Phát triển một số năng lực toán học thông qua dạy học chủ đề đại số tổ hợp

PHẦN I - MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức và kĩ
năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống
một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển.
Mơn Tốn ở trường phổ thơng góp phần hình thành và phát triển phẩm chất, nhân
cách học sinh; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được
trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn; tạo dựng sự kết nối giữa các tư
tưởng toán học, giữa Toán học với thực tiễn, giữa Toán học với các mơn học khác.
Nội dung mơn Tốn thường mang tính trừu tượng, khái qt. Do đó, để hiểu và
học được Tốn, chương trình Tốn ở trường phổ thơng cần bảo đảm sự cân đối giữa
“học” kiến thức và “áp dụng” kiến thức vào giải quyết vấn đề cụ thể.
Ở cấp THPT mơn Tốn giúp học sinh có cái nhìn tương đối tổng qt về Tốn học,
hiểu được vai trị và những ứng dụng của Toán học trong đời sống thực tế, những ngành
nghề có liên quan đến tốn học để học sinh có cơ sở định hướng nghề nghiệp, cũng như
có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu những vấn đề có liên quan đến tốn học trong
cuộc đời.
Chủ đề Đại số tổ hợp là mảng kiến thức quan trọng trong mơn Tốn, có nhiều ứng
dụng trong các môn khoa học khác cũng như trong thực tiễn cuộc sống. Do đó, cần
trang bị cho người học hệ thống kiến thức vững chắc và các năng lực tương ứng để có
thể vận dụng các kiến thức giải quyết các vấn đề nảy sinh trong thực tiễn.
Mặc dù các kiến thức cơ bản của chủ đề Đại số tổ hợp tương đối ít so với các chủ
đề khác, nhưng khó và có ứng dụng đa dạng trong thưc tiễn. Chúng tơi nhận thấy HS
gặp rất nhiều khó khăn trong quá trình vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài tốn
có tính thực tiễn. Để tất cả các em học sinh có thể học tốt chủ đề Đại số tổ hợp, làm chủ
được kiến thức, kĩ năng, phát triển năng lực thì các em cần được rèn luyện các kỹ năng
giải toán Đại số tổ hợp theo định hướng phát triển năng lực, góp phần hình thành và
phát triển một số năng lực Toán học cũng như các năng lực chung cốt lõi. Đó chính là
lý do mà chúng tơi chọn viết đề tài:
“ Góp phần hình thành và phát triển một số năng lực Tốn học thơng qua dạy
học chủ đề Đại số tổ hợp”.

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của đề tài là đề xuất một số biện pháp dạy học kiến thức, rèn luyện kỹ
năng giải toán trong chủ đề Đại số tổ hợp cho học sinh theo định hướng hình thành và
phát triển một số năng lực Toán học. Cụ thể:
1


- Thiết kế một số tình huống gợi vấn đề để tạo cơ hội cho học sinh hình thành và
phát triển năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực
sáng tạo, năng lực mơ hình hóa Tốn học, năng lực giao tiếp và năng lực sử dụng cơng
cụ và phương tiện tốn học.
- Tăng cường huy động cho học sinh các kiến thức khác nhau để giải bài toán
bằng nhiều cách khác nhau.
- Giúp học sinh thấy được ứng dụng thực tiễn của Đại số tổ hợp từ đó tạo hứng
thú cho học sinh trong học tập chủ đề.
- Khắc phục một số sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán Đại số tổ
hợp.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận về kỹ năng, năng lực tốn học. Kĩ năng thiết kế các hoạt động học
tập theo định hướng phát triển năng lực.
- Nghiên cứu các kỹ năng, năng lực chủ yếu khi giải toán về Đại số tổ hợp.
- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài.
4. Giả thuyết khoa học
Với cơ sở lý luận trên, nếu thiết kế được các hoạt động học tập phù hợp, hệ thống
được các kỹ năng giải tốn Đại số tổ hợp, lựa chọn được các ví dụ, phân tích, tìm ra
phương pháp giải và xây dựng được hệ thống câu hỏi bài tập theo hướng phát triển năng
lực thì sẽ giúp học sinh học tốt chủ đề Đại số tổ hợp, góp phần phát triển năng lực cho
học sinh, nâng cao chất lượng dạy học ở trường phổ thông.
5. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu
- Dạy học theo định hướng phát triển năng lực.

- Học sinh lớp 11 và giáo viên giảng dạy toán THPT.
6. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp nghiên cứu được sử dụng bao gồm: Nghiên cứu lý luận, điều tra
quan sát và thực nghiệm sư phạm tại các trường THPT Nghi Lộc 3, trường THPT Cửa
Lò 2, trường THPT Hà Huy Tập, trường THPT Huỳnh Thúc Kháng, trường THPT
Phạm Hồng Thái.
7. Đóng góp của đề tài
- Về mặt lý luận: Đưa ra được các căn cứ và một số kỹ năng cần rèn luyện cho học
sinh trong giải toán Đại số tổ hợp.
- Về mặt thực tiễn: Sử dụng sáng kiến để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và
học sinh khi dạy học chủ đề Đại số tổ hợp nhằm nâng cao hiệu quả dạy học mơn Tốn
ở trường THPT.
2


PHẦN II. NỘI DUNG
A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÍ LUẬN VỀ NĂNG LỰC TỐN HỌC
I. MỤC TIÊU CHƯƠNG TRÌNH MƠN TỐN THPT
Chương trình mơn Tốn giúp học sinh đạt các mục tiêu chủ yếu sau:
– Hình thành và phát triển năng lực toán học, biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính
tốn. Năng lực tốn học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận
tốn học; năng lực mơ hình hố tốn học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực
giao tiếp tốn học; năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn, góp phần hình
thành và phát triển năng lực chung cốt lõi.
– Có những kiến thức, kĩ năng tốn học phổ thơng, cơ bản, thiết yếu; phát triển khả
năng giải quyết vấn đề có tính tích hợp liên mơn giữa mơn Tốn và các mơn học khác
như Vật lí, Hố học, Sinh học, Địa lí, Tin học, Cơng nghệ,...; tạo cơ hội để học sinh
được trải nghiệm, áp dụng tốn học vào đời sống thực tế.
– Hình thành và phát triển các đức tính kỷ luật, kiên trì, chủ động, linh hoạt, độc lập,
sáng tạo, hợp tác, thói quen tự học, hứng thú và niềm tin trong học Tốn.

– Có hiểu biết tương đối tổng qt về những ngành nghề liên quan đến toán học làm cơ
sở định hướng nghề nghiệp, cũng như có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu những vấn
đề liên quan đến tốn học trong suốt cuộc đời.
Mơn Tốn cấp trung học phổ thông nhằm giúp học sinh đạt các mục tiêu chủ yếu sau:
a) Góp phần hình thành và phát triển năng lực toán học với yêu cầu cần đạt: sử dụng
được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác
nhau nhằm giải quyết vấn đề; sử dụng được các mơ hình tốn học để mơ tả các tình
huống, từ đó đưa ra các cách giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong mơ hình được thiết
lập; thực hiện và trình bày được giải pháp giải quyết vấn đề và đánh giá được giải pháp
đã thực hiện, phản ánh được giá trị của giải pháp, khái quát hoá cho vấn đề tương tự;
sử dụng thành thạo cơng cụ, phương tiện học tốn, biết đề xuất ý tưởng để thiết kế, tạo
dựng phương tiện, học liệu mới phục vụ việc tìm tịi, khám phá và giải quyết vấn đề
tốn học.
b) Hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chung và những phẩm chất
đặc thù mà giáo dục toán học đem lại: tính kỉ luật, kiên trì, chủ động, linh hoạt; độc lập,
hợp tác; thói quen tự học, hứng thú và niềm tin trong học tốn.
c) Góp phần giúp học sinh có những hiểu biết làm cơ sở cho định hướng nghề nghiệp
sau Trung học phổ thông.
II. YÊU CẦU CẦN ĐẠT VỀ NĂNG LỰC
Thơng qua chương trình mơn Tốn, học sinh cần hình thành và phát triển các đức
tính kiên trì, kỉ luật, trung thực, hứng thú và niềm tin trong học Tốn; đồng thời hình
thành và phát triển được các năng lực tự chủ và tự học, giao tiếp và hợp tác, giải quyết
vấn đề và sáng tạo. Đặc biệt, học sinh cần hình thành và phát triển được năng lực toán
học, biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính tốn.
3


Biểu hiện cụ thể của các thành tố cốt lõi của năng lực toán học và yêu cầu cần đạt
về năng lực toán học cho cấp THPT được thể hiện dưới đây.
1. Năng lực tư duy và lập luận toán học

Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:
– So sánh; phân tích; tổng hợp; đặc biệt hố, khái quát hoá; tương tự; quy nạp...
– Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận.
– Thực hiện thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt biết quan sát, tìm kiếm sự tương
đồng và khác biệt trong nhiều tình huống và biết khẳng định kết quả của việc quan sát.
– Biết lập luận hợp lí khi giải quyết vấn đề. Biết rút ra kết luận từ giả thiết đã cho.
– Chứng minh được mệnh đề tốn học khơng q phức tạp.
– Biết sử dụng các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách
thức khác nhau để giải quyết vấn đề.
– Biết giải thích, chứng minh hoặc điều chỉnh giải pháp về phương diện toán.
2. Năng lực mơ hình hố tốn học
Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:
– Sử dụng các mơ hình tốn học (gồm cơng thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị,...) để
mơ tả các tình huống đặt ra trong các bài toán thực tế.
– Giải quyết các vấn đề toán học trong mơ hình được thiết lập.
– Biết đánh giá các kết luận thu được từ các tính tốn là có ý nghĩa, phù hợp với thực
tế hay không. Đặc biệt, biết cách đơn giản hoá những yêu cầu thực tế (xấp xỉ, bổ sung
thêm giả thiết, tổng quát hoá,...) để thiết lập những bài toán giải được, và hiểu rằng cần
phải điều chỉnh để phù hợp với thực tế hơn.
3. Năng lực giải quyết vấn đề toán học
Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:
– Nhận biết được tình huống có vấn đề; xác định, thu thập, sắp xếp, giải thích và đánh
giá độ tin cậy của thơng tin; chia sẻ sự am hiểu vấn đề với người khác.
– Đề xuất, lựa chọn được cách thức, quy trình giải quyết vấn đề.
– Thực hiện và trình bày giải pháp cho vấn đề.
– Sử dụng được các kiến thức, kĩ năng tốn học tương thích (bao gồm các cơng cụ và
thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra.
– Đánh giá giải pháp đã thực hiện; phản ánh giá trị của giải pháp và khái quát hoá cho
vấn đề tương tự.
4. Năng lực giao tiếp toán học

Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:
– Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép thành thạo, tóm tắt các thơng tin cơ bản, trọng tâm
trong nội dung, yêu cầu toán học được nói và viết ra.
4


– Biết làm việc thành thạo với văn bản toán học (phân tích, lựa chọn, trích xuất các
thơng tin cần thiết).
– Thể hiện một cách chính xác và hiệu quả suy nghĩ, lập luận, chứng minh, các khẳng
định toán học bằng ngơn ngữ thơng thường hoặc ngơn ngữ tốn học.
– Trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) được các nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học
trong sự tương tác với người khác (với yêu cầu thích hợp về sự đầy đủ, chính xác).
5. Năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học toán
Thể hiện qua việc thực hiện được các hành động:
– Biết tên gọi, tác dụng, quy cách sử dụng, cách thức bảo quản các đồ dùng, phương
tiện trực quan thông thường (bảng tổng kết về các dạng hàm số, mơ hình góc và cung
lượng giác, mơ hình các hình khối, bộ dụng cụ tạo mặt trịn xoay,...) và phương tiện
khoa học công nghệ (đặc biệt là phương tiện sử dụng công nghệ thông tin) phục vụ cho
việc học Toán.
– Sử dụng thành thạo và linh hoạt các cơng cụ, phương tiện học tốn, đặc biệt là phương
tiện khoa học cơng nghệ để tìm tịi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học (phù hợp
với đặc điểm nhận thức lứa tuổi).
– Sử dụng được máy tính cầm tay, phần mềm, phương tiện công nghệ, nguồn tài nguyên
trên mạng Internet để giải quyết vấn đề toán học.
– Biết đánh giá cách thức sử dụng các công cụ, phương tiện học tốn trong tìm tịi,
khám phá và giải quyết vấn đề toán học.
– Biết đề xuất ý tưởng để thiết kế, tạo dựng phương tiện học liệu mới phục vụ việc tìm
tịi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học.
III. MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐIỀU TRA KHẢO SÁT THỰC TRẠNG DẠY VÀ
HỌC ĐẠI SỐ TỔ HỢP Ở TRƯỜNG THPT

Để có tìm hiểu vần đề này, chúng tơi đã tiến hành khảo sát tìm hiểu về phía học
sinh. Chúng tôi đã phát phiếu khảo sát cho 400 học sinh 11 của nhiều trường THPT
trên địa bàn để các em phát biểu những ý kiến của bản thân sau khi các em đã học xong
chương 2, Đại số tổ hợp xác suất, Toán 11. Nội dung khảo sát như sau:
Phiếu khảo sát
Họ và tên học sinh............................................................................................
Lớp..................................................................................................................
Hãy trả lời câu hỏi dưới đây bằng cách đánh dấu x vào ô trống trong bảng có câu
trả lời phù hợp với em
Nội dung

Có

(1) Em có u thích học mơn Tốn khơng?
5

Khơng/
chưa


(2) Khi giải tốn Đại số Tổ hợp, em có thường xuyên bị hiểu
nhầm bài, giải sai bài không ?
(3) Em có gặp khó khăn khi học chủ đề Đại số tổ hợp khơng?
(4) Em có biết học Đại số tổ hợp xác suất để làm gì khơng?
(5) Em đã bao giờ áp dụng kiến thức Đại số tổ hợp vào trong
cuộc sống chưa?
(6) Em có thể dùng kiến thức đại số tổ hợp để giải quyết một
số vấn đề trong thực tiễn chưa ?
Qua thăm dò ý kiến HS, GV ở một số trường THPT trên địa bàn, chúng tôi thu
được một số kết quả chung như sau:

- 80,3% HS được hỏi gặp khó khăn khi học chủ đề Đại số tổ hợp, nhiều HS thường hiểu
nhầm đề bài, giải sai bài toán Đại số tổ hợp.
- 73% HS được hỏi chưa biết học Đại số tổ hợp để làm gì, chưa biết được ý nghĩa của
Đại số tổ hợp.
- Nhiều GV đã chuyển dần từ việc dạy học truyền thống sang dạy học hình thành và
phát triển năng lực, nhưng có đến 52% GV gặp khó khăn vì thiếu tài liệu, chưa biết
cách thiết kế bài giảng để dạy học theo định hướng phát triển năng lực. Một số GV
chậm thay đổi, đang dạy học theo phương pháp cũ.
B. MỘT SỐ BIỆN PHÁP GĨP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN MỘT
SỐ NĂNG LỰC TỐN HỌC THƠNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ
HỢP
I. THIẾT KẾ MỘT SỐ TÌNH HUỐNG GỢI VẤN ĐỀ (THGVĐ)
1. Mục đích của biện pháp
Dạy học PH&GQVĐ đặt HS vào những tình huống gợi vấn đề, đòi hỏi HS phải
phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo để GQVĐ và thơng
qua đó chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kĩ năng và đạt được những mục đích học tập khác.
Sử dụng các THGVĐ tạo cơ hội cho HS phát triển khả năng phát hiện vấn đề; khả năng
tìm tịi, xem xét vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau để đề xuất được các giải pháp mới
cũng như thực hiện, đánh giá và nghiên cứu sâu giải pháp; khả năng đánh giá kết quả
học tập của bản thân và người khác, qua đó hình thành và phát triển năng lực phát hiện
và giải quyết vấn đề cho học sinh.
2. Cách thức thực hiện biện pháp
Tổ chức dạy học dựa theo quy trình dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, thể
hiện trong một hoặc một vài bước có định hướng hình thành và phát triển năng lực phát
hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh:
Bước 1. Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề
6


- Phát hiện vấn đề từ một THGVĐ: GV đưa ra THGVĐ, yêu cầu HS thực

hiện các hoạt động cần thiết để phát hiện vấn đề có trong tình huống bằng những
đề xuất câu hỏi/vấn đề cần giải quyết.
- Giải thích và chính xác hóa tình huống (khi cần thiết) để xác định và hiểu
đúng câu hỏi/vấn đề đã đề xuất.
- Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó.
Bước 2: Tìm giải pháp
Tìm cách GQVĐ theo sơ đồ bên:
Khi dạy học các THGVĐ đã thiết
Bắt đầu
kế theo hướng hình thành và phát
triển năng lực phát hiện và giải
quyết vấn đề cho học sinh cần chú
Phân tích vấn đề
ý tới những chủ định trong thiết kế
để tạo điều kiện cho HS thể hiện
những biểu hiện của năng lực
GQVĐ. Cụ thể:
Hình thành giải pháp
- Phân tích vấn đề: làm rõ mối liên
hệ giữa cái đã biết và cái cần tìm
(dựa vào những tri thức đã học,
liên tưởng tới kiến thức thích hợp).
Giải pháp
GV cần chú ý cho HS phát biểu cái
đã biết và cái cần tìm theo những
cách khác nhau đề làm tiền đề cho
những ý tưởng về giải pháp
Kết thúc
GQVĐ.
- Tổ chức cho HS tìm chiến lược GQVĐ thông qua việc HS tự đề xuất các phương

hướng giải quyết và thực hiện các hướng GQVĐ đã đề xuất trên cơ sở thu thập, tổ chức
dữ liệu, huy động tri thức; sử dụng những PP, kĩ thuật nhận thức, tìm đốn suy luận
như hướng đích, quy lạ về quen, đặc biệt hóa, chuyển qua những trường hợp suy biến,
tương tự hóa, khái quát hóa, xem xét những mối liên hệ phụ thuộc, suy xuôi, suy ngược
tiến, suy ngược lùi,... Phương hướng đề xuất có thể được điều chỉnh khi cần thiết. Kết
quả của việc đề xuất và thực hiện các hướng GQVĐ là hình thành được một hoặc một
vài giải pháp.
- Kiểm tra tính đúng đắn của các giải pháp đã đề xuất. Sau khi đã xác định được
một giải pháp đúng, cần khuyến khích HS tiếp tục xác định tính đúng đắn của những
giải pháp khác đã đề xuất, so sánh chúng với nhau để tìm ra giải pháp hợp lí nhất.
Bước 3. Trình bày giải pháp.
Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp.
- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng sáng tạo kết quả.

