Chuyên đề Ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc nhọn thực hành ngoài trời

CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC NHỌN
THỰC HÀNH NGỒI TRỜI
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
- Vận dụng linh hoạt các tỉ số … và thực tiễn vào xử lý bài tập liên quan …
B.BÀI TẬP MINH HỌA CƠ BẢN NÂNG CAO
I.BÀI TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC BẢN CHẤT TỐN
Bài 1: Cho tam giác ABC vng tại A có AB = 5cm, AC = 12cm . Tính sin B, cos B, tgB, cotgB
Bài 2: Cho tam giác DEF có DE = 9cm, DF = 15cm, EF = 12cm . Tính sin EDF , tgEDF .
Bài 3: Cho tam giác ABC vng tại A có AB = 24cm, AC = 5cm . Tính sin B .
Bài 4: Khơng dùng bảng số và máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ nhỏ đến
lớn.
a)

sin 630 , cos 24 0 , cos 700 , sin 68 0 , sin 500

b)

cotg28 0 , tg350 , tg47 0 , cotg650 , cotg210

Bài 5: Tính:
a)

(sin 34 0 + cos 560 )2 - 4 sin 340 cos 560

b)

(cos 360 - sin 360 ).(cos 37 0 + sin 38 0 ).(cos 420 - sin 480 )

(tg520 + cotg430 ).(tg290 - cotg610 ).(tg130 - tg24 0 )
Bài 6: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng cạnh AC .

c)

Chứng minh rằng tgB =

1
tgC .
3

Bài 7: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a . Chứng minh rằng:
a)

sin

A
a
£
2
2 bc

b) sin

A
B
C
1
sin sin £
2
2
2
8

Bài 8: Cho tam giác ABC , các đường cao là AD, BE ,CF
Chứng minh rằng:

S DEF
S ABC

= 1 - cos2 A - cos2 B - cos2 C

HƯỚNG DẪN
Bài 1:
Tam giác ABC vng tại A , theo định lí Py-ta-go có:
BC 2 = AB 2 + AC 2

B

BC 2 = 52 + 122

BC 2 = 169
BC = 13cm
1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

A

C


sin B =

tgB =

AC
12
AB
5
=
cos B =
=
BC
13
BC
13

AC
12
=
AB
5

cotgB =

AB
5
=
AC
12

Bài 2:
E

DE 2 + EF 2 = 92 + 122 = 225

DF 2 = 152 = 225
DDEF có DE 2 + EF 2 = DF 2 (= 225)

sin EDF =
tgEDF =

F

D

Theo định lí Py-ta-go đảo có tam giác DEF vng tại E .
EF
12
4
=
=
DF
15
5

EF
12 4
=
=
DE
9
3

Bài 3:

A

Tam giác ABC vng tại A , theo định lí
Py-ta-go có:

24

5cm

BC 2 = AB 2 + AC 2 = 24 + 25 = 49

B

 BC = 7cm

Ta có: sin B =

5
AC
=
7
BC

Bài 4:
a)

cos 24 0 = cos(900 - 660 )

= sin 660 ; cos 700 = sin(900 - 700 ) = sin 200

Ta có: 200 < 500 < 630 < 660 < 68 0
 cos 700 < sin 500 < sin 630 < cos 210 < sin 68 0 (góc tăng, sin tăng)

b)

cotg28 0 = cotg(900 - 620 )

= tg620 ; cotg650 = cotg(900 - 250 )
= tg250 , cotg210 = tg(900 - 210 ) = tg690

Ta có: 250 < 350 < 47 0 < 620 < 690
 cotg650 < tg350 < tg47 0 < cotg28 0 < tg210 (góc tăng, tang tăng)

Bài 5:
2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

C


a) Ta có: 34 0 + 560 = 900 nên sin 340 = cos 560
Và có sin2 a + cos2 a = 1
Do đó: (sin 340 + cos 560 )2 - 4 sin 34 0. cos 560
= (sin 34 0 - cos 560 )2 = (sin 34 0 - sin 34 0 )2 = 0

b)

