Chuyên đề Liên hệ giữa phép nhân - phép chia và phép khai phương

CHUYÊN ĐỀ
LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN - PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
I. Với A  0, B  0 thì:

A.B  A. B và ngược lại

 A

Đặc biệt, khi A  0 , ta có:

A

B

II. Với A  0, B  0 thì

2

A. B  A.B

 A2  A .

A
và ngược lại
B

A

B

A
B

III. Bổ sung


Với A1 , A2 ,..., An  0 thì:



Với a  0; b  0 thì:



Với a  b  0 thì:

A1 . A2 ... An  A1. A2 ... An

a  b  a  b (dấu “=” xảy ra  a  0 hoặc b  0 ).
a  b  a  b (dấu “=” xảy ra  a  b hoặc b  0 ).

B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Thực hiện phép tính
Ví dụ minh họa 1. Tính:
a)

b)

810.40

c)

24. 12. 0,5

125
35.43

d)

180 : 5
200 : 8

Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
810.40  81.100.4  81. 100. 4

 92 . 102 . 22  9.10.2  180 . Vậy biểu thức có giá trị là: 180
b) Ta có:

24. 12. 0,5  24.12.0,5  144  122  12 .

c) Ta có:

125

35.43

 3.4 

5

35.43



35.45
 42  4
35.43

Vậy biểu thức có giá trị là: 4
d) Ta có

180 : 5
180 : 5
36 6


  1, 2
200 : 8
200 : 8
25 5

Vậy biểu thức có giá trị là: 1,2
Ví dụ minh họa 2.
b) Với a  0 ; b  0 . Chứng minh

a) So sánh: 16  4 và 16  4

Hướng dẫn giải:
a) Ta có:

1. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

ab  a  b


16  4  4  2  6  36

1

16  4  20  36

 2

Từ 1 và  2  suy ra: 16  4  16  4
b) Với a  0 ; b  0 , giả sử a  b  a 2  b 2
a  b với

Để so sánh
ta so sánh


Ta có:




ab

ab



2

a b



2

với

a b



a b



2

 ab



2

 a  b  2 ab

Vì 2 ab nên suy ra



ab

 
2

a b



2

ab  a  b

Do đó

Ví dụ minh họa 3. Thực hiện phép tính
a) A 





18  32  50 . 2

b) B  50 – 18  200  162

Hướng dẫn giải:
a) Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép nhân các căn thức bậc hai của
các số khơng âm, ta có:
A





18  32  50 . 2

 18. 2  32. 2  50. 2
 18.2  32.2  50.2
 36  64  100

 6  8  10
4
b) Sử dụng phép khai phương một tích của các số khơng âm, ta có:

B  50 – 18  200  162
 25.2  9.2  100.2  81.2
 25. 2  9. 2  100. 2  81. 2
 2.



25  9  100  81



 2.  5  3  10  9 

3 2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính:
a)

49.36.100

b)

0, 45.0, 3.6

Bài 2: Thực hiện các phép tính sau:
2. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

c) 147.75

d)

4, 9.1200.0, 3


5. 45

a)

b) 13. 52

c) 12, 5. 0, 2. 0,1

b) 13 : 468

c)

d)

48, 4. 5. 0, 5

d)

288
8
:
169
225

Bài 3: Tính:
a)

45 : 80

3
36
:
15 45

Bài 4: Thực hiện các phép tính sau:

c)



72
: 8
9

a)



 1

16
d) 

 7  : 7
7
 7




125  245  5 : 5

Bài 5: Thực hiện các phép tính sau:

a) 12  27  3

b)

252  700  1008  448

c)



b) 7 48  3 27  2 12 : 3



d)

12  2 75
3





3

12  27  3



Bài 6: Thực hiện các phép tính sau:

c)





3 5  3 5



2

d) 15  216  33  12 6
HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:
a) Biến đổi biểu thức:

49.36.100  49. 36. 100

 7 2 . 62 . 102  7.6.10  420
b) Biến đổi biểu thức:

0, 45.0,3.6  0,81  0,92  0,9

c) Biến đổi biểu thức: 147.75  49.3.3.25
 49.9.25  49. 9. 25  7.3.5  105
d) Biến đổi biểu thức:

4,9.1200.0, 3  49.0,1.12.100.3.0,1

 49.36  49. 36  7.6  42
Bài 2: Thực hiện các phép tính sau:
a)

5. 45  5.45  225  152  15

b) 13. 52  13.52  676  26
c) 12, 5. 0, 2. 0,1  12, 5.0, 2.0,1  0, 25  0, 5
d)

48, 4. 5. 0, 5  48, 4.5.0,5  122  11

Bài 3: Tính:
a)

45 : 80 

b) 13 : 468 



b) 1  3  2 1  3  2

2 3  2 3

a)

45

45
9 3



80
16 4
80
13
13
1 1



468
36 6
468

3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 




c)

3
36
3 36

3 45
1 1
:

:

.


