Tài liệu MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC pptx

1


MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c ta có:
3
2
a b c
b c c a a b
  
  

Giải:
Xét các biểu thức sau
a b c
S
b c c a a b

  

b c a
A
b c c a a b

  

c a b
B
c b c a a b


  

Ta có A + B = 3. Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy thì:
3
a b b c c a
SA
b c c a a b
  
    
  


3
a b b c c a
SA
b c c a a b
  
    
  

Cộng theo vế ta có
A + B +2S ≥3

S≥
3
2
(Điều phải chứng minh)

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c, d ta có:
2
a b c d
b c c d d a a b
   
   

Giải : Đặt
a b c d
S
b c c d d a a b
   
   

b c a a
A
b c c d d a a b
   
   

c d a b
B
b c c d d a a b
   
   

Theo bất đẳng thức Cauchy thì:

2
4

a b b c c d d a
SB
b c c d d a a b
   
     
   

a c b d c a d b
SA
b c c d d a a b
   
    
   

a c c a b d d b
b c d a c d a b
   
   
   


4( )ac
a b c d


  
4( )
4
bd
a b c d



  

Cộng theo vế ta có A+B+2S ≥8 mà A+B=4 vậy S≥ 4 (Điều phải chứng
minh)


Bài 3: Cho x, y, z >0 và xyz = 1, chứng minh rằng:
3 3 3
3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
xyz
y z z x x y
  
     

Ta có:
3
11
3
(1 )(1 ) 8 8 4
x y z x
yz

  


Tương tự ta có:
3

11
3
(1 )(1 ) 8 8 4
y x z y
zx

  


3
11
3
(1 )(1 ) 8 8 4
z x y z
xy

  


Cộng theo vế rồi rút gọn ta có:
3 3 3
3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
xyz
y z z x x y
   
     
3
3
3

2 2 2
xyz
x y z


vậy
3 3 3
3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
xyz
y z z x x y
  
     


3


Bài 4: Cho a, b, c, d >0 và ab+bc+cd+da = 1, chứng minh rằng:
3 3 3 3
1
3
a b c d
b c d c d a a b d a b c
   
       

Ta có (a + b + c + d)
2
= [(a + c)+(b + d)]

2
≥4(a + c)(b + d)
= 4(ab + bc + cd + da) = 4

a + b + c + d ≥ 2 ( a, b, c, d >0)
3
12
8 6 12 3
a b c d a a
b c d

   


Tương tự ta có
3
12
8 6 12 3
b a c d b b
c d a

   


3
12
8 6 12 3
c a b d c c
a b d


   


3
12
8 6 12 3
d a b c d d
abc

   


Cộng theo vế các bất đẳng thức ta có:
3 3 3 3
1 2 1 1
3 3 3 3 3
a b c d a b c d
b c d c d a a b d a b c
  
       
       

vậy
3 3 3 3
1
3
a b c d
b c d c d a a b d a b c
   
       

Bài 5: Cho a, b, c>0, chứng minh rằng:
2
1 1 1 27
( ) ( ) ( ) 2( )a a b b b c c a c a b c
  
    
(1)
Giải:
VT(1) ≥
3
3
3
13
3
( )( )( )
( )( )( )
abc a b b c c a
abc a b b c c a

  
  


4
2
3 27
2( )

2( )
*
33
a b c a b c
abc

   


Dấu ‘=’ xảy ra


abc
a b b c c a



    


a=b=c


Bài 6:Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta luôn có:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc a c abc abc
  
     

Giải

a, b, c >0 ta luôn có
(a - b)
2
(a + b) ≥0

(a - b)(a
2
- b
2
) ≥0

a
3
+b
3
-a
2
b-ab
2
≥0

a
3
+b
3
≥ a
2
b+ab

2

a
3
+b
3
≥ab(a+b)

33
()
abc abc c
a b abc ab a b abc a b c

     

Tương tự ta có
33
()
abc abc a
b c abc bc b c abc a b c

     

33
()
abc abc b
a c abc ac a c abc a b c

     

Cộng theo vế ta có:
3 3 3 3 3 3
1
abc abc abc a b c
a b abc b c abc a c abc a b c

   
       


3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc a c abc abc
  
     



Bài 7: Cho các số thực dương x, y, z dương thoả mãn điều kiện
x
2
+ y
2
+z
2
=3. Chứng minh rằng:
3
xy yz zx
z x y
  

(1)

5
Giải : Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
x y y z z x x y y z x y z x y z z x
z x y z x z y x y
       
       
       