7


- Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hóa, lật
ngược vấn đề, ... và giải quyết nếu có thể (để tạo ra vấn đề mới).
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho đa giác có 16 đỉnh. Có bao nhiêu cách chọn 3 đỉnh của đa giác đó để 3
đỉnh được chọn tạo thành một tam giác khơng có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho.
- Tri giác vấn đề: Bài tốn u cầu tính số cách chọn 3 trong 16 đỉnh của đa giác tạo
thành 1 tam giác không có cạnh chung với đa giác. Để tính số cách chọn trong bài toán
này chúng ta cần hiểu rõ bản chất bài toán này dùng khái niệm nào của đại số tổ hợp:
Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp ?
Việc chọn 3 trong 16 đỉnh của đa giác là bài toán tổ hợp. Vấn đề là tính số phần tử của
tam giác tạo thành khơng có cạnh nào chung với đa giác.
- Tìm giải pháp: GV yêu cầu học sinh hoạt động theo nhóm để tìm ra giải pháp. Khi
cần thiết có thể hỗ trợ cho HS tự đưa ra các câu hỏi kiểu như sau: Có những cách nào

để tính được số trường hợp tam giác tạo thành khơng có cạnh chung với đa giác ?
Với mỗi tam giác tạo thành có bao nhiêu trường hợp xảy ra liên quan đến cạnh
chung với đa giác ? Với câu hỏi này HS sẽ trả lời được ngay có 3 trường hợp xảy ra đó
là có 2 cạnh chung, có 1 cạnh chung và khơng có cạnh chung với đa giác.
Đến đây bằng HĐ nhóm học sinh sẽ thảo luận, trao đổi và nghĩ tới phương pháp
loại trừ để tính số phần tử của biến cố “tam giác tạo thành khơng có cạnh nào chung
với đa giác”.
Có bao nhiêu tam giác tạo thành có 2 cạnh chung với đa giác? Điều kiện nào để
một tam giác tạo thành có 2 cạnh chung với đa giác?
Có bao nhiêu tam giác tạo thành có đúng 1 cạnh chung với đa giác? Điều kiện nào
để một tam giác tạo thành có đúng 1 cạnh chung với đa giác?
- Trình bày giải pháp: GV yêu cầu đại diện của 1 nhóm lên trình bày lời giải và cho
các nhóm HS khác nhận xét về lời giải của nhóm bạn.
Lời giải
Số cách lấy 3 đỉnh trong 16 đỉnh của đa giác là n

( ) = 3
C1 .
6

+) Số tam giác có 2 cạnh là cạnh của đa giác là 16 tam giác.
+) Số tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác là 16.12 = 192 tam giác.
+) Suy ra số tam giác có đỉnh là đỉnh đa giác, nhưng khơng có cạnh nào chung là
- Nghiên cứu sâu giải pháp:

C13 −( + ) = 352
6
16 192

.

Với hướng giải như trên GV yêu cầu HS tự xây dựng một bài tốn tương tự, học
sinh có thể thay đa giác 16 đỉnh bằng 1 đa giác có số đỉnh khác.
8


GV đặt vấn đề nếu thay việc chọn 3 đỉnh thành việc chọn 4 đỉnh và yêu cầu tính
số tứ giác tạo thành khơng có cạnh nào chung với đa giác ?

(  

. Tính

thể tổng
qt
hóachọn
bài tốn:
“Cho kđa−giác
đỉnh cóncạnh
k nào
3, n,k
số cáchCóchọn
k đỉnh
được
tạo thành
giác nkhơng
chung với n −
giác ban đầu ?”
Với cách giải như trên thì trường hợp k = 4 cũng đã rất khó khăn để giải. Để tính
số phần tử của biến cố 4 đỉnh được chọn tạo thành 1 tứ giác khơng có cạnh nào chung

với đa giác cần loại trừ các trường hợp: 3 cạnh chung, có 2 cạnh chung liên tiếp, 2 cạnh
chung khơng liên tiếp và 1 cạnh chung. Do đó cần tìm một cách giải khác có thể giải
quyết được trường hợp tổng quát.
Nhận xét.
Với cách làm như trên, rõ ràng người GV vừa thiết kế được 1 tình huống có vấn
để cho HS và với các HĐ để GQVĐ đã giúp người học hình thành và phát triển một số
năng lực Tốn học như: năng lực GQVĐ, năng lực tư duy và lập luận, năng lực giao
tiếp, hợp tác (thể hiện qua hoạt động nhóm, hoạt động trình bày lời giải, hoạt động nhận
xét, đánh giá, thảo luận).
Đối với HS có năng lực yếu hoặc trung bình, GV yêu cầu giải bài toán tương tự
trên nhằm củng cố cho HS về kiến thức cũng như rèn luyện kĩ năng giải toán Đại số tổ
hợp. Thơng qua đó giúp HS yếu và trung bình thêm tự tin vào bản thân trong việc giải
tốn Đại số tổ hợp nói riêng cũng như thêm tự tin khi học mơn tốn nói chung.
Đối với HS có năng lực khá thì GV u cầu giải bài tốn cho trường hợp thay việc chọn
ngẫu nhiên 3 đỉnh bởi 4 đỉnh tạo thành 1 tứ giác khơng có cạnh nào chung với đa giác.
Đối với HS giỏi thì GV u cầu HS tìm tịi lời giải cho bài tốn tổng qt nói trên.
Như vậy, sau khi giải xong ví dụ 1, bằng các con đường tương tự hóa, tổng qt
hóa đã giúp HS tạo ra được nhiều bài tốn mới, mỗi bài tốn mới đó lại là vấn đề mới
nảy sinh, lại là một THCVĐ cho mỗi đối tượng HS khác nhau mà các em có nhu cầu
nhận thức để giải quyết.
Bài tốn tương tự hóa: Cho đa giác có 100 đỉnh, có bao nhiêu cách chọn 3
đỉnh của đa giác để tam giác tạo thành từ 3 đỉnh đó khơng có cạnh nào chung với đa
giác ?
Bài tốn tổng quát hóa: Cho đa giác có n đỉnh, có bao nhiêu cách chọn k đỉnh
của đa giác để k_giác tạo thành từ k đỉnh được chọn khơng có cạnh nào chung với
n_giác ban đầu ?
Bài toán lật ngược vấn đề: Cho đa giác có n đỉnh n  6 , biết rằng có 352 cách
chọn 3 đỉnh của đa giác để tam giác tạo thành từ 3 đỉnh đó khơng có cạnh nào chung
với n_giác bạn đầu. Hỏi giá trị của n là bao nhiêu ?
9

Nhờ HĐ ngơn ngữ ta có thể phát biểu bài tốn ở các dạng khác nhau, chẳng
hạn: Có 20 HS đứng thành 1 vòng tròn tổ chức 1 trò chơi. Người ta chọn ra 3 HS từ
vịng trịn đó để lập 1 đội chơi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 HS mà khơng có bất kì 2
HS nào đứng cạnh nhau ?
Với HĐ ngơn ngữ Tốn học, GV nên khuyến khích HS mạnh dạn phát biểu các
bài tốn có nội dung thực tiễn có hình thức khác nhau, nhưng vẫn giữ nguyên bản chất
của Toán học, các nội dung thực tiễn đó nhiều khi đem lại sự kích thích và hứng thú
cho người học, mang lại cho người học mong muốn giải quyết nó. Chẳng hạn bài tốn
sau: Đội cận vệ tổng thống Mỹ có 20 xe bọc thép ln chạy theo đội hình thành 1 hàng
dài, đội trưởng đội cận vệ cần chọn ra 3 xe để chở tổng thống và các thành viên gia
đình tổng thống. Hỏi có bao nhiêu cách chọn xe để khơng có bất kì 2 xe được chọn nào
chạy liên tiếp nhau ?
Để dẫn dắt HS giải quyết bài toán tổng quát, GV không vội vàng đưa ra lời giải,
mà nên khéo léo đưa ra các bài toán khác, gần tương tự với ví dụ 1 trên, nhưng có thể
giải quyết được bằng nhiều cách giải khác nhau. Chẳng hạn GV đưa ra ví dụ sau:
Ví dụ 2. (Trích đề thi HSG tỉnh Nghệ An năm học 2015 – 2016)
Chọn ngẫu nhiên 3 số tự nhiên đôi một khác nhau từ tập hợp A =1; 2; 3;...; 20
. Tính
xác suất để trong ba số được chọn khơng có hai số tự nhiên nào liên tiếp.
- Tri giác vấn đề: Ở ví dụ 2 này, đặt cho HS 1 THCVĐ đó là tìm số cách chọn 3 trong
20 số tự nhiên từ 1 đến 20 sao cho khơng có 2 số tự nhiên nào liên tiếp. Nó cũng gần
tương tự như ví dụ 1, thật vậy nếu chúng ta giả sử A1 , A
2 ,..., A
16 là các đỉnh của đa giác
thì mỗi cạnh của đa giác có thể được hiểu là “tạo” ra từ hai đỉnh liên tiếp hay là 2 số tự
nhiên liên tiếp. Như vậy, Ví dụ 2 là một THCVĐ đối với HS.
Để giải quyết Ví dụ 2, HS có cơ hội tự đặt ra các câu hỏi cần tìm hiểu, chẳng hạn: Làm
thế nào để tính được số cách chọn 3 trong 20 số tự nhiên nói trên sao cho khơng có bất

kì 2 số tự nhiên nào liên tiếp? Có thể sử dụng phương pháp loại trừ như trong ví dụ 1
để giải quyết khơng? Nếu giải được bài tốn ở ví dụ 2 thì có thể giải được bài tốn tổng
qt của nó khơng? Có phương pháp chung để giải cả bài tốn tổng qt ví dụ 2 và ví
dụ 1 khơng?...
- Tìm giải pháp: GV u cầu HS làm việc theo nhóm để tìm lời giải cho ví dụ 2. Khi
cần thiết có thể gợi ý cho HS tự đưa ra được các câu hỏi kiểu như: Nếu áp dụng phương
pháp loại trừ như ví dụ 1 thì có thể giải được ví dụ 2 khơng?
Nếu áp dụng phương pháp loại trừ thì ta thấy:
Trường hợp 3 số tự nhiên liên tiếp có 18 trường hợp.
Trường hợp có đúng 2 số tự nhiên liên tiếp, chẳng hạn 1; 2 thì số tự nhiên thứ 3 có 17
cách chọn. Tương tự cho trường hợp bộ hai số19, 20.
10


