Chuyên đề Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

CHUYÊN ĐỀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
PHẦN I. TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
a1 x  b1 y  c1
Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:  I  
a2 x  b2 y  c2

1
 2

a. Phương pháp thế:


Bước 1: Từ một phương trình của hệ, ta biểu thị ẩn x theo y (hoặc y theo x).


Bước 2: Thế biểu thức tìm được của x (hoặc của y) vào phương trình cịn lại để được phương
trình bậc nhất một ẩn. Giải phương trình bậc nhất vừa tìm được.

Bước 3: Thay giá trị vừa tìm được của ẩn vào biểu thức tìm được trong bước thứ nhất để tìm
giá trị của ẩn cịn lại.
b. Phương pháp cộng đại số:


Bước 1: Chọn ẩn muốn khử, thường là x (hoặc y).



Bước 2:

-

Xem xét hệ số của ẩn muốn khử.

-

Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ.

-

Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ về theo vế của hệ.

Nếu các hệ số đó khơng bằng nhau thì ta nhân các vế của hai phương trình với số thích
hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của x (hoặc y) trong hai phương trình của hệ là bằng nhau hoặc
đối nhau (đồng nhất hệ số). Rồi thực hiện các bước ở trên.
-

Ta được một phương trình mới, trong đó ẩn muốn khử có hệ số bằng 0.


Bước 3: Giải hệ phương trình gồm một phương trình mới (một ẩn) và một phương trình đã
cho.
Ta suy ra nghiệm của hệ
* Đối với một số bài tốn ta có thể kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ để biến đổi hệ phương trình
đã cho thành hệ phương trình đơn giản hơn với ẩn mới.
Sau khi tìm được nghiệm của hệ phương trình mới, ta có thể tìm nghiệm của hệ phương trình ban
đầu.
* Sử dụng máy tính CASIO/VINACAL:



Nhấn Mode, chọn mục EQN, chọn số tương ứng với mục: anX+bnY=cn



a1 x  b1 y  c1
Nếu hệ phương trình theo đúng thứ tự 
a2 x  b2 y  c2



Ta nhập số liệu tương ứng:

1
 2

Hàng thứ nhất: a1 ; b1 ; c1  và hàng thứ hai: a2 ; b2 ; c2 


Nhấn =; = ta sẽ có kết quả nghiệm của hệ phương trình.

Các em có thể sử dụng máy tính casio để tính ra nghiệm đúng.

 


B. CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Ví dụ minh họa 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

3  x  y   2  x  y   9

b. 
2  x  y    x  y   1

 x  2 y  1
a. 
2 x  5 y  7

Hướng dẫn giải:
a. Biến đổi hệ phương trình đã cho thành các hệ phương trình tương đương:
 x  2 y  1  x  2 y  1
 x  2 y  1
HTP: 


 2  2 y  1  5 y  7
2 x  5 y  7
 9 y  2  7

 x  2 y  1  x  2.  1  1  x  1



 9 y  9
 y  1
 y  1

Vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là 1; 1 .
3  x  y   2  x  y   9
b. Hệ phương trình 
2  x  y    x  y   1

Cách 1: Thu gọn vế trái của mỗi phương trình trong hệ, biến đổi hệ phương trình đã cho thành các
hệ phương trình tương đương.
3  x  y   2  x  y   9
3 x  3 y  2 x  2 y  9

HPT: 
 2  x  y    x  y   1 2 x  2 y  x  y  1
 x  5 y  9
3 x  3 y  2 x  2 y  9
x  5y  9



 2 x  2 y  x  y  1
3 x  y  1 3  5 y  9   y  1

 x  5 y  9
 x  1


14 y  28  y  2
Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm  1; 2  .
Cách 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ: đặt u  x  y; v  x  y , ta có hệ phương trình:
3u  2v  9
3  x  y   2  x  y   9


2  x  y    x  y   1 2u  v  1
 7u  7
u  1

3u  2  2u  1  9



v  2u  1
v  2u  1 v  3

u  1
Với 
, ta có hệ phương trình
v  3

2  y  3  2
x  y  1
2 y  4
 x  1




 x  y  3  x  y  3
x  y  3  y  2

Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm  1; 2  .
Dạng 2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Ví dụ minh họa 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:


3  x  y   2  x  y   9
b. 

2  x  y    x  y   1

 x  2 y  1
a. 
2 x  5 y  7

Hướng dẫn giải:
a. Biến đổi hệ phương trình đã cho thành các hệ phương trình tương đương:
 x  2 y  1 2 x  4 y  2
HPT: 

(pt 1 được nhân 2 vế cho 2)
2 x  5 y  7
2 x  5 y  7
Lấy pt 1 trừ pt 2 vế theo vế, và giữ lại một phương trình:
0 x  9 y  9
HPT  
2 x  4 y  2
Tìm được giá trị một ẩn, ta thay vào phương trình kia để tìm nghiệm cịn lại.
 y  1  x  1
 y  1
HPT  


2 x  2
 y  1
2 x  4  1  2

Vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là 1; 1 .
3  x  y   2  x  y   9

b. Hê phương trình 
2  x  y    x  y   1
Cách 1: Thu gọn vế trái của mỗi phương trình trong hệ, biến đổi hệ phương trình đã cho thành các
hệ phương trình tương đương.
3  x  y   2  x  y   9
3 x  3 y  2 x  2 y  9
HPT: 

 2  x  y    x  y   1 2 x  2 y  x  y  1
3x  3 y  2 x  2 y  9
x  5 y  9
x  5 y  9



2 x  2 y  x  y  1
3 x  y  1 15 x  5 y  5
x  5y  9
14 x  14
 x  1



15 x  5 y  5
x  5 y  9
y  2
Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm  1; 2  .
Cách 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ: đặt u  x  y; v  x  y , ta có hệ phương trình:
3u  2v  9
3  x  y   2  x  y   9



2  x  y    x  y   1 2u  v  1
3u  2v  9
7u  0.v  7
u  1



4u  2v  2
2u  v  1
v  3
u  1
, ta có hệ phương trình
Với 
v  3

x  y  1
2 x  2
 x  1



 x  y  3  x  y  1  y  2

Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm  1; 2  .

