Một số phương pháp tính giới hạn của dãy lặp

Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN
CỦA DÃY LẶP
Trịnh Văn Hoa
Trường THPT Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa

1

Phương pháp tìm số hạng tổng qt

1.1

Các bước thực hiện

- Xác định một vài số hạng đầu tiên
- Tìm ra quy luật chung để dự đốn số hạng tổng quát
- Chứng minh số hạng tổng quát đó là đúng (thường là dùng phương pháp quy
nạp tốn học)
- Tính giới hạn dựa vào số hạng tổng quát.

√
2
u√
=
1
. Tìm lim un
Ví dụ 1.1. Cho dãy số (un ) xác định bởi
n→+∞
un+1 = un + 2, n ≥ 1
√

√
π
π
Lời giải. Ta có: u1 = 2 = 2 cos 2 . u2 = 2 + u1 ⇔ u22 = 2 + u1 = 2 1 + cos
=
4
2
π
π
π
4cos2 ⇒ u2 = 2 cos 3 Dự đoán un = 2 cos n+1 Dễ dàng dùng phương pháp quy
8
2
2
π
nạp toán học chứng minh được un = 2 cos n+1 . Suy ra lim un = 2.
n→+∞
2
Nhận xét 1.1. Bài này cịn có thể giải theo cách khác được thể hiện trong ví dụ ở phần
sau.
Đơi khi việc dự đốn số hạng tổng qt khó khăn, ta có thể biến đổi biểu thức phức
tạp xn+1 = f ( xn ) thành biểu thức đơn giản hơn thơng qua phép đăt yn = g( xn ). Sau
đó tìm yn và quay lại tìm xn . Ta sẽ thực hiện điều này qua ví dụ sau:
Ví
 dụ 1.2 (Dựa vào đề thi HSG Hà Nội 2012 - 2013). Cho dãy số (un ) xác định bởi
u1 = 2

u2n
. Chứng minh rằng dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn,
, n ≥ 1, n ∈ N

 u n +1 =
2un − 1
1


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

tìm giới hạn đó.
1
2
1
1
1
2
u2n
=
−1 = −
−
⇒
− 2 ⇒
+1
Lời giải. Từ un+1 =
2
2un − 1
u n +1
un un
u n +1
un un
2
1

1
1
1
1
⇒
−1 = −
− 1 Đặt vn =
− 1 ⇒ v1 = − 1 = − và vn+1 = −v2n .
u n +1
un
un
2
2
n −1
−
1
−
2
−
4
−
8
Suy ra v1 = −2 , v2 = −2 , v3 = −2 , v4 = −2 Giả sử vn = −2−2 , n ≥ 4
(giả thiết quy nạp) ⇒ vn+1 = − 2−2

n −1

2

n

= −2−2 . Do đó vn = −2−2

n −1

, ∀n.

n −1

n −1

1
22
22
1
1
Mà vn =
= n −1
nên un = n−1
Ta
− 1 ⇒ un =
=
n −1
un
1 + vn
1 − 2−2
22 − 1
22 − 1
n −1
22

1
có lim un = lim
=
lim
= 1. Vậy dãy số đã cho có giới hạn
1
n→+∞
n→+∞ 22n−1 − 1
n→+∞
1 − n −1
22
là 1.
Nhận xét 1.2. Bài này cịn có thể giải theo cách khác được thể hiện trong Ví dụ ở phần
sau.

1.2

Bài tập tương tự

Bài 1.1. Cho dãy số (xn) xác định bởi:

π
x1 = 2 cos
9 .
xn+1 = 3xn − 1

Tìm lim xn .
n→+∞

Cách giải. Đặt vn = xn −

1
2

Bài 1.2. Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức:

u1 = 2
un = 5un−1 + 6; n ≥ 2 .

Tìm lim un .
n→+∞

3
Cách giải. Đặt vn = un + .
2

√
Bài 1.3 (IMO 2014). Cho hai dãy số dương ( xn ), (yn ) xác định bởi x1 = 1, y1 = 3 và
x n +1 y n +1 − x n = 0
xn2 +1 + yn = 2 với mọi n = 1, 2, . . . Chứng minh rằng hai dãy số trên hội tụ
và tìm giới hạn của chúng.
Cách giải. Số hạng tổng quát liên quan đến lượng giác.

