Tài liệu Kỹ thuật thông tin quang - Mode sóng pdf

KYÕ THUAÄT THOÂNG TIN QUANGKYÕ THUAÄT THOÂNG TIN QUANG
MODE SOÙNG
1
NỘI DUNG
 Cơ sở toán học
 He
ä

p
hươn
g
trình Maxwell
äp g
 Truyền ánh sáng trong ống dẫn sóng phẳng

Truye
à
na
ù
nh sa
ù
ng trong sơi quang

Truyen

anh

sang

trong

sơ
ï
i

quang
2
CƠ SỞ TOÁN HỌC
 Hệ toạ độ vuông góc Oxyz:
A = A(x,y,z) = A
x
e
x
+ A
y
e
y
+ A
z
e
z
x
yz
eee
xy
z
∂∂∂
∇= + +
∂∂∂
A
∂

(toán tử nabla)
xyz
e e e
x
yz
fff
f
eee
xy
z
∂
∂∂
∇= + +
∂∂∂
y
x
z
A
A
A
AdivA
xy
z
∂
∂
∂
∇⋅ = = + +
∂
∂∂
xyz

AAA
ArotA
xyz
∂∂∂
∇× = =
∂∂∂
3
xyz
=
AA
yy
AAAA
zzxx
xyz
A

A

A
eee
yz xz xy
⎛⎞ ⎛ ⎞
⎛⎞
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎜⎟
⎜⎟

⎜⎟ ⎜ ⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠
⎝⎠ ⎝ ⎠
∂∂
∂∂∂∂
−−−+−
∂∂ ∂∂ ∂∂
CƠ SỞ TOÁN HỌC
 Hệ toạ độ trụ (r,φ,z)
A = A(r,φ,z) = A
r
e
r
+ A
φ
e
φ
+ A
z
e
z
∂∂∂
1
fff
∂∂∂
rz
eee
rz
φ

φ
∂∂∂
∇= + +
∂∂ ∂
1
rz
fff
f
eee
rr z
φ
φ
∂∂∂
∇= + +
∂∂∂
()
11
rz
A
rA A
AdiA
φ
∂
∂
∂
∇++
rz
11
e e e
rr

φ
()
rz
Adi
v
A
rr r z
φ
φ
∇
⋅= =
++
∂
∂∂
rr


ArAA
ArotA
xyz
∂∂∂
∇× = =
∂∂∂
4
xyz
AA
AA
AA
11
zzr r

=
rz
rr
A

rA

A
ee e
zrz r
φφ
φ
φφ
⎛⎞ ⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
∂∂
∂∂
∂∂
−−−+−
∂∂ ∂∂ ∂ ∂
CƠ SỞ TOÁN HỌC

 Biến đổi giữa hệ toạ độ vuông góc và hệ toạ độ trụ:
x = rcosφ y = rsinφ z=z
 Đẳn
g
thức vectơ:
2
()()
AAA
∇× ∇×
=
∇∇
⋅−
∇
()()
AAA
∇× ∇× ∇ ∇ ∇
5
HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL
B
∂
 Hệ PT Maxwell:
B
E
t
D
HJ
t
∂
∇× =−
∂

∂
∇× = +
∂
Trong đo
ù
:
0
t
D
B
ρ
∂
∇⋅ =
∇
⋅=
Trong

đo:
− E: vectơ cường độ điện trường (
V/m
); H: vectơ cường độ từ trường (
A/m
)
− D: vectơ cảm ứng điện (
C/m
2
); D = εE = ε
r
ε
0

E
− B: vectơ cảm ứng từ (
H/m
2
); B = μH = μ
r
μ
0
H
èá û
9
− ε
0
: ha
è
n
g
so
á
điện môi cu
û
a chân khôn
g
; ε
0
= (1/36
π
).10
-
9

(
F/
m
)
− ε
r
: hằng số điện môi tương đối của môi trường so với chân không
− μ
0
: độ từ thẩm của chân không; μ
0
= 4π.10
-7
(H
/m
)
−
μ
r
: đo
ä
từ thẩm tn
g
đối của môi trườn
g
so với chân khôn
g
6
μ

r
äg g g
− ρ: mật đô điện tích của môi trường (C/m
3
)
− J: mật độ dòng điện (
A/m
2
), J=σE với σ(A/V.m) là dộ dẫn điện của môi trường
HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL
 Vận tốc ánh sán
g
tru
y
ền tron
g
chân khôn
g
:
8
97 16
11 1
3.10 ( / )
(1 36 ) 10 4 10 (1 9) 10
cms
εμ
ππ
−− −
== = =
×