15 45
15 45
15 36
4 2

d)

288
8
288 8
288 225
:

:

.
169
225
169 225
169 8



36.225
36. 225 6.15 90



169
13 13
169

Bài 4: Thực hiện các phép tính sau:

72
72
72 1
: 8
:8 
.  1 1
9
9
9 8

a) Biến đổi biểu thức:

Vậy biểu thức có giá trị là: 1





b) Biến đổi biểu thức: 7 48  3 27  2 12 : 3





 28 3  9 3  4 3 : 3  33 3 : 3  33
Vậy biểu thức có giá trị là: 33
c) Biến đổi biểu thức:









125  245  5 : 5  5 5  7 5  5 : 5  11 5 : 5  11

Vậy biểu thức có giá trị là: 11
 1

 7 4 7

16
4 7
4
d) Biến đổi biểu thức: 

: 7

 7  : 7  

 7  : 7 
7
7
7
7
 7

 7

4
7
Bài 5: Thực hiện các phép tính sau:

Vậy biểu thức có giá trị là:

a) Ta có: 12  27  3
 2 3  3 3  3  3  2  3  1  0
b) Ta có:



12  2 75



3  12. 3  2 75. 3

 36  2 225  6  2.15  24
c) Ta có:

252  700  1008  448

 6 7  10 7  12 7
  6  10  12  7  8 7
d) Biến đổi biểu thức



 3 2 3 3 3  3

3



12  27  3





 3.4 3  3.4  12
Bài 6: Thực hiện các phép tính sau:
a) Biến đổi biểu thức

2 3  2 3

4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


42 3
42 3



2
2





3 1



2



2



3 1



2



2



3 1

2



3 1
3 1
3 1 3 1


2
2
2



2
 2

2

Vậy biểu thức có giá trị là:





2

3 1

2



2



3 1
2

3 1



2



b) Biến đổi biểu thức 1  3  2 1  3  2



  1 3


   2    1  2
2

2





2

3  3  2


 42 3 2  22 3
Vậy biểu thức có giá trị là: 2  2 3



c) Biến đổi biểu thức





3 5







2

3 5  3 5

 2 3  5. 3  5 

 3 5  2





2

3 5



2

3  5 .3  5   3  5 
2

 3  5  2 32  5  3  5
 6  2 9  5  6  4  10
Vậy biểu thức có giá trị là: 10
d) Biến đổi biểu thức 15  216  33  12 6
 15  6 6  33  12 6 



 15  6 6  3  2 6  3 

3  6   3  2 6 
6    2 6  3
2

 6
Vậy biểu thức có giá trị là:

6.

5. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

2

Dạng 2. Rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức
Ví dụ minh họa 1. Rút gọn các biểu thức sau:
a) 5 25a 2  25a với a  0

b)

49a 2  3a với a  0

c) 16a 4  6a 2 với a bất kì

d) 3 9a 6  6a 3 với a bất kì.
Hướng dẫn giải:

a) Biểu thức 5 25a 2  25a  5. 5a  25a vì a  0 nên 5a  0 , do đó 5a  5a .
Vậy 5 25a 2  25a  5.  5a   25a  25a  25a  50a.
b) Biểu thức

49a 2  3a  7a  3a.

Với a  0 nên 7a  0 , do đó 7a  7a .
Vậy

49a 2  3a  7a  3a  10a.

c) Biểu thức 16a 4  6a 2  4a 2  6a 2
Với mọi a ta đều có 4a 2  0 nên 4a 2  4a 2
Vậy 16a 4  6a 2  4a 2  6a 2  10a 2
d) Biểu thức 3 9a 6  6a 3  3. 3a 3  6a 3
Nếu a  0 thì 3a 3  0 nên 3a 2  3a 2 , ta có: 3 9a 6  6a 3  3.3a 3  6a 3  3a 2
Nếu a  0 thì 3a 3  0 nên 3a 2  3a 2 , ta có: 3 9a 6  6a 3  3.  3a 3   6a 3  15a 2 .

