Ứng dụng biểu thức vectơ tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng trong hình chóp

Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

ỨNG DỤNG BIỂU THỨC VECTƠ TÌM GIAO ĐIỂM
CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG TRONG
HÌNH CHĨP
Lê Quang Vũ
Trường THPT Thọ Xn 5, Thanh Hóa

Tóm tắt nội dung
Trong chương trình hình học khơng gian, ta khá hay bắt gặp tình huống cần phải tìm
vị trí của giao điểm của một mặt phẳng với cạnh hình chóp. Cách tiếp cận bằng việc dựng
hình đơi khi khá khó khăn từ việc dựng giao điểm đến việc tính tốn tỉ lệ chia đoạn của
điểm đó. Trong nội dung bài viết nhỏ này, tơi xin trình bày một phương pháp tiếp cận
nhóm các bài tốn trên bằng vectơ. Nhờ phương pháp, nhiều bài tốn chúng ta sẽ khơng
cần làm việc với các yếu tố không gian nữa, mà chỉ cần thiết lập các biểu thức vectơ trên
mặt đáy của hình chóp.
Bài viết này nhằm trình bày ứng dụng biểu thức vectơ về tính đồng phẳng của bốn
điểm trong khơng gian để chuyển bài tốn tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng
trong hình chóp thành bài tốn phân tích vectơ trên mặt đáy

1

Phát biểu và chứng minh định lý

Định lý 1.1. Cho tam giác ABC và điểm S bất kỳ. Điều kiện cần và đủ để điểm D thuộc
−→
−→
−
→
−
→

mặt phẳng ( ABC ) là SD = x SA + ySB + zSC, trong đó x + y + z = 1.
Chứng minh.
−→
−→
Điều kiện cần: Vì hai vectơ AB và AC không cùng phương nên điểm D thuộc mặt
−→
−→
−→
phẳng ( ABC ) khi và chỉ khi AD = m AB + n AC
−→ −→
−
→ −→
−
→ −→
−→
−→
−
→
−
→
⇔ SD − SA = m SB − SA + n SC − SA ⇔ SD = (1 − m − n) SA + mSB + nSC.
−→
−→
−
→
−
→
Đặt x = 1 − m − n, y = m, z = n thì SD = x SA + ySB + zSC, trong đó x + y + z = 1.
Điều kiện đủ:
−→

−→
−
→
−
→
−→
−→
−
→
−
→
−→ −→
SD = x SA + ySB + zSC ⇔ SD = (1 − y − z) SA + ySB + zSC ⇔ SD − SA =
−
→ −→
−
→ −→
−→
−→
−→
y SB − SA + z SC − SA ⇔ AD = y AB + z AC
−→ −→
Mà hai vectơ AB và AC không cùng phương nên điểm D thuộc mặt phẳng ( ABC ).

1


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

2

Áp dụng

1. Bài toán mở đầu
Bài tập sách giáo khoa Hình học 11- Ban cơ bản có câu: Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng ( P) cắt các cạnhSA, SB, SC, SD theo thứ
tự tạiK, L, M, N.

Chứng minh.

SA
SC
SB SD
+
=
+
SK
SM
SL SN

Hướng dẫn giải.
Lời giải 1. Ta có VSKLM + VSKN M = VSKLN + VSMLN
S
V
V
V
⇒ SKLM + SKN M = SKLN + SMLN
S ABBC
VSADC
VSABD

VSCBD
SK SL SM
SK SM SM
SK SL SN
SM SL SN
⇒
. .
+
.
.
=
. .
+
. .
Nhân 2 vế với
SA SB SC
SA SD SC
SA SB SD
SC SB SD
SA SB SC SD
. .
.
thì được đpcm.
SK SL SM SN
Lời giải 2. Ta có
−→
−→
−
→ −→
−

→ −→ −→
−→ −
→ −
→
→
SD −→
SA −
AB = DC ⇔ SB − SA = SC − SD ⇔ SD = SA − SB + SC ⇔
.SN =
.SK −
SN
SK
→ SB −
→ SC −→
SA −
.
SK
−
.
SL
+
.
SM
−
→
−
→
−
→
SB

SC
SL
SM
.SL +
.SM ⇔ SN = SK
.
SD
SL
SM
SN
SA
SC
− SB
SA
SC
SB
SL + SM
Mà bốn điểm K, L, M, N đồng phẳng nên SK
=1⇔
+
=
+
SD
SK
SM
SL
SN
SD
(đpcm).
SN

3
3.1

Một số hướng phát triển
Thay đổi đáy của hình chóp

Ví dụ 3.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB//CD và
AB = x.CD. Một mặt phẳng ( P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD theo thứ tự tạiK, L, M, N.
SA
SC
SB
SD
Chứng minh:
+x
=
+x
SK
SM
SL
SN

2


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

Hướng dẫn giải.