 Vận tốc ánh sáng truyền trong môi trường có chiết suất n:
11 11c
00
(1 36 ) 10 4 10 (1 9) 10
εμ
ππ
⋅×
⋅⋅
tron
g
đó là chiết suất của môi trườn
g
00 00rr rr
v
n
εμ ε ε μ μ ε μ ε μ
== = ⋅ =
rr
n
εμ
=
gg
 Quan hệ giữa , tần số f, tần số góc ω và bước sóng λ
m
:
ω = 2πf λf = c λ
m
f = v
rr
μ

7
tron
g
đó,
λ
và
λ
m
là bước són
g
của ánh sán
g
tron
g
chân
không và trong môi trường có chiết suất n Ỉ
λ
m
=
λ/n
TRUYE
À
NA
Ù
NH SA
Ù
NG
TRUYEN

ANH

SANG
TRONG ỐNG DẪN SÓNG PHẲNG
 Xét một ống dẫn sóng điện môi (
ρ
=0, J=0) phẳng (rộng 2d), chiết suất
n
1
, lý tưởng (đẳng hướng, tuyến tính, không suy hao):
x
z
d
y
0
Hướng truyền
n
1
n
2
< n
1
 Sóng điện từ truyền trong ống dẫn sóng điện môi phẳng này là sóng
điện tư
ø
ngang TEM: vectơ điện trươ
ø
ng E va
ø
vectơ tư
ø

trươ
ø
ng H vuo
â
ng
-d
điện

tư

ngang

TEM:

vectơ

điện

trương

E

va

vectơ

tư

trương

H

vuong

góc với nhau và vuông góc với hướng truyền
 Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như trên hình vẽ, trong đó z là hướng truyền
so
ù
ng mặt da
ã
nso
ù
ng na
è
m trong mặt pha
ú
ng y
ztaco
ù
:
8
song
,
mặt

dan

song

nam

trong

mặt

phang

y
-
z
,
ta

co:
E
x
= 0 E
z
= 0 E(x,y,z)=E
y
;
(đồng nhất theo hướng y)
0
E
y
∂
=
∂
TRUYE
À

NA
Ù
NH SA
Ù
NG
TRUYEN

ANH

SANG
TRONG ỐNG DẪN SÓNG PHẲNG
úàá à
 Són
g
điện từ (ha
y
ánh sán
g
) pha
ú
n
g
có ta
à
n so
á
f lan tru
y
e
à

n
trong ống dẫn sóng (theo hướng z) thay đổi theo thời gian
và không gian, có thể được biểu diễn bởi phương trình
toán học sau:
A
E
: hằn
g
số của đie
ä
n trườn
g
()
(,)
j
tz
E
Ezt Ae
ω
γ
−
=
E
gäg
ω = 2πf : tần số góc
γ = α+β là hệ số truyền dẫn; α là hệ số suy hao; β = 2π/ λ
m
là hệ số
truyền dẫn pha của sóng điện từ trong môi trường đang xét.
Trong môi trường truyền dẫn lý tưởng

α
=0 Ỉ γ =
β
 Do đó:
()
() ()
j
tz
Ezt E zt Ae
ω
β
−
==
9
(
,
)(
,
)
yE
Ezt E zt Ae
==
()
(,) (,)
j
tz
xH
Hzt H zt Ae
ω
β

−
==
TRUYE
À
NA
Ù
NH SA
Ù
NG
TRUYEN

ANH

SANG
TRONG ỐNG DẪN SÓNG PHẲNG
 Hệ PT Maxwell dùng cho ống dẫn sóng phẳng đang xét,
có thể được viết lại như sau:
(1)
EjH
∇

(1)
(2 )
0 (3 )
EjH
HjE
D
ω
μ
ωε

∇
×=−
∇× =
∇⋅ =
 Lấy rot hai vế của PT (1) ta có:
0 (4 )B∇⋅ =
2
() ( ) (5)
Ej H E
ωμ ω εμ
∇× ∇×
=−
∇×
=
 Ta có:
() ( )

(5)
Ej H E
ωμ ω εμ
∇× ∇× ∇×
2
2
()()

(
do
(
3
))