2


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

2

Phương pháp sử dụng định lý Weierstrass

2.1

Kiến thức liên quan

- Dãy đơn điệu và bị chặn thì hội tụ (Định lý Veierstrass).
- Mọi dãy hội tụ đều có giới hạn duy nhất.
- Khi f liên tục trên I (I là khoảng đóng của R ), nếu limxn = L, thì L ∈ I, chuyển
qua giới hạn trong biểu thức xn+1 = f ( xn ) ta được L = f(L)
- Cho dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn L; nếu ∃ N0 ∈ N sao cho ∀n > N0 , ta có
a ≤ xn ≤ b ⇒ a ≤ L ≤ b. (Định lí chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức)
Các bước thực hiện
- Chứng minh dãy số có giới hạn bằng cách chứng minh dãy số đơn điệu và bị
chặn. Thường là dùng phương pháp quy nạp toán học hoặc phương pháp hàm số
để chứng minh. Nếu chứng minh được dãy đơn điệu tăng chỉ cần chứng minh nó bị
chặn trên. Nếu chứng minh được dãy đơn điệu giảm chỉ cần chứng minh nó bị chặn
dưới.
- Giải phương trình L = f(L) để tìm giới hạn L của dãy số đã cho.
Ví
 dụ 2.1 (Dựa vào đề thi HSG Hà Nội 2012 - 2013). Cho dãy số (un ) xác định bởi
u1 = 2

u2n
. Chứng minh rằng dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn,
, n ≥ 1, n ∈ N
 u n +1 =
2un − 1
tìm giới hạn đó.
4

4
Lời giải. Ta có u1 = 2, u2 =
= ⇒ u2 > 1. Giả sử uk > 1, k ≥ 2 (giả thiết quy
4−1
3
nạp)
Ta sẽ chứng minh uk+1 > 1 (*). Ta có (*) ⇔
2uk − 1 > 0 )

u2k
> 1 ⇔ u2k > 2uk − 1 (vì
2uk − 1

⇔ u2k − 2uk + 1 > 0 ⇔ (uk − 1)2 > 0 đúng (vì uk > 1 ). Vậy un > 1, ∀n ∈ N∗ suy
ra (un ) bị chặn dưới
u2n
−u2n + un
u n (1 − u n )
+) Xét hiệu un+1 − un =
− un =
=
< 0 (vì un > 1 )
2un − 1
2un − 1
2un − 1
⇒ (un ) giảm ⇒ 2 = u1 > u2 > u3 > · · · > . . . ⇒ (un ) bị chặn trên
Dãy số (un ) giảm và bị chặn nên có giới hạn, gọi giới hạn đó là L 1 ≤ L ). Từ
u2n
L2
u n +1 =

, chuyển qua giới hạn ta có L =
⇒ L = 1. Vậy dãy số đã cho
2un − 1
2L − 1
3


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

có giới hạn là 1.
Ví dụ 2.2. Cho dãy số (un ) xác định bởi

u n +1

√
u√
a
1 =
với a > 0. Hãy tìm
= un + a, n ≥ 1

lim un
Lời giải. Theo đề bài u1 =

√

a, u2 =

a+

√

a ⇒ u2 > u1

Giả sử uk+1 > uk , k ≥ 1 (giả thiết quy nạp). Ta sẽ chứng minh uk+2 > uk+1 (*)
√
√
Theo đề bài (*) ⇔ uk+1 + a > uk + a ⇔ uk+1 > uk đúng (theo giả thiết quy
nạp).
√
Vậy dãy số (un ) tăng và un > 0, ∀n. Vì (un ) tăng ⇒ un+1 > un ⇒ un + a >
un ⇔ un + a > u2n
√
√
1
−
1
+
4a
1 + 4a
1
+
⇔ u2n − un − a < 0 ⇔
< un <
. Mà un > 0, ∀n ⇒ 0 <
2
2
√
1 + 1 + 4a
un <

