Tải bản đầy đủ (.pdf) (12 trang)

Tài liệu MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC pptx

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (193.84 KB, 12 trang )


1


MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c ta có:
3
2
a b c
b c c a a b
  
  

Giải:
Xét các biểu thức sau
a b c
S
b c c a a b

  

b c a
A
b c c a a b

  

c a b
B
c b c a a b



  

Ta có A + B = 3. Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy thì:
3
a b b c c a
SA
b c c a a b
  
    
  


3
a b b c c a
SA
b c c a a b
  
    
  

Cộng theo vế ta có
A + B +2S ≥3

S≥
3
2
(Điều phải chứng minh)



Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c, d ta có:
2
a b c d
b c c d d a a b
   
   

Giải : Đặt
a b c d
S
b c c d d a a b
   
   

b c a a
A
b c c d d a a b
   
   

c d a b
B
b c c d d a a b
   
   

Theo bất đẳng thức Cauchy thì:

2
4

a b b c c d d a
SB
b c c d d a a b
   
     
   

a c b d c a d b
SA
b c c d d a a b
   
    
   

a c c a b d d b
b c d a c d a b
   
   
   


4( )ac
a b c d


  
4( )
4
bd
a b c d



  

Cộng theo vế ta có A+B+2S ≥8 mà A+B=4 vậy S≥ 4 (Điều phải chứng
minh)


Bài 3: Cho x, y, z >0 và xyz = 1, chứng minh rằng:
3 3 3
3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
xyz
y z z x x y
  
     

Ta có:
3
11
3
(1 )(1 ) 8 8 4
x y z x
yz

  


Tương tự ta có:
3

11
3
(1 )(1 ) 8 8 4
y x z y
zx

  


3
11
3
(1 )(1 ) 8 8 4
z x y z
xy

  


Cộng theo vế rồi rút gọn ta có:
3 3 3
3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
xyz
y z z x x y
   
     
3
3
3

2 2 2
xyz
x y z


vậy
3 3 3
3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
xyz
y z z x x y
  
     


3


Bài 4: Cho a, b, c, d >0 và ab+bc+cd+da = 1, chứng minh rằng:
3 3 3 3
1
3
a b c d
b c d c d a a b d a b c
   
       

Ta có (a + b + c + d)
2
= [(a + c)+(b + d)]

2
≥4(a + c)(b + d)
= 4(ab + bc + cd + da) = 4

a + b + c + d ≥ 2 ( a, b, c, d >0)
3
12
8 6 12 3
a b c d a a
b c d

   


Tương tự ta có
3
12
8 6 12 3
b a c d b b
c d a

   


3
12
8 6 12 3
c a b d c c
a b d


   


3
12
8 6 12 3
d a b c d d
abc

   


Cộng theo vế các bất đẳng thức ta có:
3 3 3 3
1 2 1 1
3 3 3 3 3
a b c d a b c d
b c d c d a a b d a b c
  
       
       

vậy
3 3 3 3
1
3
a b c d
b c d c d a a b d a b c
   
       




Bài 5: Cho a, b, c>0, chứng minh rằng:
2
1 1 1 27
( ) ( ) ( ) 2( )a a b b b c c a c a b c
  
    
(1)
Giải:
VT(1) ≥
3
3
3
13
3
( )( )( )
( )( )( )
abc a b b c c a
abc a b b c c a

  
  


4
2
3 27
2( )

2( )
*
33
a b c a b c
abc

   


Dấu ‘=’ xảy ra


abc
a b b c c a



    


a=b=c


Bài 6:Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta luôn có:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc a c abc abc
  
     


Giải

a, b, c >0 ta luôn có
(a - b)
2
(a + b) ≥0

(a - b)(a
2
- b
2
) ≥0

a
3
+b
3
-a
2
b-ab
2
≥0

a
3
+b
3
≥ a
2
b+ab

2

a
3
+b
3
≥ab(a+b)

33
()
abc abc c
a b abc ab a b abc a b c

     

Tương tự ta có
33
()
abc abc a
b c abc bc b c abc a b c

     

33
()
abc abc b
a c abc ac a c abc a b c

     


Cộng theo vế ta có:
3 3 3 3 3 3
1
abc abc abc a b c
a b abc b c abc a c abc a b c

   
       


3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc a c abc abc
  
     



Bài 7: Cho các số thực dương x, y, z dương thoả mãn điều kiện
x
2
+ y
2
+z
2
=3. Chứng minh rằng:
3
xy yz zx
z x y
  

(1)

