Bài toán cauchy và hàm chậm trong thang không gian banach với điều kiện độ đo phi compact

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ÐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ÐIỂM

BÀI TOÁN CAUCHY VÀ HÀM CHẬM TRONG THANG
KHÔNG GIAN BANACH VỚI ĐIỀU KIỆN ĐỘ ĐO
PHI - COMPACT

MÃ SỐ: T2015 - 116

SKC005624

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 11/2015


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG

BÀI TỐN CAUCHY VÀ HÀM CHẬM
TRONG THANG KHƠNG GIAN BANACH
VỚI ĐIỀU KIỆN ĐỘ ĐO PHI-COMPACT
Mã số: T2015-116

Chủ nhiệm đề tài: Ths. Phạm Văn Hiển

TP.HCM, tháng 11 năm 2015


Danh sách thành viên tham gia
nghiên cứu và đơn vị phối hợp
chính
Thành viên:
1. Ths. Phạm Văn Hiển
Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.Hồ Chí Minh

i


Thơng tin kết quả nghiên cứu
1. Thơng tin chung:
• Tên đề tài: BÀI TỐN CAUCHY VÀ HÀM CHẬM TRONG THANG

KHƠNG GIAN BANACH VỚI ĐIỀU KIỆN ĐỘ ĐO PHI-COMPACT
• Mã số: T2015-116
• Chủ nhiệm: Ths. Phạm Văn Hiển
• Cơ quan chủ trì: Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật Thành phố Hồ Chí Minh
• Thời gian thực hiện: 12 tháng

2. Mục tiêu:
Mục tiêu của đề tài khoa học này là xem xét sự tồn tại nghiệm bài toán:
u (t)

= f (t, u(t), u(h(t)))

u(0)

= u0

Trong đó tốn tử f hoạt động trên thang không gian Banach Xs . Tức là với
mỗi t ∈ [0, T ], u, v ∈ Xs , s < s thì f (t, u, v) ∈ Xs .
Đề tài sẽ sử dụng điều kiện:
αs (f (t, Ω1 , Ω2 )) ≤

C
αs (Ω1 ) + (αs (Ω2 ))p
s −s

Trong đó 0 ≤ h(t) ≤ t1/p , 0 < p < 1 và αs (B) ký hiệu độ đo Kuratowski trong
Xs

3. Tính mới và sáng tạo:
Tìm được định lý tốt hơn các định lý đã có về bài tốn trên với điều kiện đã
nêu.
4. Kết quả nghiên cứu:
Mở rộng một định lý được nêu trong tài liệu của Akhmerov.

ii


Báo cáo nghiên cứu khoa học

Mã số đề tài T2015-116

5. Sản phẩm

Bài báo khoa học trên web khoa

Trưởng đơn vị
(Ký tên và đóng dấu)
Chủ nhiệm đề tài:
Ths. Phạm Văn Hiển

Bài toán Cauchy và hàm chậm ...

iii


Mục lục
Danh sách thành viên tham gia nghiên cứu và đơn vị phối hợp
chính
Thơng tin kết quả nghiên cứu
0.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực
trong và ngồi nước . . . . . . . . . . . . . . . .
0.1.1 Ngoài nước . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.1.2 Trong nước . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2 Tính cấp thiết của đề tài . . . . . . . . . . . . . .
0.3 Mục tiêu đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . .
0.4.1 Đối tượng nghiên cứu . . . . . . . . . . .
0.4.2 Phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . .
0.5 Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu . . . . .
0.5.1 Cách tiếp cận . . . . . . . . . . . . . . . .
0.5.2 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . .
0.5.3 Tóm tắt nội dung báo cáo . . . . . . . . .

i
ii

của đề tài ở
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .

vi
vi
vii
vii
vii
vii
vii
vii
viii
viii
viii
viii

1 BÀI TỐN CAUCHY TRONG THANG KHƠNG GIAN
BANACH
1
1.1 Thang không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Bài toán Cauchy trong thang không gian Banach . . . . . . . .
2
2 ĐỘ
2.1
2.2
2.3
2.4

ĐO PHI - COMPACT GIÁ TRỊ
Độ đo Kuratowski . . . . . . . . . . .
K-độ đo phi compact . . . . . . . . .
Ánh xạ cô đặc . . . . . . . . . . . . .
Điểm bất động ánh xạ cơ đặc . . . .

iv

NĨN
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

5
5
7
8
9


Báo cáo nghiên cứu khoa học

Mã số đề tài T2015-116

3 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
3.1 Kết quả của Akhmerov, [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Kết quả đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11
11
13

Kết luận

20

Tài liệu tham khảo

21

Bài toán Cauchy và hàm chậm ...

v


MỞ ĐẦU
0.1
0.1.1

Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề
tài ở trong và ngoài nước

Ngoài nước

[1] T.Nishida, A note on a theorem of Nirenberg, J. Differential Geom. Volume
12, Number 4 (1977), 629-633.
Bài báo nghiên cứu bài toán Cauchy trong thang không gian Banach, tác gỉa
đưa ra điều kiện có tính chất “ bản lề ": ở dạng:
Fu − Fv

s

≤

C
u−v
s −s

s

[2] R. R. Akhmerov, M. I. Kamenskii, A. S. Potapov, B. N. Sadovskii, Measure of Noncompactness and Condensing operators, Bivkauser Veriang, Berlin,
1992.
Cuốn sách là tài liệu căn bản và đầy đủ về độ đo phi-compact và tốn tử cơ
đặc. Trong cơng trình, tác giả đã giải quyết bài tốn với hệ số chậm:
u (t)

