Chuyên đề Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

CHUYÊN ĐỀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A.KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
a1 x  b1 y  c1
1. Cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: 
a2 x  b2 y  c2

1
I 
 2

 Nếu hai phương trình trên có nghiệm chung  x0 ; y0  thì  x0 ; y0  được gọi là một nghiệm của
hệ  I  .
 Giải hệ phương trình là tìm tập nghiệm của nó.
2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

 a 
c
 Phương trình a1 x  b1 y  c1 1 có thể được viết lại như sau: y    1  x  1 có đồ thị là
b1
 b1 
 a 
đường thẳng  d1  với hệ số góc là   1  .
 b1 
 a 
c
 Phương trình a2 x  b2 y  c2  2  có thể được viết lại như sau: y    2  x  2 có đồ thị là
b2
 b2 
 a 
đường thẳng  d 2  với hệ số góc là   2  .
 b2 

Do đó, tập nghiệm của hệ phương trình  I  được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai
đường thẳng  d1  : a1 x  b1 y  c1 và  d 2  : a2 x  b2 y  c2

 Nếu  d1  cắt  d 2  thì hệ  I  có một nghiệm duy nhất.
 Nếu  d1  //  d 2  thì hệ  I  vơ nghiệm.
 Nếu  d1    d 2  thì hệ  I  có vơ số nghiệm.
* Tính nhanh số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
a
b
c
 Hệ vô nghiệm  1  1  1
a2 b2 c2
 Hệ có một nghiệm duy nhất 
 Hệ có vơ số nghiệm 

a1 b1

a2 b2

a1 b1 c1
 
a2 b2 c2

3. Hệ phương trình tương đương
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

1. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

SƠ ĐỒ

Phương trình (1) có đồ thị là đường thẳng
với
Phương trình (1) có đồ thị là đường thẳng
với

HỆ PHƯƠNG
TRÌNH BẬC
NHẤT HAI ẨN

Số nghiệm của hệ
là số giao điểm
của hai đường
thẳng
và
Nghiệm của hệ là nghiệm chung
của hai phương trình (1) và (2)

Nếu

là nghiệm

Nhìn nhanh số nghiệm của hệ:
* Vơ nghiệm

của hệ
* Một nghiệm duy nhất
* Vơ số nghiệm

2. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


B.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1: Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình
Bài 1. Nối mỗi hệ phương trình với một cặp số tương ứng mà nó nhận làm nghiệm

1)

 3;1

7
1
 2 x  2 y  2

 2x  y  19

2

a)

2)

 x  y  3

-2x- 2 y  6

b)

 1
 5; 
 2

3)

2x  y  3

3x  2 y  4,5

c)



4)

 x 2  y 3  5

 x 3  y 2  0

d)

1,5;0 

2; 3



Bài 2. Cặp số  3;1 có là nghiệm của phương trình nào sau đây ?
3x  y  8
a) 
7x  2 y  19

x  2 y  5
b) 
 x  2 y 1

 2 1 x  3 y  3 2

d) 
x  2  1 y  4


3x  2 y  6
e) 
2x  y  7









3 y  x  0
c) 
x  5 y   2

Bài 3. Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao.

ìï y = 3 - 2 x
;
a) ïí
ïïỵ y = 3x - 1

ìï
ïï y = 1 x + 3
2
;
b) ïí
ïï
1
ïï y = - x + 1
2
ïỵ

ìï2 y = -3x
c) ïí
;
ïïỵ3 y = 2 x

ìï3 x - y = 3
ï
d) ïí
.
ïïx - 1 y = 1
ïỵ

3
Bài 4. Đốn nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao.

ìïx + y = 2
;
a) ïí
ïïỵ3x + 3 y = 2

ìï3x - 2 y = 1
;
b) ïí
ïïỵ-6 x + 4 y = 0

ìï4 x - 4 y = 2
;
c) ïí
ïïỵ-2 x + 2 y = -1

ìï 1
ïï x - y = 2
d) í 3
3.
ïï
ïỵx - 3 y = 2

3. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

Bài 5. Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số sau có phải là một nghiệm của hệ phương trình tương ứng hay
khơng?
a) (-4 ; 5) ,

ìï7 x - 5 y = -53
ïí
;
ïïỵ-2 x + 9 y = 53

c) (1, 5 ; 2), (3 ; 7 ) ,

ìï0, 2 x + 1,7 y = -18,1
ïí
;
ïïỵ3, 2 x - y = 20,6

b) (3 ; - 11) ,

ìï10 x - 3 y = 9
ïí
;
ïïỵ-5x + 1, 5 y = -4, 5

d) (1 ; 8) ,

ìï5x + 2 y = 9
ïí
.
ïïỵx - 14 y = 5

Bài 6. Hãy biểu diễn y qua x ở mỗi phương trình (nếu có thể) rồi đốn nhận số nghiệm của mỗi hệ
phương trình sau đây và giải thích vì sao (khơng vẽ đồ thị).

ìï4 x - 9 y = 3
a) ïí
;
ïïỵ-5x - 3 y = 1

ìï2, 3x + 0,8 y = 5
b) ïí
;
ïïỵ2 y = 6

ìï3 x = -5
c) ïí
;
ïïỵx + 5 y = -4

ìï3x - y = 1
d) ïí
.
ïïỵ6 x - 2 y = 5

Bài 7. Đốn nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:

ìï2 x + y = 3
a) ï
;
í
ïïỵ3x - y = 1

ìï3x + 2 y = 0
b) ï
;
í
ïïỵ2 x - 3 y = 0

ìï3x + 0 y = 6
c) ï
;
í
ïïỵ2 x + y = 1

ìïx - y = 4
d) ï
;
í
ïïỵ0 x - y = 2

ìïx + 2 y = 3
e) ï
;
í
ïïỵ2 x + 4 y = 1

ìïx + y = 1
ï
f) ïí x y 1 .
ïï + =
ïỵ 2 2 2

ìï3x - y = 1
Bài 8. Chứng tỏ rằng hệ phương trình: ï
í
ïïỵax + 2 y = 3
a) Có nghiệm duy nhất với a = - 2 ;
b) Vô nghiệm với a = - 6