2
Do đó dãy số (un ) tăng và bị chặng trên ⇒ ∃ lim un . Đặt lim un = x ⇒ x ≥ 0 và
lim un+1 = x
√
√
√
Mà un+1 = un + a ⇒ lim un+1 = lim un + a ⇒ x = x + a
√
√
1
+
4a
1 + 4a
1
+
1
+
⇔ x2 = x + a ⇔ x =
(vì x ≥ 0 ). Vậy lim un =
2
2
Đôi khi chỉ sử dụng công cụ đại số để đánh giá, ước lượng các số hạng cũng như
chỉ các tính chất của dãy số xn+1=f(xn) gặp khó khăn, ta có thể khảo sát hàm f để
chứng minh dãy số đơn điệu và bị chặn.
Chú ý rằng:
- Nếu dãy { xn } bị chặn trên đoạn [ a; b] và f là hàm số tăng trên đoạn [ a; b] thì dãy
{xn } đơn điệu và bị chặn, nên hội tụ đến L là nghiệm của phương trình f ( x ) = x.
- Nếu f là hàm số nghịch biến thì các dãy con { x2n } và { x2n+1 } của dãy { xn }
ngược chiều biến thiên.
- Nếu dãy { x2n } hội tụ đến L; dãy { x2n+1 } hội tụ đến K:

Với L = K thì dãy {xn } khơng có giới hạn.
Với L = K thì dãy {xn } có giới hạn L.
Ví dụ 2.3. Cho dãy ( xn ) xác định bởi x0 =

√

2 và xn+1 =

√

0,1,2,. . . Chứng minh rằng ( xn ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
4

2

xn

với n =


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

Lời giải. Đặt f ( x ) =

√

x

thì dãy số có dạng x0 =
√

√
√
2
> 2 = x0 .
f(x) là hàm số tăng và x1 =
2
2

√

2 và xn+1 = f ( xn ). Ta thấy

Do f(x) là hàm số tăng nên x2 = f ( x1 ) > f ( x0 ) = x1 , x3 = f ( x2 ) > f ( x1 ) =
x2 , . . . suy ra ( xn ) tăng.
Ta chứng minh bằng quy nạp xn < 2 ∀n ∈ N.
√
Với n = 0, 2 = x0 < 2 đúng. Giả sử xn < 2 đúng với n = k ∈ N hay ta có xk < 2,
√ 2
√ xk
<
khi đó: xk+1 =
2
2 = 2⇒đpcm.
Dãy ( xn ) tăng và bị chặn trên bởi 2 nên có giới hạn hữu hạn. Đặt lim xn = a, ta có
a
√ xn
x n +1 =
2
nên a = 2 2 (a ≤ 2).
a

Giải phương trình a = 2 2 ta được a = 2 thỏa mãn điều kiện a ≤ 2. Vậy lim xn = 2.
2
1
Ví dụ 2.4. Cho dãy số: u1 = 1; un = (un−1 +
); n ≥ 2. Tìm giới hạn của dãy số.
2
u n −1
Lời giải. Ta có un > 0 với mọi n nguyên dương. Theo bất đẳng thức Cauchy được
√
√
2; +∞
un ≥ 2; ∀n ≥ 2. Vậy trừ u1 còn lại các số hạng của dãy thuộc đoạn
2
x2 − 2
1
≥ 0; ∀ x ∈ [2; +∞)
Xét hàm số: f ( x ) = ( x + ) ta có f ( x ) =
2
x
2x2
√
3
17
Nên f(x) tăng trên đoạn
2; +∞ ; mà u2 = ; u3 =
⇒ u3 < u2
2
12
Nên nếu loại bỏ u1 thì dãy {un }là dãy giảm, bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn L là
√

√
nghiệm của phương trình f ( x ) = x hay x = 2. Vậy lim un = 2
n→∞

Ví dụ 2.5. Cho dãy số: u1 = 1; un = 1 +

1
u n −1

; n ≥ 2. Tìm giới hạn của dãy số.

