Tài liệu Lý thuyết cơ sở điều khiển tự động (P7) docx

27 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 1
LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
Giảng viên: Huỳnh Thái Hoàng
Bộ môn Điều Khiển Tự Động
Khoa Điện – Điện Tử
Đại học Bách Khoa TP.HCM
Email:
Môn học
Môn học
27 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 2
PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ
PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ
HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
Chương 7
Chương 7
27 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 3
 Đánh giátính ổn đònh
 Chất lượng của hệ rời rạc
 Thiết kế hệ thống điều khiển rời rạc
Nội dung chương 7
Nội dung chương 7
27 April 2006 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 4
Ñaùnh giaù tính oån ñònh
Ñaùnh giaù tính oån ñònh
27 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 5
Điều kiện ổn đònh của hệ rời rạc
Điều kiện ổn đònh của hệ rời rạc
 Hệ thống ổn đònh BIBO (Bounded Input Bounded Output) nếu
tín hiệu vào bò chặn thì tín hiệu ra bò chặn.

Ts
e
z
=
Re s
Im s
Miền ổn đònh
Miền ổn đònh của hệ liên
tục là nữa trái mặt phẳng s
{}
0Re <s
Re z
Im z
Miền ổn đònh
1
Miền ổn đònh của hệ rời rạc là
vùng nằm trong vòng tròn đơn vò
1||
<
z
27 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 6
Phương trình đặc trưng của hệ rời rạc
Phương trình đặc trưng của hệ rời rạc
G
C
(z)
C(s)
+
−
T

G(s)
H(s)
ZOH
R(s)
 Hệ thống điều khiển rời rạc mô tả bởi sơ đồ khối:
⇒ Phương trình đặc trưng:
0)()(1
=
+
zGHzG
C
 Hệ thống điều khiển rời rạc mô tả bởi PTTT:



=
+=+
)()(
)()()1(
kkc
krkk
d
dd
xC
B
x
A
x
⇒ Phương trình đặc trưng:
0)det( =

−
d
z
A
I
27 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 7
Phương pháp đánh giá tính ổn đònh của hệ rời rạc
Phương pháp đánh giá tính ổn đònh của hệ rời rạc
 Tiêu chuẩn ổn đònh đại số
 Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng
 Tiêu chuẩn Jury
 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số
27 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 8
Tiêu chuẩn Routh
Tiêu chuẩn Routh
–
–
Hurwitz mở rộng
Hurwitz mở rộng
Re z
Im z
Miền ổn đònh
1
Miền ổn đònh: trong vòng
tròn đơn vò của mặt phẳng Z
Re w
Im w
Miền ổn đònh
Miền ổn đònh: nữa trái
mặt phẳng W

 PTĐT của hệ rời rạc:
0
1
1
10
=++++
−
−
nn
nn
azazaza L
 Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng: đổi biến z → w, sau đó áp
dụng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz cho PTĐT theo biến w.
1
1
−
+
=
w
w
z
27 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 9
Thí dụ xét ổn đònh dùng tiêu chuẩn Routh
Thí dụ xét ổn đònh dùng tiêu chuẩn Routh
–
–
Hurwitz mở rộng
Hurwitz mở rộng
 Đánh giá tính ổn đònh của hệ thống:
3

3
)(
+
=
−
s
e
sG
s
C(s)
+
−
G(s)
ZOH
R(s)
5.0
=
T
H(s)
1
1
)(
+
=
s
sH
Biết rằng:
 Giải:
Phương trình đặc trưng của hệ thống:
0)(1

=
+
z
G
H
27 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 10
Thí dụ xét ổn đònh dùng tiêu chuẩn Routh
Thí dụ xét ổn đònh dùng tiêu chuẩn Routh
–
–
Hurwitz mở rộng
Hurwitz mở rộng






−=•
−
s
sHsG
zzGH
)()(
)1()(
1
Z
))()(1(
)(
)1(3

5.015.03
21
×−×−
−−
−−−
+
−=
ezezz
BAzz
zz
)(
)1()1(
)(
)1()1(
))()(1(
)(
))((
1
abab
ebeeae
B
abab
eaeb
A
ezezz
BAzz
bsass
aTbTbTaT
bTaT
bTaT

−
−−−
=
−
−−−
=
−−−
+
=






++
−−−−
−−
−−
Z






++
−=
−
−

)1)(3(
3
)1(
1
sss
e
z
s
Z
)1(
1
)(
)3(
3
)(
+
=
+
=
−
s
sH
s
e
sG
s
0346.0
)31(3
)1()1(3
0673.0

)31(3
)1(3)1(
5.035.05.05.03
5.05.03
=
−
−−−
=
=
−
−−−
=
×−−−×−
−
×−
eeee
B
ee
A
⇒
)607.0)(223.0(
104.0202.0
)(
2
−−
+
=
zzz
z
zGH