ìï3x - 2 y = a
Bài 9. Chứng tỏ rằng hệ phương trình: ï
í
ïïỵ15x + 10 y = 5
a) Có vơ số nghiệm với a = 1 ;
b) Vô nghiệm với a = 1 .
Bài 10. Cho các hệ phương trình sau:

ìïx = 2
ìïx + 3 y = 2
ïí
ïí
ïïỵ2 x - y = 3
ïỵ2 y = 4
a)
;
b) ï
.
Trước hết, hãy đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình trên (giải thích rõ lí do). Sau đó, tìm tập
nghiệm của các hệ đã cho bằng cách vẽ hình.
Bài 11. Dựa vào vị trí tương đối của hai đường thẳng dưới đây, hãy tìm mối lien hệ giữa các hằng số
ìïax + by = c

a , b , c và các hằng số a ʹ; bʹ; cʹ để hệ phương trình ï
í
ïïỵa ʹ x + b ʹ y = c ʹ
a) Có nghiệm duy nhất;
4. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


b) Vơ nghiệm;
c) Có vơ số nghiệm.
Áp dụng:
a) Hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất.
b) Hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm.
c) Hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có vơ số nghiệm.
Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp hình học
Bài 12. Cho hai phương trình: 3x  y 1 và 5x  2 y  3
a) Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên.
b) Vẽ đồ thị của hai phương trình trên cùng một hệ tọa độ rồi xác định nghiệm chung của hai phương
trình.
Bài 13. Bằng cách vẽ đồ thị, hãy giải các hệ phương trình:
x  y  1
a) 
x  3 y  9

x  2 y  4
b) 
 2x  4 y  10

1,5y  x  0,5

c) 
 2x  3 y   1

2x  y  2
Bài 14. Cho hệ phương trình 
x  2 y  6
a) Giải hệ phương trình đã cho bằng phương pháp đồ thị
b) Nghiệm của hệ phương trình đã cho có phải là nghiệm của phương trình 3x  2 y  8 hay khơng?
c) Nghiệm của hệ phương trình đã cho có phải là nghiệm của phương trình 4,5x  7,5 y  25 hay
không?
Bài 15. Cho hai đường thẳng:

 d1  : 2x  3 y  8

và  d 2  : 7x  5 y   5

a) Vẽ đồ thị của hai phương trình trên cùng một hệ tọa độ rồi xác định nghiệm chung của hai phương
trình.
b) Tìm các giá trị của a để đường thẳng y  ax đi qua giao điểm của  d1  và  d 2 
Dạng 2: Hai hệ phương trình tương đương
Bài 16. Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai?
a) Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vơ nghiệm là hai hệ phương trình tương đương với nhau.
b) Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng vơ số nghiệm là hai hệ phương trình tương đương.
c) Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có một nghiệm là hai hệ phương trình tương đương.
Bài 17. Trong các trường hợp sau, hai hệ phương trình nào tương đương với nhau? Không tương đương
với nhau?
x  2 y  2
x  2 y  3
a) 
và 

3x  6 y  7
-4x  8 y  4
2x  3 y  1
3x  y  8
c) 
và 
-x 1,5 y   0,5
y 2
5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

 x  y  4
x  4
b) 
và 
3x  3 y   12
3x  4 y  2


Bài 18. Xác định a để hai hệ phương trình sau tương đương.

ïìïx - y = 1
ïìax - 2 y = 2
và ïí
í
ïỵï2 x + y = 2
ïỵïx + ay = 1
Bài 19. Xác định a để hai hệ phương trình sau tương đương.

ìï2 x - 3 y = 5
ìï2 x - 3 y = 5
ïí
và ïí
ïỵï4 x + y = 3
ïïỵ12 x + 3 y = a
Bài 20. Xác định a để hai hệ phương trình sau tương đương.

ïìïx - y = 2
ïì2ax - 2 y = 1
và ïí
í
ïỵï3x + y = 1
ïỵïx + ay = 2

6. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình
Bài 1. Nối mỗi hệ phương trình với một cặp số tương ứng mà nó nhận làm nghiệm:
1 – b; 2 – a;3 – d ; 4 – c;

Bài 2. Cặp số  3;1 có là nghiệm của hệ phương trình:





 2 1 x  3 y  3 2
3x  y  8

a) 
và d) 
7x  2 y  19
x  2  1 y  4  2






Bài 3. Khơng cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao.
a) Xét (d) : y = 3 - 2 x có a = -2; b = 3 ;

(d’) :

y = 3 x – 1 có a ’ = 3; b’ = -1 ;

Có a ¹ a ’  (d) cắt (d ʹ) ;

ìï y = 3 - 2 x
; có nghiệm duy nhất.
 Hệ ï
í
ïïỵ y = 3x - 1
1
1

b) Xét (d) : y = - x + 3 coù a = - ; b = 3 ;
2
2

(d ’) :

1
1
y = - x + 1 có a ’ = ; b ’ = 1 ;
2
2

Có a = a ’; b ¹ b’  (d) // (d ’) ;
ìï
ïï y = 1 x + 3
ï
2
 Hệ í
vơ nghiệm.
ïï
1
ïï y = - x + 1
2
ïỵ
ìï
3
ï
ìï2 y = -3 x ï y = - 2 x
 ïí
c) Ta có ïí

ïỵï3 y = 2 x
ïï
2
ïï y = x
3
ïỵ
3
3
Xét (d) : y = - x có a = - ; b = 0;
2
2

7. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


(d ’) :

y=

2
2
x có a ’ = ; b’ = 0 ;
3
3

Có a ¹ a’  (d) cắt (d ʹ) ;

ìï2 y = -3x

có nghiệm duy nhất.
 Hệ ï
í
ïïỵ3 y = 2 x
ìï3 x - y = 3
ï
ïì y = 3 x - 3
d) Ta có ïí
 ïí
1
ïïx - y = 1 ỵïï y = 3 x - 3
ïỵ
3

Nhận thấy hai đường thẳng trên trùng nhau
ìï3 x - y = 3
ï
có vơ số nghiệm.
 Hệ ïí
ïïx - 1 y = 1
ïỵ
3

