Tải bản đầy đủ (.pdf) (39 trang)

Chuyên đề Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn - Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.28 MB, 39 trang )

GĨC CĨ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRỊN
GĨC CĨ ĐỈNH Ở BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN
A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
 nằm bên
Ví dụ 1. Trong Hình 1, góc BIC
đường trịn (O) được gọi là góc có đỉnh ở hên
trong đường trịn.

Ví dụ 2. Trong các Hình 2, 3, 4 các góc ở đỉnh I có đặc điểm chung là: đỉnh nằm bên ngồi đường trịn,
các cạnh đều có điếm chung với đường trịn. Mỗi góc đó được gọi là góc có đỉnh ở bên ngồi đường trịn.

Định lí 1. Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
Định lí 2. Số đo của góc có đỉnh ở bên ngồi đường trịn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
II.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1. Chứng minh hai góc hoặc hai đoạn thẳng bằng nhau
Phương pháp giải: Sử dụng hai định lý về số đo của góc có đỉnh bên trong đường trịn, góc có đỉnh bên
ngồi đường trịn.
1.1. Từ điểm M nằm ngồi đường trịn (O), kẻ tiếp tuyến MC tại c và cát tuyên MAB (A nằm giữa M và B)
và A,B,C  (O). Gọi D là điểm chính giữa của cung AB khơng chứa C, CD cắt AB tại I. Chứng minh:
  BID
;
a) MCD
1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

b) MI = MC.


1.2. Cho đường tròn (O) và một điểm p nằm ngoài (O). Kẻ cát tuyến PAB và tiếp tuyến PT với A,B,T 


(O). Đường phân giác của góc ATB cắt AB tại D. Chứng minh PT = PD.
2.1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I và cắt
(O) lần lượt tại D và E. Dây DE cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh:
a) Các tam giác AMN, EAI và DAI là những tam giác cân;
b) Tứ giác AMIN là hình thoi.
2.2. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (/). Các tia AI, BI, CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC tại D, E, F. Dây EF cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh: a) DI = DB;
b) AM = AN;
Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng song song hoặc vng góc. Chứng minh các đẳng thức cho
trước
Phương pháp giải: Áp dụng hai định lý về số đo của góc có đỉnh bên trong đường trịn, góc có đỉnh bên
ngồi đường trịn để có được các góc bằng nhau, cạnh bằng nhau. Từ đó, ta suy điều cần chứng minh.
3.1. Từ điểm P ở ngồi (O), vẽ tiếp tuyến PA với đường trịn và cát tuyến PBC với P, B,C  (O).
a) Biết PC = 25cm; PB = 49cm. Đường kính (O) là 50cm. Tính PO.
b) Đường phân giác trong của góc A cắt PB ở I và cắt (O) ở D. Chứng minh DB là tiếp tuyến của đường
tròn ngoại tiếp AIB.
3.2. Cho (O) có hai đường kính AB và CD vng góc với nhau. Trên đường kính AB lấy điểm E sao cho
AE = R 2 . Vẽ dây CF đi qua E. Tiếp tuyên của đường tròn tại F cắt CD tại M, vẽ dây Aỉ cắt CD tại N.
Chứng minh:
a) Tia CF là tia phân giác của góc BCD;
b) MF và AC song song;
c) MN, OD, OM là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông.
4.1. Cho tam giác ABC phân giác AD. Vẽ đường tròn (O) đi qua A, D và tiếp xúc với BC tại D. Đường
tròn này cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh:
a) EF song song BC;

b) AD2 = AE.AC;

c) AE.AC = AB.AF.


2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


4.2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Các tia phân giác của các góc A và B cắt nhau ở 7 và
cắt đường tròn theo thứ tự ở D và E. Chứng minh:
a) Tam giác BDI là tam giác cân;
b) DE là đường trung trực của IC;
c) IF và BC song song, trong đó F là giao điểm của DE và AC.
III. BÀI TẬP VỂ NHÀ
5. Từ điểm P nằm ngồi đường trịn (O), kẻ hai cát tuyến PAB và PCD (A nằm giữa P và B, C nằm giữa P
và D), các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại Q.