Ví dụ minh họa 2. Rút gọn các biểu thức sau:
a) 4 x  x 2  4 x  4 với x  2

b) 3x  9  6 x  x 2 với x  3

x  0
x6 x 9
với 
c)
x 9
x  9

d)

x2  4x  4
với x  2
x2

Hướng dẫn giải:
a) Biểu thức 4 x  x 2  4 x  4  4 x 

 x  2

2

 4x  x  2

2

 3x  3  x

Vì x  2 nên x  2  0 , do đó x  2  x  2 .
Vậy 4 x  x 2  4 x  4  4 x   x  2   3x  2
b) Biểu thức 3x  9  6 x  x 2  3x 

3  x 

Vì x  3 nên 3  x  0 , do đó 3  x    3  x 
Vậy 3x  9  6 x  x 2  3x   3  x   2 x  3
c) Biểu thức

x6 x 9

x 9





x 3

x 3





2

x 3





6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

x 3
x 3


 x  2

x2  4x  4

x2

d) Biểu thức

x2

2



x2
x2

Với x  2 thì x  2  0 nên x  2  x  2 .
Vậy

x2  4x  4 x  2

1
x2
x2

Với x  2 thì x  2  0 nên x  2    x  2  .
Vậy

x2  4x  4   x  2

 1
x2
x2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Rút gọn các biểu thức:
a)
c)

15  6
35  14
2 15  2 10  6  3
2 5  2 10  3  6

b)

10  15
8  12

d)

2  3  6  8  16
2 3 4

b)

 a  0; b  0
a a b  b b a
với 
ab  1
 ab  1

d)

x  2 x 1
x  2 x 1

Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a)

c)

x  xy
y  xy

với  x  0; y  0 

x xy y
x y

x 1
e)
y 1





y2

x y



y 1

 x  1



2

 x  0

2

4

 x  1, y  1, y  0 

Bài 3: Rút gọn và tính:
a)

a 1
:
b 1

b 1
với a  7, 25; b  3, 25
a 1

c) 10a 2  4a 10  4 với a 

2
5

5
2

b) 15a 2  8a 15  16 với a 
d)

a 2  2 a 2  1  a 2  2 a 2  1 với a  5

HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Rút gọn các biểu thức:

a) Biểu thức:

3
15  6

35  14
7

Biểu thức rút gọn là:

b) Biểu thức:





2

5 2
5

3
3

7
7

3
7





5 2 3
10  15
5


2
8  12
2 2 3





7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

3
5

5
3


5
2

Biểu thức rút gọn là:
c) Biểu thức:

  2  3  2 5  3  2   3  3  2 
2 5 1  2   3 1  2 
 2 5  3 1  2 
 2 5  3  3  2 

 2 5  3 1  2 




2 5



2 15  2 10  6  3
2 5  2 10  3  6

3 2  3

3 2
1 2
3 2
1 2

Biểu thức rút gọn là:

2  3  6  8  16
2 3 4

d) Biểu thức:


2 3 6 84
2  3 22 6  8

2 3 4
2 3 4



2 32
2 6  8

2 3 4
2 3 4



2 3 4
4 6 8

2 3 4
2 3 4

2

 1



2 3 4
2 3 4

  1

2

Biểu thức rút gọn là: 1  2
Bài 2: Rút gọn các biểu thức:
a) Với  x  0; y  0  thì

 a  0; b  0
b) Với 
thì
 ab  1







y  xy




y

x


x

x y
y

x
y

Biểu thức rút gọn là:



x  xy



a  a b  b b a
ab  1

  1  ab 
 ab  1 ab  1
 ab  1

a 1  ab  b 1  ab


ab  1

a b

a b
ab  1

8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

x
y


a b
ab  1

Biểu thức rút gọn là:

x xy y

c) Biểu thức
3

x  y





3





x y

 x  2 xy  y

x y



x y



 x 

x y

xy  y

x y





2



x  2

xy  y



 x  xy  y  x  2 xy  y
 xy
xy

Biểu thức rút gọn là:

x  2 x 1

x  2 x 1

d) Với  x  0  nên

x 1
y 1



x 1
y 1



y 1

 x  1

4

2



y2



y 1

 x  1

2



x 1
x 1

2

 x  1, y  1, y  0 

4

y 1
x 1
.
2
y  1  x  1
y 1  







y 1 ,



y 1
x 1
x 1  y 1
1
.
.



2
2
x 1
y  1  x  1
y  1  x  1

Nếu y  1  y  1  0 
Thì

2

x 1

Nếu 0  y  1  y  1  0 
Thì


x  1
x 1

x 1

Biểu thức rút gọn là:

e) Biểu thức




y 1 







y 1 ,



y 1
y 1
x 1
x 1
1
.

.