Bài 4. Đốn nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao.
ìï y = -x + 2
ï
ïìïx + y = 2
ïìï y = -x + 2
a) Ta có: í
;

í
 íï
ïỵï3 x + 3 y = 2 ïỵï3 y = -3 x + 2 ïï y = -x + 2
ïỵ
3

Xét (d) : y = -x + 2 coù a = -1; b = 2 ;

(d ’) :

y = -x +

2
2
có a ’ = -1; b’ = ;
3
3

Có a = a ’; b ¹ b’  (d) // (d ’) ;

ìïx + y = 2
vơ nghiệm.
 Hệ ï
í
ïïỵ3x + 3 y = 2
ìï
3
1
ï
ïìï3 x - 2 y = 1

ïìï2 y = 3 x - 1 ïï y = 2 x - 2
b) Ta có: í
í
í
;
ïïỵ-6 x + 4 y = 0 ïïỵ4 y = 6 x
ïï
3
ïï y = x
2
ïỵ

Xét (d) : y =

(d ’) :

y=

3
1
3
1
x - có a = ; b = - ;
2
2
2
2

3
3

x coù a = ; b = 0 ;
2
2

8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Có a = a ’; b ¹ b’  (d) // (d ’) ;

ìï3x - 2 y = 1
vơ nghiệm.
 Hệ ï
í
ïïỵ-6 x + 4 y = 0
ìï
1
ï
ïìï4 x - 4 y = 2
ïìï4 y = 4 x - 2 ïï y = x - 2
í
í
;
c) Ta có: í
ïỵï-2 x + 2 y = -1 ïỵï2 y = 2 x - 1 ïï
1
ïï y = x 2
ïỵ
Nhận thấy hai đường thẳng trên trùng nhau;

ìï4 x - 4 y = 2
 Hệ ï
có vơ số nghiệm.
í
ïïỵ-2 x + 2 y = -1
ìï
1
2
ìï 1
ì
ï
ïï x - y = 2 ïïï y = 1 x - 2 ïïï y = 3 x - 3
d) Ta có: í 3
;
3 í
3
3 í
ïï
ïï
ïï
1
2
ïï y = x îïx - 3 y = 2
îï3 y = x - 2
3
3
ïỵ
Nhận thấy hai đường thẳng trên trùng nhau;
ìï 1

ï x- y = 2
 Hệ ïí 3
3 có vơ số nghiệm.
ïï
ïỵx - 3 y = 2

Bài 5. Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số sau có phải là một nghiệm của hệ phương trình tương ứng hay
khơng.

ìï7 x - 5 y = -53
a) Thay x = -4 ; y = 5 vào từng phương trình của hệ ï
ta được:
í
ïïỵ-2 x + 9 y = 53
ìï7.(-4) - 5.5 = -53 ìï-28 - 25 = 53
ï
 ïí
í
ïï-2.(-4) + 9.5 = 53 ïïỵ8 + 45 = 53
ỵï

ìï7 x - 5 y = -53
Vậy cặp (-4 ; 5) là nghiệm của hệ phương trình ï
.
í
ïïỵ-2 x + 9 y = 53
ìï0, 2 x + 1,7 y = -18,1
b) Thay x = 3 ; y = -11 vào từng phương trình của hệ ï
ta được:
í

ïïỵ3, 2 x - y = 20,6
ìï0,6 – 18,7 = -18,1
ïìï0, 2.3 + 1,7 (-11) = -18,1
 ïí
í
ï
ỵïï9,6 + 11 = 20,6
ỵï3, 2.3 + 11 = 20,6

9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


ìï0, 2 x + 1,7 y = -18,1
.
Vậy cặp (3 ; - 11) là nghiệm của hệ phương trình ï
í
ïïỵ3, 2 x - y = 20,6
ìï10 x - 3 y = 9
c) Thay x = 1, 5 ; y = 2 vào từng phương trình của hệ ï
ta được:
í
ïïỵ-5x + 1, 5 y = -4, 5
ïìï10.1, 5 – 3.2 = 9
ïì15 – 6 = 9
 ïí
.
í
ïỵï-5.1, 5 + 1, 5.2 = -4, 5 ïỵï-7, 5 + 3 = -4, 5

ìï10 x - 3 y = 9
Vậy cặp (1,5 ; 2) là nghiệm của hệ phương trình ï
.
í
ïïỵ-5x + 1, 5 y = -4, 5
ìï10 x - 3 y = 9
ta được:
Thay x = 3 ; y = 7 vào từng phương trình của hệ ï
í
ïïỵ-5x + 1, 5 y = -4, 5
ìï30 - 21 = 9
ïïì10.3 – 3.7 = 9
 ïí
í
ï
ï
ỵï-5.3 + 1, 5.7 = -4, 5 ïỵ-15 + 10, 5 = - 4, 5

ìï10 x - 3 y = 9
.
Vậy cặp (3 ; 7 ) là nghiệm của hệ phương trình ï
í
ïïỵ-5x + 1, 5 y = -4, 5
ìï5x + 2 y = 9
, ta được:
d) Thay x = 1 ; y = 8 vào từng phương trình của hệ ï
í
ïïỵx - 14 y = 5
ïìï5.1 + 2.8 = 21 ìïï5 + 16 = 21
í

í
ïïỵ1 - 14.8 = 5
ïï1 - 14.8 = 5 (vô lý)
ỵ

ìï5x + 2 y = 9
.
Vậy cặp (1 ; 8) không phải là nghiệm của hệ phương trình ï
í
ïïỵx - 14 y = 5
Bài 6.
ìï
ïï y = 4 x - 1
ìï4 x - 9 y = 3
ìï9 y = 4 x - 3
ï
9
3
a) Ta có: ïí
 ïí
í
ïỵï-5 x - 3 y = 1 ïỵï3 y = -5 x - 1 ïï
5
1
ïï y = - x 3
3
ùợ
4
5
ạ3 nờn hai ng thng ct nhau.

