Một số phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng

Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH GĨC
GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Lê Thanh Bình
Trường THPT Tĩnh Gia 1, Thanh Hóa

Tóm tắt nội dung
Nội dung của bài viết này là nhằm trình bày một số phương pháp tính góc giữa hai
mặt phẳng cắt nhau

1

Phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng

Định nghĩa 1.1. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vng góc
với hai mặt phẳng đó.
Chú ý: Trong bài viết này có sử dụng ký hiệu góc giữa hai mặt phẳng ( P) và ( Q) là

(( P); ( Q)).
Xét phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau ( P) và ( Q).

1.1

Sử dụng định nghĩa

Tìm (dựng) hai đường thẳng a và b sao cho a⊥ ( P) và b⊥ ( Q). Khi đó (( P); ( Q)) =

( a; b).
Nhận xét 1.1. Với cách làm này, ta cần phải tìm đường thẳng a vng góc với
mặt phẳng ( P). Do đó phải tìm được mặt phẳng (α)vng góc với ( P). Khi

đó alà đường thẳng nằm trong (α) và vng góc với giao tuyến của (α) và ( P).

1


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019
Ví dụ 1.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a,
SA⊥( ABCD ). Mặt √
phẳng ( P) đi qua A và vng góc với SC cắt hình chóp theo thiết
2
a 3
diện có diện tích
. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC ) và (SCD ).
6
Lời giải. Gọi B’, C’, D’ lần lượt là hình chiếu của A trên các cạnh SB, SC, SD.

Khi đó chứng minh được AB ⊥ (SBC ) và AD ⊥ (SCD ).
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SBC ) và (SCD ) là góc giữa hai đường thẳng AB và
AD .
Từ đó ta cũng có AB ⊥SC, AC ⊥SC, AD ⊥SC.
Do đó A, B’, C’, D’ cùng thuộc (P). Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác AB’C’D’.
Đặt SA = h. Khi đó ta có
SB
SA2
h2
SD
SB .SB
=
=
=

=
2
2
2
2
SB
SB
SB
a +h
SD
Suy ra B D //BD ⇒ B D ⊥ (SAC )⇒ B D ⊥ AC .
√
SB
h2
h2
h2 .a 2
BD
=
= 2
⇒BD = 2
.BD = 2
.
Cũng từ đó suy ra
2
BD
SB
a + h2
a + h2
√ a +h
1

SA.AC
h.a 2
. Do đó diện tích thiết diện là: Std = B D .AC =
Ta có AC =
= √
2
2
SC
2
2a + h
3
2
h a
√
.
2
2
( a + h ) 2a2 + h2
√
√
a2 3
h3 a2
a2 3
√
Vì diện tích thiết diện bằng
nên
=
2 + h2 ) 2a2 + h2
6
6

a
(
√
2
1
3
a 2
a 2
⇔
=
⇔
+1
2
+ 1 = 12
6
h
h
a 2
a 2
2
+1
+1
h
h
a 2
Đặt t =
ta được (t + 1)2 (2t + 1) = 12 ⇔ 2t3 + 5t2 + 4t − 11 = 0 ⇔ t = 1. Do
h
đó h = a.
√

a 2
. Suy ra ( AB , AD ) = 600 .
Khi đó tam giác AB D đều cạnh bằng
2
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC ) và (SCD ) bằng 600 .

1.2

Sử dụng mặt phẳng vuông góc với giao tuyến

Xác định giao tuyến của ( P) và ( Q). Giả sử đường thẳng ∆ = ( P) ∩ ( Q).
- Tìm mặt phẳng ( R) thích hợp sao cho ( R) ⊥∆.

2


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019
- Xác định a = ( P) ∩ ( R) và b = ( Q) ∩ ( R).
- Khi đó (( P); ( Q)) = ( a; b).

Nhận xét 1.2. Vì ( R) ⊥∆ nên ∀d ⊂ ( R), ta có d⊥∆. Do đó, để dựng mặt phẳng ( R)
vng góc với ∆, ta thường phải tìm một đường thẳng d⊥∆ thích hợp. Tìm giao điểm
H = d ∩ ( P) , M = d ∩ ( Q) Từ M kẻ đường thẳng MO⊥∆ tại O (hoặc từ H kẻ OH ⊥∆ tại
O). Khi đó mặt phẳng ( R) là mặt phẳng ( MOH ).
Nếu d⊥ ( P)hoặc d⊥ ( Q) thì càng thuận lợi hơn, ta có ngay góc giữa ( P) và ( Q) là góc
MOH.
Ví dụ 1.2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA⊥ ( ABC ), góc
giữa SB và đáy bằng 450 . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC ) và (SBC ).
Lời giải. Ta có (SAC ) ∩ (SBC ) = SC.