Tuy nhiên, nếu 2 số tự nhiên liên tiếp khác, chẳng hạn 9; 10 thì số tự nhiên thứ 3 khơng
thể là 8; 11 nên nó có 16 cách chọn. Từ đây HS có thể đưa ra giải pháp cho ví dụ 2.
- Trình bày giải pháp: GV cho đại diện HS lên trình bày lời giải.
Lời giải
( ) = 3 =
C 20 1140 .
Số phần tử của không gian mẫu là: n
Gọi A là biến cố 3 số được chọn khơng có 2 số tự nhiên nào liên tiếp.
Số cách chọn 3 số tự nhiên liên tiếp là 18.
Số cách chọn 3 số tự nhiên trong đó có đúng 2 số tự nhiên liên tiếp là

2
.17+17.16 = 306. =
Do đó số phần tử của biến cố A là n ( A ) =n ( ) −
306 816 .
Vậy xác suất để 3 số được chọn khơng có 2 số tự nhiên liên tiếp là

n (A ) 816 68
= .
( ) = ( ) =

1140 95
P A n
- Nghiên cứu sâu giải pháp: Từ phương pháp giải ở 2 ví dụ trên GV gợi ý để HS đề
xuất các bài toán khác, phát biểu ở một dạng khác nhưng cùng phương pháp giải tương
tự, chẳng hạn:
Bài tốn 1. Có 17 HS nam và 3 HS nữ được sắp xếp thành 1 hàng dọc. Tính cách sắp
xếp để khơng có bất kì 2 HS nữ nào đứng cạnh nhau.
Rõ ràng bài toán 1 được phát biểu ở 1 dạng khác, nhưng vẫn có thể giải bằng cách phân
chia trường hợp và loại trừ như ở 2 ví dụ trên. Chú ý rằng ở bài tốn 1 có kể thứ tự sắp
xếp.
- Để giúp HS tìm được cách giải mới cho các ví dụ nêu trên, GV có thể đặt vấn đề tìm
lời giải khác ở bài tốn 1. Liệu bài tốn 1 có thể giải bằng cách khác hay khơng? Nếu
17 HS nam đã đứng thành 1 hàng dọc rồi thì việc sắp xếp 3 HS nữ để khơng có bất kì
hai HS nữ nào đứng cạnh nhau thì các HS nữ này phải được sắp xếp như thế nào? Với
câu hỏi này, gợi cho HS xếp 3 HS nữ vào các vị trí xen giữa 17 HS nam hoặc 2 vị trí ở
hai đầu mút. Từ đó HS sẽ tìm được lời giải khác cho bài toán 1. Với cách đặt vấn đề
như trên chính là đang bồi dưỡng cho HS tư duy lật ngược vấn đề để tìm ra giải pháp.
Lời giải 2 cho bài toán 1
Số cách sắp xếp 17 HS nam thành 1 hàng dọc là 17!.
Để trong 3 HS nữ được sắp xếp khơng có bất kì 2 HS nữ nào đứng cạnh nhau thì chúng
ta chỉ việc sắp xếp 3 HS nữ đó vào các vị trí xen giữa 17 HS nam và 2 vị trí ở 2 đầu.
Có tất cả 18 vị trí.
11


Vậy có A138 cách sắp xếp 3 HS nữ vào hàng đã sắp xếp 17 HS nam để khơng có 2 HS

nữ đứng cạnh nhau.
Số phần tử của biến cố A

( ) =

là n A 17!.A13
Từ đây GV đặt vấn đề cho HS liệu có
. thể áp dụng phương pháp của lời giải 2
của Bài tốn 1 cho các ví dụ 1, ví dụ 2 nói 8trên khơng?
- GV nên cho HS làm việc theo nhóm để tìm hiểu kĩ lời giải 2 cho bài toán 1 và áp dụng
giải 2 ví dụ trên.
Lời giải 2 cho ví dụ 2
( ) = 3 =
C 20 1140 .
Số phần tử của không gian mẫu là: n
Gọi A là biến cố 3 số được chọn khơng có 2 số tự nhiên nào liên tiếp.
Số cách lấy ra 3 số tự nhiên sao cho khơng có 2 số tự nhiên nào liên tiếp tương ứng với
số cách chèn 3 số tự nhiên vào các vị trí xen giữa 17 số tự nhiên và 2 vị trí ở hai đầu.
Do đó số phần tử của biến cố A

( ) = 18 =

là n A C 3 816.
Vậy xác suất để 3 số được chọn khơng có 2 số tự nhiên liên tiếp là
n (A ) 816 68
= .
( ) = ( ) =

1140 95
P A n

Lời giải 2 cho ví dụ 1
Trước hết ta kí hiệu đa giác đó là A1 A2 A3 ...A16 .

Trước hết ta tính số tam giác tạo thành khơng có cạnh nào là cạnh của đa giác,
trong đó có chứa đỉnh A1 . Lúc đó 2 đỉnh cịn lại sẽ được chọn trong các đỉnh

A3 , A4 ,..., A15 (loại trừ 2 đỉnh A2 , A16 liền kề với A1 ) sao cho đỉnh được chọn đó khơng
đứng cạnh nhau.
Số cách chọn này đúng bằng số cách chèn 2 đỉnh mới xen kẽ giữa 11 đỉnh hoặc
2
2 vị trí đầu mút. Có tất cả 12 vị trí do đó có C12
=
66 cách chọn.
Tương tự cho việc thay đỉnh A1 bằng các đỉnh khác còn lại. Tuy nhiên mỗi tam
giác tạo thành có 3 lần lặp lại.
Do đó số cách chọn 3 đỉnh của đa giác mà khơng có bất kì 2 đỉnh nào liên tiếp là
66.16
=352 .
3
GV tiếp tục gợi ý dẫn dắt để HS tìm ra lời giải khác cho ví dụ 1 bằng cách nghiên
cứu sâu lời giải 2 nói trên.
Lời giải 3 cho ví dụ 1
12


Xét đa giác A1 A2 A3 ...A16 . Việc chọn ra 3 đỉnh trong 16 đỉnh sao cho khơng có 2 đỉnh
nào liên tiếp cũng tương tự như việc chọn ra 3 số trong 16 số trong đó khơng có 2 số tự
nhiên nào liên tiếp, ở đây chúng ta để ý 2 số là 1 và 16 không cùng được chọn.

(    

)

Giả sử 3 số được chọn là a, b, c, 1 a b c 16 .
Vì chúng là 3 số tự nhiên khơng liên tiếp nên ta có

1  a  b' = b −1 c' = c − 2 14. Bài toán trở thành chọn ra 3 số tự nhiên phân
3
1abiệt
4
= 1,từc
14, nênVới
cóa C=1 1, c = 16thì c ' = 14, do đó b ' được chọn 1 trong 12 số còn lại,
=đến
16
cách chọn. Tuy nhiên, chúng ta cần loại trừ trường hợp
nên có. C112 cách chọn.
Vậy số cách chọn 3 trong 16 đỉnh của đa giác để khơng có 2 đỉnh nào liên tiếp là
C134

1
12

− C = 352 .
Ví dụ 3. Trong cơng viên có 1 hàng cây gồm 20 cây xanh, người ta muốn di dời bớt đi
4 cây xanh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn cây cần di dời sao cho khơng có bất kì 2 cây
di dời nào đứng cạnh nhau.
- Tri giác vấn đề: Ở ví dụ 3 này, đặt cho HS 1 THCVĐ đó là tìm số cách chọn 4 trong
20 cây sao cho khơng có 2 cây nào được chọn đứng liên tiếp. Nó cũng gần tương tự
như ví dụ 1, ví dụ 2.

Để giải quyết bài tốn thì trước hết học sinh cần có năng lực mơ hình hóa tốn học, tức
là biết chuyển bài tốn thực tế nói trên sang 1 bài tốn tốn học quen thuộc hơn.
HS cần tự đặt ra các câu hỏi, chẳng hạn như có thể liệt kê được khơng? Rõ ràng rất khó
khăn để liệt kê.
Nếu khơng liệt kê được thì sử dụng phương pháp loại trừ được khơng? Ta có thể loại
trừ với trường hợp chỉ di dời 2 cây hoặc 3 cây. Trường hợp di dời 4 cây như u cầu
bài tốn thì rất khó khăn để dùng phương án loại trừ. Như vậy, không thể sử dụng được
cách giải như ví dụ 1.
- Tìm giải pháp: GV u cầu HS làm việc theo nhóm để tìm lời giải cho ví dụ 3. Khi
cần thiết có thể gợi ý cho HS tự đưa ra được các câu hỏi kiểu như: Nếu áp dụng phương
pháp loại trừ như ví dụ 1 thì có thể giải được khơng ? Có thể áp dụng phương pháp làm
như trong lời giải 2 của ví dụ 2 nói trên khơng ?
Số cách di dời 4 cây xanh trong 20 cây sao cho khơng có bất kì 2 cây xanh nào
đứng cạnh nhau liệu có bằng hay khơng số cách trồng mới 4 cây xanh xen vào hàng
cây gồm 16 cây xanh sao cho khơng có bất kì 2 cây mới trồng nào đứng cạnh nhau ?
Rõ ràng với cách đặt câu hỏi dưới dạng tư duy thuận nghịch như vậy giúp ích rất tốt
trong việc bồi dưỡng tư duy và lập luận cho HS. Nếu có 1 hàng gồm 16 cây và chúng
ta trồng thêm 4 cây thêm vào hàng đó sao cho khơng có bất kì 2 cây mới trồng nào
13