Vỡ 9
Vy h phng trình có nghiệm duy nhất.
ìï
23
25
ïìï2, 3x + 0,8 y = 5 ïìï0,8 y = -2, 3x + 5 ïïy = - x +
í
í
b) Ta có: í
8
4 ;
ïỵï2 y = 6
ïïïy = 3
ỵïï y = 3
ỵ
23
25
y =- x+
8
4 cắt hai trục tọa độ mà đường thẳng y = 3 song song với trục hoành nên 2
Đường thẳng
đường thẳng trên cắt nhau.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

10. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


ìï

ïïx = - 5
5
ïìï
ìï3 x = -5
x
=
ï
3
 ïí
 ïí
;
c) Ta có: ïí
3
ïỵïx + 5 y = -4 ïï
ïï
1
4
ïỵ5 y = -x - 4 ïï y = - x 5
5
ïỵ
5
1
4
x=y = - x3 song song với trục tung mà đường thẳng
5
5 cắt hai trục tọa độ nên 2
Đường thẳng
đường thẳng đó cắt nhau;
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
ìï y = 3 x - 1

ìï3 x - y = 1
ìï y = 3 x - 1
ï
ï
ï
d) Ta có: í
í
 ïí
ïỵï6 x - 2 y = 5 ïỵï2 y = 6 x - 5 ïï y = 3 x - 5
2
ỵï

Hai đường thẳng có hệ số góc bằng nhau vì cùng bằng 3, có tung độ gốc khác nhau:
song song với nhau. Nên hệ vơ nghiệm;
Vậy hệ phương trình đã cho vơ nghiệm.
Bài 7. Đốn nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:

-1 ¹ -

5
2 nên chúng

ïì2 x + y = 3 ìïïy = -2 x + 3
í
a) Ta có: ï
;
í
ïïỵ3x - y = 1 ïïỵy = 3x - 1
Vì - 2 ¹ 3 nên hai đường thẳng cắt nhau.
ìï2 x + y = 3

có nghiệm duy nhất.
Vậy hệ phương trình ï
í
ïïỵ3x - y = 1
ìï
3
ï
ïìï3 x + 2 y = 0 ïìï2 y = -3 x ïï y = - 2 x
í
í
;
b) Ta có: í
ïỵï2 x - 3 y = 0 ïỵï3 y = 2 x
ùù
2
y
=
x
ùù
3
ùợ
3 2
- ạ
Vỡ 2 3 nờn hai ng thng ct nhau.
ìï3x + 2 y = 0
có nghiệm duy nhất.
Vậy hệ phương trình ï
í
ïïỵ2 x - 3 y = 0

ìï3x + 0 y = 6 ìï3x = 6
ìïx = 2
 ïí
 ïí
c) Ta có: ï
;
í
ïỵï2 x + y = 1
ïỵï y = -2 x + 1 ïỵï y = -2 x + 1

y = -2 x + 1
Đường thẳng x = 2 song song với trục tung mà đường thẳng
cắt hai trục tọa độ nên 2
đường thẳng đó cắt nhau;
ìï3x + 0 y = 6
Vậy hệ phương trình ï
có nghiệm duy nhất.
í
ïïỵ2 x + y = 1
ïìx - y = 4
ïìy = x - 4
 ïí
d) Ta có: ï
;
í
ïỵï0 x - y = 2 ïỵïy = -2

y = x-4
Đường thẳng
cắt hai trục tọa độ mà đường thẳng y = -2 song song với trục hồnh nên 2

đường thẳng trên cắt nhau.
11. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


ìïx - y = 4
có nghiệm duy nhất.
Vậy hệ phương trình ï
í
ïïỵ0 x - y = 2
ìï
ïï y = - 1 x + 3
ìï2 y = -x + 3
ïìïx + 2 y = 3
2
2;
 ïí
 ïí
e) Ta có: í
ïïỵ2 x + 4 y = 1 ïïỵ4 y = -2 x + 1 ùù
1
1
ùù y = - x +
2
4
ùợ
1 3
ạ
1

Hai ng thẳng có hệ số góc bằng nhau vì cùng bằng - , có tung độ gốc khác nhau: 4 2 nên chúng
2
song song với nhau. Nên hệ vơ nghiệm;
ìïx + 2 y = 3
Vậy hệ phương trình ï
vơ nghiệm.
í
ïïỵ2 x + 4 y = 1
ìïx + y = 1
ìï y = -x + 1 ìï y = -x + 1
ï
f) Ta có: íï x y 1  ïí
;
 ïí
ïï + =
ïỵïx + y = 1
ïỵï y = -x + 1
ïỵ 2 2 2

Nhận thấy hai đường thẳng trên trùng nhau;
ìïx + y = 1
ï
Vậy hệ ïí x y 1 có vơ số nghiệm.
ïï + =
ïỵ 2 2 2

Bài 8.

ìï3x - y = 1
ìï3x - y = 1

a) Thay a = - 2 vào hệ phương trình ï
, ta được: ï
í
í
ïïỵax + 2 y = 3
ïïỵ-2 x + 2 y = 3
Do 3x - y = 1  y = 3x - 1 nên tập nghiệm của phương trình thứ nhất được biểu diễn bởi đường thẳng

(d1 ) :

y = 3x - 1 ;

Do -2 x + 2 y = 3  2 y = 2 x + 3  y = x +

3
nên tập nghiệm của phương trình thứ nhất được biểu diễn
2

3
bởi đường thẳng (d2 ) : y = x + ;
2
Hai đường thẳng (d1 ) và (d2 ) có hệ số góc khác nhau ( 1 ¹ 3 ) nên chúng cắt nhau. Do đó hệ

ìï3x - y = 1
ïí
có nghiệm duy nhất;
ïïỵ-2 x + 2 y = 3
ìï3x - y = 1
Vậy với a = - 2 thì hệ phương trình ï
có nghiệm duy nhất.