Gọi H là trung điểm của AC, suy ra BH ⊥ (SAC ).
Do đó BH ⊥SC. Kẻ HK ⊥SC tại K. Suy ra ( BHK ) ⊥SC.
Do đó góc giữa (SAC ) và (SBC ) là góc giữa HK và BK, đó là góc BKH. Ta có góc giữa
SB và đáy là góc SBA = 450 .
√
√
a
a 3
.
Suy ra SA = a, SC = a 2, HC = , HB =
2
2
√
HK
HC
HC.SA
a 2
Vì ∆HKC ∼ ∆SAC nên
=
⇒ HK =
=
.
SA
SC
SC
4
√
HB
= 6. Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAC ) và (SBC )bằng
Suy ra tan BKH =

HK
√
arctan 6.

3


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

1.3 Sử dụng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, điểm đến
mặt phẳng
Về mặt tính tốn thì với cách này ta đưa về tính góc trong một tam giác, đặc biệt là
tam giác vng, do đó chỉ cần tìm độ dài hai cạnh góc vng, hoặc độ dài một cạnh góc
vng và cạnh huyền là xong. Như vậy ta đã “sử dụng khoảng cách để tính góc giữa hai
mặt phẳng”. Cụ thể ta có cơng thức tính góc giữa hai mặt phẳng như sau:
Gọi ∆ = ( P) ∩ ( Q) và A ∈ ( Q) , A ∈
/ ∆.

Ta có sin ϕ =

AH
d ( A, ( P))
.
=
AK
d ( A, ∆)

Ví dụ 1.3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
√
a

B. AB = SD = a, AD = SB = a 3, BC = √ (với a > 0), SB⊥ AC. Gọi ϕ là góc giữa
3
hai mặt phẳng (SAB) và (SAD ). Tính sin ϕ.
Lời giải. Gọi O = AC ∩ BD. Ta có tan ABO =
AC ⊥ BDVì SB⊥ AC nên AC ⊥ (SBD ).

√
AD
AB
= 3 =
= cot BAO ⇒
AB
BC

Do đó (SBD ) ⊥ ( ABCD ).
Trong mp(SBD ) kẻ SH ⊥ BD tại H. Khi đó SH ⊥ ( ABCD ) nên SH là đường cao của
hình chóp S.ABCD.
√
Vì AB = SD = a, AD = SB = a 3 nên hai tam giác ABD và SDB là hai tam giác
vng bằng nhau.
√
AD
Ta có tan ABD =
= 3 ⇒ ABD = 600 .
AB
Gọi M là trung điểm của BD, khi đó các tam giác ABM và SDM là các tam giác đều
cạnh a.

4

Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019
√
3
Suy ra O, H lần lượt là trung điểm của MB và MD. Hơn nữa SH = AO =
a.
2
Kẻ H I ⊥ AB tại I, kẻ HK ⊥SI tại K. Suy ra √
HK ⊥ (SAB).
√
IH
3 39
BH
3
3
3 3
SH.I H
Ta có
=
=
= ⇒ I H = AD =
a. Suy ra HK = √
a.
AD
BD
4
4
4
26
SH 2 + I H 2

√
4
2 39
BD
.d ( H, (SAB)) = HK =
a.
Do đó d ( D, (SAB)) =
BH
3
13
√
√
10
Lại có SA = SH 2 + H I 2 + I A2 =
a.
2 √
√
2
2
2
3 30
130
SA + AD − SD
=
⇒ sin SAD =
Ta có cos SAD =
2.SA.AD
20
√ 20
390

Kẻ DJ ⊥SA tại J. Ta có d ( D, SA) = DJ = AD. sin SAD =
a.
20
d ( D, (SAB))
Vậy góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD ) thỏa mãn: sin ϕ =
=
d ( D, SA)
√
2 39
√
a
4 10
13
√
=
.
13
390
a
20

1.4

Sử dụng diện tích hình chiếu

Cho hai mặt phẳng ( P) và ( Q), trên ( P) cho một đa giác ( H ) có diện tích S. Hình
chiếu vng góc của ( H ) trên ( Q) là đa giác ( H ) có diện tích S . Khi đó góc ϕ giữa ( P)
S
và ( Q) thỏa mãn cos ϕ = .
S

Ví dụ 1.4. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có AB = CB = 2, AC = 1. Mặt phẳng
(P) cắt các đường thẳng AA , BB , CC lần lượt tại M, N, P sao cho tam giác MNP đều.
Tính cosin góc tạo bởi (P) và (ABC).
Lời giải. Từ C dựng CE song song với PM, E thuộc AA’, CF song song với PN, F thuộc
BB’. Ta có (CEF) // (PMN) nên EF // MN và tam giác CEF là một tam giác đều. Đặt AE
= x, BF= y, CE = CF = EF = a.

x 2 + 1 = a2 (1)

y2 + 4 = a2 (2)
Ta có hệ

( x − y )2 + 4 = a2 (3)