 = 60° và 
.
AQC = 80°. Tính góc BCD
a) Cho biết P
b) Chứng minh PA.PB = PC.PD.
 cắt BC
6. Từ một điểm A bên ngoài (O), vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD. Tia phân giác của góc BAC
và BD lần lượt tại M và N. Vẽ dây BF vng góc với MN, cắt MN tại H, cắt CD tại E. Chứng minh:
b) FD2 = FE.FB.

a) Tam giác BMN cân;

 . Gọi E là giao điểm
7. Cho tam giác đều MNP nội tiếp đường tròn tâm (O). Điểm D di chuyển trên MP
  MND
.

của MP và ND, gọi F là giao điểm của MD và NP. Chứng minh MFN
8. Trên đường tròn (O)lấy ba điểm A, B và C.Gọi M, N và P theo thứ tự là điểm chính giữa cua các cung
AB, BC và AC. BP cắt AN tại I, NM cắt AB tại E. Gọi D là giao điểm của AN và BC. Chứng minh:
a) Tam giác BNI cân;

b) AE.BN = EB.AN;

c) EI song song BC;

d)

AN AB

.
BN BD

9. Từ điểm M nằm bên ngồi đường trịn (O), vẽ tiếp tuyến MA và cát tuyến MCB với A,B,C  (O). Phân
 cắt BC tại D, cắt (O) tại N. Chứng minh:
giác góc BAC
a) MA = MD;
b) Cho cát tuyến MCB quay quanh M và ln cắt đưịng trịn. Chứng minh MB.MC khơng đổi.
c) NB2 = NA.ND.

3. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


10. Tam giác MNP nội tiếp đường tròn tâm (O), các điểm I, K, H là điểm chính giữa của các cung MN,
NP, PM. Gọi J là giao điểm của IK và MN, G là giao điểm của HK và MP. Chứng minh JG song song với

NP.
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN
  BID
  1 sd CD

1.1. a) MCD
2

b) Sử dụng kết quả câu a).
1.2. Tương tự 1A. HS tự làm.
1 
2.1. a) 
AMN  
ANM  sd ED
2

Suy ra AMN cân tại A. Kéo dài AI cắt đường tròn (o) tại
K. Chứng minh tương tự, ta có AIE và DIA lần lượt cân
tại E và D.
b) Xét AMN cân tại A có AI là phân giác. Suy ra AI  MN
tại F và MF = FN. Tương tự với EAI cân tại E, ta có: AF =
IF. Vậy tứ giác AMIN là hình hình hành. Mà AI  MN 
ĐPCM.
2.2. Tương tự 2.1. HS tự làm.
3.1. a) Chứng minh được PA2 = PC.PB và PA2 = PO2 = OA2
 tính được PO.
  DAB
  1 CAB
  ĐPCM.
b) Chứng minh được DBC

2

3.2. a) Học sinh tự chứng minh.

 ( 
AFM  CAF
ACF )  MF / / AC .
b) Chứng minh 
  MNF
  MNF cân tại
c) Chứng minh: MFN

M  MN  MF
Mặt khác: OD = OF = R.
Ta có MF là tiếp tuyến nên OFM vng  ĐPCM.
4. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


4.1. a) HS tự chứng minh.
b) ADE  ACD (g-g)
 AD2 = AE.AC
c) Tương tự: ADF  ABD  AD2 = AB.AF  ĐPCM.
  DBE
  BID cân ở D.
  1 sđ DE
4.2. a) BID
2
b) Chứng minh tương tự: IEC cân tại E, DIC cân tại D.

 EI = EC và DI = DC
 DE là trung trực của CI.
c) F  DE nên FI = FC
  FCI
  ICB
  IF / / BC
 FIC
1
 - sđ 
 +
  1 (sđ BD
5. a) Ta có: BPD
AC ), 
AQC  (sđ BD
2
2

AC )
sđ 


 = 1400
 BPD
AQC = sđ BD
  700
 BCD
b) HS tự chứng minh
6. a) HS tự chứng minh BMN cân ở B.
b) EDF  DBF ( g .g )



DF EF

BF DF

 DF 2  EF .BF

7. HS tự chứng minh
8. a) Chứng minh tương tự 4B ý a).
b) M chính giữa 
AB

5. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


 là phân giác BNA

 NE


BN EB
(tính chất đường phân giác)  BN.AE =

AN EA

NA.BE
c) Chứng tinh tương tự 4B
d) Chứng minh ABN  DBN  ĐPCM/

9. HS tự chứng minh
  MG  MK (1)
10. KG là đường phân giác của MKP
GP KP
  MJ  MK (2)
KJ là đường phân giác của MKN
JN KN

Chứng minh được: KN = KP (3)
Từ (1); (2); (3) 