= f (t, u(h(t)))

u(0)

= u0

Trong đó trong đó 0 ≤ h(t) ≤ t1/p , 0 < p < 1.
[3] M. Kawagishi,A generalized Cauchy - Kovalevskaja - Nagumo theorem
with shrinkings, Sci. Math. Japonicae 54 (1) (2001) 39– 50.
Tác giả nghiên cứu bài toán với hệ số chậm sau:
ut (t, x)

= f (t, x, u, ∂xk u, ∂xp u(α(t)t, x), ∂xq u(t, β(t)x))

u(0, x)

= u0 (x)

Trong đó u(t,x) mang giá trị thực, max{|α(t)|; |β(t)|} < 1 và cũng đã có một
số kết quả trong lớp hàm Gevrey
vi


Báo cáo nghiên cứu khoa học

0.1.2

Mã số đề tài T2015-116

Trong nước

[1] Nguyễn Bích Huy (1993), On a Cauchy problem in scale of Banach spaces,
Proceedings of the HoChiMinh City Mathematics Consortium, tr.38-42.
Bài báo tổng hợp các kết quả và phương pháp chứng minh về bài tốn Cơsi
trong thang khơng gian đối với nhiều trường hợp khác nhau. Qua đó nêu được
đặc trưng việc ứng dụng thang không gian vào các bài tốn phương trình vi

tích phân.

0.2

Tính cấp thiết của đề tài

Bài tốn Cơ si trong thang khơng gian Banach được ứng dụng rộng rãi trong
việc giải các bài toán Vật lý, Kỹ thuật. Việc nghiên cứu và bài toán này là
rất cần thiết nhằm ứng dụng nó vào nhiều bài tốn cụ thể hơn.

0.3

Mục tiêu đề tài

Mục tiêu của đề tài khoa học này là xem xét sự tồn tại nghiệm bài tốn:
u (t)

= f (t, u(t), u(h(t)))

u(0)

= u0

Trong đó tốn tử f hoạt động trên thang không gian Banach Xs . Tức là với
mỗi t ∈ [0, T ], u, v ∈ Xs , s < s thì f (t, u, v) ∈ Xs .
Đề tài sẽ sử dụng điều kiện:
αs (f (t, Ω1 , Ω2 )) ≤

C
αs (Ω1 ) + (αs (Ω2 ))p

s −s

Trong đó 0 ≤ h(t) ≤ t1/p , 0 < p < 1 và αs (B) ký hiệu độ đo Kuratowski trong
Xs

0.4

Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

0.4.1

Đối tượng nghiên cứu

Bài tốn Cơ si trong thang khơng gian Banach
0.4.2

Phạm vi nghiên cứu

• Định lý tồn tại duy nhất nghiệm bài tốn Cơ si với hàm chậm (*) trong

thang khơng gian Banach.
Bài tốn Cauchy và hàm chậm ...

vii


Báo cáo nghiên cứu khoa học

Mã số đề tài T2015-116

• Độ đo Kuratowski

0.5
0.5.1

Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu
Cách tiếp cận

Tìm đọc tài liệu và các bài báo khoa học
0.5.2

Phương pháp nghiên cứu

Tìm kiếm, chứng minh và áp dụng
0.5.3

Tóm tắt nội dung báo cáo

Chương 1 trình bày những kiến thức căn bản về bài tốn Cauchy trong thang
khơng gian Banach. Cuối chương 1 có trình bày kết quả của Akhmerov, đây
là một kết quả về bài tốn chậm trong khơng gian Banach mà đề tài sẽ mở
rộng lên thang không gian.
Chương 2 trình bày những khái niệm về độ đo phi compact và tốn tử
cơ đặc. Đây là những kiến thức mà tác giả sử dụng để mở rộng kết quả của
Akhmerov. Chương này cũng trình bày các định lý về điểm bất động tốn
tử cơ đặc của R.R.Akhmerov và Nguyễn Bích Huy. Hai định lý này được áp
dụng trong hai kết quả về sự tồn tại của bài toán Cauchy với hàm chậm được
trình bày trong chương 3.
Chương 3 trình bày kết quả của đề tài khoa học này. Đó là định lý về sự tồn
tại nghiệm bài tốn Cauchy với hàm chậm trong thang không gian Banach.

Tuy nhiên, trước khi trình bày kết quả này, chương 3 nhắc lại kết quả của
Akhmerov, đây là một kết quả về bài tốn chậm trong khơng gian Banach
mà đề tài sẽ mở rộng lên thang khơng gian.
Phần kết luận có trình bày một số hướng nghiên cứu được đề nghị từ đề
tài này.

Bài toán Cauchy và hàm chậm ...

viii


Chương 1

BÀI TỐN CAUCHY TRONG
THANG KHƠNG GIAN
BANACH
1.1

Thang khơng gian Banach

Định nghĩa 1.1.1. Một thang không gian Banach là họ các không gian Banach Xs , ||.||s theo chỉ số s ∈ [a, b] sao cho với mỗi s• Xs ⊂ Xs
• .

s

≤ .

s

Ví dụ 1. Xét khơng gian các dãy số thực
Xs = {x = {xn }n∈N : x

s

=
k≥1

eks
√ |xk | < ∞}
k!

