Tài liệu Chuyên đề luyện thi ĐH giải phương trình lượng giác pptx

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC - LƢỢNG GIÁC



MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
Trong các đề thi đại học những năm gần đây , đa số các bài toán về giải phƣơng trình
lƣợng giác đều rơi vào một trong hai dạng :phƣơng trình đƣa về dạng tích và phƣơng
trình chứa ẩn ở mẫu . Nhằm giúp các bạn ôn thi có kết quả tốt , bài viết này tôi xin giới
thiệu một số kĩ năng quan trọng của dạng toán đó
I.PHƢƠNG TRÌNH ĐƢA VỀ DẠNG TÍCH
1, Phương trình sử dụng các công thức biến đổi lượng giác : công thức biến tích thành tổng,
tổng thành tích , công thức hạ bậc ,…
Bài 1. Giải phương trình : sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x=0 (1)
Giải

       
 
1 sin6x sin x sin5x sin 2x sin4x sin3x 0
7x 5x x 3x 7x 3x
2sin cos cos cos 0 4sin cos 2cosx+1 0
2 2 2 2 2 2
k2
7x
x
sin 0
7
2
3x k2
cos 0 x ;k Z
2 3 3
2cosx+1 0

2
x k2
3
      


     
















     









   





*Lƣu ý : Khi ghép cặp để ra tổng ( hoặc hiệu ) sin ( hoặc cos ) cần để ý đến góc để sao cho
tổng hoặc hiệu các góc bằng nhau
Bài 2 . Giải phương trình :
33
2 3 2
cos3xcos x sin3xsin x
8


(2)
Giải

     
   
   
22
2 2 2 2 2
1 1 2 3 2
2 cos x cos4x cos2x sin x cos2x cos4x
2 2 8
2 3 2 2 3 2
cos4x cos x sin x cos2x cos x sin x cos4x cos 2x

44
2k
4cos4x 2 1 cos4x 2 3 2 cos4x x k Z
2 16 2

    

       

           

*Lƣu ý : Việc khéo léo sử dụng công thức biến tích thành tổng có thể giúp ta tránh được việc
sử dụng công thức nhân 3
Bài 3 . Giải phương trình :
22
2cos 2x 3cos4x 4cos x 1
4


   


(3)
Giải
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC - LƢỢNG GIÁC



 
 

22
3 1 cos 4x 3cos4x 4cos x 1 sin 4x 3cos4x 2 2cos x 1
2
xk
13
12
sin 4x cos4x cos2x cos 4x cos2x ,k Z
k
2 2 6
x
36 3


         




  



       










2,Phương trình sử dụng một số biến đổi khác
Việc đưa phương trình về dạng tích điều quan trọng nhất vẫn là làm sao để phát hiện ra
nhân tử chung nhanh nhất , sau đây là một số biến đổi có thể giúp ta làm được điều đó

     
  
 
 
22
2
2
sin x 1 cosx 1 cosx , cos x 1 sin x 1 sin x
cos2x cosx sin x cosx sin x
1 cos2x sin 2x 2cosx(sin x cosx)
1 sin2x sin x cosx
1 cos2x sin 2x 2sin x(sin x cosx)
1 sin 2x sin x cosx
sin x cosx
1 tan x
cosx
2 sin x
      
  
   
   
   
  


  
 sin x cosx
4


  



Bài 4 . Giải phương trình :
2sinx(1 cos2x) sin2x 1 2cosx   
(4)
Giải
Cách 1 :
    
2
4 2sinx2cos x 2sinxcosx 1 2cosx 2cosx 1 2sinxcosx 1 0       


1
cosx
2
sin 2x 1








phần còn lại dành cho bạn đọc
Cách 2 :
 
4 2sinxcos2x (1 sin2x) 2(cosx sinx) 0     


      
2
2sin x cosx sinx cosx sinx cosx sinx 2 cosx sinx 0       


 
 
2
cosx sin x 2sinxcosx 2sin x cosx sinx 2 0      


 
 
2
cosx sinx 2sinxcosx 2cos x cosx sinx 0     
phần còn lại dành cho bạn đọc
Bài 5 .Giải phương trình :
cos2x 3sin2x 5sinx 3cosx 3   
(5)
Giải