EEE
E
∇× ∇× =∇ ∇⋅ −∇
=
−∇
10
 PT sóng:
∇
2
E + ω
2
εμ E = 0 (6)
(())
TRUYE
À
NA
Ù
NH SA
Ù
NG
TRUYEN

ANH

SANG
TRONG ỐNG DẪN SÓNG PHẲNG
 Ta có:
222
2
222

2
yyy
EEE
E
xyz
∂
∂∂
∇= + +
∂∂∂
2
2
2
= (7)
y
E
E
x
β
∂
−
∂
 Từ (6) và (7) ta có PT són
g
:
2
22
2
( ) 0 (8)
y
y

E
E
βωεμ
∂
−− =
∂
Ỉ Điều kiện để một sóng điện từ có thể truyền được trong
ốn
g
dẫn són
g

p
hẳn
g
cho trước
2
y
x
∂
11
ggpg
TRUYE
À
NA
Ù
NH SA
Ù
NG
TRUYEN

ANH

SANG
TRONG ỐNG DẪN SÓNG PHẲNG
 Biểu diễn sóng điện từ
và PT sóng cho thấy:
Sù đi øh đåi
đà høi
h høii()økh i()
()
(,) (,)
j
tz
yE
Ezt E zt Ae
ω
β
−
==
−
S
o
ù
ng
đi
ện tư
ø
t
h

ay
đ
o
åi

đ
o
à
ng t
h
ơ
øi
t
h
eo t
h
ơ
øi
g
i
an
(
t
)
va
ø

kh
ông g
i

an
(
z
)
− Các sóng điện từ khác nhau được đặc trưng bởi tần số f (hay tần số
góc ω=2πf) và bước sóng λ
m
trong một môi trường xác đònh (hay hệ
áàh
β
2
/
λ
)
so
á
truye
à
n p
h
a
β
=
2
π
/

λ
m
)

− Chỉ những sóng điện từ E(z,t) nào thoả PT sóng mới có thể truyền
được trong ống dẫn sóng Ỉ sóng truyền dẫn
− Với một ống dẫn sóng cho trước, nghiệm của PT sóng tương ứng
với các giá trò (ω, β) khác nhau được gọi là mode sóng
− Số lượng mode sóng truyền được trong ống dẫn sóng phụ thuộc vào
12
điều kiện cho trước của môi trường và ống dẫn sóng
− Phân bố trường của các mode sóng trong ống dẫn sóng có thể xác
đònh từ nghiệm của PT sóng.
TRUYE
À
NA
Ù
NH SA
Ù
NG
TRUYEN

ANH

SANG
TRONG ỐNG DẪN SÓNG PHẲNG
 Đònh nghóa: Mode sóng là một trạng thái truyền ổn đònh
của sóng điện từ trong ống dẫn sóng
 Giải PT són
g
(8):
− Trong ống dẫn sóng (-d≤x ≤ d), nghiệm của PT (8) có dạng:
E
y

= Acos
(
ux
)
hoa
ë
c E
y
= Asin
(
ux
)

y
() ë
y
()
với A: hằng số cường độ diện trường;
u
2
= β
2
1
- β
2
với β
1
= ω(ε
1
μ

1
)
1/2 =
ω n
1
/c
−
Ngoa
ø
io
á
ng da
ã
nso
ù
ng (x
≤
-
dhoặcx
≥
d), nghiệm cu
û
aPT(8)co
ù
dang:
Ngoai

ong

dan

song

(x
≤
d

hoặc

x
≥
d),

nghiệm

cua

PT

(8)

co

da
ï
ng:
E
y
= Ce
-wx

(x≥d) hoặc E
y
= Ce
wx
(x≤-d)
với C: hằng số cường độ diện trường;
w
2
=
β
2
β
2
vơ
ù
i
β
=
ω
(
ε
μ
)
1/2
=
ω
n
/c
13
w