Dễ thấy Xs , s > 0 là thang không gian Banach thỏa các điều kiện trong
định nghĩa.
Trước khi xét tiếp ví dụ thứ hai, ta nhắc lại một số khái niệm.
Xét hàm liên tục Holder bậc τ ∈ [0; 1] f : Ω ⊂ Rm → R. Nghĩa là tồn tại hằng
số c > 0 sao cho với mọi x, y ∈ Ω thì:
|f (x) − f (y)| ≤ c|x − y|τ

Đặt C m+τ = {f ∈ C m (Ω) : f (m) là liên tục Holder bậc τ }.
Khi đó ta có thang khơng gian Banach:

1


Báo cáo nghiên cứu khoa học

Mã số đề tài T2015-116

Ví dụ 2.

Xs = C m+sτ ; s ∈ [0, 1]

Với chuẩn:
||g||s = ||g||C m (Ω) + sup{

|g(x) − g(y)|
: x, y ∈ Ω, x = y}
|x − y|sτ

Hai ví dụ trên đã được trình bày trong [2]

1.2

Bài tốn Cauchy trong thang khơng gian Banach

Bài tốn Cauchy có dạng:
x (t)

= f (t, x(t))

x(0)

= x0

;t ∈ J

Trong đó t ∈ [0, T ], u(t) và f(t,u(t)) nhận giá trị trong không gian trừu tượng
X, ví dụ một khơng gian Banach.
Việc khảo sát sự tồn tại và duy nhất nghiệm bài toán Cauchy đã được nghiên
cứu từ xưa và có rất nhiều kết quả. Tuy nhiên, khó khăn là trong một số

trường hợp u(t) và f(t,u(t)) lại không cùng nằm trong một không gian.
Bài tốn Cauchy trên thang khơng gian Banach Xs , ||.||s s , s ∈ [a, b] là bài toán
Cauchy trong đó x0 ∈ Xb và nếu t ∈ [0, T ], x(t) ∈ Xs thì f (t, u(t)) ∈ Xs với mọi
a ≤ s < s ≤ b.
Một không gian Banach có thể được xem là một thang khơng gian mà trong
đó Xs ≡ X với mọi s. Do đó bài tốn Cauchy thơng thường (u và f(t,u) thuộc
cùng một khơng gian) cũng có thể được xét như bài tốn trên thang khơng
gian. Ta xét ví dụ sau được tham khảo trong [2].
Trong lý thuyết về quá trình ngẫu nhiên thống kê, mật độ xác suất của biến
x theo thời gian t được xét là hàm u(t, x) : R+ , R → R. Hàm u có tính chất:
u(t, x) ≥ 0 và R u(t, x)dx = 1.
Người ta quan tâm phương trình khuyếch tán có dạng:
ut

= uxx + axux + bx2 u

u(0, x)

= ϕ(x)

Đồng thời cần tính các đại lượng moments un (t) =
các đại lượng này tồn tại chúng ta cần có điều kiện
lim u(t, x)xn = 0, ∀t > 0, n ∈ N

x→∞

Bài toán Cauchy và hàm chậm ...

2

R

u(t, x)xn dx, n ∈ N. Để


Báo cáo nghiên cứu khoa học

Mã số đề tài T2015-116

Từ phương trình khuyếch tán, nhân thêm xn , ta có:
ut xn = (uxn )xx − 2(nuxn−1 )x + n(n − 1)uxn−2 + a[(uxn+1 )x − (n + 1)uxn ] + buxn+2

Lấy tích phân hai vế với lưu ý điều kiện cần nêu trên chúng ta có hệ đếm
được các phương trình vi phân:
un (t) = n(n − 1)un−2 − a(n + 1)un + bun+2 , n ∈ N

Cần lưu ý rằng u−1 (t) = 0; u0 (t) = 1.
Hệ này có thể viết dưới dạng bài tốn Cauchy:
ut

= Au

u(0)

= u0

Trong đó u(t) = {un (t)}n ; Au = {n(n − 1)un−2 − a(n + 1)un + bun+2 }n và
u0 = R ϕ(x)dx.
Hãy cùng xem xét toán tử A. Giả sử u ∈ Xs trong đó Xs được định nghĩa
trong ví dụ (1), khi đó chúng ta khơng chắc Au có thuộc Xs hay khơng. Tuy

nhiên có thể khẳng định rằng Au ∈ Xs với mọi 0 < s < s. Thật vậy:

Au

s

=
k≥1

=
k≥1

eks
√ |Auk |
k!
eks ek(s −s)
√
|k(k − 1)uk−2 − a(k + 1)uk + buk+2 |
k!
e(k−2)s

≤
k≥1
eks

(k − 2)!

|uk−2 |

k(k − 1)ek(s −s)+2s

− a √ |uk |(k + 1)ek(s −s)
k!
e(k+2)s
+b
|uk+2 |ek(s −s)−2s
(k + 2)!

Với lưu ý rằng nếu 0 < s < s thì chuỗi số
cho nên chúng ta có:
Au

Bài tốn Cauchy và hàm chậm ...

s

≤M u

3

(k + 1)(k + 2)

k

s

k α ek(s −s) là hội tụ với mọi α,


Báo cáo nghiên cứu khoa học

Mã số đề tài T2015-116

Vậy chúng ta có ví dụ:
Ví dụ 3. Bài tốn Cauchy:
ut

= Au

u(0)

= u0

Trong đó với mọi u ∈ Xs định nghĩa trong ví dụ (1) thì Au ∈ Xs với mọi
0 < s < s và A là toán tử tuyến tính với
A

Bài tốn Cauchy và hàm chậm ...