MG MJ
 ĐPCM

GP JN

B.NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường trịn (O) đường kính AB cắt đường trịn (O’) đương kính
AC tại D, M là điểm chính giữa cung nhỏ DC, AM cắt đường tròn (O) tại N, cắt BC tại E. Chứng minh O,
N, O’ thẳng hàng.
Bài 2. Cho các điểm A1 , A2 ,...., A19 , A20 được sắp xếp theo thứ tự đó trên cùn một đường tròn (O). Chúng
chia đường tròn thành 20 cung bằng nhau. Chứng minh rằng dây A1 A8 vuông góc với dây A3 A16 .
Bài 3. Cho ABC cân tại B. Qua B kẻ đường thẳng xy song song với AC. Gọi O là một điểm trên xy. Vẽ
đường tròn tâm O tiếp xúc với AC ở D, cắt các cạnh AB và BC ở E và F. Chứng minh rằng số đo cung
 không đổi khi O di chuyển trên xy.
EF
Bài 4. Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các
tiếp điểm). Một cát tuyến qua M, cắt (O) tại hai điểm C và D (C nằm giữa M và D).
a) Chứng minh AC .DB  AD.CB
b) Tia phân giác góc CAD cắt CD tại I. Chứng minh BI là tia phân giác góc CBD.

6. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Bài 5. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là giao điểm của AC và BD. Biết đường tròn (K)
ngoại tiếp IAD cắt các cạnh AB, CD của tứ giác lần lượt tại E và E  E  A; F  D  . Đường thẳng EF
cắt AC, BD lần lượt tại M, N.
AME  
AD I .
a) Chứng minh rằng 
b) Chứng minh KI  BC .
  90 . Vẽ đường tròn tâm I đường
Bài 6. Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn  O; R  biết rằng BOC

kính BC, cắt AB, AC tại M, N. Chứng minh rằng: MN  R .
Bài 7. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến tại B và C của đường trịn (O) cắt
  2 BMC
 . Tính số đo góc BAC
.
nhau tại M. Biết rằng BAC

Bài 8. Cho đường trịn  O; R  có dây AB  R 3 ; Trên cung lớn AB lấy dây CD  R (C thuộc cung BD).
Chứng minh rằng AC  BD .
Bài 9. Từ điểm A ở bên ngoài (O) kẻ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD. Vẽ dây BM vng góc với tia
phân giác góc BAC tại H cắt CD tại E. Chứng minh BM là tia phân giác góc CBD.
HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ

  sđ CM


sđ AD
Bài 1. Xét (O’) có: 
AEB 
2
(Góc có đỉnh ở bên trong đường trịn).



  sđ ADM  sđ AD  sđ MD
BAM
2
2
(Góc tại bởi tia tiếp tuyến và dây cung).
  AE

Suy ra BAM
B
 tam giác ABE cân tại B nên BN vừa là đường cao vừa là trung
tuyến.
 NA  NE và OA  OB, OA  OC

 NO, NO’ là đường trung bình của tam giác ACE, ABE nên ON / / CE , NO / / EB
7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Do đó O, N, O’ thẳng hàng.
Bài 2. Số đo mỗi cung nhỏ là 360 : 20  18
+ Số đo cung nhỏ A1 A 3 là: sñ 

A1 A3  2.18  36
+ Số đo cung nhỏ A8 A16 là: sñ 
A8 A16  8.18  144
Gọi M là giao điểm A1 A 3 và A3 A16
sñ 
A1 A3  sđ 
A8 A16 36  144

Ta có A
MA


 90
1
3
2
2

Suy ra A1 A8 vng góc với A3 A16 .
Bài 3. Gọi AB, CB cắt đường tròn tại điểm thứ hai là F’, E’
Kẻ đường cao BK của tam giác ABC, gọi I là giao điểm của tia đối tia BK với đường trịn, ta có:

E



BI ; E
Bx  E
A
BK  CBK

Bx
E

F 
Suy ra E và E’ đối xứng nhau qua xy, tương tự E, F’ đối xứng nhau qua xy  EF

Theo tính chất góc có đỉnh bên trong đường trịn, ta có:


  sđ EF  sđ E F   sđ EF

ABC
2
Vậy số đo cung EF khơng đổi khi O di chuyển trên dường thẳng BC.
Bài 4.
a) MAC ~ MDA 

MA AC

M D AD

MBC ~ MDB 

MB CB

MD DB

Mà MA  MB nên

AC CB


hay AC .DB  AD.CB
AD DB

b) Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng AI với (O).



1
  1 sñ 

AE  sñ 
AC  sđ CE
Ta có: MAI
2
2



8. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 






  1 sñ 
 mà ED

  CE
.
MIA
AC  sđ ED
2
  MIA
 suy ra AMI cân.
Nên MAI
Do đó MA  MI .
Mà MA  MB nên MB  MI
  MBI
,
Vậy BMI cân  MIB
  MBI
  MBC
  MIB
  MDB
D

Do đó: CBI
BI .