=

β
-
β
2
vơi

β
2
=

ω
(
ε
2
μ
2
)
=

ω
n
2
/c
− Đối với sóng dẫn u và w phải là các số thực, nghóa là:
β
2
1
= ω

2
n
1
/c ≥ β
2
≥ β
2
2
= ω
2
ε
2
μ
2
= ω
2
n
2
/c
TRUYE
À
NA
Ù
NH SA
Ù
NG
TRUYEN

ANH

SANG
TRONG ỐNG DẪN SÓNG PHẲNG
− Nghiệm của PT (8) có thể được xác đònh tại biên của ống dẫn
sóng (x=d hoặc x=-d)
−
Trươ
ø
ng hơp nghiệm la
ø
ha
ø
mcha
ü
n
E
= Acos(ux)
t
ai x=d ta co
ù
:
Trương

hơ
ï
p

nghiệm

la

ham

chan

E
y
=

Acos(ux)
,
t
a
ï
i

x=d

ta

co:

E
y
(d) = A.cos(ud) = C.e
-wd
(9)
dE
y
(d)/dx = -u.A.sin(ud) = -w.C.e
-wd

(10)
Ỉ
tg(ud) = (wd)/(ud)
(11)
Ỉ
tg(ud)

=

(wd)/(ud)

(11)
Ỉ (12)
ùi
2
2
1/2
d
d
λ
2
2
1/2
àáhåhù
2
22
()
() 1
Vud
V

tg ud
ud ud
−
⎛⎞
=
=−
⎜⎟
⎝⎠
vơ
ùi
V = (u
2
+ w
2
)
1/2
d
= (2
π
d
/
λ
)(n
1
2
–
n
2
2
)

1/2
: ta
à
n so
á
c
h
ua
å
n
h
o
ù
a
− Tương tự cho trường hợp nghiệm là hàm lẽ E
y
= Asin(ux), ta có:
1
()
ud
d
14
(13)
22 2
1
()
()
1
ud
t

g
u
d
Vud
V
ud
=
−=−
−
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
TRUYE
À
NA
Ù
NH SA
Ù
NG
TRUYEN

ANH

SANG
TRONG ỐNG DẪN SÓNG PHẲNG
Tìm nghiệm của PT (12) và (13)?
15
TRUYE
À

NA
Ù
NH SA
Ù
NG
TRUYEN

ANH

SANG
TRONG OÁNG DAÃN SOÙNG PHAÚNG
f(ud)
V=6
e
1
π
/2
π
3π/2 2
π
e
2
ud
12
3
45
6
7
0
o

1
o
2
16
TRUYE
À
NA
Ù
NH SA
Ù
NG
TRUYEN

ANH

SANG
TRONG ỐNG DẪN SÓNG PHẲNG
− Vẽ đồ thò hai hàm số f(ud) và g(ud) ở hai vế của PT (12) và (13),
giao điểm của hai hàm f(ud) và g(ud) là nghiệm cần tìm
−
So
á
nghiệm va
ø
gia
ù
trò cu
û
aca
ù

c nghiệm phu thuộc va
ø
ogia
ù
trò cu
û
a
So

nghiệm

va

gia

trò

cua

cac

nghiệm

phu
ï
thuộc

vao

gia

trò

cua

tần số chuẩn hóa V (phụ thuộc vào đặc tính của ống dẫn sóng)
− Với V=6, ta thấy PT sóng có 4 nghiệm gồm hai nghiệm lẻ o
1
, o
2
va
ø
hai nghiệm cha
ü
ne
1
e
2
va

hai

nghiệm

chan

e
1
,
e

2
+ 4 mode sóng có thể truyền được trong ống dẫn sóng cho
trước (tương ứng với V=6)
+
e
đươc goi la
ø
mode so
ù
ng cơ ba
û
n
+
e
1
đươ
ï
c

go
ï
i

la

mode

song

cơ

ban
Ỉ Điều kiện để truyền đơn mode:
V ≤π/2
17
TRUYE
À
NA
Ù
NH SA
Ù
NG
TRUYEN

ANH

SANG
TRONG ỐNG DẪN SÓNG PHẲNG
− Phân bố điện trường E
y
của các mode trong ống dẫn sóng:
E
y
E
y
x
d-d
x
d-d
0