đứng cạnh nhau thì chúng ta chỉ việc trồng 4 cây mới vào các vị trí xen giữa 16 cây và
2 vị trí 2 đầu mút, có tất cả 17 vị trí.
- Trình bày giải pháp: GV cho đại diện HS lên trình bày lời giải.
Lời giải ví dụ 3
Số cách chọn 4 trong 20 cây để di dời sao cho khơng có 2 cây nào đứng liên tiếp
nhau đúng bằng số cách trồng mới 4 cây thêm vào hàng gồm 16 cây sao cho khơng có
2 cây mới trồng nào đứng cạnh nhau.
Để trồng 4 cây xen vào hàng gồm 16 cây sao cho khơng có bất kì 2 cây nào mới
trồng đứng cạnh nhau chúng ta chỉ việc trồng 4 cây mới vào 4 trong 17 vị trí gồm 2 vị

trí hai đầu mút và 15 vị trí xen giữa 16 cây đó.
Vậy có A164 = 43680 cách di dời cây.
Với phương pháp giải trên GV yêu cầu HS phát biểu bài toán tương tự cho
trường
hợp chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh, khơng cần trình bày lời giải hãy đưa ra kết quả ?
Bài toán 2. Cho đa giác có 16 đỉnh. Tính số tứ giác có đỉnh là đỉnh của đa giác đó sao
4 − C2 .
cho tứ giác khơng có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho. Kết quả: C1
Bằng cách lật ngược vấn đề chúng ta có 1 số bài tốn sau:
3
11
Bài tốn lật ngược vấn đề: Biết rằng số tứ giác tạo thành từ 4 đỉnh của 1 đa giác có
n đỉnh sao cho tứ giác đó khơng có cạnh nào chung với n_giác ban đầu là C134 − C112 .
Hãy tìm n ?
Việc giải quyết các bài toán lật ngược vấn đề như trên cũng tạo ra 1 tình huống
có vấn đề cho HS, bởi việc giải 1 phương trình tổ hợp cũng khơng hề đơn giản, nhưng
nó kích thích sự tị mò, mong muốn khám phá của người học.
Từ đây, GV đặt vấn đề để HS đưa ra bài toán tổng qt và kết quả của bài tốn.

(  


. Tính số cách chọn k đỉnh của đa
Bài
3. Cho
đa giác
n đỉnh
k khơng
3, n, kcó cạnh nào chung với n − giác ban đầu.
giáctoán

sao cho
chúng
tạo thành
k −ngiác
k
k −2
− Cn−1−k
Kết quả: Cn+1−k
.
GV cũng có thể u cầu học sinh xây dựng bài tốn tương tự ví dụ 2 nhưng mở rộng
cho việc lựa chọn nhiều số tự nhiên hơn, chẳng hạn:
Bài toán 4. Chọn ngẫu nhiên 10 số tự nhiên đôi một khác nhau từ tập hợp
A =1; 2; 3;...; 2020
. Tính xác suất để trong 10 số được chọn khơng có hai số tự nhiên
nào liên tiếp.
Rõ ràng với bài toán 4 nói trên thì phương pháp loại trừ rất khó để thực hiện như
trong lời giải 1 của ví dụ 2.

14


Tuy nhiên, với phương pháp như trong lời giải 3 Ví dụ 1 thì bài tốn 4 q đơn
C 10 − C82009
giản và HS có thể đưa ra ngay kết quả là 2011 10
.
C2020
Quay trở lại với ví dụ 1, GV khéo léo gợi ý bằng cách thêm giả thiết đa giác đã
cho là đa giác đều có 16 cạnh. Khi đó chúng ta có thể tạo ra 1 THCVĐ mới cho HS.
Ví dụ 4. Cho đa giác đều có 16 cạnh. Tính số cách chọn 4 đỉnh đa giác để 4 đỉnh được
chọn tạo thành 1 hình chữ nhật.

- Tri giác vấn đề: HS thấy ngay ở ví dụ 3 này nảy sinh 1 vấn đề mới có liên quan đến
các hình đặc biệt là đa giác đều và hình chữ nhật. HS sẽ tự đặt ra hệ thống các câu hỏi
nhằm tìm hiểu vấn đề cũng như tìm phương án giải quyết vấn đề đó. Chẳng hạn, đa
giác đều có những tính chất đặc biệt nào? Với điều kiện nào thì 4 đỉnh của đa giác đều
tạo thành 1 hình chữ nhật? Hãy thử vẽ hình minh họa,…
- Tìm giải pháp: GV cho HS hoạt động theo nhóm để cùng nhau tìm ra lời giải cho ví
dụ 4, các nhóm HS thảo luận và đưa ra một số câu hỏi có liên quan đến các tính chất về
đa giác đều, về hình chữ nhật. HS sẽ để ý ngay tới tính đối xứng của hai hình đó. Tức
là nếu 4 đỉnh của đa giác đều tạo thành 1 hình chữ nhật thì hai đỉnh đối diện của hình
chữ nhật đối xứng nhau qua tâm của đa giác đều đó. Nói cách khác, mỗi đường chéo
của hình chữ nhật có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác chính là một đường chéo đi qua tâm của
đa giác. Vì đa giác đều có 16 đỉnh nên nó có 8 đường chéo đi qua tâm.
Một hình chữ nhật được tạo thành từ 2 đường chéo đi qua tâm, do đó số hình chữ nhật
tạo thành đúng bằng số cách chọn 2 trong số 8 đường chéo. Từ đây HS có thể trình bày
lời giải.
- Trình bày giải pháp:
Lời giải
Mỗi hình chữ nhật tạo thành được xác định bởi hai đường chéo đi qua tâm.
Có 8 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều 16 đỉnh.
Do đó có C82 hình chữ nhật có đỉnh chung với đa giác.
- Nghiên cứu sâu giải pháp:
Bằng cách đặc biệt hóa ví dụ 4, thay hình chữ nhật bởi hình vng cho ta bài tốn sau:
Bài tốn 5. Cho đa giác đều có 16 cạnh. Tính số cách chọn 4 đỉnh của đa giác đó để 4
đỉnh được chọn tạo thành 1 hình vng.
Hiển nhiên đây cũng là một THCVĐ sau khi HS đã được tìm hiểu và giải quyết ví dụ
3. Việc giải quyết bài tốn 5 cũng khơng q khó khăn đối với HS, mỗi hình vng tạo
thành từ 4 đỉnh của đa giác đều 16 cạnh nói trên có 1 tính chất đặc biệt là hai đường
chéo của hình vng vng góc với nhau. Nói cách khác, 4 đỉnh của hình vng cách
15

đều nhau. Đa giác đều có 16 đỉnh nên có thể tạo được

16
=4 hình vng có chung
4

đỉnh với đa giác đều đó.
Từ bài tốn 5, GV có thể gợi ý để học sinh có thể tự đưa ra các câu hỏi: nếu thay
số 16 trong bài toán 5 bởi số tự nhiên n  4 thì với điều kiện nào của n để bài tốn có
kết quả khác 0? Hiển nhiên HS sẽ tự trả lời ngay được rằng điều kiện là n  4 và n .
Từ đó GV có thể u cầu HS đưa ra các bài tốn tương tự bài tốn 5. Hoạt động này
góp phần bồi dưỡng cho HS năng lực tư duy tương tự hóa, đặc biết hóa.
Tiếp tục quay trở lại ví dụ 1, nếu chúng ta thêm vào giả thiết điều kiện đa giác
đều và thay đổi yêu cầu bài toán bởi 3 điểm được chọn tạo thành một tam giác vuông,
tam giác nhọn hay tam giác tù thì lời giải sẽ như thế nào? Hãy phát biểu bài tốn và tìm
cách giải.
Ví dụ 5. Cho đa giác đều có 16 cạnh. Tính số cách chọn 3 đỉnh của đa giác để 3 đỉnh
được chọn tạo thành 1 tam giác vuông.
Sau khi HS đã giải quyết các ví dụ 1, 2, 3, 4 nói trên thì hiển nhiên ví dụ 5 này
khơng q khó đối với HS khi nhận ra rằng nếu 3 đỉnh được chọn tạo thành 1 tam giác
vng thì cạnh huyền của tam giác vng đó chính là đường kính của đường trịn ngoại
tiếp đa giác, nó là 1 trong 8 đường chéo đi qua tâm của đa giác.
Với mỗi cách chọn 1 đường chéo, có 14 cách chọn đỉnh thứ 3 để 3 đỉnh tạo thành 1 tam
giác vuông. Do đó số tam giác vng tạo thành là 14.8 = 112.
Ví dụ 6. Cho đa giác đều có 16 cạnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác. Tính số
cách chọn 3 đỉnh của đa giác sao cho 3 đỉnh được chọn tạo thành 1 tam giác tù.
- Tri giác vấn đề: Bài toán quy về việc số tam giác tù tạo thành từ 3 trong 16 đỉnh của
đa giác đều 16 cạnh. HS cần huy động các kiến thức liên quan đến tam giác tù, cần tự
đặt ra các câu hỏi có liên quan, chẳng hạn: Nếu 3 đỉnh của được chọn của đa giác tạo

thành 1 tam giác tù thì tâm đường trịn ngoại tiếp của đa giác ln nằm ngồi tam giác,
làm thế nào để tính số tam giác tù có chung đỉnh với đa giác? Thử vẽ hình để quan sát?
Giả sử ABC là tam giác tù tại đỉnh B , nếu cố định đỉnh A , làm thế nào để tính số
cách chọn 2 đỉnh B, C ?...
- Tìm giải pháp: GV cho HS làm việc theo nhóm cùng nhau thảo luận để tìm giải pháp
giải quyết ví dụ 6. Nếu cần GV có thể gợi ý bằng các câu hỏi định hướng hoặc dẫn dắt
để HS tự đưa ra các câu hỏi mang tính định hướng và cùng nhau giải quyết các câu hỏi
đó, để từ đó xây dựng giải pháp, chẳng hạn: Giả sử 3 đỉnh được chọn tạo thành tam
giác ABC là tam giác tù ở đỉnh B và khi vẽ đường trịn ngoại tiếp đa giác thì thứ tự đi
C
từ A qua B
đếntù nhiều
cùng
chiều
làmAnày
tránhcách
tính chọn
tốn
nhầm một tamrồi
giác
lần.
Với kim
mỗi đồng
cách hồ,
chọnviệc
điểm
có nhằm
bao nhiêu
B, C ? Nếu vẽ đường kính AA' với A' cũng là một đỉnh của đa giác đều đó thì tam giác
ABC nằm hẳn về một nửa đường trịn đường kính AA' .