Vậy BI là tia phân giác của góc CBD.
Bài 5.
B

a) Ta có: BAC
DC (cùng chắn cung BC của (O)).

  1 sñ IE

;
Xét đường trịn (K) có BAC
2
  1 sđ IF
  IE
  IF

BDC
2



  1 sñ 

AME
AE  sñ IF
2








1
  sñ IE
  1 sñ AI
  ADI


sñ AE
2
2



 (cùng chắn cung AB của (O) mà A
b) 
ME  AD
B
ADB  ACB


A
ME  A
CB  EF / / BC 1
  IF
  KI  EF 2
Lại có IE
 
Từ (1) và (2) ta có: KI  BC .

9. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Bài 6. Xét đường trịn (O) có:

  BOC  45 (hệ quả góc nội tiếp)

BAC
2

  180  sđ MN
Xét đường trịn (1) có: BAC
2
(Góc có đỉnh ngồi đường trịn)
Hay 45 


180  sđ MN
  90  MIN
  90 .
 sñ MN
2

Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:
MN 2  MI 2  NI 2  2.MI 2 

BC 2
 BC  MN . 2
2

BC 2  BO 2  CO 2  2R 2  BC  R. 2 . Suy ra MN  R .

  x; sđ BC
  y ta có x  y  360 (1)
Bài 7. Đặt sñ BAC

  sñ BC  y (góc nội tiếp).

Ta có BAC
2
2


  sđ BAC  sđ BC  x  y
BMC
2
2
(góc có đỉnh bên ngồi đường trịn)
  2 BMC
 nên y  2 x  y
Mà BAC
 

Hay 2 x  3y  2 

 x  y  360
 x  216

Từ (1) và (2) suy ra 
2 x  3 y
 y  144

  sñ BC  72 .
Từ đó suy ra BAC
2
  120 ;
Bài 8. AB  R 3 nên sñ AB



D  60
AB  R nên sđC
10. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


  sñCD

sñ AB

IB 
 90 nên AC  BD .
Gọi AC cắt BD tại I ta có: A
2
Bài 9. Tam giác ABE có AH là đường phân giác, đồng thời là đường cao, nên tam giác ABE cân tại đỉnh
A.


Do đó A
BE  AE
B
 sđ BC
  sđCM

sđ BM

BE 


Mà A
2
2
  sñ MD

sñ BC

AEB 
2
  sñ MD
 vậy CBM
  MB

D
Suy ra sñCM

C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ
Câu 1: Cho hình vẽ dưới đây, góc BIC có số đo bằng:
I

A

B

D

O

C


A.

1
 + sđCD
 ) . D. 1 (sđAB
 - sđCD
) .
 + sđAD
 ) . B. 1 (sđBC
 - sđAD
 ) . C. 1 (sđAB
(sđBC
2
2
2
2

Câu 2: Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn có số đo:
A. Bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

B. Bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

C. Bằng số đo cung lớn bị chắn.

D. Bằng số đo cung nhỏ bị chắn.

Câu 3: Cho hình vẽ dưới đây, góc DIE có số đo bằng:

11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 

 


m

D

E

I

C

O

n
F

A.

1
 + sđCnF
 ) .B. 1 (sđDmE
 - sđCnF
 ) .C. 1 (sđDF
 + sđCE
 ) .D. 1 (sđDF
 - sđCE
) .
(sđDmE

2
2
2
2

Câu 4: Góc có đỉnh bên trong đường trịn có số đo
A. Bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

B. Bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

C. Bằng số đo cung lớn bị chắn.

D. Bằng số đo cung nhỏ bị chắn.

Câu 5: Cho nửa đường tròn (O ) đường kính AB và C là điểm trên cung nhỏ AB (cung CB nhỏ hơn
cung CA ). Tiếp tuyến tại C của nửa đường tròn cắt đường thẳng AB tại D . Biết tam giác ADC cân tại
C . Tính góc ADC .