1
1
Lời giải. Ta có 1 ≤ un ≤ 2; ∀n ≥ 1. Xét hàm số f ( x ) = 1 + ; có f ( x ) = − <
x
x
0; ∀ x ∈ [1; 2]
Nên f ( x ) là hàm số nghịch biến trên đoạn [1; 2] nên dãy số được chia ra làm hai
dãy ngược chiều biến thiên {u2n };{u2n+1 } .
1
Ta có u4 − u2 = − âm nên {u2n } là dãy giảm.
3
5


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

1
dương nên {u2n+1 } là dãy tăng. Các dãy con đơn điệu và bị
2

√
1+ 5
chặn nên các dãy này hội tụ lim u2n = a; lim u2n+1 = b; a = b nên a =
.
n→∞
n→∞
2
Lại có u3 − u1 =

2.2

Bài tốn tương tự

Bài 2.1. Xét dãy số thực xác định bởi

x n +1

x1 = a ( a ∈ R)
= 2xn3 − 5xn2 + 4xn (∀n ≥ 1)

Tìm tất cả các giá trị a để dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn. Hãy tìm giới hạn của dãy
( xn ) trong các trường hợp đó.
Bài
2.2. Xét tính hội tụ của dãy sau tùy ý theo giá trị của a:

x
 1 = a = −1
3 2xn2 + 2 − 2
, n = 1, 2, 3, . . .
 x n +1 =

2xn + 2xn2 + 2
Cách giải. Xét dấu của f ( x ) − x trên từng khoảng (−∞; −7) , (1; +∞),

a1 = a

2an 3 − 2an 2 − 2
Bài 2.3 (THTT số 236). Cho (an) xác định bởi :
 a n +1 =
3an 2 − 4an − 1
Chứng minh rằng nếu | a| ≥ 2 thì dãy số (an) hội tụ. Tìm giới hạn của dãy trong
trường hợp đó.
Bài



2.4

 x n +1

(VMO 1998 bảng A). Cho
x1 = a
xn2
với n=1,2,. . .
= 1 + ln
1 + ln xn

a

≥

1.

Xét

dãy

số

( x n ):

Chứng minh rằng ( xn ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 2.5 (Olympic SV 2000). Cho a, b là hai số cho trước. Dãy số ( xn ):
x1 = b
.
2
xn+1 = xn + (1 − 2a) xn + a2
Với điều kiện gì của các hằng số a, b thì dãy ( xn ) giới hạn hữu hạn?
Bài 2.6 (VMO 2005). Cho dãy số xn xác định bởi x1 = a, xn+1 = 3xn3 - 7xn2 + 5xn.
(n ≥ 1) Tìm tất cả các giá trị a để dãy xn có giới hạn hữu hạn. Cách giải. Xét sự tương
giao của đồ thị HS y = f(x) = 3x3 - 7x2 + 5x với ĐT hàm số y=x.

6


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

3

Phương pháp sử dụng ánh xạ co

3.1

Kiến thức liên quan

- Cho I là một khoảng đóng. Hàm số f : I → I được gọi là một hàm số co trên I
nếu tồn tại số thực q, 0 < q < 1 sao cho | f ( x ) − f (y)| ≤ q. | x − y| ∀ x, y ∈ I.
- Cho I là một khoảng đóng bị chặn. Nếu f ( x ) là một hàm số co trên I thì dãy số
( xn ) xác định bởi x0 = a ∈ I, xn+1 = f ( xn ) hội tụ. Giới hạn của dãy số là nghiệm duy
nhất trên I của phương trình x = f ( x ). - Nếu f ( x ) có đạo hàm bậc nhất trên (x ; y),
liên tục trên [x ; y] thì tồn tại z ∈ ( x; y) sao cho f ( x ) − f (y) = f (z) . ( x − y) (Định
lí Lagrange ) - Nếu hàm số f : D = [ a; b] → D, có đạo hàm trên (a;b) và f’(x)0
3.2