−

→ −→
−
→ −→
−
→
−→
−→
−→ −
→ −→
Ta có AB = x DC ⇔ SB − SA = x SC − SD ⇔ SB = SA + x SC − x SD
→ SA −
→
SB −
SC −→
SD −→
⇔
.SL =
.SK + x.
.SM − x.
.SN
SL
SK
SM
SN
→
SC −→
SD −→
SA −
.SK + x.
.SM − x.

.SN
−
→
SM
SN
⇔ SL = SK
SB
SL
Mà bốn điểm K, L, M, N đồng phẳng nên
SC
SD
SA
SK + x. SM − x. SN
=1
SB
SL

SC
SB
SD
SA
+ x.
=
+ x.
⇔
SK
SM
SL
SN
Ví dụ 3.2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác có hai đường chéo AC và BD

cắt nhau tại điểm I sao cho I A = x.IC, IB = yID. Một mặt phẳng ( P) cắt các cạnh SA,
SB, SC, SD theo thứ tự tạiK, L, M, N.
SB
SD
SA
SC
Chứng minh. ( x + 1)
+y
= ( y + 1)
+x
SL
SN
SK
SM
Hướng dẫn giải.
Ta có
I A = x.IC
IB = yID
−
→
−
→
I A = − x. IC
⇔
−
→
−
→
IB = −y ID
 −→ −

−
→ −
→
→
 BA − BI
= − x. BC − BI
⇔
−
→
−→ −
→

BI = y BD − BI

→
−
→
x −
1 −→

 BI =
BA +
BC
x+1
x+1
⇔
−→ y + 1 −
→



BD =
BI
y
−→
−
→
−→ −
→
−→ −
→
−
→
−
→
−→
y+1
y+1
⇒ BD =
BA + x BC ⇒ SD − SB =
SA − SB + x SC − x SB
y ( x + 1)
y ( x + 1)
−→
→ x ( y + 1) −
→
y + 1 −→ 1 −
⇒ SD =
SA − SB +
SC
y ( x + 1)

y
y ( x + 1)

3


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

⇒

→ 1 SB −
→ x (y + 1) SC −→
y + 1 SA −
SD −→
.SN =
.
SK − . SL +
.
SM
SN
y ( x + 1) SK
y SL
y ( x + 1) SM

Mà bốn điểm K, L, M, N đồng phẳng nên ta có
SD
y+1
SA
SC
1 SB

.
+
=
+x
y SL
SN
y ( x + 1) SK
SM
SA
SC
+x
( y + 1)
SK
SM

⇔

( x + 1)

SD
SB
+y
SL
SN

=

Ví dụ 3.3. Cho tứ diện ABCD. Điểm G nằm trong mặt phẳng ( BCD )thỏa mãn
−→
−→

−→ −
→
x GB + y GC + z GD = 0 . Điểm I nằm trên đoạn AG thỏa mãn AG = k.AI. Mặt phẳng
(α) đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AG và cắt các cạnh AB, AC, AD tại các điểm
AC
AD
AB
+ y.
+ z.
= k ( x + y + z ).
B , C , D (khác A). Chứng minh rằng x.
AB
AC
AD
Hướng dẫn giải.
Gọi B , C , D lần lượt giao điểm của mp (α) với các cạnh AB, AC, AD.
−→
−→
−→ −
→
Ta có x GB + y GC + z GD = 0
−→ −→
−→ −→
−→ −→
−
→
⇔ x AB − AG + y AC − AG + z AD − AG = 0
−→
−→
−→

−→ x AB + y AC + z AD
⇔ AG =
x+y+z
−→
−→
−→
−
→ 1 −→ 1 x AB + y AC + z AD
Mà AI = AG =
k
k
x+y+z


AB −→
AC −−→
AD −−→
. AB + y.
. AC + z.
. AD
1  x.

AC
AD
=  AB
.
k
x+y+z
Mà I, B , C , D đồng phẳng nên



AB
AC
AD
x.
+
y.
+
z.
1  AB
AC
AD 

=1
k
x+y+z
AB
AC
AD
+ y.
+ z.
= k ( x + y + z)
AB
AC
AD
Từ ví dụ trên ta có một số kết quả sau đây:

⇔ x.