A. 40 .

B. 45 .

C. 60 .

D. 30 .

Câu 6: Cho đường tròn (O ) và điểm E nằm ngồi đường trịn. Vẽ cát tuyến EAB và ECD với đường
tròn ( A nằm giữa E và B,C nằm giữa E và D ). Gọi F là một điểm trên đường trịn sao cho B nằm
 là:
chính giữa cung DF , I là giao điểm của FA và BC . Biết E = 25 , số đo góc AIC


A. 20 .

B. 50 .

C. 25 .

D. 30 .

 = sđBC
 . Gọi I là giao điểm
 = sđCD
Câu 7: Trên (O ) lấy bốn điểm A, B,C , D theo thứ tự sao cho sđAB

 = 70
.
của BD và AC , biết BIC
. Tính ABD

A. 20 .

B. 15 .

C. 35 .

D. 30 .

Câu 8: Cho (O; R) và dây AB bất kỳ. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AB, E ; F là hai điểm bất kỳ
 + ECD


trên dây AB . Gọi C , D lần lượt là giao điểm của ME ; MF với (O ) . Khi đó EFD
bằng

A. 180 .

B. 150 .

C. 135 .

12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

D. 120 .


Câu 9: Cho (O; R) và dây AB bất kỳ. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AB, E ; F là hai điểm bất kỳ
 + CDF

trên dây AB . Gọi C , D lần lượt là giao điểm của ME ; MF với (O ) . Khi đó CEF
bằng

A. 120 .

B. 150 .

C. 145 .

D. 180 .


Cho (O; R) có hai đường kính AB,CD vng góc với nhau. Gọi M là điểm chính giữa cung BC . Dây
AM cắt OC tại E , dây CM cắt đường thẳng AB tại N .

Câu 10: Tam giác MCE là tam giác gì?
A. DMEC cân tại E . B. DMEC cân tại M .

C. DMEC cân tại C . D. DMEC đều.

Câu 11: Hai đoạn thẳng nào sau đây bằng nhau?
A. BN ; BC .

B. BN ; NC .

C. BC ; NC .

D. BC ;OC .

Câu 12: Tính diện tích tam giác CBN theo R .
A.

R2 3
.
2

B.

R2 2
.
2


C.

R2 3
.
2

D. R2 2 .

Câu 13: Số đo góc MEC bằng:
A. 68 .

B. 70 .

C. 60 .

D. 67, 5 .

Câu 14: Số đo góc CNA bằng:
A. 45 .

B. 30 .

C. 22, 5 .

D. 67, 5 .

Câu 15: Tính diện tích tam giác CON theo R .
A.

2 +1 2

R .
2

B.

R2 2
.
2

C.

R2
.
2

D. R 2 ( 2 + 1) .

 cắt BC , BD lần lượt tại
Từ A ở ngoài (O ) vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD . Tia phân giác BAC

M , N . Vẽ dây BF vng góc với MN tại H và cắt CD tại E .

Câu 16: Tam giác BMN là tam giác gì?
A. DBMN cân tại N .B. DBMN cân tại M . C. DBMN cân tại B .

D. DBMN đều.

Câu 17: Tích FE .FB bằng:
A. BE 2 .


B. BF 2 .

C. DB 2 .

13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

D. FD 2 .


Trên đường tròn (O; R) vẽ ba dây liên tiếp bằng nhau AB = BC = CD , mỗi dây có độ dài nhỏ hơn R .
Các đường thẳng AB,CD cắt nhau tại I , các tiếp tuyến của (O ) tại B và D cắt nhau tại K .
Câu 18: Góc BIC bằng góc nào dưới đây?
.
A. DKC

.
B. DKB

.
C. BKC

.
D. ICB

Câu 19: BC là tia phân giác của góc nào dưới đây?
.
A. KBD


.
B. KBO

.
C. IBD

.
D. IBO

Câu 20: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O ) . Các tiếp tuyến tại B,C của (O ) cắt nhau tại M . Biết
 = 2BMC
 . Tính BAC
.
BAC

A. 45 .

B. 50 .

C. 72 .

D. 120 .

Câu 21: Cho đường tròn (O ) và một dây AB . Vẽ đường kính CD ^ AB ( D thuộc cung nhỏ AB ). Trên
cung nhỏ BC lấy điểm M . Các đường thẳng CM , DM cắt đường thẳng AB lần lượt tại E và F . Tiếp
tuyến của đường tròn tại E và F . Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt đường thẳng AB tại N . Hai
đoạn thẳng nào dưới đây không bằng nhau?
A. NM ; NE .

B. NM ; NF .


C. NE ; NF .

D. EN ; AE .

Câu 22: Cho (O; R) có hai đường kính AB,CD vng góc với nhau. Trên đường kính AB lấy điểm E
sao cho AE = R 2 . Vẽ dây CF đi qua E . Tiếp tuyến của đường tròn tại F cắt đường thẳng CD tại M ,
dây AF cắt CD tại N . Chọn khẳng định sai.
A. AC //MF .

B. DACE cân tại A . C. DABC cân tại C . D. AC //FD .

Câu 23: Cho (O; R) có hai đường kính AB,CD vng góc với nhau. Trên đường kính AB lấy điểm E
sao cho AE = R 2 . Vẽ dây CF đi qua E . Tiếp tuyến của đường tròn tại F cắt đường thẳng CD tại M ,
dây AF cắt CD tại N . Tính độ dài ON theo R .
A.