       

 
2 2 2
2 x y z   
2 2 2 2 2 2
2 2 2
x y y z z x
z x y


2 2 2
x y z

VT(1) bình phương ta được:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
x y y z z x

z x y

 
2 2 2
+ 2 x y z 


2 2 2
x y z
 
2 2 2
+ 2 x y z 
=
 
2 2 2
3 x y z
=VP(1) bình
phương
Lấy căn bậc hai hai vế (hai vế đều dương) ta được điều phải chứng
minh


Bài 8:Cho các số dương x, y, z có tích bằng 1. Chứng minh rằng:
5 5 5 5 5 5
1
xy yz xz
x xy y y y z x xz z
  
     

Giải:

x, y, z dương ta luôn có: (x-y)
2
(x+y)(x
2
+xy+y
2
)

0

(x
2
-y
2
)(x
3
-y
3
)

0

x
5
-y
5

x

2
y
2
(x+y)
55
xy
x xy y



 
22
x y x y
xy
xy 
1
1 ( )
z
xy x y x y z

   

Tương tự ta có
 
22
yy
yz x
zy z z x y z

   

,
 
22
xz y
zx z x z x x y z

   

cộng theo vế các bất đẳng thức ta có
5 5 5 5 5 5
1
xy yz xz x y z
x xy y y y z x xz z x y z

   
       




6
Bài 9: Cho các số thực dương x
1
, x
2
, , x
n
thoả mãn

12

1 1 1
1
1 1 1
n
x x x
   
  

Chứng minh rằng: x
1
.x
2
x
n

(n-1)
n

Giải:Ta có
1
1
1 1 2
23
1 1 1 1
1
1 1 1 1
(1 )(1 ) (1 )
n
n
n

x
n
x x x x
x x x



     

   
  


2
1
2 2 1
13
1 1 1 1
1
1 1 1 1
(1 )(1 ) (1 )
n
n
n
x
n
x x x x
x x x




     

   
  


1
11
1 2 1
1 1 1 1
1
1 1 1 1
(1 )(1 ) (1 )
n
n
n n n
n
x
n
x x x x
x x x





     

   

  


Nhân hai vế của n bất đẳng thức trên ta có:
    
 
 
12
1
1
12
1 2 3
1
.
1 1 1
(1 )(1 )(1 ) (1 )
n
n
n
n
n
n
n
x x x
x x x
x x x x





  
   


x
1
.x
2
x
n

(n-1)
n



Bài 10: Cho các số dương a, b, c, d thoã mãn điều kiện a+b+c+d=4.
Chứng minh rằng:
2 2 2 2
2
1 1 1 1
a b c d
b c c d d a a b
   
   

Giải:
Ta có:

7

22
22
. . ( )
1 1 2 2 4
2
a ab c ab c ab c b a a c b a ac
a a a a a
b c b c
bc

         

2
14
a ba abc
a
bc




Tương tự ta có:
2
14
b bc bcd
b
cd




,
2
14
c cd cda
c
cd



,
2
14
d da dab
d
da




Cộng theo vế 4 bất đẳng thức trên ta có:
2 2 2 2
1 1 1 1
a b c d
b c c d d a a b
   
   

 
1
4

a b c d ab bc cd da abc bcd cda dab          

Mặt khác ta có:
4
2
= (a+b+c+d)
2

4(a+c)(b+d) = 4(ab+bc+cd+da)
hay ab+bc+cd+da

a+b+c+d
Tương tự abc+bcd+cda+dab

a+b+c+d
vậy
2 2 2 2
1 1 1 1
a b c d
b c c d d a a b
   
   
 
1
2
a b c d a b c d      

=
11
( ) .4 2

22
a b c d    
(điều phải chứng minh)


Bài 11:Cho các số dương a, b, c có tổng bằng 3, chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
1
2 2 2
a b c
a b b c c a
  
  

Giải:

8
 
 
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
3 3 3 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
abc
a b c
a b b c c a

a b c a b b c c a

  
  
    

Do đó ta chỉ cần chứng minh
(a
2
+b
2
+c
2
)
2


a
3
+ b
3
+ c
3
+2(a
2
b
2
+ c
2
b

2
+ a
2
c
2
)

a
4
+ b
4
+ c
4

a
3
+ b
3
+ c
3

Thật vậy
3(a
3
+ b
3
+ c
3
) = (a
3

+ b
3
+ c
3
)(a+b+c)

(a
2
+b
2
+c
2
)
2


(a
2
+b
2
+c
2
)(1+1+1)

