Sử dụng nguyên lí kẹp cho bài toán tính giới hạn dãy số

Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

SỬ DỤNG NGUYÊN LÍ KẸP CHO BÀI TỐN
TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ
Bùi Văn Bình
Trường THPT Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa

Tóm tắt nội dung
Báo cáo trình bày về kĩ thuật sử dụng ngun lí kẹp giải một số bài toán về giới hạn
của dãy số.

1

Định lí kẹp

Định lý 1.1. Nếu 3 dãy ( an ), (bn ), (cn ) thỏa mãn an ≤ bn ≤ cn và lim an = lim cn = b hữu
hạn thì (bn ) cũng hội tụ, hơn nữa lim bn = b.

2

Áp dụng định lí kẹp
Tiếp theo, ta xét một số b tốn áp dụng định lí kẹp từ các kỳ thi Olympic tốn..

Bài tốn 2.1. Xét phương trình x n = x + 1, với n ≥ 2.
a. Chứng minh trên khoảng (1, +∞), phương trình có duy nhất nghiệm xn .
b. Tìm lim xn .
Lời giải.
a. Xét f ( x ) = x n − x − 1 thì f ( x ) ≥ 0, ∀ x ≥ 1. Suy ra f ( x ) đồng biến trên [1, +∞).
Mà f (1) < 0, lim f ( x ) = +∞ nên f ( x ) có nghiệm duy nhất xn ∈ (0, +∞).
x →+∞
n

1
1 2
1
) > (1 + ) ≥ 1 + (1 + ), ∀n ≥ 4.
n
2
n
1
1
Từ đó xn ≤ 1 + , ∀n ≥ 4. ⇒ 1 < xn ≤ 1 + .
n
n
Như vậy lim xn = 1.
Bài tốn sau cũng có câu hỏi tương tự và xuất hiện trong đề thi VMO 2002.
b. Lại có (1 +

Bài tốn 2.2. Xét phương trình

1
1
1
1
+
+ ... + 2
= ở đó n là tham số
x−1
4x − 1
n x−1
2

nguyên dương.
a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, trên khoảng (1; +∞) phương trình
có duy nhất nghiệm, kí hiệu nghiệm đó là xn .

1


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019
b) Chứng minh rằng lim xn = 4.
1
1
1
+
+ ... + 2
thì
x − 1 4x − 1
n x−1
+) f n ( x ) < 0 khi x ∈ (1; +∞), tức là f n ( x ) nghịch biến trên (1; +∞),
+) lim f n ( x ) = +∞, lim f n ( x ) = 0.

Lời giải. Đặt f n ( x ) =

x →+∞

x → 1+

Từ đó suy ra, trên khoảng (1; +∞) phương trình f n ( x ) =
được chứng minh.
Để chứng minh để ý rằng f n (4) =

1
có duy nhất nghiệmxn . a)
2

1
1
1
(1 −
) < , ∀n ≥ 1. Do đó
2
2n + 1
2
xn < 4, ∀n.

Lại có

f n ((2 −

1 2
) )
n

>

(1)

1
1
+

+ ... +
(1 − 1/n)(3 − 1/n)
(3 − 1/n)(5 − 1/n)

1
=
(2n − 1 − 1/n)(2n + 1 − 1/n)
1
1
1
1
−
) > , ∀n ≥ 2
= (
2 1 − 1/n 2n + 1 − 1/n
2
Vì vậy
1 2
xn > (2 − ) , ∀n ≥ 2.
n

(2)

Kết hợp (1) và (2) ta suy ra lim xn = 4.
Bài toán 2.3 (VMO 2015). Cho dãy số (un ) xác định bởi u1 = 3, un+1 =
n2
u2n + 3, ∀n ≥ 1.
4n2 + a
Chứng minh với mọi a ∈ [0; 1] dãy số có giới hạn hữu hạn.

1
un +
2

Lời giải. Bài tốn này khó ở chỗ là trong cơng thức truy hồi của dãy có 2 tham số n và
a nên việc tìm ra công thức tổng quát là không hề dễ dàng. Việc kiểm tra dãy tăng hay
giảm phức tạp hơn rất nhiều so với các bài trước. Tuy nhiên từ cách cho tập xác định của
a của đề bài lại gợi ý cho chúng ta cách tiếp cận giải quyết. Đó là ta xét 2 trường hợp đặc
biệt khi a = 0, a = 1. Ta sẽ chứng minh dãy hội tụ trong cả 2 trường hợp này, và dùng
nguyên lí kẹp ta thu được điều phải chứng minh.
Xét 2 dãy số ( an ), (bn ) xác định như sau:
1
1
a1 = 3, an+1 = an +
a2n + 3, ∀n ≥ 1, (ứng với a=0).
2
4
1
n2
b1 = 3, bn+1 = bn + 2
bn2 + 3, ∀n ≥ 1, (ứng với a=1).
2
4n + 1
Dễ có an ≥ un ≥ bn , ∀n ≥ 1.
Nhận xét 2.1. Bằng quy nạp ta chứng minh được dãy ( an ) giảm, bị chặn dưới nên có giới
hạn, và tính được lim an = 1.
2
Nhận xét 2.2. Cũng bằng quy nạp ta chứng minh được bn ≥ 1 − , ∀n ≥ 2.
n
2

Và từ an ≥ bn , lim an = lim(1 − ) = 1, suy ra lim bn = 1.
n

2


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019
3 n
Ta có thể làm cách khác là đánh giá |bn+1 − 1| ≤ ( ) |b1 − 1| để thu được lim bn = 1.
4
* Kết luận lim un = 1.
Nhận xét 2.3. Bài tốn kiểu này cịn tiếp tục xuất hiện trong VMO 2017 và gây ra rất
nhiều khó khăn cho các thí sinh. Chúng ta bắt buộc chặn trên ( hoặc chặn dưới), rồi đánh
giá hoặc kẹp dãy đã cho qua một dãy khác phụ thuộc tham số n tương tự như cách làm
với dãy ( an ) ở trên. Bạn đọc hãy thử sức với một số bài tập ở phần dưới.
Bài toán 2.4 (VMO 2017). Cho a là số thực và xét dãy số (un ) xác định bởi
1
2n + 3
1
u1 = a, un+1 = +
un + , ∀n ≥ 1,
2
n+1
4
a) Khi a = 5, chứng minh dãy (un ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Tìm tất cả giá trị a để dãy (un ) xác định và có giới hạn hữu hạn.
Bài tốn 2.5 (Chọn đội tuyển Hưng Yên). Cho dãy số ( xn ) xác định bởi x1 = a > 0, xn+1 =
x2
xn + n2 , ∀n ≥ 1,
n

Tìm tất cả giá trị thực a sao cho dãy có giới hạn hữu hạn.
1
1
√ ).
(gợi ý : chứng minh
≤
2
xn + n
n ( n + 1) a
Bài toán 2.6 (VMO-2009). Cho dãy số thực ( xn ) xác định bởi
n+2
x1 = 3, xn =
( xn+1 + 2), ∀ n ≥ 2.
3n
Chứng minh rằng dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn khi n → ∞ và tính giới hạn đó.

3