27 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 11
Thí dụ xét ổn đònh dùng tiêu chuẩn Routh
Thí dụ xét ổn đònh dùng tiêu chuẩn Routh
–
–
Hurwitz mở rộng
Hurwitz mở rộng
⇒ Phương trình đặc trưng:
0)(1 =+
z
G
H
)607.0)(223.0(
104.0202.0
)(
2
−−
+
=
zzz
z
zGH
⇒
0104.0202.0135.083.0
234
=
+
+
+
−

z
z
z
z
0
)607.0)(223.0(
104.0202.0
1
2
=
−−
+
+
zzz
z
⇒
 Đổi biến:
1
1
−
+
=
w
w
z
0104.0
1
1
202.0
1

1
135.0
1
1
83.0
1
1
234
=+






−
+
+






−
+
+







−
+
−






−
+
w
w
w
w
w
w
w
w
⇒
0597.1378.5624.679.1611.0
234
=
+
+
+
+ wwww

⇒
27 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 12
Thí dụ xét ổn đònh dùng tiêu chuẩn Routh
Thí dụ xét ổn đònh dùng tiêu chuẩn Routh
–
–
Hurwitz mở rộng
Hurwitz mở rộng
 Bảng Routh
0597.1378.5624.679.1611.0
234
=
+
+
+
+
wwww
 Kết luận: Hệ thống ổn đònh do tất cả các hệ số ở cột 1 của
bảng Routh đều dương
27 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 13
Tiêu chuẩn Jury
Tiêu chuẩn Jury
 Xét tính ổn đònh của hệ rời rạc có PTĐT:
0
1
1
10
=++++
−
−

nn
nn
azazaza L
 Tiêu chuẩn Jury: Điều kiện cần và đủ để hệ thống rời rạc ổn đònh
là tất cả các hệ số ở hàng lẻ, cột 1 của bảng Jury đều dương.
 Bảng Jury: gồm có (2n+1) hàng.
 Hàng 1 là các hệ số của PTĐT theo thứ tự chỉ số tăng dần.
 Hàng chẳn (bất kỳ) gồm các hệ số của hàng lẻ trước đó viết
theo thứ tự ngược lại.
 Hàng lẽ thứ i = 2k+1 (k≥1) gồm có (n
−
k+1) phần tử, phần tử
ở hàng i cột j xác đònh bởi công thức:
3,11,1
3,21,2
1,2
1
+−−−−
+−−−−
−
=
kjnii
kjnii
i
ij
cc
cc
c
c
27 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 14

Thí dụ xét ổn đònh dùng tiêu chuẩn Jury
Thí dụ xét ổn đònh dùng tiêu chuẩn Jury
 Do các hệ số ở hàng lẻ cột 1 bảng Jury đều dương nên hệ thống
ổn đònh.
01325
23
=
+
+
+
z
z
z
 Xét tính ổn đònh của hệ rời rạc có PTĐT là:
 Bảng Jury
27 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 15
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
 Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương
trình đặc trưng của hệ thống khi có một thông số nào đó trong hệ
thay đổi từ 0 →∞.
 Xét hệ rời rạc có phương trình đặc trưng:
0
)(
)(
1 =+
zD
zN
K
 Các qui tắc vẽ QĐNS hệ liên tục có thể áp dụng để vẽ QĐNS

của hệ rời rạc, chỉ khác qui tắc 8.
)(
)(
)(
0
zD
zN
KzG =
Đặt:
Gọi n và m là số cực và số zero của G
0
(z)
27 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 16
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Qui tắc vẽ QĐNS
Qui tắc vẽ QĐNS
 Qui tắc 1: Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số = bậc của phương
trình đặc tính = số cực của G
0
(z) = n.
 Qui tắc 2:
 Khi K = 0: các nhánh của quỹ đạo nghiệm số xuất phát từ các
cực của G
0
(z).
 Khi K tiến đến +∞ : m nhánh của quỹ đạo nghiệm số tiến đến
m zero của G
0
(z), n−m nhánh còn lại tiến đến ∞ theo các tiệm

cận xác đònh bởi qui tắc 5 và qui tắc 6.
 Qui tắc 3: Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực.
 Qui tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm số
nếu tổng số cực và zero của G
0
(z) bên phải nó là một số lẻ.
27 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 17
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Qui tắc vẽ QĐNS (tt)
Qui tắc vẽ QĐNS (tt)
 Qui tắc 7: : Điểm tách nhập (nếu có) của quỹ đạo nghiệm số nằm
trên trục thực và là nghiệm của phương trình:
0=
dz
dK
 Qui tắc 6: : Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A
có tọa độ xác đònh bởi:
mn
zp
mn
OA
m
i
i
n
i
i
−
−

=
−
−
=
∑∑
∑∑
== 11
zerocực
(p
i
và z
i
là các cực
và các zero của G
0
(z) )
 Qui tắc 5: : Góc tạo bởi các đường tiệm cận của quỹ đạo nghiệm
số với trục thực xác đònh bởi :
mn
l
−
+
=
π
α
)12(
),2,1,0( K
±
±
=

l
27 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 18
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Qui tắc vẽ QĐNS (tt)
Qui tắc vẽ QĐNS (tt)
 Qui tắc 8: : Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo có thể
xác đònh bằng cách áp dụng tiêu chuẩn Routh–Hurwitz mở rộng
hoặc thay z=a+jb (a
2
+b
2
=1) vào phương trình đặc trưng.
 Qui tắc 9: Góc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức p
j
được xác đònh bởi:
∑∑
≠
==
−−−+=
n
ji
i
ij
m
i
ijj
ppzp
11
0