í
ïïỵax + 2 y = 3
ìï3x - y = 1
ïì3x - y = 1
b) Thay a = - 6 vào hệ phương trình ï
, ta được: ï
í
í
ïïỵax + 2 y = 3
ïïỵ-6 x + 2 y = 3
Do 3x - y = 1  y = 3x - 1 nên tập nghiệm của phương trình thứ nhất được biểu diễn bởi đường thẳng

(d1 ) :

y = 3x - 1 ;

12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Do -6 x + 2 y = 3  2 y = 6 x + 3  y = 3 x +

3
nên tập nghiệm của phương trình thứ nhất được biểu
2

3
diễn bởi đường thẳng (d3 ) : y = 3 x + ;
2

Hai đường thẳng (d1 ) và (d3 ) có tung độ góc khác nhau ( -1 ¹

ìï3x - y = 1
vơ nghiệm;
song với nhau. Do đó, hệ ï
í
ïïỵ-6 x + 2 y = 3
ìï3x - y = 1
Vậy với a = - 6 thì hệ phương trình ï
vơ nghiệm.
í
ïïỵax + 2 y = 3

3
) và có cùng hệ số góc là 3 nên song
2

ìï3x - 2 y = a
Bài 9. Chứng tỏ rằng hệ phương trình: ï
;
í
ïïỵ15x + 10 y = 5

a) Có vơ số nghiệm với a = 1 ;
b) Vơ nghiệm với a = 1

ìï3x - 2 y = a
ìï3x - 2 y = 1
a) Thay a = 1 vào hệ phương trình ï

, ta được: ï
;
í
í
ïïỵ15x + 10 y = 5
ïïỵ15x + 10 y = 5
3
1
Do 3 x - 2 y = 1  2 y = 3 x - 1  y = x - nên tập nghiệm của phương trình thứ nhất được biểu diễn
2
2
3
1
bởi đường thẳng (d1 ) : y = x - ;
2
2
3
1
Do 15 x - 10 y = 5  10 y = 15 x - 5  y = x - nên tập nghiệm của phương trình thứ nhất được biểu
2
2
3
1
diễn bởi đường thẳng (d2 ) : y = x - ;
2
2
- 1 -1
3
Hai đường thẳng (d1 ) và (d2 ) có tung độ góc bằng nhau (
) và có cùng hệ số góc là

nên hai
¹
2
2
2
ìï3x - 2 y = 1
có vơ số nghiệm;
đường thẳng (d1 ) và (d2 ) trùng nhau. Do đó, hệ ï
í
ïïỵ15x + 10 y = 5
ìï3x - 2 y = 1
Vậy với a = 1 thì hệ phương trình ï
có vơ số nghiệm.
í
ïïỵ15x + 10 y = 5
ìï3x - 2 y = a
b) Xét hệ phương trình ï
;
í
ïïỵ15x + 10 y = 5
Do 3 x - 2 y = a  2 y = 3 x - a  y =
bởi đường thẳng (d) : y =

3
a
x - nên tập nghiệm của phương trình thứ nhất được biểu diễn
2
2

3

a
x- ;
2
2

Do 15 x - 10 y = 5  10 y = 15 x - 5  y =
diễn bởi đường thẳng (d2 ) : y =

3
1
x - nên tập nghiệm của phương trình thứ nhất được biểu
2
2

3
1
x- ;
2
2

13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Hai đường thẳng (d) và (d3 ) có tung độ góc khác nhau (

-1 a
¹ vì a ¹ 1 (bài cho) ) và có cùng hệ số góc
2

2

ìï3x - 2 y = a
ùớ
vụ nghim vi mi a ạ 1 ;
ùùợ15x + 10 y = 5
ìï3x - y = 1
Vậy với a = - 6 thì hệ phương trình ï
vơ nghiệm.
í
ïïỵax + 2 y = 3
ïì3x - y = 1
Vậy với a ạ 1 thỡ h phng trỡnh ù
vụ nghim.
ớ
ùùợax + 2 y = 3
Bài 10. Cho các hệ phương trình sau:

là

3
nên song song với nhau. Do đó, hệ
2

a) Ta có:

ïìïx = 2
ïìx = 2
 ïí
í

ïỵï2 x - y = 3 ïỵï y = 2 x - 3

;

y = 2 x - 3 cắt hai trục tọa độ nên 2 đường
Đường thẳng x = 2 song song với trục tung mà đường thẳng
thẳng đó cắt nhau;
ìïx = 2
ïí
ïỵ2 x - y = 3
Vậy hệ phương trình ï
có nghiệm duy nhất.

ì
ìïx + 3 y = 2 ïì3 y = -x + 2 ïïï y = - 1 x + 2
ïí
ï
í
í
3
3
ïỵï2 y = 4
ïỵï y = 2
ïï
ïỵ y = 2
b) Ta có

;

1

2
y =- x+
3
3 cắt hai trục tọa độ mà đường thẳng y = 2 song song với trục hoành nên 2
Đường thẳng
đường thẳng trên cắt nhau.
ìïx + 3 y = 2
ïí
ïỵ2 y = 4
Vậy hệ phương trình ï
có nghiệm duy nhất.
14. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Bài 11. Dựa vào vị trí tương đối của hai đường thẳng dưới đây, hãy tìm mối lien hệ giữa các hằng số
ìïax + by = c
a , b , c và các hằng số a ʹ; bʹ; cʹ để hệ phương trình ï
í
ïïỵa ʹ x + b ʹ y = c ʹ
*Trường hợp 1: a; b; a ʹ; b ʹ ¹ 0
ìï
ïï y = - a x + c
ìïax + by = c
ìïby = -ax + c
ï
b
b
Ta có: ïí

 ïí
 ïí
ïỵïa ʹ x + b ʹ y = c ʹ ïỵïb ʹ y = -a ʹ x + c ʹ ïï
aʹ
cʹ
ïï y = - x +
bʹ
bʹ
ïỵ
a) Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất khi hai đường thẳng cắt nhau. Nghĩa là hai đường thẳng có
a aʹ
a
b
hệ số góc khác nhau: ¹  ¹
b bʹ
aʹ bʹ
b) Hệ phương trình vô nghiệm khi hai đường thẳng song song nhau. Nghĩa là hai đường thẳng có hệ số
góc bằng nhau và tung độ gốc khác nhau:
ìï a a ʹ
ïï =
a aʹ c
a ʹ bʹ c ʹ
ïb bʹ
 = ¹
= ¹
nếu c ʹ ¹ 0) hoặc
(
(nếu c ¹ 0)
í
ïï c c ʹ

b b c
a
b
c
ùù ạ
ùợ b b
c) H phng trỡnh có vơ số nghiệm khi hai đường thẳng trùng nhau. Nghĩa là hai đường thẳng có hệ số
góc và tung độ gốc bằng nhau:
ìï a a ʹ
ïï =
a aʹ c
a ʹ bʹ c ʹ
ïï b b ʹ
 = =
= =
neáu c ʹ ¹ 0) hoặc
(
(nếu c ¹ 0)
í
ïï c c ʹ
b bʹ c ʹ
a
b
c
ïï =
ïỵ b b ʹ
* Trường hợp 2: a = 0; a ʹ ¹ 0
ìï
ïï y = c
ìïax + by = c