420 + 48 0 = -900 nên cos 420 = sin 48 0
 cos 420 - sin 48 0 = 0

Do đó: (cos 360 - sin 360 )(cos 37 0 + sin 38 0 )(cos 420 - sin 480 ) = 0
c)

290 + 610 = 900 nên tg290 = cotg610

 tg290 - cotg610 = 0

Do đó: (tg520 + cotg430 )(tg290 - cotg610 )(tg130 - tg240 ) = 0
Bài 6:
Vẽ đường cao AH của DABC
Do DAMC cân đỉnh A (vì AM = AC ) có AH là đường cao, nên AH là đường trung tuyến.
1
2

Suy ra: MH = HC = MC
 MC = 2MH = 2HC
A

Mà BM = MC (gt)
Nên BH = 3HC
AH

DHAB có AHB = 900 , ta có: tgB =
BH
B

AH

DHAC có AHC = 900 , ta có: tgC =
HC

Suy ra: tgB =

M

H

C

1
tgC
3

Bài 7:
a) AI là đường phân giác của tam giác ABC .
Vẽ BD ^ AI (D Ỵ AI )
CE ^ AI (E Ỵ AI )

A

Ta có: BD £ BI ,CE £ IC
Do đó: BD + CE £ BC = a

(1)
D

DBDA vuông tại D


Nên BD = AB sin BAD
3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

B

C

I
E


Nên BD = c sin

A
2

Tương tự CE = b sin

A
2

Do đó: BD + CE = (b + c) sin

A
2

Từ (1) và (2) ta có: (b + c) sin

A
A
a
£ a  sin £
2
2 b +c

(2)

Mà b + c ³ 2 bc (bất đẳng thức Cosi cho hai số dương)
Ta có: sin

b)

sin

A
a
£
2
2 ab

A
a
B
b
C

c
£
; sin £
. Tương tự: sin £
2 2 bc
2
2
2 ac
2 ab

Do đó: sin

sin

A
B
C
a
b
c
sin sin £
.
.
2
2
2
2 bc 2 ac 2 ab

1
A

B
C
sin sin £
2
2
2
8

Bài 8:
 (chung)
Xét DAEB và DAEC có EAB
 = AFC
 (= 900 )
AEB
A

Do đó DAEB ∽ DAEC
F

AE
AB

=
AF
AC


Xét DAEF và DABC cú: EAF
(chung)
AE

AF
=
AB
AC

ổ
ử
ỗỗ AE = AB ữữ
ữữ
ỗố AF
AC ứ

Do ú DAEF ∽ DABC


S BDF
S ABC

Do đó:

=

S ABC
S ABC

= cos2 B;
S DEF
S ABC
-

=

S AEF
S ABC

E

SCDE
S ABC

= cos2 C

S ABC - S AEF - S BDF - SCDE
S ABC
-

S BDF
S ABC

-

SCDE
S ABC

4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

B

D

C


= 1 - cos2 A - cos2 B - cos2 C .

II.BÀI TẬP VẬN DỤNG VÀO THỰC TẾ
Câu 1: Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7, 5m . Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ
bằng 42 . Tính chiều cao của cột đèn (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).
Câu 2: Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 6m . Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ
bằng 38 . Tính chiều cao của cột đèn (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).
Câu 3: Một cầu trượt trong công viên có độ dốc là 28 và có độ cao là 2,1m . Tính độ dài của mặt cầu
trượt (làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai).
 (làm
Câu 4: Một cột đèn điện AB cao 6m có bóng in trên mặt đất là AC dài 3, 5m . Hãy tính góc BCA

trịn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất.

(làm
Câu 5: Một cột đèn điện AB cao 7m có bóng in trên mặt đất là AC dài 4m . Hãy tính góc BCA
trịn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất.