)arg()arg(180
θ
Dạng hình học của công thức trên là:
θ
j
= 180
0
+ (∑góc từ các zero đến cực p
j
)
− (∑góc từ các cực còn lại đến cực p
j
)
27 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 19
Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạc
Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạc
 Giải:
Phương trình đặc trưng của hệ thống:
0)(1
=
+
z
G
 Cho hệ thống rời rạc có sơ đồ khối:
)5(
5
)(
+
=
ss

K
sG
C(s)
+
−
G(s)
ZOH
R(s)
1.0
=
T
 Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0→ +∞. Tính K
gh
27 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 20
Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạc
Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạc






−=•
−
s
sG
zzG
)(
)1()(
1

Z
[
]
)()1(
)1()1(
)(
22 aT
aTaTaT
ezza
aTeezeaTz
ass
a
−
−−−
−−
−−++−
=






+
Z







+
−=
−
)5(
5
)1(
2
1
ss
K
z
Z
)5(
5
)(
+
=
ss
K
sG








−−

−−++−
−=
−
−−−
−
)()1(5
)]5.01()15.0[(
)1(
5.02
5.05.05.0
1
ezz
eezez
zK
⇒
)607.0)(1(
018.0021.0
)(
−−
+
=
zz
z
KzG
 Phương trình đặc trưng:
0
)607.0)(1(
018.0021.0
1 =
−−

+
+
zz
z
K
 Cực:
1
1
=p 607.0
2
=
p
 Zero:
857.0
1
−=z
27 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 21
Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạc
Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạc
 Điểm tách nhập:
(PTĐT) ⇔
018.0021.0
607.0607.1
018.0021.0
)607.0)(1(
2
+
+−
−=
+

−−
−=
z
zz
z
zz
K
⇒
2
2
)018.0021.0(
042.0036.0021.0
+
−+
−=
z
zz
dz
dK
0=
dz
dK
Do đó
⇔



=
−=
792.0

506.2
2
1
z
z
 Tiệm cận:

12
)12()12(
−
+
=
−
+
=
π
π
α
l
mn
l
12
)857.0(]607.01[
zero
−
−
−
+
=
−

−
=
∑∑
mn
OA
cực
π
α
=
⇒
464.2
=
OA
⇒
27 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 22
Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạc
Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạc
 Giao điểm của QĐNS với vòng tròn đơn vò:
Cách 1: Dùng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng:
(PTĐT) ⇔
0)018.0021.0()607.0)(1(
=
+
+
−
−
z
K
z
z

(*)
0)607.0018.0()607.1021.0(
2
=++−+ KzKz
⇔
Đổi biến
1
1
−
+
=
w
w
z
, (*) trở thành:
0)607.0018.0(
1
1
)607.1021.0(
1
1
2
=++






−

+
−+






−
+
K
w
w
K
w
w
⇔
0)003.0214.3()036.0786.0(039.0
2
=−+−+ KwKKw
Theo hệ quả của tiêu chuẩn Hurwitz, điều kiện ổn đònh là:





>−
>−
>
0003.0214.3

0036.0786.0
0
K
K
K
⇒
83.21
=
gh
K





<
<
>
1071
83.21
0
K
K
K
⇔
27 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 23
Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạc
Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạc
Thay giá trò K
gh

= 21.83 vào phương trình (*), ta được:
011485.1
2
=
+
−
z
z
8187.05742.0 j
z
±
=
Vậy giao điểm của QĐNS với vòng tròn đơn vò là:
8187.05742.0 j
z
±
=
⇒
0)607.0018.0()607.1021.0(
2
=++−+ KzKz
Cách 2: Thay z = a + jb vào phương trình (*) :
0)607.0018.0())(607.1021.0()(
2
=+++−++ KjbaKjba
+−+−+−+ bKjaKbabja )607.1021.0()607.1021.0(2
22
0)607.0018.0(
=
+

K
⇒



=−+
=++−+−
0)607.1021.0(2
0)607.0018.0()607.1021.0(
22
bKjabj
KaKba
⇒
27 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 24
Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạc
Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạc
 Kết hợp với điều kiện a
2
+ b
2
=1, ta được hệ phương trình:





=+
=−+
=++−+−
1

0)607.1021.0(2
0)607.0018.0()607.1021.0(
22
22
ba
bKjabj
KaKba
khi
 Giải hệ phương trình trên, ta được 4 giao điểm là:
1−=
z
1071
=
K
khi
1=
z
0
=
K
8187.05742.0 j
z
±
=
khi
83.21
=
K
83.21
=

gh
K
⇒
27 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 25
Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạc
Thí dụ vẽ QĐNS hệ rời rạc
0.607
−0.857
0
+1
−3
Im z
Re z
−1
+j
−
j
−2
−2.506 0.792
0.5742+j0.8187
0.5742−j0.8187