L(Xs ,Xs )

4

≤M


Chương 2

ĐỘ ĐO PHI - COMPACT GIÁ
TRỊ NÓN

2.1

Độ đo Kuratowski

Xét khơng gian Banach (X, ||.||). Đường kính một tập A ⊂ X được định nghĩa
là:
d(A) = sup{||x − y|| : x, y ∈ A}

Định nghĩa 2.1.1. Độ đo Kuratowski của tập Ω ⊂ X là số không âm α(Ω)
được định nghĩa là:
α(Ω) = inf{r > 0 : Ω ⊂ ∪nk=1 Sk ; Sk ⊂ X; d(Sk ) < r, k = 1, 2, , , n}

Tính chất 2.1.2.

1. α(Ω) = 0 khi và chỉ khi Ω là compact tương đối

2. α({x}) = 0, ∀x ∈ X
3. α(Ω1 ∪ Ω2 ) = max{α(Ω1 ); α(Ω2 )}
4. α(tΩ) = |t|α(Ω)
5. α(Ω1 + Ω2 ) ≤ α(Ω1 ) + α(Ω2 )
6. α(x + Ω) ≤ α(Ω)
7. α(Ω) = α(Ω) = α(coΩ)
Ngồi ra thì lưu ý các tính chất trên khơng độc lập.

5


Báo cáo nghiên cứu khoa học

Mã số đề tài T2015-116

Chứng minh
1. Nếu α(Ω) = 0 thì với mọi ε > 0, Ω ln có phủ hữu hạn có đường kính
khơng quá ε nên Ω là compact tương đối
2. Suy ra từ 1)
3. Nếu Ω1 , Ω2 lần lượt bị phủ bởi n tập {Si }i=1,...,n , m tập {Tj }j=1,...,m thì
Ω1 ∪ Ω2 phủ bởi (n+m) tập {Si , Tj }i,j nên ta có đều cần chứng minh
4. Nếu Ω phủ bởi n tập {Si }i=1,...,n thì tΩ phủ bởi n tập {tSi }i=1,...,n .
Mặt khác d(tSi ) = sup{||tx − ty|| : x, y ∈ Si } = |t|d(Si ). Suy ra điều cần
chứng minh
5. Nếu Ω1 , Ω2 lần lượt bị phủ bởi n tập {Si }i=1,...,n , m tập {Tj }j=1,...,m thì
Ω1 + Ω2 phủ bởi (nm) tập {(Si + Tj )}i,j . Mặt khác:
d(Si + Tj ) = sup{||x + y − x − y || : x, x ∈ Si ; y, y ∈ Tj }
≤ sup{||x − x || + ||y − y || : x, x ∈ Si ; y, y ∈ Tj }
= d(Si ) + d(Tj )

6. Suy ra từ 2) và 5)
7. Dễ thấy α(Ω) = α(Ω).
Chúng ta chứng minh điều còn lại. Nếu Ω phủ bởi n quả cầu {Si }i=1,...,n
thì (coΩ) phủ các tập có dạng ni=1 ki Si trong đó ki là số khơng âm và
ki = 1. Ký hiệu k = {(k1 , .., kn ) : ki ≥ 0; ki = 1} thì tập k có vơ hạn
các phần tử. Tuy nhiên theo tính chất Hausdorff thì với ε > 0 cho trước
thì tồn tại tập con kε ⊂ k là hữu hạn và tồn tại số δε (δε → 0 nếu ε → 0)
sao cho (áp dụng tính chất 4), 5)):
n

n

α(coΩ) ≤ α(∪(ki )∈k

ki coSi ) ≤ α(∪(ki )∈kε
i=1

ki coSi ) + 2δε
i=1

n

= max(ki ∈kε ) α(

ki coSi ) + 2δε

i=1
n

≤ max(ki ∈kε ) (

ki α(coSi )) + 2δε
i=1

Giả sử d(coSi ) = d(Si ) < r, ∀i thì ta có α(coΩ) ≤ r + 2δε .
Cho ε → 0 và do đặc điểm r thì ta có được α(coΩ) ≤ α(Ω).
Chiều ngược lại là dễ thấy.
Bài toán Cauchy và hàm chậm ...

6


Báo cáo nghiên cứu khoa học

2.2

Mã số đề tài T2015-116

K-độ đo phi compact

Xét khơng gian tuyến tính Q trên trường số thực, tập đóng K ⊂ Q được gọi
là nón nếu λK ⊂ K với mọi λ không âm và K ∩ −K = {θ}.
Khi đó ta định nghĩa được một thứ tự trên Q là:
Định nghĩa 2.2.1. x ≤ y ⇔ y − x ∈ K .
Không gian Q khi đó được sắp thứ tự một phần.
Một ánh xạ A : M ⊂ Q → Q gọi là tăng nếu với mọi u, v ∈ M thì từ u ≤ v dẫn
tới A(u) ≤ A(v). A gọi là ánh xạ dương nếu AK ⊂ K . Dễ thấy là nếu A tuyến
tính thì A là tăng khi và chỉ khi A là dương.
Định nghĩa 2.2.2. Một ánh xạ Φ xác định trên lớp các tập con bị chặn của
không gian Banach E nhận giá trị trong tập được sắp thứ tự một phần (Q, ≤)
được gọi là một độ đo phi compact tổng quát nếu
Φ(coΩ) = Φ(Ω), ∀Ω bị chặn trong E