Câu 6: Một cây tre cao 9m bị gió bão làm gãy ngang thân, ngọn cây chạm đất cách gốc 3m . Tính điểm
gãy cách gốc bao nhiêu?
Câu 7: Một cây tre cao 8 m bị gió bão làm gãy ngang thân, ngọn cây chạm đất cách gốc 3, 5 m . Tính
điểm gãy cách gốc bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Câu 8: Nhà bạn Minh có một chiếc thang dài 4 m . Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng cách
bằng bao nhiêu để tạo được với mặt đất một góc “an tồn” là 65 (tức là đảm bảo thang không bị đổ khi
sử dụng). (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Câu 9: Một máy bay đang bay ở độ cao 10km so với mặt đất, muốn hạ cánh xuống sân bay. Để đường
bay và mặt đất hợp thành một góc an tồn là 15 thì phi cơng phải bắt đầu hạ cánh từ vị trí cách sân bay
bao xa? (làm trịn kết quả đến chữ số phần thập phân)
Câu 10: Một máy bay đang bay ở độ cao 12km so với mặt đất, muốn hạ cánh xuống sân bay. Để đường
bay và mặt đất hợp thành một góc an tồn là 12 thì phi cơng phải bắt đầu hạ cánh từ vị trí cách sân bay
bao xa? (làm tròn kết quả đến chữ số phần thập phân)
Câu 11: Một cái cây bị sét đánh trúng thân cây làm thân cây ngả xuống đất, tạo với mặt đất một góc là
40 . Biết rằng khúc cây cịn đứng cao 1m . Tính chiều cao lúc đầu của cây.
Câu 12: Một cái cây bị sét đánh trúng thân cây làm thân cây ngả xuống đất, tạo với mặt đất một góc là
35 . Biết rằng khúc cây cịn đứng cao 1, 5m . Tính chiều cao lúc đầu của cây. (làm tròn đến chữ số thập
phân thứ nhất).
Câu 13: Một chiếc máy bay đang bay lên với vận tốc 500 km / m . Đường bay lên tạo với phương ngang
một góc 30 . Hỏi sau 1, 2 phút kể từ lúc cất cánh, máy bay đạt được độ cao là bao nhiêu?

5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Câu 14: Một chiếc máy bay đang bay lên với vận tốc 480 km / m . Đường bay lên tạo với phương ngang
một góc 25 . Hỏi sau 1, 5 phút kể từ lúc cất cánh, máy bay đạt được độ cao là bao nhiêu? (làm tròn đến
chữ số thập phân thứ nhất)
Câu 15: Một khúc sông rộng khoảng 250m . Một chiếc thuyền muốn qua sông theo phương ngang nhưng
bị dòng nước đẩy theo phương xiên, nên phải đi khoảng 320m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dịng nước
đã đẩy thuyền lệch đi một góc bao nhiêu độ?
Câu 16: Một khúc sông rộng khoảng 100m . Một chiếc thuyền muốn qua sơng theo phương ngang nhưng
bị dịng nước đẩy theo phương xiên, nên phải đi khoảng 180m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước
đã đẩy thuyền lệch đi một góc bao nhiêu độ? (làm trịn đến độ)
Câu 17: Hai bạn học sinh Trung và Dũng đang đứng ở mặt đất bằng phẳng, cách nhau 100m thì nhìn
thấy một chiếc diều (ở vị trí C giữa hai bạn). Biết góc “nâng” để nhìn thấy diều ở vị trí của Trung là 50