ï
b
 ïí
Ta có: ïí
(với b' ¹ 0)
ïỵïa ʹ x + b ʹ y = c ʹ ïï
aʹ
cʹ
ïï y = - x +
bʹ
bʹ
ïỵ

15. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


ìï
ïï y = c
ìïax + by = c
ï
b với b ʹ = 0
 ïí
hoặc ïí
(
)
ïỵïa ʹ x + b ʹ y = c ʹ ïï
cʹ
ïïx =

aʹ
ïỵ
aʹ
cʹ
cʹ
c
ln ln cắt trục hồnh cịn đường thẳng y = song song
Vì hai đường thẳng y = - x + vaø x =
bʹ
bʹ
aʹ
b
hoặc trùng với trục hồnh nên chúng ln ln cắt nhau.
Vậy hệ phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất.
* Trường hợp 3: a = a ʹ = 0
ìï
ïï y = c
ìïax + by = c
ï
b
Ta có: ïí
 ïí
ïỵïa ʹ x + b ʹ y = c ʹ ïï
cʹ
ïï y =
bʹ
ïỵ
c cʹ
b
c

=  =
b bʹ
bʹ cʹ
c cʹ
b
c
Hệ vô nghiệm khi hai đường thẳng song song nhau, nghĩa là: ¹  ¹
b bʹ
bʹ cʹ
* Trường hợp 4: b = 0; b ʹ ¹ 0

Hệ có vơ số nghiệm khi hai đường thẳng trùng nhau, nghĩa là:

ìï
ïïx = c
ìïax + by = c
ï
a
(với a ʹ ¹ 0 )
Ta có: ïí
 ïí
ïỵïa ʹ x + b ʹ y = c ʹ ïï
aʹ
cʹ
ïï y = - x +
b
b
ùợ
ỡù
ùùx = c

ỡùax + by = c
ù
a (vi a ạ 0 )
hoặc ïí
 ïí
ïỵïa ʹ x + b ʹ y = c ʹ ïï
cʹ
ïï y =
bʹ
ỵï
aʹ
cʹ
cʹ
c
Vì hai đường thẳng y = - x + và y = ln ln cắt trục tung còn đường thẳng x = song song
bʹ
bʹ
bʹ
a
hoặc trùng với trục tung nên chúng luôn luôn cắt nhau.
Vậy hệ phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất.
* Trường hợp 5: b = b ʹ = 0
ìï
ïïx = c
ìïax + by = c
ï
a (với a ʹ ¹ 0 )
Ta có: ïí
 ïí
ïïỵa ʹ x + b ʹ y = c ʹ ïï

cʹ
ïïx =
aʹ
ïỵ
c cʹ
a
c
=  =
a aʹ
a ʹ cʹ
c cʹ
a
c
Hệ vô nghiệm khi hai đường thẳng song song, nghĩa là: ¹  ¹
a aʹ
a ʹ cʹ
Áp dụng:
a) Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất:
ìï2 x + 3 y = 8
ïí
ïïỵx + y = 4

Hệ có vô số nghiệm khi hai đường thẳng trùng nhau, nghĩa là:

b) Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vơ nghiệm:
16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

ìï2 x + 3 y = 8
ïí
ïïỵ4 x + 6 y = 4
c) Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có vơ số nghiệm:
ìï2 x + y = 5
ïí
ïïỵ4 x + 2 y = 10

17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp hình học
Bài 12. Cho hai phương trình: 3x  y 1 và -5x  2 y  3
a) Nghiệm tổng quát của mỗi phương trình 3x  y 1 là :  x;  3x  1

3
 5
Nghiệm tổng quát của mỗi phương trình -5x  2 y  3 là :  x; x  
2
 2
b) Vẽ đồ thị của hai phương trình trên cùng một hệ tọa độ rồi xác định nghiệm chung của hai phương
trình.

5
3
3x  y 1  y  3x  1 và 5x  2 y  3  y   x 
2
2

6

A

4

2

10

5

5

2

4

y = -5/2x+3/2

y = -3x+1
6

8

10

12

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  1; 4 
Bài 13. Bằng cách vẽ đồ thị, hãy giải các hệ phương trình:

 y  x 1
x  y  1


a) 
1
x3
x  3 y  9  y 
3


18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


8

y = 1/3x+3

6

4

2

10

5

5

10

5

10

2

y = x-1

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  3; 2 

y
x  2 y  4


b) 
2x  4 y  10
y 


1
x2
2
1

5
x
2
2
10

8

y = -1/2x+2

6

4

2

y = -1/2x-5
10

5

2

Vậy hệ phương trình vơ nghiệm.
2
1

y
x
1,5y  x  0,5


3
3

c) 




2x
3
y
1
2
1

y 
x

3
3

19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


10

y = -2/3x-1/3

8

6

y = -2/3x-1/3
4

2

10

5

5

2

Vậy hệ phương trình có vơ số nghiệm.

 y  2x  2
2x  y  2 

Bài 14. Cho hệ phương trình 
1
x  2 y  6
 y  2 x  3
a) Giải hệ phương trình đã cho bằng phương pháp đồ thị