2
2
x 1
y  1  x  1
y  1  x  1

Bài 3: Rút gọn và tính:
a) Ta có



a 1
.
b 1

a 1
:
b 1
a 1

b 1

b 1
a 1





b  1

a 1


b  1
a 1

9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 

 

a 1
b 1



x 1
x 1


Với a  7, 25; b  3, 25 thay vào ta được
Vậy biểu thức có giá trị

7, 25  1
6, 25
25 5



6, 25  1
2, 25
9 3

5
.
3



b) Ta có 15a 2  8a 15  16 

15a  4



2

 15a  4

3
5

thay vào ta được
5
3

Với a 

 3
5
15a  4  15 

4
3 
 5
3
5
 15.  4  3  5  4  4
5

3

 15.

a

c) Ta có 10a 2  4a 10  4 
Với a 


2

 a 10  2

 2
2
5
5

thay vào ta được a 10  2  

 10  2
5
2
5
2



a2  2 a2 1  a2  2 a2 1



a

2





a2 1  1 



a2 1  1 

 1  2 a 2  1  1 

 

a



2

2

5 1 1 

4 1 

 1  2 a 2  1  1

2

a2 1 1

2

a2 1 1

Với a  5 thay vào ta được





2
5
. 10 
. 10  2  2  5  2  5
5
2

d) Ta có



10  2

a2 1  1 

2

5 1 1 

a2 1 1

5 1  1  5 1 1

4 1  2 1  2 1

 3 1  2

10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Dạng 3. Giải phương trình
Ví dụ minh họa 1. Giải các phương trình sau:
a)

2.x  5  5

c) 10  x  3  20

x7 3 0

b)

d)

Hướng dẫn giải:
5
a) Điều kiện xác định là 2 x  5  0  x  
2
Khi đó, phương trình được đưa về dạng:
2 x  5  25  2 x  20  x  10 thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  10 .
b) Điều kiện xác định là x  7 .
x  7  3  0  x  7  3
với mọi x  7 ta có

x  7  0 và 3  0 . Vậy phương trình vơ nghiệm.

c) Điều kiện xác định là x  3
Khi đó, phương trình được đưa về dạng:

10  x  3  20  x  3  2  x  5 .
Vậy x  5 là nghiệm của phương trình.
d) Với x  2  0  x  2 thì

3x 2  x  2  3x 2   x  2   3x 2  x 2  4 x  4
2

 2  x2  2 x  2  0  x2  2 x  2  0







  x  1  3  0  x  1  3 x  1  3  0
2

 x  1  3  0
x  1 3

(thỏa mãn điều kiện)

 x  1  3  0
 x  1  3
Vậy nghiệm của phương trình là x  1  3; x  1  3 .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) 3 x  1  10
c)

b) 16  7 x  11

x 2  6 x  9  3x  6

d)

x2  4 x  4  2 x  5  0

HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) Điều kiện có nghĩa: 3 x  1  0  x  
Khi đó, phương trình

1
3

3 x  1  10  3 x  1  10  x  3 (thỏa điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là: x  3 .
b) 16  7 x  11
Điều kiện có nghĩa: 16  7 x  0  x 

16
7

11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

3x 2  x  2


Khi đó, phương trình 16  7 x  11  16  7 x  11  x 
5
7

Vậy nghiệm của phương trình là: x 
c)

x 2  6 x  9  3x  6 

 x  3

2

5
(thỏa điều kiện)
7

 3x  6  x  3  3x  6

x  2

3 x  6  0
  x  9 TM 

  x  3  3x  6   
2
  x  3  3 x  6

3

 x   L 
4
 

Vậy nghiệm của phương trình là: x 
d)

x2  4 x  4  2 x  5  0 

9
2

 x  2

2

 2x  5  x  2  2x  5

5

x  2
2 x  5  0


   x  3  2 x  5    x  8 TM 
  x  3  2 x  5


 x  2  L 
3
 

12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

Dạng 4:Nâng cao phát triển tư duy
Ví dụ minh họa 1: Rút gọn các biểu thức sau: P  2  2  2 . 4  8 . 2  2  2 .
Giải
Tìm cách giải. Quan sát kĩ đề bài, ta thấy có hai biểu thức trong căn có dạng
dùng tính chất giao hốn và thực hiện phép tính.

a  b và

a  b nên ta

Trình bày lời giải
P  2  2  2 . 4  8. 2  2  2  2  2  2 . 2  2  2 . 4  8
P  4  2  2. 4  2 2 

 2  2 .

2  2. 2

P  4  2. 2  2 .
Ví dụ minh họa 2:: Rút gọn biểu thức: A  2  3  4  2 3  21  12 3
Giải
Tìm cách giải. Với những bài tốn có nhiều căn “chồng chất”, ta có thể giảm bớt số căn, bằng cách đưa
các căn ở phía trong về dạng

A2  A và giải như các ví dụ

a  2 b sau đó dùng hằng đẳng thức

trên.

Trình bày lời giải
Ta có A  2  3  4  2 3  21  12 3

 2 3  42 3 

2

3 3



2

 2 3  42 3 2 3 3

 2 3  44 3 3  2 3 

2  3 

2

 2 32 3  4 .