5


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

Từ (1) và (2) suy ra :x2 + y2 = 2a2 − 5. Kết hợp (3) suy ra xy =
Từ (1) và (2) suy ra: x2 y2 = ( a2 − 1)( a2 − 4).
2
a2 − 1
) = ( a2 − 1)( a2 − 4)
Do đó (
2
a2 = 1 (lo1i)
Giải được :
. Suy ra

a2 = 5
√
15
p( p − a)( p − b)( p − c) =
4

S∆CEF

=

a2 − 1
2

√
5 3
.
4

S∆ABC

=

√
√
S∆ABC
15/4
5
Gọi ϕ là góc cần tìm. Theo định lí hình chiếu ta có cos ϕ =
=
= √

.
S∆CEF
5
5 3/4
√
5
Vậy góc của (P) và (ABC) là arccos(
)
5
Nhận xét 1.3. Ta cũng có thể làm như sau.
Kẻ NE//BA, NF//BC như hình vẽ. Ta có ( NEF ) // ( ABC ) và ∆NEF = ∆BAC.

Ta có N M = NP = MP và NE = NF nên EM = FP.
Suy ra MP//EF hoặc MP và EF cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường.
Trường hợp 1. MP//EF ⇒ MP = 1 < 2 = NE < N M (không thỏa mãn)
Trường hợp 2. MP và EF cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường.
Khi đó N I ⊥ EF, N I ⊥ MP. Suy ra góc giữa hai mặt phẳng ( MNP) và ( NEF ) là góc
MIE.
√
√
√
15
IN
5
2
2
. Do tam giác MNP đều nên I M = √ =
. Lại
Ta có N I = NE − EI =
2

2
3
1
1
có IE = EF = .
2
2
IE
1
Vậy góc giữa ( MNP) và ( ABC ) là ϕ thỏa mãn cos ϕ =
=√ .
IM
5

6


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

1.5

Phương pháp vector, phương pháp toạ độ

→, −
→
Gọi −
n
P n Q lần lượt là các vector pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) và ( Q ). Khi đó
−
→, −

→
n
P n Q cũng là vector chỉ phương của các đường thẳng a, b với a ⊥ ( P ) , b ⊥ ( Q ). Góc
→
→
ϕ giữa ( P) và ( Q) cũng là góc giữa a và b nên ta có cos ϕ = cos ( a, b) = cos −
ua , −
ub =
−
→
−
→
→, −
→ = n P .n Q .
cos −
n
P nQ
−
→ . −
n→
n
P
Q
Ví dụ 1.5. Cho hình chóp có đáy là hình vng cạnh. Tam giác vng tại và nằm trong
mặt phẳng vng góc với đáy, đường thẳng tạo với mặt phẳng một góc. Tính góc giữa và.
Lời giải. Từ S dựng SH ⊥ BC tại H, suy ra SH ⊥ ( ABCD ).

−→
Chọn hệ trục tọa độ Hxyz, sao cho B thuộc tia Hx, tia cùng hướng với CD, S thuộc
tia Hz.

DC ⊥ BC
Ta có
⇒ DC ⊥ (SBC )
DC ⊥SH
⇒ (SD, (SBC )) = DSC = 600 và DC ⊥SC.√
SB.SC
CD
a 6
= a ⇒ SH =
⇒ SC =
=
0
3
tan 60
√ BC
√
2a
3
.
⇒ BH = SB2 − SH 2 =
3
Khi đó ta có
√
a 2
2a
a √
H (0; 0; 0) , S 0; 0; √
, B √ ; 0; 0 , D − √ ; a 3; 0 .
3
3

3
√
√
√
−
→ −→
−
→
Ta có SB, SD = a2 2; a2 2; 2a2 ⇒ n1 = 1; 1; 2 là một vectơ pháp tuyến của
(SBD ).
−→ −→
→
HB, HD = 0; 0; 2a2 ⇒ −
n2 = (0; 0; 1) là một vectơ pháp tuyến của ( ABCD ).
√
−
→
→
n1 .−
n2
2
−
→
−
→
⇒ cos ((SBD ), ( ABCD )) = cos n1 , n2 = −
=
. Vậy góc giữa hai mặt
→
→

2
n . −
n
1

2

phẳng (SBD ) và ( ABCD ) bằng 450 .

2

Một số bài tập áp dụng

Bài 2.1. Cho hình lăng trụ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Hình chiếu vng góc
của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của cạnh. Biết góc giữa đường thẳng BC và mặt

7


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019
bên ( ABB A ) bằng. Tính góc giữa hai mặt phẳng ( BCC B ) và ( ABC ).
Bài 2.2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A,AB = AC = a, BAC =
120o , SA = SB = SC = 2a. Xác định góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC ) .
Bài 2.3. Cho lăng trụ đứng tứ giác ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
ABC = 600 . Một mặt phẳng (α) cắt các đường thẳng AA , BB , CC , DD lần lượt tại
M, N, P, Q sao cho MNPQ là hình vng. Tính góc giữa mặt phẳng (α) và mặt phẳng
( ABCD ).

8