5
Giải : Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
x y y z z x x y y z x y z x y z z x
z x y z x z y x y
       
       
       
       

 
2 2 2
2 x y z   
2 2 2 2 2 2
2 2 2
x y y z z x
z x y


2 2 2
x y z

VT(1) bình phương ta được:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
x y y z z x

z x y

 
2 2 2
+ 2 x y z 


2 2 2
x y z
 
2 2 2
+ 2 x y z 
=
 
2 2 2
3 x y z
=VP(1) bình
phương
Lấy căn bậc hai hai vế (hai vế đều dương) ta được điều phải chứng
minh


Bài 8:Cho các số dương x, y, z có tích bằng 1. Chứng minh rằng:
5 5 5 5 5 5
1
xy yz xz
x xy y y y z x xz z
  
     


Giải:

x, y, z dương ta luôn có: (x-y)
2
(x+y)(x
2
+xy+y
2
)

0

(x
2
-y
2
)(x
3
-y
3
)

0

x
5
-y
5

x

2
y
2
(x+y)
55
xy
x xy y



 
22
x y x y
xy
xy 
1
1 ( )
z
xy x y x y z

   

Tương tự ta có
 
22
yy
yz x
zy z z x y z

   

,
 
22
xz y
zx z x z x x y z

   

cộng theo vế các bất đẳng thức ta có
5 5 5 5 5 5
1
xy yz xz x y z
x xy y y y z x xz z x y z

   
       




6
Bài 9: Cho các số thực dương x
1
, x
2
, , x
n
thoả mãn

12

1 1 1
1
1 1 1
n
x x x
   
  

Chứng minh rằng: x
1
.x
2
x
n

(n-1)
n

Giải:Ta có
1
1
1 1 2
23
1 1 1 1
1
1 1 1 1
(1 )(1 ) (1 )
n
n
n

x
n
x x x x
x x x



     

   
  


2
1
2 2 1
13
1 1 1 1
1
1 1 1 1
(1 )(1 ) (1 )
n
n
n
x
n
x x x x
x x x




     

   
  


1
11
1 2 1
1 1 1 1
1
1 1 1 1
(1 )(1 ) (1 )
n
n
n n n
n
x
n
x x x x
x x x





     

   

  


Nhân hai vế của n bất đẳng thức trên ta có:
    
 
 
12
1
1
12
1 2 3
1
.
1 1 1
(1 )(1 )(1 ) (1 )
n
n
n
n
n
n
n
x x x
x x x
x x x x





  
   


x
1
.x
2
x
n

(n-1)
n



Bài 10: Cho các số dương a, b, c, d thoã mãn điều kiện a+b+c+d=4.
Chứng minh rằng:
2 2 2 2
2
1 1 1 1
a b c d
b c c d d a a b
   
   

Giải:
Ta có:

7

22
22
. . ( )
1 1 2 2 4
2
a ab c ab c ab c b a a c b a ac
a a a a a
b c b c
bc

         

2
14
a ba abc
a
bc




Tương tự ta có:
2
14
b bc bcd
b
cd




,
2
14
c cd cda
c
cd



,
2
14
d da dab
d
da




Cộng theo vế 4 bất đẳng thức trên ta có:
2 2 2 2
1 1 1 1
a b c d
b c c d d a a b
   
   

 
1
4

a b c d ab bc cd da abc bcd cda dab          

Mặt khác ta có:
4
2
= (a+b+c+d)
2

4(a+c)(b+d) = 4(ab+bc+cd+da)
hay ab+bc+cd+da

a+b+c+d
Tương tự abc+bcd+cda+dab

a+b+c+d
vậy
2 2 2 2
1 1 1 1
a b c d
b c c d d a a b
   
   
 
1
2
a b c d a b c d      

=
11
( ) .4 2

22
a b c d    
(điều phải chứng minh)


Bài 11:Cho các số dương a, b, c có tổng bằng 3, chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
1
2 2 2
a b c
a b b c c a
  
  

Giải:

8
 
 
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
3 3 3 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
abc
a b c
a b b c c a

a b c a b b c c a

  
  
    

Do đó ta chỉ cần chứng minh
(a
2
+b
2
+c
2
)
2


a
3
+ b
3
+ c
3
+2(a
2
b
2
+ c
2
b

2
+ a
2
c
2
)

a
4
+ b
4
+ c
4

a
3
+ b
3
+ c
3

Thật vậy
3(a
3
+ b
3
+ c
3
) = (a
3

+ b
3
+ c
3
)(a+b+c)

(a
2
+b
2
+c
2
)
2


(a
2
+b
2
+c
2
)(1+1+1)