Suy ra A  2 .
Ví dụ minh họa 3: Rút gọn: C  2  2 5  2  2  2 5  2
Giải
Tìm cách giải.
Ví dụ này khơng thể biến đổi để đưa về dạng

a2 b 



x y



2

.

Do vậy để rút gọn biểu thức dạng C  x  y  x  y ta thường tính C 2 sau đó nhận xét dấu của C,
từ đó tìm được C.
13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Trình bày lời giải

C2  4  2 4  2 5  2  4  2
C2  6  2 5 









5 1

2



2 

Xét C 2  2  2 5  2  2  2 5  2  2

 42

2 5 2 2 2 5 2







5 1

2

5  1 . Vì C  0 nên C  1  5 .

Ví dụ minh họa 4: Cho x, y thỏa mãn

x  1  x 2  y  1  y 2 . Chứng minh rằng: x  y .

Giải

Tìm cách giải. Nhận xét giả thiết x, y có vai trị như nhau. Phân tích từ kết luận để có x  y , chúng ta cần
phân tích giả thiết xuất hiện nhân tử  x  y  .
Dễ thấy x 2  y 2 có chứa nhân tử  x  y  , do vậy phần còn lại để xuất hiện nhân tử  x  y  chúng ta vận
dụng



a b





a  b  a  b từ đó suy ra:

a b

a b
. Lưu ý rằng mẫu số khác 0. Từ đó
a b

chúng ra có lời giải sau:
Trình bày lời giải
Từ đề bài ta có điều kiện: x  1; y  1 .
- Trường hợp 1: Xét x  1; y  1  x  y .
- Trường hợp 2: Xét ít nhất x hoặc y khác 1. Ta có:

x2  y 2  x 1  y  1  0

  x  y  x  y  

 x  1   y  1  0
x 1  y 1



1
  x  y x  y 
0

x  1  y  1 


Vì x  y 

1
0 x y 0 x  y.
x 1  y 1

Ví dụ minh họa 5: Cho a 

1 2
. Tính giá trị biểu thức 16a8  51a
2

Giải
1 2
vào biểu thức thì khai triển dài dịng, dễ dẫn đến sai
2

lầm. Do vậy chúng ta nên tính từ từ, bằng cách tính a 2 ; a 4 và a 8 bằng hằng đẳng thức. Bài toán sẽ đơn
giản và khơng dễ mắc sai lầm.

Tìm cách giải. Để thay giá trị trực tiếp a 

14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Trình bày lời giải

2a  1  2  2a  1   2  4a 2  4a  1  2





 4a 2  1  4a  1  2 1  2  3  2 2  16a 4  9  12 2  8  17  12 2
 256a 8  289  408 2  288  577  408 2  16a 8 

Xét 16a8  51a 




577  408 2 51 1  2

16
2

577  408 2
16



577  408 2  408  408 2 169

16
16

Vậy 16a8  51a 

169 13
 .
16
4

Ví dụ minh họa 6: Tính giá trị S 

6 2
6 2
1
1
.
; b
 7 với a 
7
a b
2

2

Giải
Tìm cách giải. Nếu thay giá trị của a và b vào biểu thức và biến đổi thì bài tốn sẽ phức tạp, có thể dẫn
đến sai lầm. Bài tốn có dạng đối xứng cơ bản, ta có thể tính tổng và tích của a và b, sau đó dùng các
hằng đẳng thức để tính dần dần.
Trình bày lời giải
Từ đề bài suy ra: a  b  6; ab  1
Ta có: a 2  b 2   a  b   2ab  4 ;
2

a 3  b3   a  b   3ab  a  b   6 6  3.1. 6  3 6
3

Xét  a 2  b 2  a 3  b3   a 5  a 2b3  a 3b 2  b5  a 5  b5  a 2b 2  a  b 
4.3 6  a 5  b5  1 6
Từ đó tính được: a 5  b5  11 6
Xét  a 2  b 2  a 5  b5   a 7  a 2b5  a 5b 2  b 7  a 7  b 7  a 2b 2  a 3  b3 
Suy ra: 4.11 6  a 7  b 7  1.3 6  a 7  b 7  41 6
S

1 1
  b 7  a 7  41 6 .
a 7 b7

Ví dụ minh họa 7: Cho b  0; a  b . Chứng minh đẳng thức:

15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

a  a2  b
a  a2  b

2
2

a b 

Giải
Đặt vế phải là: B 

a  a2  b
a  a2  b

2
2

Ta có B  0
a  2 a2  b
Xét B 
 2.
2
2

B  a  2.
2

a2  a2  b

4

a 

a2  b
2

 . a 

a2  b
2

  a

a2  b
2

; B2  a  b

Vì B  0 nên B  a  b .
Vế phải bằng vế trái. Suy ra điều phải chứng minh.