Tính chất 3.1. Nếu G là trọng tâm tam giác BCD thì

4

AB
AC
AD
+
+
= 3.k.
AB
AC
AD


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019
Tính chất 3.2. Nếu G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD thì b.
d.

AD
= k (b + c + d) với b = CD, c = BD, d = BC.
AD

AB
AC
+ c.
+
AB
AC

AB

Tính chất 3.3. Nếu tam giác BCD nhọn vàG là trực tâm tam giác BCD thì
. tan B +
AB
AC
AD
. tan C +
. tan D = k (tan B + tan C + tan D ).
AC
AD
AB
Tính chất 3.4. Nếu G là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD thì
. sin 2B +
AB
AC
AD
. sin 2C +
. sin 2D = k (sin 2B + sin 2C + sin 2D ).
AC
AD
AB
.S∆MCD +
Tính chất 3.5. Nếu G là điểm bất kỳ nằm trong tam giác BCD thì
AB
AC
AD
.S∆MBD +
.S∆MBC = k.S∆BCD .
AC
AD
Ví dụ 3.4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Qlần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA

MA
NB
PC
QD
sao cho
= x,
= y,
= z,
= t. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q
MB
NC
PD
QA
đồng phẳng⇔ x.y.z.t = 1.
Hướng dẫn giải.
−→
−→ −→
−→ −→
−→
Ta có NB = −y NC ⇔ AB − AN = −y AC − AN
−→ −1 −→ 1 + y −→
AB +
AN
⇔ AC =
y
y
−
→
−→ −→
−→ −→

−→
PC = −z PD ⇔ AC − AP = −z AD − AP
−→
−→
−→
⇔ AC = −z AD + (1 + z) AP
Suy ra
−→
−→
−1 −→ 1 + y −→
AB +
AN = −z AD + (1 + z) AP
y
y
−→
−→
−1 x + 1 −−→ 1 + y −→
⇔
AM +
AN = −z (1 + t) AQ + (1 + z) AP
y
x
y
−−→
−→
−→
−→
⇔ − ( x + 1) AM + x (y + 1) AN = − xyz (1 + t) AQ + xy (1 + z) AP
−→
−→

−−→
−→
⇔ xyz (1 + t) AQ = ( x + 1) AM − x (y + 1) AN + xy (1 + z) AP
( x + 1) − x (y + 1) + xy (1 + z)
Mà M, N, P, Q đồng phẳng ⇔
= 1 ⇔ xyzt = 1.
xyz (1 + t)

3.2 Áp dụng vào các bài toán chia thể tích khối chóp, các bài tốn
cực trị hình học
Kết hợp các kết quả trên với các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất như sử
dụng các bất đẳng thức cổ điển, sử dụng bảng biến thiên của hàm số, bạn đọc có thể tự
giải các bài tập sau :

5


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019
Bài 3.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm A , C thỏa
−→ 1 −→ −→ 1 −
→
mãn SA = SA, SC = SC. Mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng A C cắt các cạnh SB, SD
3
5
V
lần lượt tại B , D và đặt k = S.A B C D . Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của k.
VS.ABCD
Bài 3.2. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng (α) đi qua trung
điểm I của đoạn thẳng AG và cắt các cạnh AB, AC, AD tại các điểm B , C , D (khác A).
Gọi h A , h B , hC , h D lần lượt là khoảng cách từ các điểm A, B, C, D đến mặt phẳng (α).

h2 + h2C + h2D
≥ h2A .
Chứng minh rằng: B
3
Bài 3.3. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC.
Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N. Gọi V1 , V thứ tự là thể tích
của khối chóp SAMKN và khối chóp SABCD. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
V1
tỷ số
.
V
Bài 3.4. Cho tứ diện S.ABC có SA = SB = SC = 1, mặt phẳng ( P) đi qua trọng tâm M
của tứ diện, cắt cạnh SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F (khácS ).Tìm giá trị lớn nhất của biểu
1
1
1
+
+
.
thức :
SD.SE SE.SF SF.SD
Bài 3.5. Cho hình chóp S.ABC có SA = 1, SB = 2, SC = 3. Gọi G là trọng tâm tam giác
ABC. Mặt phẳng (α) đi qua trung điểm I của SG cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại
1
1
1
M, N, P. Tính giá trị nhỏ nhất Tmin của biểu thức T =
+
+ 2.
2

2
SM
SN
SP

Tài liệu
[1] Tài liệu chun tốn hình học 11- NXB Giáo dục Việt Nam.
[2] Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi hình học khơng gian- Tốn học Bắc Trung
Nam.

6