10

8

y = -1/2x+3

6

y = 2x-2
4

2

10

A

5

5

10

2

4

6

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  2; 2 
b) Nghiệm của hệ phương trình đã cho khơng là nghiệm của phương trình 3x  2 y  8

c) Nghiệm của hệ phương trình đã cho khơng là nghiệm của phương trình 4,5x  7,5 y  25 .
Bài 15. Cho hai đường thẳng:

 d1  : 2x  3 y  8

và  d 2  : 7x  5 y   5

20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


8

6

y = 7/5x+1

4

2

10

5

5

2

10

y = 2/3x-8/3

4

6

8

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: M  5; 6 
b) Để đường thẳng y  ax đi qua giao điểm của  d1  và  d 2  thì tọa độ điểm M phải thỏa mãn phương
trình, ta có: 6  a(-5)  a 

6
5

Dạng 2: Hai hệ phương trình tương đương
Bài 16. Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai?
Câu a là khẳng định đúng
Câu b; c là khẳng định sai
Bài 17. Trong các trường hợp sau, hai hệ phương trình nào tương đương với nhau? Khơng tương đương
với nhau?
x  2 y  2
x  2 y  3
a) 
và 
3x  6 y  7
-4x  8 y  8
Hai hệ phương trình được viết lại như sau:

x  2 y  2
x  2 y  3
và 

3x  6 y  7
x  2 y   1
Hai hệ phương trình tương đương với nhau, vì cùng có tập nghiệm là S  
 x  y  4
x  4
b) 
và 
3x  3 y   12
3x  4 y  2
Hai hệ phương trình được viết lại như sau:

21. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


x  4
 x  y  4

và

3
1

x  y   4
 y  4 x  2

Ta thấy hệ phương trình thứ nhất có vơ số nghiệm, cịn hệ thứ hai có nghiệm duy nhất, nên hai hệ
phương trình khơng tương đương với nhau.
2x  3 y  1
3x  y  8
c) 
và 
-x  1,5 y   0,5
y 2
Tương tự như câu b , Ta có hai hệ phương trình đã cho khơng tương đương nhau.
Bài 18.

ìïx - y = 1
Ta thấy hệ phương trình ï
có nghiệm (1; 0)
í
ïïỵ2 x + y = 2

ìïax - 2 y = 2
Để hai hệ đã cho tương đương nhau thì nghiệm (1; 0) phải là nghiệm của hệ ï
í
ïïỵx + ay = 1
ìïa.1 - 2.0 = 2
a=2
Khi đó ta có ï
í
ïïỵ1 + a.0 = 1
ìï2 x - 2 y = 2
Ngược lại với a = 2 thì hệ thứ hai trở thành: ï
có nghiệm (1; 0)
í

ïïỵx + 2 y = 1
Vậy với a = 2 thì hai hệ phương trình đã cho tương đương.
Bài 19.
ìï2 x - 3 y = 5
Ta thấy hệ phương trình ï
có nghiệm (1; -1)
í
ïïỵ4 x + y = 3

ìï2 x - 3 y = 5
Để hai hệ đã cho tương đương nhau thì nghiệm (1; -1) phải là nghiệm của hệ ï
í
ïïỵ12 x + 3 y = a
ìï2.1 - 3.(-1) = 5
ï
Khi đó ta có í
a=9
ïï12.1 + 3.(-1) = a
ïỵ
ìï2 x - 3 y = 5
Ngược lại với a = 9 thì hệ thứ hai trở thành: ï
có nghiệm (1; -1)
í
ïïỵ12 x + 3 y = 9
Vậy với a = 9 thì hai hệ phương trình đã cho tương đương.
Bài 20.

ìïx - y = 2
Ta thấy hệ phương trình ï
có nghiệm (3; 1)

í
ïïỵ3x + y = 10

ìï2ax - 2 y = 1
Để hai hệ đã cho tương đương nhau thì nghiệm (3; 1) phải là nghiệm của hệ ï
í
ïïỵx + ay = 2
ïì2a.3 - 2.1 = 1 ïìï6a = 3
ïìa = 2
í
 ïí
Khi đó ta có ï
(vô nghiệm)
í
ïïỵ3 + a.1 = 2
ïïỵa = -1 ïïỵa = -1

ìï2ax - 2 y = 1
ïìx - y = 2
và ïí
Vậy khơng có giá trị nào của a để hai hệ phương trình ï
tương đương.
í
ïïỵ3x + y = 10
ïïỵx + ay = 2

22. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ
ìïax + by = c
Câu 1. Hệ phương trình ïí
có nghiệm duy nhất khi
ïïa ¢x + b Ây = c Â
ợ
A.

a
b
ạ .
a  bÂ

B.

a
b
= .
a ¢ b¢

C.

a
b
c
= ¹ .
a ¢ b¢ c¢

D.

b
c
¹ .
b¢ c¢

ìïax + by = c
Câu 2. Hệ phương trình ïí
ïïa ¢x + b Ây = c Â
ợ
(cỏc h s a Â;b Â; c  khỏc 0 ) vụ s nghim khi
A.

a
b
ạ .
a ¢ b¢

B.

a
b
c
= = .
a ¢ b¢ c¢

C.

a
b

c
= ¹ .
a ¢ b cÂ

D.

b
c
ạ .
b cÂ

ỡùax + by = c
Cõu 3. H phương trình bậc nhất hai ẩn ïí
(có hệ số khác 0 ) vơ nghiệm khi
ïïa ¢x + b ¢y = c Â
ợ
A.

a
b
= .
a  bÂ

B.

a
b
c
= ạ .
a  b cÂ

C.

a
b
c
ạ ¹ .
a ¢ b¢ c¢

D.

b
c
= .
b¢ c¢

ìïax + by = c
a
b
c
Câu 4. Hệ phương trình ïí
có các hệ số khác 0 v
= ạ . Chn cõu ỳng.
ùùa Âx + b Ây = c Â
Â
Â
a
b
cÂ
ợ

A. H phng trỡnh cú nghim duy nhất.

B. Hệ phương trình vơ nghiệm.

C. Hệ phương trình vô số nghiệm.
D. Chưa kết luận được về nghiệm của hệ.
ìï2x + 3y = 3
Câu 5. Hệ phương trình ïí
nhận cặp số nào sau đây là nghiệm.
ïïỵ 4x - 5y = 9
A. (-21;15) .