và góc “nâng” để nhìn thấy diều ở vị trí của Dũng là 40 . Hãy tính độ cao của diều lúc đó so với mặt đất?
(làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Câu 18: Hai bạn học sinh A và B đang đứng ở mặt đất bằng phẳng, cách nhau 80m thì nhìn thấy một
máy bay trực thẳng điều khiển từ xa (ở trị ví C nằm trên tia AB và AC > AB ). Biết góc “nâng” để nhìn
thấy máy bay ở vị trí của B là 55 góc “nâng” để nhìn thấy máy bay ở vị trí của B là 40 . Hãy tính độ
cao của máy bay lúc đó so với mặt đất? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Câu 19: Hai bạn học sinh A và B đang đứng ở mặt đất bằng phẳng, cách nhau 60m thì nhìn thấy một
máy bay trực thẳng điều khiển từ xa (ở trị ví C nằm trên tia AB và AC > AB ). Biết góc “nâng” để nhìn
thấy máy bay ở vị trí của B là 50 góc “nâng” để nhìn thấy máy bay ở vị trí của B là 30 . Hãy tính độ
cao của máy bay lúc đó so với mặt đất? (làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai).
D

A

B

C

HƯỚNG DẪN
Câu 1.
C

42°
A

6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

B

 = 42
Ta có chiều cao cột đèn là AC ; AB = 7, 5m và ACB

Xét tam giác ACB vng tại A có: AC = AB. tan B = 7, 5. tan 42  6, 753m .
Vậy cột đèn cao 6, 753m .
Câu 2.
C

38°
A

B

 = 38
Ta có chiều cao cột đèn là AC ; AB = 6 m và ACB

Xét tam giác ACB vng tại A có: AC = AB. tan B = 7, 5. tan 38  4, 69 m .
Vậy cột đèn cao 4, 69m .
Câu 3.
C

28°
A

B

 = 28
Ta có chiều cao của mặt cầu trượt là AC ; AB = 2,1 m và ABC

Xét tam giác ACB vng tại A có: BC = AB : sin B = 2,1 : sin 28  4, 47 m .
Vậy độ dài của mặt cầu trượt là 4, 47m .
Câu 4.
Ta có tan C =

AB
6
12
 » 5945¢ .
=
=
C
AC
3, 5
7

Đáp án cần chọn là C.
Câu 5.

7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


B

C

Ta có tan C =

A

AB
7
 » 6015¢ .
= C
AC
4

Câu 6.
B

C
x
3
A

D

Giả sử AB là độ cao của cây tre, C là điểm gãy.
Đặt AC = x (0 < x < 9)  CB = CD = 9 - x .
Vì D ACD vuông tại A .
Suy ra AC 2 + AD 2 = CD 2  x 2 + 32 = (9 - x )2  x = 4 (tm).
Vậy điểm gãy cách gốc cây 4 m .
Câu 7.
B

C
x

3,5
A

Giả sử AB là độ cao của cây tre, C là điểm gãy.

8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

D


Đặt AC = x (0 < x < 8)  CB = CD = 8 - x .
Vì D ACD vuông tại A .
Suy ra AC 2 + AD 2 = CD 2  x 2 + 3, 52 = (8 - x )2  16x =

207
207
x =
» 3, 23m
4
64

Vậy điểm gãy cách gốc cây 3, 23m .
Câu 8.
B

C

A

Ta có BC = 4 m;C = 65 .
Xét D ABC vuông tại A có AC = BC . cos C = 4. cos 65  1, 69 m .
Đáp án cần chọn là D.
Câu 9.
C

A

B

 = 15
Từ giả thiết suy ra AC = 10 km; B

Xét tam giác D ABC vuông tại A có AB = AC . cot B = 10. cot15 » 37, 32 km .
Câu 10.
C

A

9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

B


 = 12
Từ giả thiết suy ra AC = 12 km; B

Xét tam giác D ABC vng tại A có AB = AC . cot B = 12. cot12 » 56, 5 km .
Câu 11.
D

C

A

B

Từ giả thiết ta có chiều dài ban đầu của cây là AD ; sau khi bị sét đánh thì cây cịn lại
 = 40
AC = 1 m;CBA
và CD = CB .