(2.1)

Trong đó coΩ ký hiệu bao lồi đóng của Ω
Nếu Q là khơng gian tuyến tính mà thứ tự trên đó được sinh bởi nón K
trong nó thì ta gọi vắn tắt Φ là K-độ đo phi compact.
Chúng ta xây dựng một ví dụ. Đặt ∆ = {(s, t) : a ≤ s < b, t ∈ [0, T ]} và
xét không gian Q gồm các hàm liên tục trên ∆ với phép cộng nhân thông
thường. Thứ tự ” ≤ ” là sinh bởi nón K gồm các hàm không âm trong Q:
K = {k ∈ C(∆) : k(s, t) ≥ 0, ∀(s, t) ∈ ∆} . Dễ thấy thứ tự này có thể hiểu theo
nghĩa tự nhiên là u ≤ v ⇔ u(s, t) ≤ v(s, t), ∀(s, t) ∈ ∆.
Xét thang không gian Banach (Xs , ||.||s ) và độ đo Kuratowski αs trên Xs . Đặt

X = ∪s≥a Xs , ||.||a và chuẩn trên không gian các hàm liên tục C([0,T],X)
là |u| = sup ||u(t)||a . Ký hiệu họ các tập con đồng liên tục, bị chặn trong
t∈[0,T ]

C([0,T],X) là ΣX .
Khi đó chúng ta có K-độ đo phi compact:
Ví dụ 4.
Φ : ΣX ⊂ C([0, T ], X) → K ⊂ X
Φ(Ω ∈ ΣX )(t, s) = αs (Ω(t))

Trong đó Ω(t) = {u(t) : u ∈ Ω}
Bài toán Cauchy và hàm chậm ...

7

(2.2)


Báo cáo nghiên cứu khoa học

Mã số đề tài T2015-116

Chúng ta cần chứng minh (2.1) đúng.
Thật vậy, từ tính chất ((co)Ω)(t) ⊂ (co)(Ω(t)) cho nên:
αs (((co)Ω)(t)) ≤ αs ((co)(Ω(t))) = αs (Ω(t)) với mọi s, t.
Chiều ngược lại của bao hàm thức là dễ thấy. Vậy (2.1) đúng.
Tính chất 2.2.3. K-độ đo (2.2) có các tính chất:
1.
Φ(Ω) = θ khi và chỉ khi Ω là compact tương đối

(2.3)

2. Φ({u}) = 0, ∀u ∈ C([0, T ], X)
3. Φ(Ω1 ∪ Ω2 ) = max{Φ(Ω1 ); Φ(Ω2 )}
4. Ω1 ⊂ Ω2 ⇒ Φ(Ω1 ) ≤ Φ(Ω2 )
5.
Φ({un }n≥1 ) = Φ({un }n≥2 )

(2.4)

Chứng minh:
1. Cho trước t, độ đo Kuratowski có tính chất: αs0 (Ω(t)) = 0 khi và chỉ khi
Ω(t) là compact tương đối trong Xs với mọi s ≤ s0 . Sau đó chúng ta dùng
tính đồng liên tục của Ω và định lý Azela - Ascoli thì chúng ta chứng
minh được rằng Ω là compact tương đối khi và chỉ khi Ω(t) là compact
tương đối với mọi t ∈ [0, T ]. Do đó ta có (2.3)
2. Suy ra từ 1
3. Cố định t và s, ta có αs (Ω1 (t) ∪ Ω2 (t)) = max{αs (Ω1 (t)); αs (Ω2 (t))} . Theo
(2.2) ta có điều cần chứng minh
4. Suy ra từ 3)
5. Suy ra từ 2) và 3)

2.3

Ánh xạ cô đặc

Xét hai không gian Banach X1 , X2 lần lượt được trang bị độ đo phi compact
tổng quát Φ1 , Φ2.
Định nghĩa 2.3.1. Ánh xạ f : D ⊂ X1 → X2 được gọi là (Φ1 , Φ2 ) cô đặc nếu
với mọi Ω ⊂ D và Φ2 (f (Ω)) ≥ Φ1 (Ω) thì sẽ suy ra Ω là tập compact tương đối.

Bài toán Cauchy và hàm chậm ...

8


Báo cáo nghiên cứu khoa học

Mã số đề tài T2015-116

Nếu X = X1 = X2 và Φ1 = Φ2 = Φ (như định nghĩa ở 2.2) thì sau đây chúng
ta gọi tắt f là cô đặc.
Nhận xét: Đối với K - độ đo được định nghĩa ở 2.2 thì lớp ánh xạ cô đặc bao
hàm lớp ánh xạ compact và ánh xạ co.
Thật vậy nếu Ω là tập bị chặn thì tính compact của f suy ra f (Ω) là compact
tương đối, nghĩa là Φ2 (f (Ω)) = 0. Giả sử Φ2 (f (Ω)) ≥ Φ1 (Ω), khi đó Φ1 (Ω) = 0
kéo theo Ω là tập compact tương đối hay f là cơ đặc.
Cịn nếu f là ánh xạ co với hệ số 0 ≤ k < 1 thì xuất phát từ định nghĩa
độ đo Kuratowski αs , dễ thấy Φ2 (f (Ω)) ≤ kΦ1 (Ω). Do đó từ bất đẳng thức
Φ2 (f (Ω)) ≥ Φ1 (Ω) kéo theo kΦ1 (Ω) ≥ Φ1 (Ω). Nghĩa là Φ1 (Ω) = 0 cho nên f là
cô đặc .