 

Dạng 3. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ minh họa 3: Bằng cách đặt ẩn phụ, hãy giải hệ phương trình sau:
 5
 x 1 


 1 
 x  1

1
 10
y 1
3
 18
y 1

Hướng dẫn giải:
 x 1  0
x  1
Điều kiện để hệ phương trình xác định là: 

 y 1  0
y 1
Đặt u 

1
1
;v 
, ta có hệ phương trình:
x 1

y 1

 5
 x 1 


 1 
 x  1

1
 10
y 1
5u  v  10

3
u  3v  18
 18
y 1

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:
Từ phương trình 5u  v  10 , ta có: v  5u  10
Thế vào phương trình u  3v  18 , ta được:

u  3v  18  u  3  5u  10   18

 16u  30  18  16u  48
 u  3
Thay u  3 vào phương trình v  5u  10 , ta được v  5.  3  10  5
u  3
, nên ta có hệ phương trình:

Vậy 
v  5

 1
 x  1  3
1  3x  3
1  3  x  1


 1
1  5 y  5

 5 1  5  y  1
 y  1
2

x

3 x  2

3


5 y  4
y  4

5
2 4
Vậy, hệ phương trình đã cho một nghiệm  ;  .
3 5

Dạng 4. Một số bài tốn liên quan
Ví dụ minh họa 4: Xác định phương trình đường thẳng y  ax  b biết nó đi qua hai điểm

A  1;6  và B  2; 3 .
Hướng dẫn giải:


Đường thẳng y  ax  b đi qua điểm A  1;6  , nên ta có 6  a  1  b  a  b  6

1

Đường thẳng y  ax  b đi qua điểm B  2; 3 , nên ta có 3  a.2  b  2a  b  3

 2

Vì a, b phải là nghiệm đúng của cả hai phương trình (1) và (2) nên a, b là nghiệm của hệ phương
trình:
a  b  6
3a  9
a  3



2a  b  3 2a  b  3 b  3
Vậy, phương trình đường thẳng cần tìm là: y  3 x  3 .
mx  2 y  1
Ví dụ minh họa 5: Cho hệ phương trình: 
mx  my  m  1
Giải hệ phương trình khi:

a) m  3 ;

b) m  2 ;

c) m  0 .

Hướng dẫn giải:
mx  2 y  1
Cho hệ phương trình 
mx  my  m  1
3 x  2 y  1
3 x  2 y  1
a. Khi m  3 , ta có hệ phương trình: 

3 x  3 y  3  1  3 x  3 y  2

1

y 1
x  


3
3 x  1  y  1

 1 
Vậy, khi m  3 , hệ phương trình đã cho có nghiệm  x; y     ;1
 3 

2 x  2 y  1

b. Khi m  2 , ta có hệ phương trình: 
2 x  2 y  1
Hệ phương trình
x  


2 x  1 hoặc
 y  2

có vơ số nghiệm. Cơng thức nghiệm tổng quát của hệ phương trình là:
y


2 y  1
 x  2

0 x  2 y  1
c. Khi m  0 , ta có hệ phương trình: 
0 x  0 y  0  1

1
 2

Trong hệ phương trình này, ta thấy phương trình thứ (1) có nghiệm, cịn phương trình thứ (2) vơ
nghiệm, nên hệ phương trình vơ nghiệm.
Vậy khi m  0 , hệ phương trình đã cho vơ nghiệm.

 

SƠ ĐỒ TƯ DUY PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bước 1: Chọn PT dễ nhất (thường là pt có hệ số đơn giản)  Rút 
ẩn: biểu diễn ẩn này theo ẩn kia (1)  Rồi thay vào phương 
trình cịn lại được (2) 
Giải hệ bằng 
Phương pháp thế 
Bước 2: Giải phương trình (2)  1 ẩn, ta thay ẩn này vào 
phương trình (1) để tìm ẩn cịn lại  Kết luận nghiệm. 

HỆ PHƯƠNG 
TRÌNH BẬC NHẤT 
HAI ẨN 

a1 x  b1 y  c1

a2 x  b2 y  c2

Giải hệ bằng 
Phương pháp cộng 
đại số

Bước 1: Xác định ẩn muốn khử (x hoặc y?...) 

Bước 2: Đồng nhất hệ số  Xem xét hệ số đứng trước ẩn 
muốn khử ở hai phương trình (khơng quan tâm dấu )  Nhân 
2 vế của mỗi phương trình cho số thích hợp sao cho hệ số đứng 
trước ẩn muốn khử bằng nhau (khơng quan tâm dấu). 

Bước 3: Cộng vế theo vế nếu hệ số của ẩn muốn khử ở hai 

phương trình trái dấu, và trừ vế theo vế nếu hệ số của ẩn 
muốn khử ở hai phương trình cùng dấu. 
Bước 4: Giải phương trình 1 ẩn, suy ra ẩn cịn lại và kết luận. 