16


để tam giác ABC
Từ A đến A' có 7 đỉnh nằm giữa A, A'
. Số cách chọn 2 đỉnh B, C
tù là C 72 . Từ đây HS có thể trình bày lời giải.
- Trình bày giải pháp: GV yêu cầu đại diện 1 nhóm nào đó trình bày lời giải.
Lời giải
Giả sử tam giác tù đó là ABC với góc B tù và khi vẽ đường trịn ngoại tiếp đa
giác thì thứ tự đi từ A qua B
C
rồi đến
cùng chiều kim đồng hồ.
Nếu vẽ đường kính AA' với A' cũng là một đỉnh của đa giác đều đó thì tam giác ABC
nằm hẳn về một nửa đường tròn đường kính AA' .
Từ A đến A' có 7 đỉnh nằm giữa
tù là C 72 .

A, A'

. Số cách chọn 2 đỉnh B, C
để tam giác ABC

Có 16 cách chọn đỉnh A .
Do đó số cách chọn ra 3 đỉnh của đa giác để chúng tạo thành 1 tam giác tù là
16.C7
.

2

= 336

- Nghiên cứu sâu giải pháp: Từ ví dụ 5 và ví dụ 6, HS có thể tự xây dựng được bài
toán sau:
Bài toán 6. Cho đa giác đều có 16 cạnh. Chọn 3 đỉnh của đa giác. Tính số cách chọn
để 3 đỉnh được chọn tạo thành 1 tam giác nhọn.
Bây giờ nếu thay giả thiết chọn 3 đỉnh bởi 4 đỉnh và dựa trên các ví dụ nói trên có thể
xây dựng thành bài tốn sau:
Ví dụ 6. Cho đa giác đều có 16 cạnh. Tính số cách chọn 4 đỉnh của đa giác để 4 đỉnh
được chọn tạo thành 1 tứ giác có hai góc tù cùng chung 1 cạnh.
Nhận xét. Sau khi HS đã giải quyết các bài tốn trong các ví dụ trước thì khi đưa ra ví
dụ 6, nó lại nảy sinh 1 THCVĐ mà HS cần giải quyết.
-Tri giác vấn đề: Bài tốn quy về u cầu tính số cách chọn 4 trong 16 đỉnh của đa giác
đều sao cho tứ giác tạo thành có 2 góc tù cùng chung 1 cạnh. Làm thế nào để tính được
số cách chọn này? Có tính chất đặc biệt gì khơng?
- Tìm giải pháp: HS làm việc theo nhóm, cùng nhau thảo luận để tìm giải pháp. Số cách
chọn 4 trong 16 đỉnh của đa giác đều là C164 . Ngoài trường hợp 4 đỉnh được chọn tạo
thành tứ giác theo u cầu thì cịn những trường hợp nào nữa? HS sẽ chỉ ra được 1
trường hợp là 4 đỉnh tạo thành 1 hình chữ nhật. Ngồi trường hợp đó cịn những trường
hợp nào? Hãy thử vẽ hình minh họa để quan sát cịn trường hợp nào nữa? HS sẽ thấy
ngay còn 1 trường hợp nữa là tứ giác tạo thành có 2 góc đối là hai góc vng, ngồi ra
khơng cịn có trường hợp nào nữa. Tại sao khơng cịn trường hợp nào nữa? Có thể giải
thích được khơng? HS có thể tự giải thích được, bởi đa giác đều nên nó có đường tròn
17


ngoại tiếp. Do đó tứ giác tạo thành là 1 tứ giác nội tiếp nên tổng 2 góc đối đỉnh của tứ
0

giác ln bằng 180 . Do đó, khơng có tứ giác nào tạo thành có 2 góc đối cùng tù.
Từ đây, HS sẽ nghĩ tới phương pháp loại trừ để tính số tứ giác tạo thành thỏa mãn yêu
cầu bài tốn.
- Trình bày giải pháp: GV u cầu đại diện 1 nhóm nào đó trình bày lời giải.
Lời giải
Vì đa giác đã cho là đa giác đều nên tứ giác tạo thành là một tứ giác nội tiếp nên
0

nó có tính chất tổng 2 góc đối ln bằng 180 . Do đó để tính số phần tử của biến cố
E ta chỉ cần loại trừ số cách chọn mà 4 đỉnh tạo thành 1 hình chữ nhật hoặc 4 đỉnh tạo
thành 1 tứ giác có 2 góc đối là 2 góc vng nhưng khơng phải là hình chữ nhật.
Số cách chọn 4 đỉnh của đa giác để chúng tạo thành 1 hình chữ nhật là C82 .
Trường hợp 4 đỉnh tạo thành 1 tứ giác có hai góc đối là 2 góc vng nhưng khơng phải
là hình chữ nhật thì chúng ta thấy tứ giác đó đúng 1 đường chéo đi qua tâm của đa giác.
Với mỗi cách chọn 1 đường chéo đi qua tâm của đa giác có 7.7 cách chọn 2 đỉnh cịn
lại của tứ giác có 2 góc đối là 2 góc vng. Tuy nhiên cần loại trường hợp chúng tạo
thành hình chữ nhật (mỗi hình chữ nhật được tính 2 lần).
Do đó có 8.7.7 −2C82 cách chọn tứ giác có 2 góc đối là 2 góc vng nhưng khơng phải
là hình chữ nhật.
Do đó số cách chọn ra 4 đỉnh thỏa mãn yêu cầu bài toán là
2
C146 − C28 −( 8.7.7 − 2.C
)= 1456 .
8

- Nghiên cứu sâu giải pháp: Trong ví dụ 6 nếu thay yêu cầu tứ giác có 2 góc tù kề nhau
bởi điều kiện chúng tạo thành hình thang ta có bài tốn sau:
Ví dụ 7. Cho đa giác đều (H) có 12 đỉnh nội tiếp đường trịn tâm O . Tính số cách
chọn
4 đỉnh của đa giác đều đó sao cho 4 đỉnh được chọn tạo thành 1 hình thang.

- Tri giác vấn đề: Yêu cầu của bài toán quy về việc tính số hình thang tạo thành từ 12
đỉnh của đa giác đều.
- Tìm giải pháp: Nếu 4 đỉnh của đa giác đều tạo thành 1 hình thang thì nó phải là hình
thang cân. Vì hình thang cân có trục đối xứng chính là 1 đường kính của đường trịn
ngoại tiếp đa giác. Có 2 trường hợp.
Trường hợp 1. Trục đối xứng là 1 đường chéo qua tâm của đa giác.
Lúc đó nó sẽ chia đa giác thành 2 nửa đối xứng qua đường kính đó. Mỗi bên có 5 đỉnh,
nên có C52 cách chọn 2 đỉnh để chúng tạo thành 1 hình thang. Có tất cả 6 trục đối xứng
là đường chéo qua tâm.
18


Trường hợp 2. Trục đối xứng đó là một đường trung trực của 1 cạnh đa giác. Lúc này
mỗi bên có 6 đỉnh nên có C 62 cách chọn 2 đỉnh để chúng tạo thành 1 hình thang.
Có tất cả 6 trục đối xứng loại này. Có C 62 hình chữ nhật tạo thành từ các đỉnh của đa
giác. Từ đây HS trình bày giải pháp.
- Trình bày giải pháp:
Lời giải
Gọi d là trục đối xứng của hình thang cân có 4
đỉnh là đỉnh của (H ).
Trường hợp 1: d đi qua hai đỉnh của (H ).
Có 6 trục đối xứng.
Ứng với mỗi trục đối xứng có C52 hình thang (lấy
2 trong 5 đỉnh một bên rồi đối xứng qua d ).

Trường hợp 2: d đi qua hai cạnh của (H ).
Có 6 trục đối xứng.
Ứng với mỗi trục đối xứng có C 62 hình thang (Lấy 2
trong 6 đỉnh một bên rồi đối xứng qua d ).
Trong các hình thang trên có C 62 hình chữ nhật được

đếm hai lần.
Vậy đáp số của bài toán là: 6( C25 +C62 ) 2
−
C6
thang.

=

135 hình

Dựa vào lời giải trên GV có thể u cầu HS tổng qt hóa bài tốn nói trên.
Tổng quát:
Nếu đa giác (H ) có 2k đỉnh (k  3 ) thì có k (Ck2 +Ck2−1)

2
k

− C hình thang cân có 4

đỉnh
là đỉnh của (H ).

Nếu đa giác (H ) có 2k +1 đỉnh (k  2 ) thì có (2k + 1) C2 hình thang cân có 4 đỉnh
k

là đỉnh của (H ).