B. (21; -15) .

C. (1;1) .

D. (1; -1) .

ìï5x + y = 7
Câu 6. Hệ phương trình ïí
nhận cặp số nào sau đây là nghiệm.
ïïỵ x - 3y = 21
A. (1;2) .

B. (8; -3) .

C. (3; -8) .

D. (3; 8) .

Câu 7. Cặp số (-2; -3) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây?
ìïx - y = 3
A. ïí
.
ïï2x + y = 4
ỵ

ìï2x - y = -1
B. ïí
.
ïïx - 3y = 8
ỵ

ìï2x - y = -1
C. ïí
.
ïïx - 3y = 7
ỵ

Câu 8. Cặp số (3; -5) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây?

23. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

ìï4x - 2y = 0
D. ïí
.
ïïx - 3y = 5
ỵ

ìïx - 3y = 1
A. ïí
.
ïïx + y = 2
ỵ

ìï3x + y = 4
B. ïí
.
ïï2x - y = 11
ỵ

ìïy = -1
C. ïí
.
ïïx - 3y = 5
ỵ

ìï4x - y = 0
D. ïí
.
ïïx - 3y = 0
ỵ

ìï-2x + y = -3
Câu 9. khơng giải hệ phương trình, dự đốn số nghiệm của hệ ïí
.
ïï3x - 2y = 7

ỵ
A. Vơ số nghiệm. B. Vơ nghiệm.

C. Có nghiệm duy nhất. D. Có hai nghiệm phân biệt.
ìï-x + 5y = -1
Câu 10. Khơng giải hệ phương trình, dự đốn số nghiệm của hệ ïí
.
ïï5x + y = 2
ỵ
A. Vơ số nghiệm. B. Vơ nghiệm.

C. Có nghiệm duy nhất. D. Có hai nghiệm phân biệt.
ìïx + y = -1
vô nghiệm.
Câu 11. Xác định giá trị của tham số m để hệ phương trình ïí
ïïmx + y = 2m
ỵ

A. m = 1 .

B. m = -1 .

C. m = 0 .

D. m =

1
.
2

ìï2x - y = 4
Câu 12. Xác định giá trị của tham số m để hệ phương trình ïí
vơ nghiệm.
ïï(m - 1)x + 2y = m
ỵ
A. m = 1 .

B. m = -1 .

C. m = 3 .

D. m = -3 .

ìï 2x - 2y = 3
ï
Câu 13. Khơng giải hệ phương trình, dự đốn số nghiệm của hệ ïí
ïï3 2x - 6y = 5
ïỵ
A. Vơ số nghiệm.

B. Vơ nghiệm. C. Có nghiệm duy nhất. D. Có hai nghiệm phân biệt.
ìïx = y - 1
ìï2x - 3y = 5
Câu 14. Cho hệ (I ) : ïí
và hệ (II ) ïí
. Chọn kết luận đúng.
ïïy = x + 1
ïï3y + 5 = 2x
ỵ
ỵ

A. Hai hệ đã cho đều vơ nghiệm.

B. Hai hệ đã cho đều có nghiệm duy nhất.

C. Hệ (I) vơ nghiệm, hệ (II) có nghiệm duy nhất. D. Hệ (I) và hệ (II) đều có vơ số nghiệm.
ìïmx - 2y = 1
Câu 15. Xác định giá trị của tham số m để hệ phương trình ïí
có nghiệm duy nhất.
ïï2x - my = 2m 2
ïỵ
A. m ¹ 2 .

B. m ¹ -2 .

C. m = 2 .

D. m ¹ 2 .

Câu 16.Xác định giá trị của tham số m để hệ phương trình
ìïx - (m - 2)y = 2
ï
có nghiệm duy nhất
í
ïï(m - 1)x - 2y = m - 5
ợ
A. m ạ 0 .

B. m ¹ 2 .

C. m ¹ {0; 3} .

24. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

D. m = 0; m = 3 .


ìï-mx + y = -2m
. Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình
Câu 17. Cho hệ phương trình ïí
ïïx + m 2y = 9
ïỵ
nhận cặp (1;2) làm nghiệm
A. m = 0 .

B. m = -1 .

C. m = -2 .

D. m = 3 .

ìï(m + 2)x + y = 2m - 8
Câu 18. Cho hệ phương trình ïí 2
. Tìm các giá trị của tham số để hệ phương trình
ïïm x + 2y = -3
ïỵ
nhận cặp số (-1; 3) làm nghiệm.
A. m = 0 .

B. m = -2 .

C. m = -3 .

D. m = 3 .

ìï3mx + y = -2m
Câu 19. Cho hệ phương trình: ïí
. Xác định các giá trị của tham số m để hệ
ïïỵ 3x - my = -1 + 3m
phương trình vô số nghiệm.
A. m = 0 .

B. m = 1 .

C. m = 2 .

D. m = 3 .

ìï
ï5mx + 5y = - 15
Câu 20. Cho hệ phương trình: ïí
. Xác định các giá trị của tham số m để hệ phương
ïï-4x - my = 2m2 + 1
ïïỵ
trình vơ số nghiệm.
A. m = 0 .

B. m = 2 .

C. m = -2 .

D. m = -3 .

Câu 21. Bằng cách tìm giao điểm của hai đường thẳng d : -2x + y = 3 và
ìï-2x + y = 3
d ¢ : x + y = 5 ta tìm được nghiệm của hệ phương trình ïí
là
ïïx + y = 5
ỵ

(x 0 ; y0 ) . tính y 0 - x 0 .
A.

11
.
3

B.

13
.
3

C. 5 .

D.

17

.
3

Câu 22. Bằng cách tìm giao điểm của hai đường thẳng d : 4x + 2y = -5 và
ìï4x + 2y = -5
d ¢ : 2x - y = -1 ta tìm được nghiệm của hệ phương trình ïí
là
ïï2x - y = -1
ỵ

(x 0 ; y0 ) . tính x 0 .y 0 .
A.

21
.
32

B. -

21
.
32

C.

21
.
8

D. -

10
.
12

ìïmx - 2y = 3m
Câu 23. Cho hệ phương trình ïí
. Tìm các giá trị của tham số
ïï2x - my = -4 - 4m
ỵ
25. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com