R
.
2

B. 2R - 1 .

C. ( 2 - 1)R .

D. ( 2 + 1)R .

Câu 24: Cho DABC nhọn nội tiếp đường tròn (O ) . Vẽ phân giác trong AD của góc A (D ¹ O ) . Lấy
điểm E thuộc cung nhỏ AC . Nối BE cắt AD và AC lần lượt tại I và tại K , nối DE cắt AC tại J .
Kết luận nào đúng?

 = AJE
.
A. BID

 = 2AJE
 . C. 2BID
 = AJE
 . D. Các đáp án trên đều sai.
B. BID

14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Câu 25: Cho tam giác ABC cân tại A , nội tiếp (O ) . Trên cung nhỏ AC , lấy điểm D . Gọi S là giao
điểm của AD và BC , I là giao điểm của AC và BD . Khẳng định nào sau đây là đúng?
 = DCA
.
A. ASC

 = 2DCA
.
B. ASC

 = DCA
.
C. 2ASC

D. Các đáp án trên sai.


Câu 26: Cho đường tròn (O ) . Từ một điểm M nằm ngoài (O ) , vẽ các cát tuyến MCA và MBD sao cho
 = 70
 = 40 . Gọi E là giao điểm của AD và BC . Biết AEB
góc CMD
, số đo cung lớn AB là:

A. 200 .

B. 240 .

C. 290 .

D. 250 .

Câu 27: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O ) . Trên các cung nhỏ AB và AC lần lượt lấy
các điểm I , K sao cho cung AI = cung AK . Dây IK cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E .
 = ACB
.
A. ADK

 = 1 (sđAC
 ) . C. AEI
 = ABC
 . D. Tất các các câu đều đúng.
 + sđCB
B. ADI
2

Câu 28: Cho đường tròn (O ) và một dây AB . Vẽ đường kính CD vng góc với AB ( D thuộc cung

nhỏ AB ). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm N . Các đường thẳng CN và DN lần lượt cắt các đường
thẳng AB tại E và F . Tiếp tuyến của đường tròn (O ) tại N cắt các đường thẳng AB tại I . Chọn đáp
án đúng.
A. Các tam giác FNI , INE cân.

 = 2NDC
.
B. IEN

 = 3DCN
.
C. DNI

D. Tất cả các câu đều sai.

HƯỚNG DẪN
1. Lời giải:
Số đo của góc có đỉnh bên ngồi đường trịn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn:
1



B
IC = (sđB
C - sđA
D)
2

Đáp án cần chọn là B.
2. Lời giải:

Số đo của góc có đỉnh bên ngồi đường trịn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
Đáp án cần chọn là A.
3. Lời giải:
Số đo của góc có đỉnh bên trong đường trịn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


 = 1 (sđD

) .
DIE
mE + sđCnF
2

Đáp án cần chọn là A.
4. Lời giải:
Số đo của góc có đỉnh bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
Đáp án cần chọn là B.
5. Lời giải:
C

B

O

A

D


1
 = 1 sđBC

 và C


Xét nửa đường trịn có BAC
AD = (sđA
C - sđ B
C)
2

2

 =CDA
  sđBC
 = sđAC
 - sđBC
.
Mà DADC cân tại C nên DAC
 = 2.sđBC
.
Suy ra sđAC
 + sđBC
 = 180 nên sđAC
 = 120; sđBC
 = 60 .
Mà sđAC
 = 30 .

Do đó ADC

Đáp án cần chọn là D.
6. Lời giải:
B

O

A
I

C

D



B nằm chính giữa cung DF nên sđBD = sđBF

Mặt khác góc tại E và I là hai góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nên
16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


 = 1 (sđBD
 - sđAC
 - sđAC
 ) = 1 (sđBF
) = 

E
I
2
2

Theo đề bài ta có: E = 
I = 25 .
Đáp án cần chọn là C.
7. Lời giải:
B

O

A
I

D

C

 = sđBC
 nên gọi số đo mỗi cung là a độ. Ta có số đo cung AD là 360 - 3a
 = sđCD
Vì sđAB
 là góc có đỉnh bên trong đường trịn nên
Vì BIC