Ví dụ minh họa 8: Cho các số thực x; y thỏa mãn: x  x 2  2

 y  1 

Chứng minh rằng: x3  y 3  3 xy  1
Giải



Đặt y  1  z từ giả thiết ta có: x  x 2  2

2

 



 2  x2  z  z 2  2  2

 



 2 z  z2  2  2

x2  2  x



x2  2

 z

2





 2  z2   2

 x  x2  2 2  2





x 2  2  x  z  z 2  2  x 2  2  x 1
z 2  2  z ta được

Nhân hai vế của đẳng thức (*) với

x 



z 2  2  2  *

x 2  2  x ta được

Nhân hai vế với

x

 z 



z2  2  z

z2  2  z





 x  x2  2  z 2  2  z  2
Từ (1) và (2) cộng vế với vế, rút gọn ta được:
x  z  0  x  y 1  0  x  y  1

16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 



y2  2 y  3  2


Xét x 3  y 3  3 xy   x  y   x 2  xy  y 2   3 xy  x 2  xy  y 2  3 xy
 x 2  2 xy  y 2   x  y   1
2

Vậy x 3  y 3  3 xy  1 . Điều phải chứng minh.

BÀI TỰ LUYỆN

Bài 1. Chứng minh rằng các số sau là số tự nhiên.



a) A  3  5. 3  5





10  2 ;

b) B  2





3 1



2 3 .

Bài 2. Rút gọn biểu thức:
a) P 

3 10  20  3 6  12
;
5 3

b) Q 

2 3 6 84
.
2 3 4

Bài 3. Rút gọn các biểu thức:
a) C 

b) D 

62





6  3  2  62



6 3 2

2

;

96 2  6
.

3

Bài 4. Cho x  3  2 . Tính giá trị B  x 5  3 x 4  3 x 3  6 x 2  20 x  2018 .
Bài 5. Tính giá trị biểu thức A  x 2  2002 x  2003 với

x

 27  10 2 





27  10 2  27  10 2
13  3 



13  3 :



27  10 2

13  2

Bài 6. a) Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thỏa mãn:

a  b  1  b2  1  a 2
Chứng minh rằng a 2  b 2  1 .

b) Chứng minh rằng số

20092  20092.20102  20102 là số nguyên dương.

Bài 7. Cho b  0; a  b . Chứng minh đẳng thức:



a  b  a  b  2 a  a2  b



Bài 8. Cho x1  3  5 và x2  3  5 . Hãy tính: A  x1.x2 ; B  x12  x22 ; C  x13  x23 ; D  x15  x25
Bài 9. Rút gọn biểu thức: A 

7 5  7 5
7  2 11

17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

 3 2 2 .


Bài 10. Cho x, y là các số thực thỏa mãn:

x  1  y y  y  1  x x .Tìm giá trị nhỏ nhất của

S  x  3 xy  2 y  8 y  12 .

2

2

Bài 11. Rút gọn các biểu thức sau:

P  4  5 3  5 48  10 7  4 3 ;
Q





3 1

6  2 2. 3 

2  12  18  128 .

Bài 12. Rút gọn biểu thức:
a) A 

6  2 5  13  48

b) T 

3 1

2 3  3  13  48
6 2

2 10  30  2 2  6
2
:
.
2 10  2 2
3 1

Bài 13. Rút gọn biểu thức: A 

Bài 14. Biết x  2  2  3  6  3 2  3 .Tính giá trị biểu thức: S  x 4  16 x 2 .



Bài 15. Cho x  2019 

 x  2019 

2

 2020

  y  2019 

 y  2019 

2



 2020  2020 .Tính giá trị của

A x y.

Bài 16. Rút gọn biểu thức: A 

x2  5x  6  x 9  x2
3x  x 2   x  2  9  x 2

: 2 1

2x
3 x

Bài 17. Cho biểu thức P   a 2013  8a 2012  11a 2011    b 2013  8b 2012  11b 2011  . Tính giá trị biểu thức của P
với a  4  5 và b  4  5 .
Bài 18. Cho

3
3
 x  ; x  0 và
2
2

3  2 x  3  2 x  a .Tính giá trị của biểu thức P 

6  2 9  4 x2
x

theo a.

Bài 19. Tính giá trị của biểu thức: A  2 x 3  3 x 2  4 x  2 Với

x  2

5 5
5 5
 2
 3  5 1.
2
2

Bài 20. Đố. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: 64  6  4 . Hỏi có tồn tại hay khơng
các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên.
HƯỚNG DẪN
Bài 1. Chứng minh rằng các số sau là số tự nhiên.