0
E
E
Mode o
1
Mode e
1
x
d-d
E
y
x
d-d
E
y
0
0
18
Mode o
2
Mode e
2
TRUYE
À
NA
Ù
NH SA
Ù
NG
TRUYEN

ANH

SANG
TRONG ỐNG DẪN SÓNG PHẲNG
− Phân bố năng lượng của các mode trong ống dẫn sóng:
E
y
E
y
x
d-d
x
d-d
0
0
E
Mode o
1
Mode e
1
E
y
x
d
d
E
y
0
x

d
d
y
0
19
d
-
d
0
Mode o
2
Mode e
2
d
-
d
0
TRUYE
À
NA
Ù
NH SA
Ù
NG
TRUYEN

ANH

SANG
TRONG SI QUANG

 Xét một ốn
g
dẫn són
g
hình trụ điện môi (
ρ
=0, J=0) đườn
g

kính 2a, chiết suất n
1
, lý tưởng (đẳng hướng, tuyến tính,
kho
â
ng suy hao):
khong

suy

hao):
n
2
< n
1
Hươ
ù
ng truye
à
n
a

x
φ
z
r
Hương

truyen
n
1
y
20
TRUYE
À
NA
Ù
NH SA
Ù
NG
TRUYEN

ANH

SANG
TRONG SI QUANG
àáã
 Việc xác đònh mode tru
y
e
à
n tron

g
o
á
n
g
da
ã
n són
g
hình trụ l
y
ù
tûng được thực hiện qua các bùc sau:
− Giải hệ PT Maxwell cho ống dẫn sóng hình trụ, hệ toạ độ (r,φ,z)
− PT sóng:
− N
g
hiệm của PT són
g
có dạn
g
:
22 2
22
222
11
()0
EE E
E
rrrr

ωεμ β
φ
∂∂ ∂
+
++−=
∂∂∂
ggg
với A
1
, A
2
: hằng số điện trường
12
() ()cos () ()cos
E
ra AJur k Era AKwr k
φ
φ
≤= ≥=
J(x) có dạn
g
hàm Bessel
K(x) có dạng hàm Hankel (hàm Bessel cải tiến loại hai)
u
2
= β
2
1
- β
2

với β
1
= ω(ε
1
μ
1
)
1/2 =
ω n
1
/c
2
β
2
β
2
ơ
ù
i
β
(
)
1/2
/
21
w
2
=
β
2

-
β
2
2
v
ơi

β
2
=
ω
(
ε
2
μ
2
)
1/2

=
ω
n
2
/
c
− Giải hệ PT sóng tại biên r=a Ỉ nghiệm của PT Ỉ số mode sóng
truyền trong sợi quang
TRUYE
À
NA

Ù
NH SA
Ù
NG
TRUYEN

ANH

SANG
TRONG SI QUANG
 Một số kết quả rút ra từ việc
g
iải PT són
g
:
− Tần số chuẩn hóa: V = (2πa/ λ).(n
1
2
–n
2
2
)
1/2
= (2π/ λ).a.NA
−
Ca
ù
cmodeso
ù
ng đươc goi la

ø
ca
ù
c mode pha
â
n cưc tuye
á
n tính: LP
l
Cac

mode

song

đươ
ï
c

go
ï
i

la

cac

mode

phan

cư
ï
c

tuyen

tính:

LP
l
m
(linearly polarized mode) với l = 0,1,2,…; m= 1,2,3,…
− Mode LP
01
được gọi là mode cơ bản
So
á
lương mode so
ù
ng phu thuộc va
ø
ogia
ù
trò cu
û
aV:
−
So

lươ
ï
ng

mode

song

phu
ï
thuộc

vao

gia

trò

cua

V:
+ Đối với sợi SI, tổng số mode M ≈V
2
/2 (đúng với M>20)
+ Mode LP
lm
tồn tại khi V > V
clm
(tần số cắt của LP
lm

)

Mode Tần số cắt Tần số cao
LP
01
0 2,405
LP
11
2,405 3,832
LP
02
3,832 5,136
LP
5 136
6 380
22
ỈĐiều kiện để sợi quang truyền đơn mode: V≤ 2,405
LP
12
5
,
136
6
,
380
… … …
TRUYE
À
NA
Ù

NH SA
Ù
NG
TRUYEN

ANH

SANG
TRONG SI QUANG
 Phân bố năn
g
lượn
g
của một số mode són
g
tron
g
sợi quan
g
:
23
TRUYE
À
NA
Ù
NH SA
Ù
NG
TRUYEN

ANH

SANG
TRONG SI QUANG
 Phân bố năn
g
lượn
g
của một số mode són
g
tron
g
sợi quan
g
:
24
TRUYE
À
NA
Ù
NH SA
Ù
NG
TRUYEN

ANH

SANG
TRONG SI QUANG
 Phân bố năn

g
lượn
g
của một số mode són
g
tron
g
sợi quan
g
:
25