BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH đề TÀI PHƯƠNG PHÁP LẶP đơn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
--------------o0o--------------

BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH
 
ĐỀ TÀI: PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN
Giáo viên hướng dẫn: TS.Nguyễn Đình Dương


CÁC THÀNH VIÊN TRONG NHÓM 2 (L11)
MSSV

HỌ VÀ TÊN
Cái Thị Hồng Ân
Trần Ngọc Hạ
Nguyễn Trọng Khiêm
Nguyễn Trung Kiên
Phạm Ngọc Kiên
Trần Tiến Nhật

1912634
2011159
1913790
2011467
2010361
1914494

Nguyễn Hữu Trường Sơn
Giang Thoại Tân
Nguyễn Văn Thắng

Hà Vĩnh Thiện
Phan Đoàn Phi Tiến
Dương Trọng Tuấn

2014378
2014450
1919010
1912105
2010692
2012332

2


Nội dung :
I. Cơ sở lí thuyết
1. Mở đầu về phương pháp lặp
2. Nội dung phương pháp lặp
3. Sự hội tụ và sai số
4. Tổng kết

II. Một số bài tập sử dụng phương pháp lặp
3


1.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT


1.

Mở đầu về phương pháp lặp đơn:
a) Bài toán:



Cho hàm số f(x) với a ≤ x ≤ b, tìm giá trị x* thỏa mãn
f(x*) = 0
 Với f(x) cho trước ta đi tìm hàm g(x) sao cho
f(x*) = 0  x* = g(x*)
(g(x) có thể khơng duy nhất)
Bài tốn tìm x* thỏa mãn x* = g(x*) được gọi là bài toán điểm bất động
b) Định nghĩa:
➢ Nếu hàm g xác định trên [a; b] và g(x*) = x* với x* ∈ [a, b] thì ta nói g có điểm bất động
trong [a; b]. Nói cách khác, hàm g có điểm bất động trong [a; b] nếu đồ thị y = g(x) cắt
5
đường thẳng y = x trong [a; b].


Định lý 1 (Điều kiện tồn tại điểm bất động):
Nếu g ∈ C[a, b] và g(x) ∈ [a, b] với mọi x ∈ [a, b] thì g có điểm
bất động trong [a; b].

6


Định lý 2 (Điều kiện tồn tại duy nhất điểm bất động):
Cho g ∈ C[a; b] và g(x) ∈ [a; b] với mọi x ∈ [a; b]. Ngoài ra, nếu g’(x) tồn
tại trên (a; b) và |g’(x)| ≤ k < 1, ∀x ∈ [a; b], thì g có điểm bất động duy nhất
x* trong [a, b].

7


2.Nội dung phương pháp lặp:
➢ Chọn điểm xuất phát x0
➢ Xây dựng dãy
theo công thức
xn+1 = g(xn), ∀n ≥ 1
➢ Nếu xn → x* thì từ tính liên tục của g suy ra
x* = lim xn = lim g(xn-1) = g (lim xn-1) = g(x*)
➢ Vậy x* là điểm bất động của g, tức là nghiệm f(x) = 0
8


Thuật toán lặp đơn:

➢Bước 1: Chọn x0; n = 1;
➢Bước 2: xn = g(xn-1);
➢Bước 3: Nếu |xn − x­n-1| < ε thì đến bước 5;
➢Bước 4: n = n + 1; quay lại bước 2;
➢Bước 5: Kết thúc
9


3. Sự hội tụ và sai số
 
➢
Định lý:
Cho g ∈ C[a; b] và g(x) ∈ [a; b] với mọi x ∈ [a; b]. Ngoài ra, g’(x) tồn tại trên (a; b) và

|g’(x)| ≤ k < 1, ∀x ∈ [a; b].
Khi đó, với x0 ∈ [a; b] bất kì, dãy lặp {xn} xác định bởi
xn = g(xn-1), n ≥ 1,

hội tụ về điểm bất động duy nhất x* ∈ [a; b]. Ngồi ra, ta có ước lượng:
|xn – x*| ≤ |xn − x­n-1|,
(1)
hoặc
|xn – x*| ≤ |x1 − x­0|.

(2)
10


Nhận xét:
➢

Công thức (2) thường dùng làm ước lượng tiên nghiệm.
Thật vậy, muốn |xn – x*| < ε, ta chỉ cần

➢

Cơng thức (1) tiện lợi trong q trình tính tốn vì nó cho ta ước lượng hậu nghiệm.
Nếu sai số giữa hai xấp xỉ liên tiếp |xn – xn-1| < ε(1 − k)/k thì |xn – x*| < ε.