18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 




a) A  3  5. 3  5
b) B  2



10  2 ;









3 1

2 3 .
Hướng dẫn giải – đáp số



 

a) Ta có A  3  5. 3  5 . 2





 



2

5 1 .





5  1  6  2 5.

 

5 1 . 3  5 



 







5 1 . 3  5



5 1 .

5 1 . 3  5









 5  2 5  1 . 3  5  2 3  5 . 3  5  2.  9  5   8 .
Vậy A là số tự nhiên.
b) Ta có B 
B







3 1 . 4  2 3 



3 1 .



 

3 1 .



3 1

2



3 1  3 1  2 .

Vậy B là số tự nhiên.
Bài 2. Rút gọn biểu thức:
a) P 

3 10  20  3 6  12
;
5 3

b) Q 

2 3 6 84
.
2 3 4
Hướng dẫn giải – đáp số



P





10 3  2  6 3  2

a) Ta có: P 

5 3

3  2 . 2 

5 3

5 3

  3  2 

 3

2  2.





2  3  4 1 2
2 3 4

Bài 3. Rút gọn các biểu thức:
a) C 

b) D 

62







5 3

2  3 22 6  8

2 3 4

b) Ta có Q 

10  6

6  3  2  62



6 3 2

2

96 2  6

.
3

19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

;

  1

2.


Hướng dẫn giải – đáp số
a) C 

1 

C

C

1 2  3  2 2  2 3  2 6  1 2  3  2 2  2 3  2 6
2
2 3



2

1 



2 3





2

1 2  3  1 2  3



2



2

2 2
 2.
2

b) D 





3. 3  2 2  6
3


3







3. 2  2 2  1  6
3

2

2 1  2 
 3
3





2 1 2
3

  1 .

Bài 4. Cho x  3  2 . Tính giá trị B  x 5  3 x 4  3 x 3  6 x 2  20 x  2018 .
Hướng dẫn giải – đáp số
Từ x  2   3 , bình phương hai vế ta được:

x 2  4 x  4  3  x 2  4 x  1  0 *
Ta có B  x 3  x 2  4 x  1  x 2  x 2  4 x  1  5  x 2  4 x  1  2013
Kết hợp với (*) ta có: B  2013 .
Bài 5. Tính giá trị biểu thức A  x 2  2002 x  2003 với

x

 27  10 2 





27  10 2  27  10 2
13  3 



13  3 :

27  10 2 

27  10 2 



5  2 

5  2 

2

 

2

 5 2 .

 5 2

 

2

 
2

Tử số là: 5  2 . 5  2  5  2 . 5  2











 5  2 .23  5  2 .23  46 2 .
Xét a 

13  3 

13  3; a  0 .

20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

27  10 2

13  2

Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có:




 a 2  13  3  13  3  2
 a 2  2 13  4  a  2

Do đó x 
2





13  3





13  3





13  2 .

46 2
13  2 :



13  2

 46 .

Vậy giá trị biểu thức A  46 2  2002.46  2003  92205 .
Bài 6. a) Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thỏa mãn:

a  b  1  b2  1  a 2
Chứng minh rằng a 2  b 2  1 .
b) Chứng minh rằng số

20092  20092.20102  20102 là số nguyên dương.
Hướng dẫn giải – đáp số

a) Ta có a  1  a 2  b  1  b 2 .
Bình phương hai vế không âm, ta được:

a 2  2a 1  a 2  1  a 2  b 2  2b 1  b 2  1  b 2  a 1  a 2  b 1  b 2 .
Bình phương hai vế khơng âm, ta được:
a 2 1  a 2   b 2 1  b 2   a 4  b 4  a 2  b 2  0
  a 2  b 2  a 2  b 2  1  0

Do a, b là hai số dương khác nhau nên a 2  b 2  0
 a 2  b 2  1  0 hay a 2  b 2  1 . Điều phải chứng minh.

b) Đặt a  2009 , ta có:

a 2  a 2  a  1   a  1  a 2  a 4  2a 3  a 2   a  1
2

2

 a 4  2a 2  a  1   a  1 
2

a

2

 a  1

2

2

  a 2  a  1  2009 2  2009  1 là số nguyên dương.