2.4

Điểm bất động ánh xạ cơ đặc

Định lý sau tham khảo trong [1]
Định lí 2.4.1. Cho không gian Banach X với độ đo phi compact tổng quát Φ
thoả tính chất (2.4). Nếu là ánh xạ f : M ⊂ X → M là Φ cơ đặc thì nó có ít
nhất một điểm bất động trong M
Nhắc lại: Nếu f (x) = x thì x gọi là điểm bất động của f .

Chứng minh:
Đặt A0 = M và An+1 = cof (An ) . Rõ ràng là A0 ⊃ A1 .
Giả sử An−1 ⊃ An và x ∈ An+1 . Khi đó tồn tại ni=1 ki = 1 và yi ∈ An sao
n

ki f (yi ). Mà An−1 ⊃ An cho nên yi ∈ An−1 hay f (yi ) ∈ An . Do đó

cho x =
i=1

x ∈ An . Tính bất kỳ của x suy ra An ⊃ An+1 .

Theo quy nạp dãy An là dãy giảm (nghĩa bao hàm), đóng và khác rỗng.
Đặt C = ∩n∈N An . Khi đó C lồi, đóng, và C = f (C) hay Φ(C) = Φ(f (C)). Do
đó tính Φ cơ đặc của f suy ra C là compact (C là đóng).
Chọn giá trị x0 ∈ M và đặt xn = f n (x0 ) . Dễ thấy xn ∈ An . Tính chất (2.4)
cho thấy Φ({xn }n ) = Φ(f ({xn }n )), kết hợp tính Φ cô đặc của f suy ra {xn }n
là tập compact tương đối. Chúng ta suy ra sự tồn tại dãy con {xnk }k hội tụ.
Giới hạn của dãy này là thuộc C nên C khác rỗng.
Sử dụng định lý bất động Schauder, ánh xạ f : C → C có điểm bất động trong
C cũng là điểm bất động đang cần tìm.
Chúng ta chứng minh xong.
Bài tốn Cauchy và hàm chậm ...

9


Báo cáo nghiên cứu khoa học

Mã số đề tài T2015-116

Định lý sau tham khảo trong [3]
Định lí 2.4.2. Cho khơng gian Banach X với K - độ đo phi compact Φ thoả
tính chất (2.3) và (2.4). Khơng gian Q các giá trị của Φ là một khơng gian
tuyến tính định chuẩn.
Cho f : M ⊂ X → X là liên tục. Giả sử có một tốn tử A : K → K là tăng và
thỏa mãn:
• (i): Φ(f (Ω)) ≤ A(Φ(Ω)) nếu Ω ⊂ M và Ω, f (Ω) là bị chặn
• (ii): lim An (x) = 0 với mọi x thuộc K (sự hội tụ trong Q)
n→∞

Khi đó có ít nhất một điểm bất động trong M
Chứng minh:
Sử dụng định lý (2.4.1), chúng ta chỉ cần chứng minh f là Φ cô đặc.
Xét tập bị chặn Ω ⊂ M và giả sử Φ(f (Ω)) ≥ Φ(Ω). Đặt x = Φ(Ω) ∈ K .
Ta có: 0 ≤ x = Φ(Ω) ≤ Φ(f (Ω)) ≤ A(Φ(Ω)) = A(x).
Do đó, kết hợp tính tăng của A, suy ra A(x) ≤ A2 (x) hay một cách tổng quát
là 0 ≤ x ≤ An (x).
Sử dụng giả thiết định lý, khi n ra vô hạn ta được x = lim An (x) = 0 nghĩa
n→∞

là Ω là tập compact tương đối. Vậy f là Φ cơ đặc và ta đã chứng minh xong.

Bài tốn Cauchy và hàm chậm ...

10


Chương 3

KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Trong phần này chúng ta quan tâm sự tồn tại nghiệm bài toán toán sau đây
đã được khảo sát sự tồn tại nghiệm trong [1]:
ut

= f (t, u(h(t)))

u(0)

= u0

(3.1)

Trong đó t ∈ [0, T ] và số p ∈ (0, 1) sao cho 0 ≤ h(t) ≤ t1/p , ∀t ∈ [0, T ].

3.1

Kết quả của Akhmerov, [1]

Trước khi nêu ra thành quả của đề tài khoa học này, chúng ta đưa ra kết quả
khẳng định sự tồn tại nghiệm của (3.1) được nghiên cứu trong [1]. Theo đó
ánh xạ f : [0, T ].X → X và nghiệm bài toán là hàm u ∈ C 1 ([0, T ], X) thỏa (3.1)
(X là không gian Banach). Để thuận tiện, chúng ta định nghĩa một số tính
chất của một độ đo phi compact tổng quát.
Định nghĩa 3.1.1. Độ đo phi compact tổng quát Φ trên lớp tập bị chặn trong
không gian định chuẩn X, nhận giá trị trong khơng gian định chuẩn có thứ tự
Q được gọi là:
• Chính quy nếu Φ(M ) = 0 ⇔ M là compact tương đối
• Nửa cộng tính nếu Φ(M1 + M2 ) = Φ(M1 ) + Φ(M2 )
• Nửa thuần nhất nếu Φ(tM ) = |t|Φ(M )