(a+b+c)
2
=9
Do đó a
2
+b

2
+c
2

3, suy ra a
3
+ b
3
+ c
3


a
2
+b
2
+c
2

(a
4
+ b
4
+ c
4
)( a
2
+b
2
+c

2
)

(a
3
+ b
3
+ c
3
)
2

a
4
+ b
4
+ c
4

a
3
+ b
3
+ c
3

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1


Bài 12: Giả sử x


y

z

0, chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
x y y z z x
x y z
z x y
    

Giải:Từ giả thiết ta có:
2 2 2 2 2 2
x y y z z x x z y x z y
z x y y z x
    

    
0
xy yz zx x y y z x z
xyz
    


2 2 2 2 2 2
x y y z z x x z y x z y
z x y y z x
     


2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
x y y z z x x y y z z x x z y x z y
z x y z x y y z x
    
       
    
    

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwars ta có:
 
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
x y y z z x x z y x z y
x y z
z x y y z x
  
      
  
  


9
 
2
2 2 2
2
2 2 2

x y y z z x
x y z
z x y

     



 
2 2 2
2 2 2
, , 0
x y y z z x
x y z x y z
z x y
     



Bài 13:Giả sử x, y, z

1 và
1 1 1
2
x y z
  
, chứng minh rằng:
1 1 1x y z x y z       

Giải:

Ta có:
1 1 1
2
x y z
  
1 1 1
1
x y z
x y z
  
   


Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwars ta có:
x+y+z=( x+y+z)
1 1 1x y z
x y z

  



 
2
1 1 1x y z     


1 1 1x y z x y z       

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=3/2



Bài 14:Chứng minh rằng nếu a, b, c

1 và abc=1 ta luôn có:
1 1 1
1
2 2 2abc
  
  

Giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
2 2 2
1 1 1 1
2 2 2abc
     
  
1
2 2 2
abc
abc
   
  

Luôn tồn tại các số thực dương x, y, z sao cho a = x/y, b = y/z, c = z/x.
Khi đó bất đẳng thức trên trở thành:

10
/ / /
1

2 / 2 / 2 /
1
2 2 2
x y y z z x
x y y z z x
x y z
x y y z z x
  
  
   
  


theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
 
2
1
2 2 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
x y z
x y z
x y y z z x x x y y y z z z x

   
       
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z hay a = b = c= 1


Bài 15:Cho các số thực không âm a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh
rằng:
3 3 3

1
2 2 2
a b c
a b b c c a
  
  


Giải:Xét các biểu thức:
S=
3 3 3
2 2 2
a b c
a b b c c a

  


2
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) 1P a a a b b c c c a a b c         
Theo bất đẳng thức Holder ta có:
S
3
.P

(a +b +c)
4

S
3


(a +b +c)
2
= 1

S

1
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1/3

Bài 16: Cho a
1
,

a
2
, ,

a
n
dương và có tổng bằng 1, tìm GTNN của biếu
thức:
12
12

1 1 1
n
n
a
aa

a a a
  
  

Giải:

11
12
12

1 1 1
n
n
a
aa
A
a a a
   
  

B = a
1
(1 - a
1
) + a
2
(1 – a
2
) + + a
n

(1 – a
n
)
Theo bất đẳng thức Holder ta có : A
2
B

(a
1
+ a
2
+ + a
n
)
3
= 1
Dễ thấy B =1-(a
1
2
+ a
2
2
+ + a
n
2
)≤ 1-
 
2
1 2 n
a a a

1n
nn
  



do đó
1n
A
n


Đẳng thức xáy ra khi a
i
=
1
1,in
n



Bài 17: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn xy + yz + zx = 1.
Chứng minh :
1 1 1 1
2
2x y y z z x
   
  

Giả sử x = max(x, y, z) và đặt a = y + z > 0 ta có ax = 1 – yz


1

1
x
a


Xét hàm số sau
 
2
2
1 1 1 1 2 2 1
1
x y z x
fx
x
x y y z z x y z
   
    

   

2
2
1 2 2 1
1
x a x
x
a

  



Mặt khác:
 
 


22
'
3
22
1
0,
1 2 2 1
yz x x x
fx
x x a x
  

   
nên
 
fx
nghịch biến
Ta có
 
2
11

1
a
f x f a
aa
a

   





12
 
 
   
2
2
22
1
11
12
2
2 1 2 1
a
a
a
a a a




    

  



Nên
 
11
2
2
f x f
a

  



Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y =1, z = 0 hoặc các hoán
vị






×