PHẦN II.BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau đây bằng phương pháp thế:

 x  2 y  6
a. 
2 x  y  4

x  3y  5
b. 
2 x  y  8

 x  y  10
c. 
x  y  8

3 x  y  5
d. 
5 x  2 y  14

Bài 2. Giải các hệ phương trình sau đây bằng phương pháp thế:

1
 x  y 1
a.  2
3x  2 y  10

y x y 1
 5  2  10
b. 
y  x y  1
 2
5
5

x y
 2  3  0
c. 
 4  9
 y  4 x  8

 x  y  20

d. 
x
x
 x  8  y  8

Bài 3. Giải các hệ phương trình sau đây bằng phương pháp thế:

 x  2 2 y  3
a. 
 2 x  y  1  6

 x  y 3  0
b. 

 x 3  2 y  1  3

 2 x  5 y  1
c. 
 x  5 y  2

 2 x  5 y  2
d. 
 x  5 y  2

Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:





 3  5 x  3y  3  5 5

a. 
4 x  y  4  2 5





 3 1 x  y  3

b. 
x  3 1 y  1






Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:

4 x  3 y  5  x  y   1
a. 
2 x  4  2 y  1  1

3  x  7   6  x  y  1  0
b. 
4  x  1  2  x  2 y  7   0

3 x  by  5
Bài 6. Xác định các giá trị của a, b để hệ phương trình: 
ax  by  12
a. Có nghiệm 1; 2 

b. Có nghiệm  2; 2 

Bài 7. Giải các phương trình sau đây bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
1 1 1
x  y  3

a. 
1  1  1
 x y 12

 

 7
 x 1 

b. 
 1 
 x  1

5
1
y2
1
1

y  2 12


1
 4
 x  2y  x  2y 1

c. 
 20  3  1
 x  2 y x  2 y

5
2

 x  y  3  x  y 1  8


d. 
3
1


3
 x  y  3 x  y  1

3 x  2 y  a
Bài 8. Cho hệ phương trình: 
15 x  10 y  5
a. Có vơ số nghiệm với a  1
b. Vô nghiệm với a  1
Bài 9. Giải các phương trình sau đây bằng phương pháp cộng đại số:

5 x  y  10
a. 
 x  3 y  18

4 x  3 y  10
b. 
2 x  5 y  8

6
27
 1
 2 x  5 y  10
c. 
 x  9 y   15

 2
2

1
1
 3 x  4 y  2
d. 
 2 x  y  18
 5

Bài 10. Giải các phương trình sau đây bằng phương pháp cộng đại số:

5 x  3 y  19
a. 
2 x  9 y  31

15 x  8 y  46

b.  3
4
 x  5 y  5

3 x  4 y  10
c. 
6 x  8 y  17

5 x  4 y  20

d.  1
1

 4 x  5 y  1

Bài 11. Giải các phương trình sau đây bằng phương pháp cộng đại số:
5  x  2 y   3  x  y   99
a. 
 x  3 y  7 x  17

2 x  3 y  21
b. 
7  x  4   3  x  y  1  14

2  x  1  5  y  1  8
c. 
3  x  1  2  y  1  1

4  x  1  2  3 y  1  5  0
d. 
8  x  1  5  3 y  1  9

Bài 12. Giải hệ phương trình sau đây bằng phương pháp cộng đại số:





 3 1 x  y  3


x  3 1 y  1






Bài 13. Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số y  ax  b đi qua hai điểm M và N trong mỗi

trường hợp sau:







a. M 1;3 và N  2; 2 

b. M 1; 3 và N 2; 3

c. M  0;0  và N  3;3

d. M  1; 4  và N  4; 1

Bài 14. Xác định giá trị của các hệ số m, n sao cho:

2 x  my  n
a. Hệ phương trình 
có nghiệm là x  2; y  5 ?
mx  ny  5




x  y  m
b. Hệ phương trình 
có nghiệm là x  1; y  2 ?
3 x  2 y  n  1
Bài 15. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
1
 10
 x 1  y  2  1

a. 
 25  3  2
 x  1 y  2

32
 27
 2x  y  x  3y  7

b. 
 45  48  1
 2 x  y x  3 y

2 x  6  3 y  1  5
c*. 
5 x  6  4 y  1  1

4 x  y  3 x  y  8
d*. 

3 x  y  5 x  y  6

Bài 16*. Giải các hệ phương trình sau:

3x  y  z  1

a. 2 x  y  2 z  5
 x  2 y  3z  0


x  3y  2z  8

b. 2 x  y  z  6
3x  y  z  6

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
 x  2 y  6
 x  2 y  6
a. Biến đổi hệ phương trình 

2  2 y  6   y  4
2 x  y  4


14
 16 

x  2.    6

x


x

y

x

y

2
6
2
6




3
 3




4 y  12  y  4
3 y  16
 y  16
 y  16



3
3
 14 16 
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là  ;  .
 3 3

 x  3 y  5
x  3y  5
b. Biến đổi hệ phương trình 

2  3 y  5   y  8
 2 x  y  8


29
 18 

x  3.     5
x


x

y

x

y


3
5
3
5




5
 5




6 y  10  y  8 5 y  18
 y   18
 y   18


5
5
 29 18 
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là   ;   .
5
 5

 x  y  10
 x  y  10
c. Biến đổi hệ phương trình 


 y  10   y  8
x  y  8

 x  y  10
 x  y  10
 x  1  10
x  9




2 y  10  8 2 y  2
 y  1
 y  1

 


Vậy, nghiệm của hệ phương trình là  9; 1 .
3 x  y  5
 y  3 x  5
d. Biến đổi hệ phương trình 