Các bước thực hiện

- Xét hàm số f(x) xác định trên khoảng đóng I
- Chứng minh tồn tại số thực q, 0 < q < 1 sao cho | f ( x ) − f (y)| ≤ q. | x − y|
∀ x, y ∈ I (thường là sử dụng Định lí Lagrange ) để suy ra f ( x ) là một hàm số co trên
I
- Kết luận dãy xn+1 = f ( xn ) hội tụ.
- Giải phương trình L = f(L) để tìm nghiệm L và kết luận limxn = L
Ví dụ 3.1 (Dự bị VMO 2008). Cho số thực a và dãy ( xn ) xác định bởi: x1 = a, xn+1 =
ln (3 + cos xn + sin xn ) − 2008 ∀n = 0, 1, 2, . . .
Chứng minh rằng dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn.
cos x − sin x
Lời giải. Đặt f ( x ) = ln (3 + cos x + sin x ) − 2008, có f ( x ) =
≤
3 + cos x + sin x

√
2
√ = q < 1.
3− 2
Áp dụng định lí Lagrange cho f ( x ) có đạo hàm trên R, do f ( x ) liên tục trên R
nên tồn tại z ∈ ( x; y) ⊂ R sao cho f ( x ) − f (y) = f (z) . ( x − y)

⇒ | f ( x ) − f (y)| ≤ q | x − y|∀ x, y ∈ R⇒ f ( x ) là một hàm số co trên Rnên dãy
( xn ) hội tụ.

7


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

Ví dụ 3.2. Cho dãy số thực (xn) xác định bởi:

x n +1 =

Tìm lim xn

√

x1 = 2007
xn
3+
, ∀n ∈ N ∗ .
2
xn − 1

n→+∞

Lời giải. Ta có xn >
√
Xét f(x) = 3 +

√
( 3; +∞).

√

3, ∀n ∈ N ∗ .
x
, ta có: f ( x ) = −
x2 − 1

1

( x 2 − 1)3

⇒ | f ( x )| <

1
√ , ∀x ∈
2 2

√
Nếu (xn) có giới hạn thì giới hạn đó là nghiệm lớn hơn 3 của phương trình
√
√ 2

x
x2
f ( x ) = x. Ta có: f ( x ) = x ⇔ x =
3+
⇔ ( x − 3) = 2
x −1
x2 − 1
√
√
√
√ 2
√
3 + 15
x2 − √3x = −1
⇔ ( x2 − 3x ) − 2( x2 − 3x ) − 3 = 0 ⇔
⇔x=
.
2
2
x − 3x = 3
√
√
3 + 15
, theo định lý Lagrange, luôn tồn tại cn ∈ ( xn ; a) hoặc ( a; xn )
Đặt a =
2
thỏa mãn: | f ( xn ) − f ( a)| = | f (cn )| | xn − a| .
1
⇒ | xn+1 − a| = | f ( xn ) − f ( a)| = | f (cn )| | xn − a| < √ | xn − a| < · · · <
2 2

1 n
( √ ) | x1 − a |
2 2
√
√
1 n
3 + 15
Mà lim ( √ ) | x1 − a| = 0, do đó limxn = a =
.
2
2 2
√
Ví dụ 3.3 (VMO 2000). Cho dãy số {xn } xác định bởi x0 = 0, xn+1 = c − c + xn .
Tìm tất cả các giá trị của c để mọi giá trị x0 ∈ (0; c) để dãy số {xn } được xác định với
mọi n và tồn tại giới hạn hữu hạn lim xn .
x →∞

√
Lời giải. Để x1 tồn tại thì c − c − x0 ≥ 0 với mọi x0 ∈ (0; c) suy ra c(c − 1) ≥ 0, suy
√
√
√
√
ra c ≥ 2. Với c ≥ 2 thì 0 < x1 < c. Nếu 0 < xn < c thì c − c − xn > c − 2 c
√
suy ra xn+1 tồn tại và cũng có 0 < xn+1 < c. Vậy theo nguyên lý quy nạp 0 < xn <
√
c, ∀ n ≥ 0.
√
√