(a+b+c)
2
=9
Do đó a
2
+b

2
+c
2

3, suy ra a
3
+ b
3
+ c
3


a
2
+b
2
+c
2

(a
4
+ b
4
+ c
4
)( a
2
+b
2
+c

2
)

(a
3
+ b
3
+ c
3
)
2

a
4
+ b
4
+ c
4

a
3
+ b
3
+ c
3

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1


Bài 12: Giả sử x


y

z

0, chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
x y y z z x
x y z
z x y
    

Giải:Từ giả thiết ta có:
2 2 2 2 2 2
x y y z z x x z y x z y
z x y y z x
    

    
0
xy yz zx x y y z x z
xyz
    


2 2 2 2 2 2
x y y z z x x z y x z y
z x y y z x
     

2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
x y y z z x x y y z z x x z y x z y
z x y z x y y z x
    
       
    
    

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwars ta có:
 
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
x y y z z x x z y x z y
x y z
z x y y z x
  
      
  
  


9
 
2
2 2 2
2
2 2 2

x y y z z x
x y z
z x y

     



 
2 2 2
2 2 2
, , 0
x y y z z x
x y z x y z
z x y
     



Bài 13:Giả sử x, y, z

1 và
1 1 1
2
x y z
  
, chứng minh rằng:
1 1 1x y z x y z       

Giải:

Ta có:
1 1 1
2
x y z
  
1 1 1
1
x y z
x y z
  
   


Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwars ta có:
x+y+z=( x+y+z)
1 1 1x y z
x y z

  



 
2
1 1 1x y z     


1 1 1x y z x y z       

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=3/2

Bài 14:Chứng minh rằng nếu a, b, c

1 và abc=1 ta luôn có:
1 1 1
1
2 2 2abc
  
  

Giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
2 2 2
1 1 1 1
2 2 2abc
     
  
1
2 2 2
abc
abc
   
  

Luôn tồn tại các số thực dương x, y, z sao cho a = x/y, b = y/z, c = z/x.
Khi đó bất đẳng thức trên trở thành:

10
/ / /
1

2 / 2 / 2 /
1
2 2 2
x y y z z x
x y y z z x
x y z
x y y z z x
  
  
   
  


theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
 
2
1
2 2 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
x y z
x y z
x y y z z x x x y y y z z z x

   
       
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z hay a = b = c= 1


Bài 15:Cho các số thực không âm a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh
rằng:
3 3 3

1
2 2 2
a b c
a b b c c a
  
  


Giải:Xét các biểu thức:
S=
3 3 3
2 2 2
a b c
a b b c c a

  


2
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) 1P a a a b b c c c a a b c         
Theo bất đẳng thức Holder ta có:
S
3
.P

(a +b +c)
4

S
3


(a +b +c)
2
= 1

S

1
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1/3

Bài 16: Cho a
1
,

a
2
, ,

a
n
dương và có tổng bằng 1, tìm GTNN của biếu
thức:
12
12

1 1 1
n
n
a
aa

a a a
  
  

Giải:

11
12
12

1 1 1
n
n
a
aa
A
a a a
   
  

B = a
1
(1 - a
1
) + a
2
(1 – a
2
) + + a
n

(1 – a
n
)
Theo bất đẳng thức Holder ta có : A
2
B

(a
1
+ a
2
+ + a
n
)
3
= 1
Dễ thấy B =1-(a
1
2
+ a
2
2
+ + a
n
2
)≤ 1-
 
2
1 2 n
a a a

1n
nn
  



do đó
1n
A
n


Đẳng thức xáy ra khi a
i
=
1
1,in
n



Bài 17: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn xy + yz + zx = 1.
Chứng minh :
1 1 1 1
2
2x y y z z x
   
  

Giả sử x = max(x, y, z) và đặt a = y + z > 0 ta có ax = 1 – yz


1

1
x
a


Xét hàm số sau
 
2
2
1 1 1 1 2 2 1
1
x y z x
fx
x
x y y z z x y z
   
    

   

2
2
1 2 2 1
1
x a x
x
a

  



Mặt khác:
 
 


22
'
3
22
1
0,
1 2 2 1
yz x x x
fx
x x a x
  

   
nên
 
fx
nghịch biến
Ta có
 
2
11

1
a
f x f a
aa
a

   





12
 
 
   
2
2
22
1
11
12
2
2 1 2 1
a
a
a
a a a




    

  



Nên
 
11
2
2
f x f
a

  



Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y =1, z = 0 hoặc các hoán
vị