5 x  2 y  14
5 x  2  3 x  5   14

24

24


x
x


 y  3x  5
 y  3x  5 
11

11




5 x  6 x  10  14
11x  24
 y  3.  24   5  y  17
11

 11 

 24 17 
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là  ;  .
 11 11 

Bài 2. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

1

y   x 1
1


2
 x  y 1


a. Biến đổi hệ phương trình  2
3 x  2 y  10
3 x  2   1 x  1  10
 2



1
1


x  4
x  4
 y   x 1
 y   x 1 




2
2
1
3x  x  2  10
2 x  8
 y   2 .4  1  y  1

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là  4; 1
y x y 1
 5  2  10
2 y  5  x  y   1
b. Biến đổi hệ phương trình 

y  x y  1
5 y  2  x  y   2
 2
5
5
5
1

y  x

2 y  5 x  5 y  1
5 x  7 y  1
7
7




5 y  2 x  2 y  2
2 x  3 y  2
2 x  3  5 x  1   2

7
7

5
1
5
1


 y  7 x  7
 y  7 x  7
 x  11



y  8
2 x  15 x  3  2
 1 x  11


7
7
7
7
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 11;8  .
c. Hệ phương trình đã cho có điều kiện là: x  8; y  4
x y
 2  3  0
3 x  2 y  0

Khi đó, biến đổi hệ phương trình 
4  x  8   9  y  4 
 4  9

 y  4 x  8
2

3x  2 y  0
3 x  2 y  0
x  y



3
4 x  32  9 y  36
4  x  8   9  y  4 
4 x  9 y  4


2

8

x y
2
x



3
x  y


19




3
4 x  9 y  4
4.  2 y   9 y  4
 y   12
  3 
19

 8 12 
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là   ;   .
 19 19 
 x  y  20
 x  y  20

d. Biến đổi hệ phương trình 
x
x
8 x  x  8 y  x
 x  8  y  8
 x  y  20
 x  y  20
 x  y  20



8 x  x  8 y  x
6 x  8 y  0
6  y  20   8 y  0

 x  y  20
 x  80


2 y  120
 y  60
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là  80;60  .
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:


 x  2 2 y  3
x  2 2 y  3
a. Biến đổi hệ phương trình 

 2 2 2 y  3  y  1  6
 2 x  y  1  6






 1 2 6 
x  2 2. 

 3
 x  2 2 y  3
 x  2 2 y  3
5 






4 y  6  y  1  6

5 y  1  2 6
1 2 6
y 
5


 1 2 6 

2 2  4 12  5 3
 x  2 2. 
  3
x



5
 5 


1 2 6


1 2 6

y 
 y 
5
5


2 2 3 3
x 

5

 y  1 2 6

5
 2 2  3 3 1 2 6 
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 
;
.
5
5 



 x  3 y  0
x  3y

b. Biến đổi hệ phương trình 
 3 3 y  2 y  1  3
 3 x  2 y  1  3



 





 1 3 

3 3
x  3. 


x 

5
 x  3 y


5





3 y  3 y  1  3

 y  1 3
1 3

y 

5
5

 3  3 1 3 
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 
;
.
5 
 5

 2 x  5 y  1  x   5 y  2
c. Biến đổi hệ phương trình 

 x  5 y  2
 2 x  5 y  1

 x   5 y  2
x   5y  2


 2  5 y  2  5 y  1
 2 x  5 y  1





x   5y  2

x   5y  2




 2  5 y  2  5 y  1  5 2  1 y  1









1
x   5 

 5 2 1



1
y 
5 2 1














x  1



2 1
y 
5



2 1 
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 1;
 .
5








 2 x  5 y  2
 2  5y  2  5y  2
d. Biến đổi hệ phương trình 

 x   5 y  2
 x  5 y  2
2

2

y  5
 5 1 2 y  2 1 2


y 



5
2


x   5
x  0

2
 x   5 y  2





 5









 2 
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là  0;
.
5

Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:





 3  5 x  3y  3  5 5

a. Biến đổi hệ phương trình 
4 x  y  4  2 5









 3  5 x  3 4 x  4  2 5  3  5 5


 y  4 x  4  2 5






 15  5 x  15  5

 x  1


 y  2 5
 y  4 x  4  2 5



y  
 3  1 x  y  3



b. Biến đổi hệ phương trình 

 x   3  1 y  1
x  


Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 1; 2 5 .

y 


x 






3  1

3 1 x  3


 y  3 1



4 3
x 
3





 

3 1 x 









  4 3 3  



3 1
3




3  1 


3 1 x  3




 y  3 1 x  3

3  1 3 x  4  3


4 3  43 3
 3
y 

3

x  4  3

3

1

 y   3

. Vậy, nghiệm của hệ phương trình là
x  4  3

3

 4 3 1
;   .


3
 3

Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:

4 x  3 y  5  x  y   1
a. Biến đổi hệ phương trình 
2 x  4  2 y  1  1
4 x  3 y  5  x  y   1 4 x  3 y  5 x  5 y  1


2 x  8 y  4  1
2 x  4  2 y  1  1
 
3
9 x  8 y  1 9  4 y    8 y  1


x
y
9
8
1


 
2



3 
2 x  8 y  3  x  4 y 
x  4 y  3

2

2

29

27
27


 y  56
36 y  2  8 y  1 28 y  1  2



x  4 y  3
x  4 y  3
 x  4.  29   3



2

2
 56  2
29


 y  56
 4 29 
. Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:  ; 