Bài 7. Cho b  0; a  b . Chứng minh đẳng thức:

Hướng dẫn giải – đáp số
Đặt A  a  b  a  b ta có A  0 .
21. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 



a  b  a  b  2 a  a2  b




Xét A2  a  b  2.

 a  b  a  b   a 



 A2  2a  2 a 2  b  A2  2. a  a 2  b

b







Vì A  0 nên A  2 a  a 2  b . Suy ra điều phải chứng minh.
Bài 8. Cho x1  3  5 và x2  3  5 . Hãy tính: A  x1.x2 ; B  x12  x22 ; C  x13  x23 ; D  x15  x25
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có: A  x1.x2  3  5. 3  5  9  5  2 .
Ta có: B  x12  x22  3  5  3  5  6 .
Ta có: C   x1  x2   x12  x1 x2  x22  


C
C

C 





3 5  3 5

  6  2



3  5  3  5 .4



6  2 5  6  2 5 .2. 2



5  1  5  1 .2 2  4 10 .

Xét  x12  x22  x13  x23   x15  x12 x23  x13 x23  x25
 6.4 10  x15  x25  x12 x22  x1  x2 
 24 10  x15  x25  4



3 5  3 5




 24 10  x15  x25 



6  2 5  6  2 5 .2. 2

 24 10  x15  x25 



5  1  5  1 .2 2



 D  x15  x25  20 10 .
Bài 9. Rút gọn biểu thức: A 

7 5  7 5
7  2 11

 3 2 2 .

Hướng dẫn giải – đáp số
Xét B  7  5  7  5
 B2  7  5  2

 7  5  7  5   7 

5

22. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 

 


 B 2  14  2 49  5  14  4 11
Mà B  0 nên B  14  4 11 .
Từ đó suy ra: A 

14  4 11
7  2 11







2

2 1  A  2 





2 1  1 .

x  1  y y  y  1  x x .Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 10. Cho x, y là các số thực thỏa mãn:
S  x 2  3 xy  2 y 2  8 y  12 .

Hướng dẫn giải – đáp số
Tập xác định x  1; y  1 .
 Trường hợp 1: Xét x  y  1 suy ra:

P  12  3.1.1  2.12  8.1  12  6 1
 Trường hợp 2: Xét ít nhất x  1 hoặc y  1 . Ta có:

x x  y y  x 1  y 1  0









x 1  y  1
0
x 1  y 1





x  y . x  xy  y 





x  y . x  xy  y 






x y 
x  y .  x  xy  y 
0

x  1  y  1 




x y

x y

x 1  y 1

 0



Mà x  1; y  1 nên x  xy  y 
Suy ra



x y
x 1  y 1

0

x y 0 x y

Ta có: S  x 2  3 x 2  2 x 2  8 x  12
 S  2 x 2  8 x  12  S  2.  x  2   4  0
2

Dấu bằng xảy ra khi x  2 .
Do đó giá trị nhỏ nhất của S là 4 khi x  2  2  .
Từ (1) và (2) vậy giá trị nhỏ nhất của S là 4 khi x  2 .
Bài 11. Rút gọn các biểu thức sau:

P  4  5 3  5 48  10 7  4 3 ;
23. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Q





3 1

6  2 2. 3 

2  12  18  128 .

Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có: P  4  5 3  5 48  10 4  4 3  3

2  3

P  4  5 3  5 48  10



P  4  5 3  5 48  10 2  3

2



P  4  5 3  5 28  10 3
P  4  5 3  5 25  10 3  3

5  3 

P  4 5 3 5



P  4 5 3 5 5 3

2



P  4  5 3  25  5 3  4  25  9  3 .

b) Q 



3 1



6  2 2. 3 

2  12  16  8 2  2

Q



3 1



6  2 2. 3 

2  12 

Q



3 1



6  2 2. 3 

2 2 34 2

Q



3 1



6  2 2 3  3  2 3 1

Q



3 1



6  2 2 3  3 1 

Q



3 1



62 42 3 

Q



3 1



42 3 







3 1



4  2 



2

3 1

62 2 2 3





3 1

62



3 1  2 .

Bài 12. Rút gọn biểu thức:
24. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 

 

3 1




a) A 

6  2 5  13  48

b) T 

3 1

2 3  3  13  48
6 2

Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có: A 

A

A

A

A

b) Ta có T 

6  2 5  12  4 3  1
3 1

2

6 2 5



3 1

2



3 1

6  2 3  2 3 1

3 1

62





3 1

3 1





3 1

62

6  2 5  2 3 1
3 1





3 1

3 1

3  2 3 1
3 1

2



3 1

3 1
 1.
3 1

2 3  3  13  4 3
6 2



2

2 3 3



2. 2  3





3 1





3 1

2

6 2



3 1
2 3  3  2 3 1 2 3 
T

6 2
6 2
T

2

2



2 3  3 1
2



42 3
3 1

 1.
3 1
3 1

Bài 13. Rút gọn biểu thức: A 

2 10  30  2 2  6
2
:
.
2 10  2 2
3 1
Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có: A 






2

10 2  3  2 2  3
2



10 

.

3 1

2

25. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 



3 1