19

Trong ví dụ 5, thay đổi yêu cầu thành 3 đỉnh được chọn tạo thành 1 tam giác cân nhưng
không phải tam giác đều cho ta bài tốn sau:
Ví dụ 8. Cho đa giác đều (H ) có 18 đỉnh nội tiếp trong một đường trịn tâm O . Tính
số cách chọn 3 đỉnh của đa giác để 3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác cân nhưng
không phải là tam giác đều.
Lời giải
Gọi d là trục đối xứng của tam giác cân có 3 đỉnh là đỉnh

( )
của H .
Có 18 trục đối xứng.
Ứng với mỗi trục đối xứng có 8 tam giác cân, trong đó có
1 tam giác đều.
Do đó số cách chọn ra 3 đỉnh của đa giác nói trên để chúng
tạo thành 1 tam giác cân nhưng không phải tam giác đều là 18.7 =126.
Từ các ví dụ và các bài tốn vừa trình bày, bằng cách phát biểu dưới các khác
nhau chúng ta có thể xây dựng được nhiều bài toán mới, chẳng hạn một số bài tốn sau:
Bài tốn 7. Có 8 học sinh nam và 6 học sinh nữ được sắp xếp thành 1 hàng dọc. Tính
số cách sắp xếp để khơng có bất kì 2 học sinh nữ nào đứng cạnh nhau.
Bài tốn 8. Sân trường Đại học Vinh có 30 cây được trồng thành một hàng dọc. Nhà
trường chặt bỏ 10 cây trong số đó. Tính số cách chặt cây để 10 cây được chặt khơng
có bất kì 2 cây nào đứng cạnh nhau.
Bài tốn 9. Có 12 quyển sách Tốn và 8 quyển sách Văn được sắp lên 1 giá sách thành
hàng dọc. Tính số cách sắp xếp để khơng có bất kì 2 quyển sách Văn nào được sắp cạnh
nhau.
Bài tốn 10. Có 10 quyển sách Tốn, 9 quyển sách Văn và 8 quyển sách Lí được sắp
lên 1 giá sách thành 1 hàng dọc. Tính số cách sắp xếp để khơng có bất kì 2 quyển sách
Tốn nào đứng cạnh nhau và cũng khơng có bất kì 2 quyển sách Văn nào đứng cạnh
nhau.
Bài tốn 11. Có 10 quyển sách Toán, 9 quyển sách Văn và 8 quyển sách Lí được sắp

lên 1 giá sách thành 1 hàng dọc. Tính số cách sắp xếp để khơng có bất kì 2 quyển sách
nào cùng mơn đứng cạnh nhau.
Bằng cách thay đổi giả thiết, đối với bài toán sắp xếp người thành 1 hàng dọc,
chúng ta có thể tạo ra nhiều bài tốn mới, các bài tốn đó lại là 1 THCVĐ cho HS.
20


Ví dụ 10. Một nhóm học sinh gồm có 4 học sinh nam trong đó có Tuấn và 4 học sinh
nữ trong đó có Hoa. Sắp xếp các học sinh đó thành 1 hàng dọc. Tính số cách sắp xếp
để các học sinh nam và nữ ngồi xen kẽ và Tuấn và Hoa luôn ngồi cạnh nhau ?
- Tri giác vấn đề: Đây lại là 1 bài toán tổ hợp có liên quan đến sắp xếp người. Nếu chỉ
dừng lại nam nữ xem kẽ thì khơng có gì khó khăn, tuy nhiên ngồi u cầu đó bài tốn
cịn có u cầu Tuấn và Hoa ln ngồi cạnh nhau.
- Tìm giải pháp: GV cho HS hoạt động nhóm, thảo luận để tìm giải pháp. Vì số lượng
HS tương đối ít nên chắc chắn HS thường hướng tới việc liệt kê các trường hợp có thể
xảy ra. Chẳng hạn, đánh số vị trí từ 1 đến 8, khi đó cần sắp xếp hai bạn Tuấn và Hoa
vào 2 vị trí cạnh nhau trước, sau đó mới sắp xếp các bạn cịn lại. Mỗi cách sắp xếp 2
bạn đó thì có 3! cách sắp xếp các bạn nam còn lại và 3! cách sắp xếp các bạn nữ. Từ
đây HS có thể tìm ra được giải pháp và trình bày giải pháp.
- Trình bày giải pháp: Đại diện HS lên báo cáo và trình bày lời giải.
Lời giải
Trước hết ta đánh số thứ tự các vị trí là từ 1 đến 8.
Từ 1 đến 8 có 7 cặp số tự nhiên liên tiếp. Mỗi trường hợp như vậy có 2 cách sắp xếp
cho Tuấn và Hoa.
Với mỗi cách sắp xếp cho Tuấn và Hoa có 3! cách sắp xếp cho 3 học sinh nam cịn lại
và cũng có có 3! cách sắp xếp cho 3 học sinh nữ cịn lại.
Do đó số cách sắp xếp cần tìm là 7.2.3!.3!= 504.
- Nghiên cứu sâu giải pháp: Nếu thay việc sắp xếp thành 1 hàng dọc bởi sắp xếp thành
1 vịng trịn, chúng ta có bài tốn mới sau:
Bài tốn 12. Một nhóm học sinh gồm có 4 học sinh nam trong đó có Tuấn và 4 học sinh

nữ trong đó có Hoa. Sắp xếp các học sinh đó thành 1 vịng trịn. Tính số cách sắp xếp
để các học sinh nam và nữ ngồi xen kẽ và Tuấn và Hoa luôn ngồi cạnh nhau ?
Thay giả thiết 4 nam 4 nữ ở trên bằng 4 cặp vợ chồng chúng ta có bài tốn sau:
Bài tốn 13. Có 4 cặp vợ chồng được sắp xếp ngồi trên một chiếc ghế dài có 8 chỗ.
Tính số cách sắp xếp để mỗi người vợ chỉ ngồi cạnh chồng của mình hoặc ngồi cạnh
một người phụ nữ khác.
Trong bài tốn 7 chỉ có hai đối tượng nam, nữ đứng xen kẽ, bằng cách thay đổi giả thiết
ta có ví dụ sau:
Ví dụ 11. Xếp 8 học sinh gồm 1 học sinh lớp 11A, 3 học sinh lớp 11B và 4 học sinh lớp
11C thành một hàng ngang. Tính số cách sắp xếp để trong 8 học sinh trên khơng có 2
học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau.

21


- Tri giác vấn đề: Ở ví dụ 8 yêu cầu khơng có bất kì 2 HS cùng lớp nào đứng cạnh
nhau, ở đây có 3 đối tượng HS, trong đó nhiều nhất là lớp 11C. Nhiều khả năng cần sắp
xếp HS lớp 11C trước để giải quyết, sau đó có thể xem kẽ HS 2 lớp cịn lại.
- Tìm giải pháp: Nếu sắp xếp 4 HS lớp 11C trước thì có 4! cách sắp xếp. Giữa 4 HS
11C này cần xen thêm các HS của 2 lớp kia. Sẽ có 2 trường hợp chính xảy ra đó là,
giữa 2 HS lớp 11 C chỉ có 1 HS lớp khác, HS còn lại sẽ đứng ở 1 trong 2 vị trí đầu mút,
trường hợp thứ 2 là có 1 vị trí xen giữa 2 HS lớp 11 C có 2 HS của 2 lớp xen vào. Mỗi
trường hợp đều có thể tính được số các sắp xếp từ đây có thể hình thành giải pháp.
- Trình bày giải pháp:
Lời giải
Sắp xếp 4 HS lớp 11C thành 1 hàng dọc có 4! cách sắp xếp.
Trường hợp 1. Xen giữa 2 HS lớp 11C có duy nhất 1 HS lớp khác.
Lúc này cần sắp xếp 4 HS gồm 1 HS lớp 11A, 3 HS lớp 11B xen kẽ với 4 HS lớp 11C
Trường hợp này có 2.4!= 48 cách sắp xếp.
Trường hợp 2. Có 1 vị trí xen giữa 2 HS lớp 11C có 2 HS khác lớp đứng vào.

Có 3! cách sắp xếp 3 HS lớp 11B xen giữa các HS lớp 11C.
Có 6 cách sắp xếp 1HS lớp 11A vào 1 trong 6 vị trí xen giữa 7 HS đã sắp xếp.
Trường hợp này có 3!.6 = 36 cách sắp xếp.
Do đó số cách sắp xếp cần tìm là 4!.(48 +36 ) 2016 .
=
Nhận xét.
- Để tổ chức DH các THCVĐ đã thiết kế theo hướng hình thành và phát triển năng
lực GQVĐ cho HS một cách có hiệu quả, cần linh hoạt trong tiến trình DH để dành
thời lượng thích đáng cho hoạt động phát hiện, GQVĐ cũng như nghiên cứu sâu giải
pháp. Trong quá trình dạy học, GV cần có năng lực tổ chức các HĐ sao cho thơng qua
các HĐ đó góp phần hình thành và phát triển các năng lực khác nhau, chẳng hạn như
thông qua HĐ nhóm, ghép đơi, kĩ thuật khăn trải bàn, … nhằm giúp HS hình thành
năng lực hợp tác, giao tiếp, thông qua việc thảo luận, báo cáo kết quả, nhận xét đánh
giá, … giúp ích rất tốt trong việc hình thành và phát triển năng lực giao tiếp, năng lực
hợp tác, loại năng lực hết sức quan trọng cần có ở người học, qua các HĐ như vậy còn
làm cho HS có thêm tự tin, mạnh dạn hơn trong các HĐ khác.
- Với cách tổ chức dạy học bằng THCVĐ thì trong tất cả các HĐ phát hiện vấn
đề, GQVĐ, nghiên cứu sâu giải pháp đều góp phần hình thành và phát triển năng lực
tư duy và lập luận. Nếu khơng có năng lực tư duy và lập luận rõ ràng không thể phát
hiện ra vấn đề, không thể GQVĐ và càng không thể nghiên cứu sâu giải pháp.
- Một số THCVĐ (đặc biệt là tình huống gắn với giải bài tập) có thể tổ chức
22


thực hiện trong các giờ DH tăng cường hoặc DH phân hóa.
- Sau khi HS đã được học thơng qua các hoạt động giải quyết các ví dụ nói trên,
GV cần khêu gợi năng lực sáng tạo ở HS. Tức là, GV sẽ đưa ra 1 số giả thiết hay một
số vấn đề dạng mở và yêu cầu HS thảo luận để tự đặt ra các câu hỏi, từ đó xây dựng
nên các bài toán mới, là các THCVĐ mới nảy sinh và tìm cách giải quyết các vấn đề
đó.