 7 56 
x  4

7
3  x  7   6  x  y  1  0
b. Biến đổi hệ phương trình 
4  x  1  2  x  2 y  7   0
 



3 1 x  3   1



3 x  21  6 x  6 y  6  0
3 x  6 y  27


4 x  4  2 x  4 y  14  0
6 x  4 y  10
 x  2 y  9
x  2 y  9
x  2 y  9




6  2 y  9   4 y  10
6 x  4 y  10
8 y  44

x  2


11 . Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:
y


2

 11 
 2;  .
 2

3 x  by  5
Bài 6. Hệ phương trình: 
ax  by  12
3.1  b.2  5
3  2b  5
a. Có nghiệm 1; 2   

a.1  b.2  12
a  b  12
3  2b  5
2b  2

b  1
b  1




a  b  12
a  b  12
a  1  12
a  11
Vậy, hệ số a  11; b  1 .
3.  2   b.2  5
6  2b  5
b. Có nghiệm  2; 2   

2a  2b  12
a.  2   b.2  12
 11
 11
b

b  2

2
b
11


2




a  b  6
a  11  6
a   1


2
2
1
11
Vậy, hệ số a   ; b  .
2
2

Bài 7.

a. Điều kiện x  0; y  0 . Đặt ẩn phụ:

1
1
 a;  b
x
y

1 1 1
1
1

1


b b 
ab 
x  y  3






12 
3
3
Khi đó, hệ phương trình 

 
1  1  1
a  b  1
a  b  1

 x y 12

12
12

1
1 1
1
1





b  8
2b  3  12
b  8
2b  4




a  b  1
a  b  1
a  1  1
a  5




12
8 12

12
24

1 1
1


24


b  8
 y 8
x 


Với 
5
a  5
1  5
 y  8

24
 x 24
 24 
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:  ;8  .
 5 


b. Điều kiện: x  1; y  2 . Đặt ẩn phụ:
 7
 x 1 

khi đó, hệ phương trình 
 1 
 x  1

1
1
 a;

b
x 1
y2

5
1
7 a  5b  1
y2


1
1
1
a b 



12
y  2 12

 
1
5
5


b
7a  5b  1 7  b    5b  1 12b 



  12 

 144
12



1 
a b 
a  b  1
a  b  1
a  17
12




12
144

12
5
 1
144
144
5



 y  2  144

 y  2  5
 y  5  2
b  144



Với 
 a  17
 1  17
 x  1  144
 x  144  1



144
17
17

 x  1 144
134

 y  5

(thỏa điều kiện)
 x  161

17
 161 134 
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: 
;

.
 17 5 

c. Điều kiện: x  2 y . Đặt ẩn phụ:

1
1
 a;
b
x  2y
x  2y

1
 4
 x  2 y  x  2 y  1  4a  b  1

khi đó, hệ phương trình 

 20  3  1 20a  3b  1
 x  2 y x  2 y

1

a
b  4a  1
b  4a  1 
8







a
a
20
3
4
1
1

a
32
4




b   1

2
1
 1
1


a

x  3



x  2 y  8
 x  2y 8

8
Với 



5 (thỏa điều kiện)
1
1
x
2
y
2



1
y


b  



2
 x  2 y
2

2


x  3

Kết luận, vậy hệ phương trình có nghiệm là 
5
 y  2
x  y  3
1
1
 a;
b
d. Điều kiện: 
. Đặt ẩn phụ:
x  y 3
x  y 1
x  y  1
 


5
2

14

a
 x  y  3  x  y 1  8

5

a
2
b
8





11
Khi đó, hệ phương trình 


3
1
3a  b  3

b   9

3 

 x  y  3 x  y  1
11
14
 1
11
53
14





x y 3 
x y 
a




x

y

3
11




14
14
11 
Với 



11
9
1
9

b  

x  y 1  
 x  y   19




 x  y  1
9
9
11
11

211

 x  252

 y  743

252
211

 x  252
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: 
 y  743

252
3 x  2 y  a
Bài 8. Cho hệ phương trình: 

15 x  10 y  5
3 x  2 y  1
3 x  2 y  1

a. Với a  1 , ta có: 
15 x  10 y  5 3 x  2 y  1
Hệ phương trình với a  1 là hệ gồm hai phương trình giống nhau (hai đường thẳng trùng nhau) nên
chúng có vơ số nghiệm.

x  

Nghiệm tổng qt của hệ phương trình là: 
3
1
 y  2 x  2
Cách 2: Ta có thể nhìn nhanh số nghiệm của hệ phương trình khi lập tỉ số các hệ số của hai đường
thẳng:
Vì:

3
2 1

 nên hệ phương trình có vô số nghiệm.
15 10 5

3 x  2 y  a
b. Với a  1 . Ta có hệ phương trình: 
15 x  10 y  5
Vì a  1 nên

3
2 a

 . Do đó, hệ phương trình vơ nghiệm.
15 10 5

Bài 9. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

5 x  y  10
15 x  3 y  30
a. Biến đổi hệ phương trình 

 x  3 y  18  x  3 y  18
16 x  48
 x  3


 x  3 y  18  y  5
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là  3; 5 .


4 x  3 y  10
4 x  3 y  10
b. Biến đổi hệ phương trình 

2 x  5 y  8
4 x  10 y  16
13 y  26
y  2



2 x  5 y  8  x  1
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là  1; 2  .
6
27
 1
 2 x  5 y  10
5 x  12 y  27
c. Biến đổi hệ phương trình 

2 x  9 y  15
 x  9 y   15
 2
2
5 x  12 y  27
 10 x  24 y  54


2 x  9 y  15
10 x  45 y  75
21 y  21
y 1


2 x  9 y  15
 x  3
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là  3;1 .
1
1
4

 3 x  4 y  2
 3 x  y  8
d. Biến đổi hệ phương trình 

 2 x  y  18
 2 x  y  18
 5
 5
 26
x  26
 x  15
 x  15
 15


 2

 2 x  y  18  5 .15  y  18  y  12
 5
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 15;12  .
Bài 10. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

5 x  3 y  19
10 x  6 y  38
a. Biến đổi hệ phương trình: 

2 x  9 y  31 10 x  45 y  155
39 y  117
y  3
x  2




5 x  3 y  19
5 x  9  19
y  3
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là  2;3 .
15 x  8 y  46
15 x  8 y  46

b. Biến đổi hệ phương trình:  3
4 
5 x  3 y  4
 x  5 y  5

15 x  8 y  46
17 y  34
y  2
x  2




15 x  9 y  12
5 x  3 y  4
5 x  6  4
y  2
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là  2; 2  .