• Bất biến đối với dịch chuyển nếu Φ(x + M ) = Φ(M )
• Liên tục nếu với Ω và ε > 0 cho trước thì tồn tại số δ > 0 sao cho:
||Φ(Ω) − Φ(M )||Q ≤ ε với mọi M thỏa sup ||x − y||X ≤ δ
11


Báo cáo nghiên cứu khoa học

Mã số đề tài T2015-116

Ký hiệu quả cầu B(u0 , r) = {x ∈ X : ||x − u0 || ≤ r}, hình trụ S = {(t, x) : t ∈
[0, T ]; x ∈ B(u0 , r)}. Sau đây là kết quả của bài tốn (3.1) được chứng minh
trong [1].
Định lí 3.1.2. Cho f liên tục đều trong hình trụ R.
Giả sử độ đo phi-compact tổng quát Φ trên X, nhận giá trị là số thực có tính
chất chính quy, nửa cộng tính, nửa thuần nhất, liên tục, bất biến với dịch
chuyển.
Ngoài ra Φ thỏa điều kiện:
Tồn tại hằng số C để với mọi Ω ⊂ B(u0 , r), t ∈ [0, T ] thì
Φ[f (t, Ω)] ≤ C[Φ(Ω)]p

Khi đó tồn tại t1 > 0 để bài tốn (3.1) có nghiệm u ∈ C 1 ([0, t1 ], X)
Chứng minh:
Chọn t1 ≤ min{1, T } sao cho ||f (t, x)|| ≤ tr1 , ∀(t, x) ∈ S . Việc chọn t1 là tốt nhờ
tính liên tục đều của f .
Cũng do tính liên tục của f , có thể khẳng định nghiệm bài tốn là điểm bất
động ánh xạ F : C([0, t1 ], X) → C([0, t1 ], X) xác định bởi:
t

f (s, u(h(s)))ds, t ∈ [0, t1 ]

F u(t) = u0 +
0

Đặt M = {u ∈ C([0, t1 ], X) : u(0) = u0 ; ||u(t) − u0 || ≤ rt
t1 , ∀t ∈ [0, t1 ]}. Dễ thấy
M ⊂ C([0, t1 ], X) là lồi, đóng và bị chặn.
rs
Giả sử u ∈ M . Khi đó với 0 ≤ s ≤ t1 thì ||u(h(s)) − u0 || ≤ rh(s)
t1 ≤ t1 ≤ r . Nghĩa
là (s, u(h(s))) ∈ S cho nên ||f (s, u(h(s)))|| ≤ tr1 . Từ công thức của F chúng ta
chứng minh được: F M ⊂ M .
Tiếp theo, chúng ta xây dựng độ đo phi compact tổng quát ΦC trên lớp tập
con bị chặn, đồng liên tục Ω ⊂ M và nhận giá trị trong không gian C([0, t1 ], R)
với thứ tự thông thường (u ≤ v ⇔ u(t) ≤ v(t), ∀t ∈ [0, t1 ]) như sau:
ΦC (Ω)(t) = Φ(Ω(t)), trong đó Ω(t) = {u(t) : u ∈ Ω}

Chúng ta sử dụng định lý (2.4.1) bằng cách chứng minh F : M → M là ΦC cô
đặc.
Để chứng minh F là ΦC cô đặc, giả sử ΦC (Ω) ≤ ΦC (F (Ω)). Sử dụng các tính

Bài tốn Cauchy và hàm chậm ...

12


Báo cáo nghiên cứu khoa học

Mã số đề tài T2015-116

chất của Φ nêu trong giả thiết định lý, chúng ta suy ra (với t ∈ [0, t1 ]):
m(t) := Φ(Ω(t)) ≤ Φ(F (Ω(t)))
t

f (s, u(h(s)))ds : u ∈ Ω}

= Φ{u0 +
0
t

≤ Φ{

f (s, Ω(h(s)))ds}
0

t

≤

Φ[f (s, Ω(h(s)))]ds
0
t

t

C[Φ(Ω(h(s)))]p ds =

≤
0

C[m(h(s))]p ds
0

Bằng cách lặp lại các lập luận trên nhiều lần chúng ta có:
t

m(t) ≤

h(s1 )

C[m(h(s2 ))]p ds2 ]p ds1

C[
0

0

≤ ...
t

≤

h(s1 )

C[
0

0
1/p
s2

1/p

s1

C[
0

≤ C 1+p+p

C[
0
2

h(sn−1 )

+...+p

0
1/p
sn−1

C...[

C[m(h(sn ))]p dsn ]p dsn−1 ...]p ds2 ]p ds1

0

0
n

C[m(h(sn ))]p dsn ]p dsn−1 ...]p ds2 ]p ds1

C...[

0
t

≤

h(s2 )