 
2
5 (6sinxcosx 3cosx) (2sin x 5sin x 2) 0

3cosx(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x 2) 0
(2sin x 1)(3cosx sin x 2) 0
     
     
    

Phương trình này tương đương với 2 phương trình cơ bản ( dành cho bạn đọc )
II. PHƢƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC - LƢỢNG GIÁC


Với loại phương trình này khi giải rất dễ dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm , điều quan trọng
nhất của dạng này là đặt điều kiện và kiểm tra điều kiện xác định.Thông thường ta hay dùng
đường tròn lượng giác để loại nghiệm.
Ngoài ra , ta cũng gặp nhiều phương trình chứa tan , cot . Khi đó , có thể sử dụng một số
công thức

   
   
sin a b sin b a
tana tan b cota cotb=
cosa cosb cosa cosb
cos a b cos a b
tana cot b tana-cotb=
cosasin b cosasin b
2
tana cota c
sin 2a

    

  
   
   
   
ota tana 2cot 2a
cos a b cos a b
1 tana tan b 1 tana tan b
cosa cosb cosa cosb

  
     

Cần lưu ý các điều kiện xác định của từng công thức

Bài 6 . Giải phương trình :
2cos4x
cot x tan x
sin2x

(6)
Giải .
ĐK :
sin x 0
k
cosx 0 sin 2x 0 x ,k Z
2
sin2x 0





     






 
xl
2cos4x 2cos2x 2cos4x
6 cot x tanx cos4x cos2x ,l Z
l
sin2x sin 2x sin2x
x
3



        





Kiểm tra điều kiện ta được
x l ,l Z
3

    

Bài 7 . Giải phương trình :
   
32
2
4cos x 2cos x 2sin x 1 sin2x 2 sin x cosx
0
2sin x 1
    


(7)
Giải .
ĐK :
2
k
2sin x 1 0 cos2x 0 x ,k Z
42

       


       
   
2
7 4cos x sin x cosx 2cosx sin x cosx 2 sin x cosx 0
xm
4
2 sinx cosx cosx 1 2cosx 1 0 x m2 ,m Z
2

x m2
3
      


   


        



   



CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC - LƢỢNG GIÁC


Kiểm tra điều kiện ta được nghiệm
m2
x ,m Z
3



Bài 8. Giải phương trình :
2
3tan3x cot2x 2tanx
sin4x

  
(8)
Giải
ĐK :
cos3x 0
k
x
sin2x 0
63
,k Z
cosx 0
k
x
4
sin 4x 0





















(*)

     
 
2 2sin 2x cosx 2
8 2 tan3x tanx tan3x cot 2x
sin 4x cos3xcosx cos3xsin 2x sin 4x
4sin 4xsin x 2cos2xcosx 2cos3x 4sin4xsin x cos3x cosx 2cos3x
4sin 4xsin x cos3x cosx 8sin 2xcos2xsin x 2sin 2xsin x do (*)
cos2x
       
      
     

1 1 1
x arccos m ,m Z
4 2 4


      


nghiệm này thoả mãn ĐK

BÀI TẬP TỰ LUYỆN


CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC - LƢỢNG GIÁC


2
3
1,cos3x cos2x cosx 1 0
2, 2 2 sin x cosx 1
12
3,(1 tan x)(1 sin2x) 1 tan x
11
4,sin 2x sin x 2cot 2x
sin 2x 2sin x
5,sin 2x cos2x 3sin x cosx 2 0
x
6,tan x cosx cos x sin x 1 tan x tan

2
7,2 2cos x 3cosx si
4
   





   
   
    

   




  


 
33
22
2
n x 0
2 cosx sin x
1
8,
tan x cot 2x cot x 1

1
9,cosxcos2xcos3x sin xsin2xsin3x
2
10,sin x cos x cos2x tan x tan x
44
11,tan x tan 2x sin3xcos2x
x7
12,sin xcos4x sin 2x 4sin
4 2 2
xx
13,sin sin x cos sin
22






   
   
   
   
  


   



 

2
2
2 3 3 2
x
x 1 2cos
42
14,2sin x cot x 2sin 2x 1
sin 3x
15,sin x cos3xsin x sin3xcos x sin xsin 3x
3sin 4x


  


  
  