 

3 x  4 y  10
3 4 10
a b c
c. Hệ phương trình 
có tỉ lệ giữa các hệ số là:
dạng    


6 8 17
 a  b c  
6 x  8 y  17
nên hệ phương trình vơ nghiệm.
5 x  4 y  20
5
4
20

a b c
có tỉ lệ giữa các hệ số là:
dạng    
d. Hệ phương trình  1


1
1  1 1
 a  b c  
 4 x  5 y  1
   

 4  5
nên hệ phương trình có vơ số nghiệm.

x  
y


Với nghiệm tổng quát của hệ phương trình là: 
hoặc 
5
4
 x  5 y  4
 y  4 x  5
Bài 11. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
5  x  2 y   3  x  y   99
a. Biến đổi hệ phương trình 
 x  3 y  7 x  17

5 x  10 y  3 x  3 y  99
2 x  13 y  99


6 x  3 y  17
6 x  3 y  17

70

19

y

x


6 x  39 y  297
36 y  280
9


18




6 x  3 y  17
6 x  3 y  17
6 x  3  70   17
 y  70

9

 9 
 19 70 
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:   ; 
 18 9 
 2 x  3 y  21
b. Biến đổi hệ phương trình 
7  x  4   3  x  y  1  14

2 x  3 y  21
2 x  3 y  21



7 x  28  3 x  3 y  3  14
10 x  3 y  45
8 x  24
x  3
x  3



3 y  21  2 x
3 y  21  6
y  5
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:  3;5
2  x  1  5  y  1  8
c. Biến đổi hệ phương trình 
3  x  1  2  y  1  1
2 x  2  5 y  5  8 2 x  5 y  11


3x  3  2 y  2  1
3 x  2 y  0
6 x  15 y  33 11 y  33


6 x  4 y  0
3 x  2 y  0
 y  3
 x  2



3x  2 y
 y  3
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:  2; 3


* (Những bài toán khá đơn giản như thế này chúng ta không nên đặt ẩn phụ, bởi sẽ tạo ra nhiều
bước thực hiện để hồn thành bài tốn. Cách tốt nhất là khai triển, rồi làm gọn hệ phương trình đã
cho. Sau đó giải theo phương pháp thầy đã nêu.)
4  x  1  2  3 y  1  5  0
d. Biến đổi hệ phương trình 
8  x  1  5  3 y  1  9
4 x  4  6 y  2  5  0
4 x  6 y  1


8 x  8  15 y  5  9
8 x  15 y  4
8 x  12 y  2
3 y  2


8 x  15 y  4
4 x  6 y  1
2

3

 y   3
 x   4



4 x  6.   2   1  y   2


3
 3
 3 2
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:   ;  
 4 3

Bài 12. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:





 3 1 x  y  3

Biến đổi phương trình 
x  3 1 y  1











3  1 x  

3 1 x  y  3



3 1











3  1 y  3 1 





3  1 x  2 y 

3 1 x  y  3

1

3 y  1
y   3


 3  1 x  y  3
 3 1 x  y  3










1

1

y



y
3

3




1
  3
x  y  3

3

x 
3 1
3 1

1

y   3


x  3 3 1 

3 3 1










  4 3
3
3  3  1

3 1 3  3 1

 4 3 1
;  
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: 
3
3


 

3 1


Bài 13. Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số y  ax  b đi qua hai điểm M và N trong mỗi

trường hợp sau:
a. Hàm số y  ax  b đi qua hai điểm M 1;3 và N  2; 2  :
Điểm M 1;3 thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình: 3  a  b 1
Điểm N  2; 2  thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình: 2  2a  b

 2

1

a


3  a  b

3
Suy ra: a, b là nghiệm của hệ phương trình 

2  2a  b
b  8

3
Vậy, a 

1
8
và b  .
3
3









b. Hàm số y  ax  b đi qua hai điểm M 1; 3 và N 2; 3 :

 
Điểm N  2; 3  thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình:

3  a  b 1

Điểm M 1; 3 thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình:

 2

3  2a  b

 3  a  b
a  0

Suy ra: a, b là nghiệm của hệ phương trình 
b  3
 3  2a  b
a  0
Vậy, 
.
b  3

c. Hàm số y  ax  b đi qua hai điểm M  0;0  và N  3;3 :
Điểm M  0;0  thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình: b  0 1
Điểm N  3;3 thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình: 3  3a  b

 2

b  0
a  1
Suy ra: a, b là nghiệm của hệ phương trình 


3  3a  b
b  0
a  1
.
Vậy, 
b  0
d. Hàm số y  ax  b đi qua hai điểm M 1; 4  và N  4; 1 :
Điểm M 1; 4  thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình: 4  a  b 1
Điểm N  4; 1 thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình: 1  4a  b
4  a  b
a  1
Suy ra: a, b là nghiệm của hệ phương trình 

1  4a  b
b  3
a  1
.
Vậy, 
b  3
Bài 14. Xác định giá trị của các hệ số m, n sao cho:

 2


2 x  my  n
có nghiệm là x  2; y  5
a. Hệ phương trình 
mx  ny  5
Thay giá trị x  2; y  5 vào hệ phương trình, ta có hệ:
5


m   9
 4  5m  n
5m  n  4



 2m  5n  5 2m  5n  5
n  11

9
Vậy, với m  

5
11
và n 
thì hệ phương trình đã cho có nghiệm x  2; y  5 .
9
9

x  y  m
có nghiệm là x  1; y  2 .
b. Hệ phương trình 
3 x  2 y  n  1
Thay giá trị x  1; y  2 vào hệ phương trình, ta có hệ:
x  y  m
1  2  m
m  1




3 x  2 y  n  1 3  4  n  1 n  6
Vậy với m  1 và n  6 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm x  1; y  2 .
Bài 15. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
1
 10
 x 1  y  2  1

có điều kiện x  1; y  2
a. Hệ phương trình 
 25  3  2
 x  1 y  2

Với x thỏa điểu kiện.
Đặt ẩn phụ: a 

1
1
;b 
, ta có hệ phương trình mới:
x 1
y2

1
 10
 x 1  y  2  1
10a  b  1




25a  3b  2
 25  3  2
 x  1 y  2
1

30a  3b  3
5a  1
a 



5
25a  3b  2
10a  b  1 b  1

1

a 
Từ kết quả 
5 , suy ra:
b  1

1
 1
 x  1  5
 1

 1
 y  2

 x 1  5
x  6
(thỏa điều kiện)


 y  2  1  y  3
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là  6; 3 .

 


32
 27
 2x  y  x  3y  7

b. Hệ phương trình 
có điều kiện
45
48


 1
 2 x  y x  3 y

2 x  y  0

x  3y  0

Với x thỏa điều kiện.
Đặt ẩn phụ: a 

1
1
, ta có hệ phương trình mới:
;b 
x  3y
2x  y

32
 27
1

a
 2x  y  x  3y  7

27
a
32
b
7





9



 45  48  1 45a  48b  1 b  1


 2 x  y x  3 y
8

1

 a  9
, suy ra:
Từ kết quả 
b  1

8

1
 1
 2x  y  9


 1 1
 x  3 y 8

2 x  y  9
x  5
(thỏa điều kiện)


x  3y  8
y 1
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là  5;1 .
2 x  6  3 y  1  5

c*. 
. Đặt a  x  6 ; b  y  1
5 x  6  4 y  1  1
 2 x  6  3 y  1  5  2a  3b  5 a  1
Ta có hệ phương trình: 


5a  4b  1
b  1
5 x  6  4 y  1  1
 x  6  1

 y  1  1
  x  6  1

 x  6  1   y  1  1
a  1

, suy ra: 
Với 
b  1
 y  1  1
 x  6  1
  y  1  1

  x  6  1
 y  1  1

x  6  1 x  7
Giải 1 


 y 1  1
y  0
 x  6  1  x  5

Giải  2  
 y  1  1
 y  2
x  6  1
x  7
Giải  3 

 y  1  1  y  2

1
 2
 3
 4


 x  6  1  x  5
Giải  4  

 y 1  1
y  0
Vậy, hệ phương trình có các nghiệm là:  7;0  ;  5; 2  ;  7; 2  ;  5;0  .
4 x  y  3 x  y  8
. Đặt a  x  y ; b  x  y
d*. 
3 x  y  5 x  y  6

4 x  y  3 x  y  8 4a  3b  8 a  2
Ta có hệ phương trình: 


3a  5b  6
b  0
3 x  y  5 x  y  6
 x  y  2

 x  y  2
a  2
x  y  0
Với 
, suy ra 

  x  y  2
b  0
 x  y  0

  x  y  0

1
 2

x  y  2
x  1

Giải 1 
x  y  0
y 1

 x  y  2
 x  1
Giải  2  

x  y  0
 y  1
Vậy, hệ phương trình có các nghiệm là: 1;1 1; 1 .
Bài 16*. Giải các hệ phương trình sau:

 z  3x  y  1
3x  y  z  1


a. 2 x  y  2 z  5  2 x  y  2  3 x  y  1  5
 x  2 y  3z  0


 x  2 y  3  3x  y  1  0

 z  3x  y  1
 z  3x  y  1
 z  3x  y  1



 2 x  y  6 x  2 y  2  5  8 x  y  7
 4 y  4
x  2 y  9x  3 y  3  0
8 x  5 y  3 8 x  y  7




 z  3x  y  1  z  3x  y  1  z  1



  y  1
  y  1
  y  1
8 x  1  7
x  1
x  1



Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: 1; 1;1
 x  3 y  2 z  8  x  3 y  2  3x  y  6   8


b.  2 x  y  z  6  2 x  y   3x  y  6   6

 z  3x  y  6
3x  y  z  6

 x  3 y  2  3 x  y  6   8  x  3 y  6 x  2 y  12  8


 2 x  y   3 x  y  6   6  2 x  y  3 x  y  6  6

 z  3x  y  6


 z  3x  y  6

 


5 x  y  4
 y  4


  x  0
 x  0
 z  3x  y  6
 z  10


Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:  0; 4;10  .
PHẦN III.TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ PHẢN XẠ
HƯỚNG DẪN
I. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Câu 1. Đáp án B.
ì
ì
ì
ïx - y = 5
ïx = y + 5
ï
ïx = y + 5
Ta có ïí
ï


í
í
ï
ï
ï
3x + 2y = 18
3y + 15 + 2y = 18
ï
ï3.(y + 5) + 2y = 18
ï
ỵ
ỵ
ỵ
ìï
ìï
ïïy = 3
ïïx = 28
ïìïx = y + 5
ï
5
5
í
í
 ïí
ïï5y = 3
ïï
ïï
3
3

ỵ
x =5+
ï
ïïy =
ï
5
5
ï
ỵ
ỵï
ỉ 28 3 ư
84
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ; y ) = ỗỗỗ ; ữữữ x .y =
25
è 5 5 ø÷
Câu 2. Đáp án D.
ì
ïx - y = 3
ïìx = y + 3
ïìx = y + 3
ïìx = 10
Ta có ïí
 ïí
 íï
 íï
ïï3(y + 3) - 4y = 2
ïïy = 7
ïïy = 7
ïï3x - 4y = 2
ỵ

ỵ
ỵ
ỵ
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ; y ) = (10;7)

Do đó x 2y = 102.7 = 700
Câu 3. Đáp án D.