 = a + 360 - 3a = 70  a = 110  số đo cung AD là 360 - 3.110 = 30 ,
BIC
2

 = 30 = 15 .
 là góc nội tiếp chắn cung AD nên ABD
ABD
2

Đáp án cần chọn là B.
8. Lời giải:
M
B

E

n
F

C

A
O

D
m

 = 1 (sđMnA
)
 là góc có đỉnh bên trong đường trịn nên: EFD
 + sđBmD
Ta có EFD
2


 = MCD
 = 1 sđMnD

Và ECD
2

17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


 + ECD
 = 1 (sđMnA
 + sđMnD
)
 + sđBmD
Từ đó EFD
2

 = sđMB
 nên EFD
 + ECD
 = 1 (sđMB
 + sđMnA
 + sđBmD
 + sđAD
 ) = 1 .360 = 180 .
Mà sđAnM
2


2

Đáp án cần chọn là A.
9. Lời giải:
M
B

E

n
F

C

A
O

D
m

1
2

 = (sđAmC
 + sđBM
)
 là góc có đỉnh bên trong đường trịn nên: CEF
Ta có CEF
 = 1 sđMC
 (góc nội tiếp chắn cung MC )

Và MDC
2

1
2

 + CDF
 = (sđAmC
 + sđBM
 + sđMC
)
Từ đó CEF

 = sđMB
 nên EFD
 + ECD
 = 1 (sđAmC
 + sđAnM
 + sđMC
 ) = 1 .360 = 180 .
Mà sđAnM
2

2

Đáp án cần chọn là D.
10. Lời giải:
C
M
E


N

B

O

A

D

 = 1 (sđAD
)
 là góc có đỉnh bên trong đường trịn nên MEC
 + sđMC
Xét (O ) có MEC
2

18. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


 = MCD
 = 1 (sđ BD
 + sđBM
)
Và MCE
2


 ; AD

 = MC
 = BD
Mà MB

 = MCE
  DMEC
Từ đó MEC
cân tại M .

Đáp án cần chọn là B.
11. Lời giải:
1
2

 là góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nên 
 - sđMB
)
Xét (O ) có CNA
CNB = (sđAC

=
Mà sđMB

1 
 = 1 sđMB
.
sđAC nên CNA
2

2

 = 1 sđMB
 = BNC
  DBNC cân tại B  BN = BC .
 (góc nội tiếp) nên MCB
Lại có MCB
2

Đáp án cần chọn là A.
12. Lời giải:
Xét DCOB vuông cân tại O ta có: BC = OC 2 + OB 2 = R 2
Nên BN = R 2 .
1
2

Khi đó S BNC = NB.CO =

R2 2
2

Đáp án cần chọn là B.
13. Lời giải:
 = sđBC
 = sđAD
 = sđBD
=
Vì đường kính AB và CD vng góc với nhau nên sđAC

 = sđMB

=
Vì M là điểm chính giữa cung BC nên sđMC
 là góc có đỉnh bên trong đường trịn nên
Xét (O ) có MEC

 = 1 (sđAD
 ) = 90 + 45 = 67, 5 .
 + sđMC
MEC
2
2

Đáp án cần chọn là D.
19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

90
= 45
2

360
= 90
4


14. Lời giải:
1
2


 = (sđAC
 là góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nên CNB
 - sđMB
)
Xét (O ) có CNA
=

1
(90 - 45) = 22, 5 .
2

Đáp án cần chọn là C.
15. Lời giải:
1
2

 = (sđAC
 là góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nên CNB
 - sđMB
)
Xét (O ) có CNA

=
Mà sđMB

1 
 = 1 sđMB
.
sđAC nên CNA
2

2

 = BNC
  DBNC
 = 1 sđMB
 (góc nội tiếp) nên MCB
Lại có MCB
cân tại B  BN = BC .
2

Xét DCOB vng cân tại O ta có BC = OC 2 + OB 2 = R 2 nên BN = R 2 .
Suy ra NO = NB + OB = R + 2R = R(1 + 2) .
1
2

1
2

Khi đó SONC = NO.CO = (1 + 2)R.R =

2 +1 2
R .
2

Đáp án cần chọn là A.
16. Lời giải:
B
A

I

C

M

N

H
E

K
O

D

F

Xét (O ) có đường thẳng AM cắt đường tròn tại I ; K .
Khi đó

 = 1 (sđBK
)
 - sđBI
BAK
2

 = 1 (sđDK
)
 - sđCI
CAK
2

20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


 = CAK
  1 (sđBK
 ) = 1 (sđDK
)
 - sđBI
 - sđCI
Mà BAK
2

Nên

2

1
 ) = 1 (sđDK
)
 + sđCI
 + sđBI
(sđBK
2
2

 = BNM
  DBMN
Hay BMN

cân tại B .