Xét tam giác D ABC vng tại A có BC =

AC
= 1, 56 m nên CD = 1, 56 m
sin 40

Suy ra AD = AC + CD = 1 + 1, 56 = 2, 56 m .
Vậy cây cao 2, 56m .
Câu 12.
D

C

A

B

Từ giả thiết ta có chiều dài ban đầu của cây là AD ; sau khi bị sét đánh
 = 45
thì cây cịn lại AC = 1, 5 m;CBA
và CD = CB .

Xét tam giác D ABC vng tại A có BC =

AC
» 2, 6m nên CD = 1, 56 m
sin 35

Suy ra AD = AC + CD = 1, 5 + 2, 6 = 4,1 m .
Vậy cây cao 4,1m .
Câu 13.
10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


C

A

Đổi 1, 2¢ =

B

1

h.
50

Sau 1, 2 phút máy bay ở C .
Quãng đường bay được là BC = 500.

1

= 10 km và B = 30
50

Nên AC = BC . sin 30 = 5 km .
Vậy máy bay đạt được độ cao là 5 km sau 1, 2 phút.
Câu 14.
C

A

Đổi 1, 5¢ =

B

1
h.
40

Sau 1, 5 phút máy bay ở C .
Quãng đường bay được là BC = 480.

1


= 12 km và B = 25
40

Nên AC = BC . sin 25 = 5,1 km .
Vậy máy bay đạt được độ cao là 5,1km sau 1, 5 phút.
Câu 15.

11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


A

B

C

Ta có khúc sơng AC = 250 m , qng đường thuyền đi là BC = 320 m .

Góc lệch là C
.

Ta có cos C =

AC
250
  3837 ¢ .
=

C
BC
320

Vậy góc lệch là 3837 ¢ .
Câu 16.
A

B

C

Ta có khúc sơng AC = 100 m , quãng đường thuyền đi là BC = 180 m .

Góc lệch là C
.

Ta có cos C =

AC
100
  56 .
=
C
BC
180

Vậy góc lệch là 56 .
Câu 17.
C

50°
A

40°
D

B

Độ cao của diều là CD , độ dài AB = 100 m . Trung đứng ở A , Dũng đứng ở B .
Gọi AD = x (0 < x < 100)  BD = 100 - x
Xét D ACD vng tại D ta có CD = AD. tan A = x . tan 50
12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Xét D ABD vng tại D ta có CD = BD. tan B = (100 - x ). tan 40
Nên x. tan 50 = (100 - x ). tan 40  x  41, 32 (thoả mãn)
 CD = 41, 32. tan 50  49, 24 m .

Vậy độ cao của diều lúc đó so với mặt đất là 49,24m .
Câu 18.
D

40°
A

55°
B

C

Độ cao của máy bay là CD , độ dài AB = 80 m .
Gọi BC = x (x > 0)  AC = 80 + x
Xét tam giác BCD vng tại C ta có CD = x . tan 55
Xét tam giác ADC vng tại C ta có CD = (80 + x ). tan 40
Nên x . tan 55 = (80 + x ). tan 40  x  113, 96 m (thoả mãn)
 CD = 113, 96. tan 55  162, 75 m .

Vậy độ cao của máy bay lúc đó so với mặt đất là 162, 75m .
Câu 19.
 = 30; DBC
 = 50
Độ cao của máy bay là CD , độ dài AB = 80 m . DAC

Gọi BC = x  AC = 60 + x
 = x. tan 50
Xét tam giác BCD vng tại C ta có CD = BC . tan DBC
 = (60 + x ). tan 30
Xét tam giác ADC vng tại C ta có CD = AC . tan DAC

Suy ra x . tan 50 = (60 + x ). tan 30  x (tan 50 - tan 30) = 60. tan 30  x  56, 38 m
 CD = x . tan 50 = 56, 38. tan 50  67,19 m .

Vậy độ cao của máy bay lúc đó so với mặt đất là 67,19m .
-------------Tốn Học Sơ Đồ------------ 
13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com