Trong thực tiễn dạy học, chúng tôi đã tiến hành việc khuyến khích HS xây dựng
bài tốn mới có nội dung gắn với thực tế cuộc sống, thảo luận trao đổi và tìm lời giải
hoặc dạng thách đấu lẫn nhau giữa các nhóm HS. Với việc làm này, HS tỏ ra rất hứng
thú và đã xây dựng nhiều bài toán hay, bổ ích. Qua đó giúp các em hình thành và phát
triển toàn diện năng lực, đặc biệt năng lực GQVĐ, năng lực sáng tạo; tạo cơ hội cho
các em rèn luyện năng lực làm việc theo nhóm; phát triển năng lực giao tiếp…
II. TĂNG CƯỜNG HUY ĐỘNG CÁC KIẾN THỨC KHÁC NHAU CHO HS ĐỂ
HS BIẾT GIẢI BÀI TẬP TOÁN BẰNG NHIỀU CÁCH KHÁC NHAU
1. Cơ sở xây dựng biện pháp
Mơn Tốn là mơn học có nhiều cơ hội phát triển trí tuệ cho học sinh, đặc biệt là
q trình giải bài tập toán. Một trong các biện pháp quan trọng là cần linh hoạt tổ chức
cho HS giải các bài tốn theo nhiều cách khác nhau vì mỗi cách giải đều có những ưu
điểm và khuyết điểm riêng. Từ đó giúp HS rút ra được những kinh nghiệm để giải một
bài tốn nhanh hơn và chính xác hơn.
2. Nội dung và thực hiện biện pháp
a) Vai trò của huy động kiến thức: Năng lực huy động kiến thức không phải là bất
biến, tùy từng bài toán mà HS phải biết rằng họ cần huy động những kiến thức nào cho
phù hợp. Một bài toán khi đặt vào thời điểm này có thể khơng giải được hoặc giải được
nhưng nó rất dài dịng, máy móc nhưng ở thời điểm khác nếu HS biết huy động kiến
thức thích hợp thì việc giải bài toán sẽ dễ dàng và ngắn gọn hơn, độc đáo hơn.
b) Ý nghĩa của huy động kiến thức: Việc huy động kiến thức có ý nghĩa là nhằm
chuẩn bị đa dạng các thông tin, kiến thức đã biết, gần gũi với thông tin, kiến thức mới,
tạo điều kiện thuận lợi cho việc chuyển thông tin mới vào vùng trí nhớ và trong vùng
trí nhớ sẽ có những kiến thức cần thiết đủ để giải quyết vấn đề mới, nhằm giúp
người học thu thập được kiến thức mới sau khi đã giải quyết được vấn đề. Ngồi ra
thơng qua việc huy động kiến thức, HS cũng có cơ hội để rà sốt lại vốn kiến thức của
mình xem những gì mình đã nắm chắc và những gì mình cịn thiếu, cần phải tìm hiểu
thêm, những kiến thức nào là quan trọng và khó cần được học trên lớp dưới sự hướng
dẫn của GV, những kiến thức nào có thể tự học ở nhà thông qua SGK hoặc các tài liệu
tham khảo khác.

c) Năng lực huy động kiến thức gồm một số đặc điểm sau:
23


- Nó là q trình nhớ lại kiến thức một cách có chọn lọc để thích ứng với vấn đề
mới đặt ra. Năng lực huy động kiến thức không phải là bất biến.
- Nó là tổ hợp các năng lực được biểu hiện dưới nhiều dạng khác nhau như: năng
lực khái quát hóa, năng lực đặc biệt hóa, năng lực quy lạ về quen, năng lực chuyển đổi
ngôn ngữ, năng lực giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau,...
d) Một số phương thức bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức cho HS THPT
- Rèn luyện cho HS biến đổi bài toán theo nhiều cách khác nhau để huy động kiến
thức thích hợp cho từng cách giải. Khi đứng trước một bài toán HS cần biết xem xét
mối liên hệ giữa các đại lượng, phán đốn các khả năng có thể xảy ra và các hướng
biến đổi bài toán.
- Rèn luyện cho HS năng lực huy động kiến thức thông qua dạy học chuỗi các bài
toán. Mỗi một chuỗi bài toán HS sẽ được lĩnh hội những tri thức khác nhau. Chẳng hạn,
chuỗi bài tốn với mục đích củng cố khái niệm, định lí sẽ phát triển trí tuệ cơ bản như
phân tích, tổng hợp,... Từ đó giúp cho các em có thể liên tưởng sáng tạo ra nhiều bài
tốn khác nhau từ một bài toán gốc. Một trong những phương pháp xây dựng chuỗi bài
toán là dựa vào năng lực huy động kiến thức của HS thông qua các thao tác như khái
quát hóa, tương tự hóa, đặc biệt hóa,...
3. Ví dụ minh họa
Sau khi HS đã học xong hai quy tắc đếm, GV có thể tiến hành cho HS giải ví dụ
sau, nhưng cần gợi ý để HS đưa ra nhiều phương án giải khác nhau.
Ví dụ 12. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3
chữ số đơi một khác nhau, trong đó ln có mặt chữ số 1 ?
Lời giải
Cách 1.
.
Giả sử số cần lập là abc, a, b, c 1; 2;3; 4;5;6

Vì ln có mặt chữ số 1 nên có 3 trường hợp sau:
Trường hợp 1. a = 1 .
b khác a nên nó có 5 cách chọn.
c khác a, b nên nó có 4 cách chọn.
Trường hợp này có 5.4 = 20 số.
Trường hợp 2. b =1.
a khác b nên nó có 5 cách chọn.
c khác a, b nên nó có 4 cách chọn.
Trường hợp này có 5.4 = 20 số.
Trường hợp 3. c =1.
Tương tự 2 trường hợp trên nên trường hợp này có 20 số.
24


Vậy có 20.3 = 60 số tạo thành theo yêu cầu bài toán.
Lời giải trên sẽ rất phù hợp cho đại đa số HS khi mới được học hai quy tắc đếm
cơ bản. Tuy nhiên chúng ta thấy cả 3 trường hợp trong lời giải trên đều giống nhau.
Đến đây GV nên gợi ý để HS đưa ra lời giải thứ 2. Nhận thấy rằng số cần lập ln có
mặt chữ số 1 nên rõ ràng ta luôn ưu tiên sắp xếp chữ số 1 trước. Cụ thể ta có lời giải 2:
Cách 2.
.
Giả sử số cần lập là abc, a, b, c  1; 2;3; 4;5;6
Trước hết chúng ta sắp xếp chữ số 1 vào 1 trong 3 vị trí a, b, c , có 3 cách sắp xếp.
Tiếp theo cần chọn ra 1 trong 5 chữ số còn lại xếp vào vị trí thứ 2, có 5 cách.
Cuối cùng cần chọn ra 1 trong 4 chữ số còn lại xếp vào vị trí cuối cùng, có 4 cách.
Vậy có 3.4.5= 60 cách sắp xếp.
Ngồi 2 cách trên sẽ là thiếu sót nếu GV khơng gợi ý để HS tìm ra lời giải thứ 3
bằng phương pháp loại trừ, đây là 1 trong những phương pháp hay thường được áp
dụng để giải các bài toán kiểu này.
Cách 3.

.
Giả sử số cần lập là abc, a, b, c 1; 2;3; 4;5;6
Trước hết chúng ta tính số tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số đơi một khác nhau tạo
thành từ các chữ số đã cho.
a có 6 cách chọn.
b có 5 cách chọn.
c có 4 cách chọn.
Do đó có 6.5.4 =120 số có 3 chữ số đơi một khác nhau tạo thành từ các chữ số đã cho.
Để tính số các chữ số tạo thành theo yêu cầu bài tốn thì chúng ta chỉ cần loại trừ
trường hợp số có 3 chữ số đơi một khác nhau tạo thành từ 2;3;4;5;6 (khơng có mặt
chữ số 1).
a có 5 cách chọn.
b có 4 cách chọn.
c có 3 cách chọn.
Do đó có 5.4.3= 60 số có 3 chữ số đơi một khác nhau tạo thành từ các chữ số đã cho
mà khơng có mặt chữ số 1.
Vậy có 120 − 60 = 60 số có 3 chữ số đơi một khác nhau tạo thành từ các chữ số đã
cho
và lnĐối
có với
mặt các
chữHS
số 1.
có năng lực trung bình và yếu, sau khi đã học xong kiến thức
chỉnh hợp, tổ hợp thì GV cũng nên gợi ý cho các em biết cách áp dụng các kiến thức
đó vào giải quyết bài tốn này.
Cách 4.
25