
n
i 1
i
x
1
x
43

n
,9
=
= =

;
n
i 1
i
y
1
y
3,
n
56
=
= =

;
ij i i
i 1
j 1
xy y 167, 2
1
6
n x
n
=
=
= =

;
2
x
s 183, 29
=

;
2
y
s 0, 6944
=

.
Vy
xy
2 2
x y
xy x.y
r 0, 9729
s .s

= =

.


2. ng thng hi qui

tin vic theo dừi v mụ t mụ hỡnh, gi ủ tui cho

cỏ nhõn i l x
i
v cholesterol l y
i
,
i 1,10
=
.

Cỏc ủim cú ta ủ (x
i
; y
i
) to thnh ủng gp khỳc
v gn vi ủng thng cú dng y = ax + b. Ngi ta
dựng ủng thng y = ax + b ủ tớnh xp x cỏc giỏ tr y
i

theo x
i
:
i i i
y ax b= +

+
vi mt sai s
i

, ủng
thng ny ủc gi l ủng thng hi quy.

Cỏc thụng s a, b phi ủc c tớnh t d liu.
Phng phỏp ủ c tớnh cỏc thụng s ny l phng
phỏp bỡnh phng bộ nht. Phng phỏp bỡnh phng bộ
nht l tỡm giỏ tr a, b sao cho tng bỡnh phng sai s
n n
i 1 i 1
2
2
i i i
(axy
b)
= =



= +

l nh nht.
c lng cho a, b ủỏp ng ủiu kin trờn l:
2
x
xy x.y
a , b y ax
s

= =

.

Chỳ ý
x
xy
y x
y y
x x
r
s s


=

.


VD 2. o chiu cao X(m) v khi lng Y(kg) ca 5 hc
sinh, ta cú kt qu:

X(m) 1,45 1,6 1,5 1,65 1,55
Y(kg) 50 55 45 60 55

a) Tỡm h s tng quan r
xy
.
b) Lp phng trỡnh hi quy tuyn tớnh ca Y theo X.
c) D ủoỏn nu mt hc sinh cao 1,62m thỡ nng khong
bao nhiờu kg?


VD 3. S vn ủu t X(triu ủng) v li nhun Y(triu

ủng) trong mt ủn v thi gian ca 100 quan sỏt l:

Y
X

0,3

0,7

1,0
1 20 10
2 30 10
3 10 20

a) Lp phng trỡnh hi tuyn tớnh ca X theo Y.
b) D ủoỏn nu mun li nhun thu ủc l 0,5 triu
ủng thỡ cn ủu t bao nhiờu?

VD 4. S thựng bia Y(thựng) ủc bỏn ra ph thuc vo
giỏ bỏn X (triu ủng/ thựng). iu tra 100 ủi lý v 1
loi bia trong mt ủn v thi gian cú bng s liu:

Y
X

100

110

120

0,150 5 15 30
0,160 10 25
0,165 15
a) Tớnh h s tng quan r
xy
.
b) Lp phng trỡnh hi tuyn tớnh ca X theo Y.
c) D ủoỏn nu mun bỏn ủc 115 thựng bia thỡ giỏ bỏn
mi thựng c bao nhiờu?
3. S dng mỏy tớnh tỡm ủng hi qui
VD 5. (fx 500ES) Bi toỏn cho dng cp
i i
(x
, y
)
nh sau
X 20

52

30

57

28

43

57

63

40

49

Y 1,9

4 2,6

4,5

2,9

3,8

4,1

4,6

3,2

4
Tỡm h s
xy
r
, ủng hi qui mu
x
y ax b
= +

.
Nhp liu:
SHIFT -> MODE -> dch chuyn mi tờn tỡm chn mc
Stat-> 2 (ch ủ khụng tn s)
MODE->2 (stat) ->2 (A+Bx) -> (nhp cỏc giỏ tr ca X,
Y vo 2 ct)
X Y
20 1,9

49 4
Xut kt qu:
SHIFT - > 1 -> 7 ->1(A chớnh l b trong phng trỡnh)
- >2 (B chớnh l a trong phng trỡnh)
-> 3 (r chớnh l
xy
r
).

VD 6.
(fx 500ES) Bi toỏn cho dng bng nh sau

X
Y
21 23 25
3 2
4 5 3
5 11 8
Nhp liu:
SHIFT -> MODE -> dch chuyn mi tờn tỡm chn muc
Stat-> 1 (ch ủ cú tn s)

MODE->2 (stat) ->2 (A+Bx) -> (nhp cỏc giỏ tr ca X,
Y, tn s vo 2 ct)
X Y FREQ
21 3 2
21 4 5
23 4 3
23 5 11
25 5 8
Xut kt qu ging vớ d trờn.
Ht