11


4. Tổng kết
 Xấp xỉ ban đầu x0 không nhất thiết phải thật gần nghiệm đúng x*

 Phép lặp đơn có khả năng tự sửa sai. Nếu xấp xỉ xk mắc sai số thì có thể coi như xấp
xỉ ban đầu mới
 Có các đánh giá sai số (tiên nghiệm, hậu nghiệm)
 Dễ lập trình trên máy tính
 Nhược điểm của phương pháp lặp là khi hệ số k gần 1, phép lặp hội tụ rất chậm

12


2.
MỘT SỐ BÀI TẬP SỬ
DỤNG PHƯƠNG PHÁP
LẶP


Câu 1: Sử dụng các thao tác đại số để chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây có một
 
điểm cố định tại p khi f (p) = 0, cho f(x)=
a)
b)
c)
d)

14


 
Câu
1:
a)

 

b)

Nên

Nên

Đặt
Vậy hàm số có điểm cố định tại p

Đặt
Vậy hàm số có điểm cố định tại p

15


 
Câu
1:
c)

 

d)
Nên

Nên

Đặt
Vậy hàm số có điểm cố định tại p

Đặt
Vậy hàm số có điểm cố định tại p

16


 

Câu 3: Bốn phương pháp sau đây được đề xuất để tính tốn . Xếp hạng chúng theo thứ tự, dựa trên
tốc độ hội tụ rõ ràng của chúng, giả sử
a)

b)
c)

d)

17


Phương pháp giải:
n

a

b

c

d

0

1

1

1

1

1

1.9523809

7.6666666

0

4.5825756

2

2.1217542

5.2302037

0

2.1406951

3

2.2428497

3.7426968

0

3.1320755

4

2.3348396

2.9948534

0

2.5893665

5

2.4071246

2.7770221

0

2.84782227

6

2.4650846

2.759041819

0

2.71552125

 

 

 

 

 

0.05796

-0.017980281

0

-0.13230102

Thứ tự theo tốc độ hội tụ giảm dần là (b), (d), (a). Trình tự trong (c) khơng hội tụ
18


 

Câu 7: Sử dụng Định lý 2.3 để chỉ ra rằng có một điểm cố định duy nhất trên [0, 2π]. Sử
dụng lặp điểm cố định để tìm xấp xỉ đến điểm cố định chính xác trong vịng . Sử dụng
Corollary 2.5 để ước tính số lần lặp cần thiết để đạt được độ chính xác và so sánh ước tính
lý thuyết này với con số thực sự cần thiết.

19


 
➢
Phương pháp giải:

➢ Ta có

, g liên tục và tồn tại trong

với
➢ Theo định lý 2.3 thấy rằng có điểm p cố định tồn tại trong
➢ Với chúng ta có
➢ Hệ quả định lý 2.5 cho thấy
➢ Để độ chính xác nhỏ hơn 0.01 thì
20

 

n

xn

|xn- xn-1|

0

3.141592654

 

1

3.641592654

0.5

2

3.626048864

0.01554

3

3.626995622

0.00095

4

3.626938794

0.000056828

➢ Tuy nhiên theo bảng bên trên từ có sai số:
|x2 – x| ≤ |x2 − x­1|=0.00518<0.01
21


 

Câu 10: Sử dụng phương pháp lặp điểm cố định để tìm xấp xỉ
với sai số trong . So sánh kết quả của bạn và số lần lặp lại cần
thiết với câu trả lời thu được trong Bài tập 13 của Mục 2.1.

22


 
Phương
pháp giải:
Đặt
và
. Chọn

Ta có: . Vậy g(x) thỏa mãn định lý 2.3
Giả sử
x   3 25;4

n
0
0
1
1
2
2

3
3
2.925925926
2.925925926
2.924018982
2.924018982

 
  
  
  

Số lần lập cần thiết là 2 lần.

23

0.0759822619
0.0759822619

0.001908187
0.001908187
0.000001243
0.000001243


 Bài 13 mục 2.1: Sử dụng phương pháp chia đôi để tìm xấp xỉ
với sai số trong .
x   3 25;4 

Ta có: với

Ta có sai số của phương pháp chia đôi:
Vậy
=>



xn  x 

ba
2n



104  4  3 25 .2  n
0.000092938  2  n

=> n  13.39336667  14

 Vậy sử dụng phương pháp lặp đơn tính xấp xỉ với sai số
trong cần số lần lập ít hơn phương pháp chia đôi.
24


 

Câu 12: Đối với mỗi phương trình sau đây, hãy sử dụng
khoảng đã cho hoặc xác định một khoảng [a, b] trên đó
lặp lại điểm cố định sẽ hội tụ. Ước tính số lần lặp cần
thiết để có được sai số xấp xỉ và thực hiện các phép tính.

25