C[

pn

sup m(t)
0≤t≤t1

tn1
0
1
n−2 := V P
np (n − 1)p ...2p

Do 0 ≤ p ≤ 1 nên chuỗi ni=0 pi hội tụ. Ngoài ra t1 ≤ 1 và mẫu số (n − i)p ≥ 1
với mọi 0 ≤ i ≤ n − 2 cho nên VP hội tụ về 0 khi n ra vô hạn.
Vậy m(t) := Φ(Ω(t)) = 0, ∀t ∈ [0, t1 ]. Sử dụng tính đồng liên tục của Ω và tính
chính qua của Φ, chúng ta suy ra tính compact tương đối của Ω.
Vậy các giả thiết của định lý (2.4.1) thỏa mãn, nghĩa là chúng ta chứng minh

xong.
i

3.2

Kết quả đề tài

Mở rộng hơn [1], chúng ta xét bài toán (3.1) trong thang không gian Banach
Xs . Tức là ánh xạ f : [0, T ]Xs → Xs , ∀a ≤ s < s ≤ b.
Ngồi ra thay vì sử dụng một độ đo tổng quát giá trị thực, chúng ta dùng độ
đo Kuratowski mà qua đó lớp ánh xạ cô đặc xây dựng như (2.2) bao hàm lớp
ánh xạ co và lớp ánh xạ compact.
Ký hiệu ϕs (B) là độ đo Kuratowski trên Xs . Kết quả của chúng ta như sau:
Bài toán Cauchy và hàm chậm ...

13


Báo cáo nghiên cứu khoa học

Mã số đề tài T2015-116

Định lí 3.2.1. Giả sử:
• f : [0, T ]Xs → Xs là liên tục với mỗi s• Tồn tại C và α sao cho với mỗi s < s’, Ω ⊂ Xs và t ∈ [0, T ] thì:
ϕs (f (t, Ω)) ≤

C
ϕs (Ω)
(s − s)α

p

(3.2)

• Giả sử một trong hai điều kiện sau thỏa mãn:

(a) T<1
(b) T=1 và α < 1 − p2
Khi đó với mỗi s0 ∈ [a, b) thì bài tốn (3.1) có nghiệm u(t) ∈ Xs ,

∀t ∈ [0, T ]

Chứng minh:
Do f liên tục nên nghiệm bài toán (3.1) là điểm bất động ánh xạ F :
C([0, T ], Xs ) → C([0, t1 ], Xs ), s < s xác định bởi:
t

f (y, u(h(y)))dy, t ∈ [0, T ]

F u(t) = u0 +
0

Sử dụng định lý (2.4.2), chúng ta tìm nghiệm bài tốn dạng điểm bất động
ánh xạ F.
α
Đặt β = (1−p)
>α
Xét không gian
Y = {g : ∆ := [0, T ][a, b) → R, ||g|| = sup (b − s)β |g(t, s)| < ∞}

(t,s)∈∆

Và K là nón các hàm khơng âm trong Y.
Ta đặt E=C(I, Xb ) và xét B là một tập bị chặn trong E.
Đặt B(t) = {v(t)|v ∈ B} ⊂ Xb ⊂ Xs , ∀s < b.
Chúng ta xây dựng K độ đo phi compact trên lớp tập con bị chặn của E,
nhận giá trị trong K như sau :
φ(B)(t, s) = ϕs (B(t)) ∀(t, s) ∈ ∆

Định nghĩa là tốt vì (b − s)β φ(B)(t, s) ≤ (b − a)β ϕb (B(t))
Tiếp theo, chúng ta xây dựng toán tử A : K → K là:
C
A(g)(t, s) = inf
s
Bài toán Cauchy và hàm chậm ...

14

t

p

g(h(y), s ) dy
0


Báo cáo nghiên cứu khoa học

Mã số đề tài T2015-116

Khi đó A(g) ∈ K là do với lựa chọn s = (b + s)/2 thì:
t

(b − s)β |A(g)(t, s)|

C
||g||
≤
inf
α
s(b − s )β
0
≤ (b − s)β(1−p)−α 2α+βp C||g||p t
≤ C||g||p T 2β
(b − s)β

p

dy

Chúng ta sẽ dùng quy nạp chứng minh với mọi n>1 và s ≤ sn < ... < s1 < b
thì
|An (g)(t, s)| ≤
n−1

n

C 1+p+...+p ||g||p tn

n−1
n
n−2
(sn − s)α (sn−1 − sn )αp ...(s1 − s2 )αp (b − s1 )βp n(n − 1)p ...2p

(3.3)

Từ định nghĩa toán tử A, dễ thấy với (s < s1 < b) thì :
C||g||p t
(s1 − s)α (b − s1 )βp

|A(g)(t, s)| ≤

Suy ra với s < s2 < s1 < b, thì :
t

|A2 (g)(t, s)|

C
≤
|A(g)(h(y), s2 )|p dy
(s2 − s)α 0
p
C||g||p
C
≤
(s2 − s)α (s1 − s2 )α (b − s1 )βp
2
C 1+p ||g||p t2
≤

2
(s2 − s)α (s1 − s2 )αp (b − s1 )βp 2

t

(h(y))np dy
0

Nghĩa là (3.3) đúng với n=2, giả sử (3.3) đúng
Suy ra với s < sn+1 < ... < s1 < b, thì:
|A(n+1) (g)(t, s)| ≤

C
(sn+1 − s)α

t

|An (g)(h(y), sn+1 )|p dy
0

n−1

n

C 1+...p ||g||p tn+1
≤
n−1
n
n+1
(sn+1 − s)α (sn − sn+1 )αp ...(s1 − s2 )αp (b − s1 )βp (n + 1)...2p

Tức là (3.3) đúng với mọi n.
Chúng ta tiếp tục đánh giá vế phải (3.3) bằng cách chọn si sao cho:
b−s
(s − sn ) = (si − si−1 ) = (b − s1 ) = n+1
, ∀i = 2, ..., n thì được:

Bài toán Cauchy và hàm chậm ...

15