1√
Đặt f ( x ) = c − c + x ⇒ f ( x ) = −
x+c c− c+x
4
√
√
Với mọi x ∈ (0; c) thì (c + x )(c − c + x ) > c(c − c + c) ≥ 2(2 −
√
1
2 + 2) >
4
8


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

√
√
Từ đó | f ( x )| ≤ q < 1 với mọi x ∈ (0; c), tức là f ( x )là hàm co trên (0; c), do
vậy dãy số hội tụ. Vậy tất cả các giá trị của c cần tìm là c ≥ 2.
Nhận xét 3.1. Ta có phương pháp để giải dạng toán trên như sau:
x1 = a
Bài toán trên có dạng tổng quát: Cho dãy (xn):
xn+1 = f ( xn ), ∀n ∈ N ∗ . Chứng
minh rằng:
a) Nếu f ( x ) là hàm số có đạo hàm trên khoảng D chứa a và | f ( x )| < b < 1, ∀ x ∈ D
thì (xn) có giới hạn hữu hạn khi n tiến dần đến dương vô cùng.
b) Nếu f ( x ) là hàm số có đạo hàm trên khoảng D chứa a, f ( a) = 0 và | f ( x )| >
b > 1, ∀ x ∈ D thì |xn| tiến dần đến +∞ khi n tiến dần đến +∞.
Thật vậy:

a) Nếu phương trình f ( x ) = x giải được (tìm được nghiệm) thì ta giải quyết bài
tốn tổng qt tương tự các bài tốn trên và khi đó ta tìm được giới hạn của dãy số
khi +∞.
Nếu phương trình f ( x ) = x khó giải thì ta giải quyết bài toán tổng quát bằng cách
sử dụng tiêu chuẩn Cauchy.
b) Khi ∃ a0 ∈ D : a0 = a, f ( a0 ) = a0 luôn tồn tại cn ∈ ( xn ; a0 ) hoặc ( a0 ; xn ) thỏa
mãn:

| f ( xn ) − f ( a0 )| = | f (cn )| | xn − a0 |
⇒ | xn+1 | + | a| ≥ | xn+1 − a| = | f ( xn ) − f ( a0 )| > b | xn − a0 | > · · · > bn | a − a0 | ⇒
lim | xn | = +∞
Khi phương trình f(x) = x vơ nghiệm, ta có f ( x ) − x > 0, ∀ x ∈ D hoặc f ( x ) − x <
0, ∀ x ∈ D. Suy ra dãy ( xn ) tăng hoặc giảm. Nếu (xn) có giới hạn thì giới hạn đó là
nghiệm của phương trình f(x) = x, nhưng của phương trình f(x) = x vơ nghiệm, do đó
lim | xn | = +∞.
x →+∞

3.3

Bài toán tương tự

xn2 − 1
1
Bài 3.1. Cho dãy số ( xn ) : x1 = − , xn+1 =
, ∀n = 1, 2, . . . Tìm giới hạn của
2
2
dãy số ( xn ).
Bài 3.2. Cho dãy số { xn }: x1 = a > 1, xn+1
9

xn2
= 1 + ln(
). Tìm lim xn .
1 + ln xn


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

Bài 3.3. Cho dãy số {un }: u3n+1 = un +

15
. Tìm u1 để dãy số {un } có gới hạn hữu hạn.
64

Bài 3.4. Cho hai dãy: ( an ), (bn ) : a1 = 3, b1 = 2, an+1 = an + 2bn , bn+1 = an + bn . Tính
an
giới hạn lim .
bn
an
cn + 2
Cách giải. Đặt cn = , n ≥ 1 thì cn+1 =
; Chứng minh cn > 1 ∀n ≥ 1; Đánh
bn
cn + 1
√
giá |cn+1 − 2|
Bài 3.5. Tìm giới hạn (nếu có) của dãy

(un ) : u0 > 0, un+1 =

10

u2n + 3
, n ≥ 0.
2( u n + 1)