ìï
ïïx = 8 + 7y
ìï
ìï
ì
ïx = 8 + 7y
ïx = 8 + 7y
ïï2x - 7y = 8
ïï
2
ï
ïí
Ta có í


í ỉ
í
2
2
ư÷
8
+

7
y
ï
ïï38y = -19
ï
ï
10
+
3
=
21
x
y
ïï40 + 35y + 3y = 21
ù
ùù10. ỗỗ
ữữ + 3y = 21
ợ
ợù
ợùù
ùùợ ỗố 2 ữứ
ỡù
ỡù
ùùx = 8 + 7y
ïïy = - 1
2
2
 ïí
 ïí
ïï

ïï
1
9
ïïy = ïïx =
2
4
ỵï
ỵï
ỉ 9 1ư
7
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nht (x ; y ) = ỗỗỗ ; - ữữữ  x + y =
4
è 4 2 ø÷
Câu 4. Đáp án C.
ïìï
ïìï
11
11
ì
ì
ïx =
ïx =
ïï7x - 3y = 5
ïï7x - 3(2 - 4x ) = 5
19
19
í
 ïí
 ïí
Ta có í

ï
ï
ï
ï
+
=
=
4
x
y
2
y
2
4
x
11
ï
ï
ïïy = 2 - 4.
ïïy = - 6
ỵ
ỵ
19
19
ỵïï
ỵïï
ỉ 11
6ư
5
Vậy hệ phương trình cú nghim duy nht (x ; y ) = ỗỗ ; - ữữữ x + y =

ỗố19 19 ữứ
19
Cõu 5. Đáp án A.


ì
ïx - 2y = 12
ïìx = 12 + 2y
ïìx = 12 + 2y
 ïí
 ïí
Ta có ïí
ï
ïï2(12 + 2y ) + 3y = 3
ïï7y = -21
2x + 3y = 3
ï
ỵ
ỵ
ỵ
ìy = -3
ï
ïìx = 6
.
ï
 ïí
í
ï
ïïy = -3
ïx = 12 + 2.(-3)

ỵ
ỵ
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ; y ) = (6; -3)
Câu 6. Đáp án A.
ìï
ìï
ïy = - 3
ïx = 15
ì3x - 2y = 12
ìx = 3 - 2y
ìx = 3 - 2y
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
8  ïí
4
í
í
í
Ta có í
ï
ï
ï
ï

ï
+
=
=
=
)
(
x
2
y
3
3
3
2
y
2
y
12
8
y
3
3
ï
ïïx = 3 +
ùùy = - 3
ợ
ợù
ợù
ùợù
ùợù

4
8
ổ 15 3 ửữ
Vy h phương trình có nghiệm duy nhất (x ; y ) = ỗỗ ; - ữữ .
ỗố 4
8 ữứ
Cõu 7. ỏp án D.
ì
ì
ï
ïìïx = - 2y - 3
ïx = - 2y - 3
ïïï-x - 2y = 3
ï
Ta có í
í
 ïí
ïï 2x + 2y = - 6
ïï 2 - 2y - 3 + 2y = - 6
ïï-2y - 6 + 2y = - 6
ợù
ợù
ù
ợ
ỡ
ỡ
ùùùx = - 2y - 3
ùùy ẻ
.
ớ

ớ
ùù- 6 = - 6
ïïx = - 2y - 3
ïỵ
ỵï

(

)

Vậy hệ phương trình có vơ số nghiệm.
Câu 8. Đáp án A.
Ta
ìïx 2 - y 3 = 1
ïìï 2 - y 3 2 - y 3 = 1
ïï
có í
 ïí
ïïx + y 3 = 2
ï
ïỵ
ïỵïx = 2 - y 3
ïìï2 - y 6 + 3 = 1
ïìïy 6 + 3 = 1
ï
í
 ïí
ïïx = 2 - y 3
ïïx = 2 - y 3
ỵï

ỵï
ìï
ïïy = 6 - 3
6- 3
{ y=
x = 2 - y 3 ùớ
3
ùù
3
ùùợx = 1

(

(

)

)

(

)

ổ 6 - 3 ữử
ỗ
ữữ .
Vy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x ; y ) = ỗỗ1;
ữữ
3
ỗỗố

ứ
Cõu 9. ỏp ỏn A.
ỡù(x + 1)(y - 1) = xy - 1
ìïxy - x + y - 1 = xy - 1
ìï-x + y = 0
Ta có ïí
 ïí
 ïí
ïỵï(x - 3)(y - 3) = xy - 3
ïỵïxy - 3x - 3y + 9 = xy - 3
ïỵï-3x - 3y = -12
ìïx = y
ìïx = y
ìïx = y
ìïx = 2
 ïí
 ïí
 ïí
 ïí
ïï-3y - 3y = -12
ïï-6y = -12
ïïy = 2
ïïy = 2
ỵ
ỵ
ỵ
ỵ
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ; y ) = (2;2)
Câu 10. Đáp án D.