Đáp án cần chọn là C.
17. Lời giải:
 = DBF

Vì tam giác BMN cân tại B có BH là đường cao nên BH cũng là đường phân giác  CBF
 = CDF

 = DF
  DBF
 CF
(hệ quả góc nội tiếp)  DFED DFDB (g - g)


EF
FD
=
 FE .FB = FD 2 .
FD
FB

Đáp án cần chọn là D.
18. Lời giải:
K
I
C
n

B


D

O

A

m

 = BC
 = DC

Vì ba dây AB = BC = CD  AB
 = 1 (sđAmD
 - sđBC
)
Xét (O ) có: BIC
2

 = 1 (sđBmD
 - sđBnD
 + sđBA
 - 2.sđBC
 - sđBC
.
 ) = 1 (sđAmD
 ) = 1 (sđAmD
 ) = BIC
DKB
2

2
2

Đáp án cần chọn là B.
19. Lời giải:
21. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


K
I
C
B
D

O

A

 = CBD
 (hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
Xét (O ) có KBC
 = CBD
 (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
Lại có CDB

 = KBC
  BC
Nên CBD

là tia phân giác góc KBD .

Đáp án cần chọn là A.
20. Lời giải:
M

n

C

B

O
A
m

 = 1 (sđBmC
 - sđBnC
 ) (góc có đỉnh bên ngồi đường trịn)
Xét (O ) có BMC
2

 = 1 sđBnC

Và BAC
2

 - sđBnC
 = 3 .sđBnC
 = 2BMC

 nên (sđBmC
 ) = 1 sđBnC
  sđBmC

Mà BAC
2

 + sđBnC
 = 360
Mà sđBmC

22. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

2


=
Nên sđBnC

2.360
 = 144 = 72 .
= 144 , do đó BAC
5
2

Đáp án cần chọn là C.
21. Lời giải:
A


D

E
O

C

B

M

N

F

Xét (O ) có D là điểm chính giữa cung AB (Vì đường kính CD ^ AB nên đi qua điểm chính giữa cung
AB ).
 = 1 sđDM
 (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
NMD
2
 = 1 (sđMB
 ) = NMD
.
 + sđAD
 ) = 1 (sđMB
 + sđBD
MEN
2

2

Suy ra DMNE cân tại N  NE = NM (*)
 + FEM
 = 90 = NMF
 + NME

 = NMF
 (vì NFM
 = NEM
)
Lại có NFM
và NME

Nên DNMF cân tại N  NF = NM (**)
Từ (*) và (**) suy ra NE = NF = NM .
Đáp án cần chọn là D.
22. Lời giải:

23. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


C

A

E


O

B

N
D

F

M

Xét DAOC vng cân tại O có AC = OA2 + OC 2 = R 2
 
 AC = AE nên DAEC cân tại A  ACE = AEC

Hay

1
 ) = 1 (sđAC
)
 + sđDF
 + sđBF
(sđAD
2
2

 = BF

 = AC
 nên DF

Mà AD
.
 = 1 sđAD
 = 1 (sđFC
 - sđDF
)
 ; FMC
Ta có ACD
2

2

 = BF

Mà DF
 = 1 sđBC

 = 1 sđAD
 = ACD
Nên FMC
2

2

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên AC //MF .
Xét tam giác CAB có CO là đường trung trực của AB
nên DACB cân tại C .
Phương án A, B, C đúng.
Đáp án cần chọn là D.
23. Lời giải:

Xét DAOC vuông cân tại O có AC = OA2 + OC 2 = R 2  AO = AE nên DAEC cân tại
 = AEC

A  ACE

Hay

1
 ) = 1 (sđAC
)
 + sđDF
 + sđBF
(sđAD
2
2

24. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


 = BF

 = AC
 nên DF
.
Mà AD
 = BF

 = EOF

  AOF
 = COF

nên NOF
Lại có DF
 = OFN

Suy ra DOAF = DOCF (c - g - c )  OFE

Suy ra DOEF = DONF (g - c - g )  OE = ( 2 - 1)R .
Đáp án cần chọn là C.
24. Lời giải:
A
E

K
I

J

B

C

D

 là góc có đỉnh nằm trong đường trịn (O ) chắn hai cung BD và AE
Ta có BID

 = 1 (sđBD

 + sđAE
)
 BID
2
 là góc có đỉnh nằm trong đường trịn (O ) chắn hai cung CD và AE
AJE

 = 1 (sđAE
 + sđDC
)
 AJE
2

 = sđCD

Mà AD là phân giác của góc A nên sđBD
 = AJE
.
Suy ra BID

Đáp án cần chọn là A.
25. Lời giải:

25. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


×