Vận dụng điều kiện đồng phẳng của ba vectơ

Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

VẬN DỤNG ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG
CỦA BA VECTƠ
Đỗ Đường Hiếu
Trường THPT Tống Duy Tân

Tóm tắt nội dung
Sử dụng kiến thức hình học trong chương trình Hình học 11 - THPT liên quan đến
điều kiện đồng phẳng của ba vectơ, cho phép khảo sat được một số dạng toán liên quan
ưu việt hơn các phương pháp đã biết.

1

Mở đầu

Trong chương trình Hình học 11 - THPT, học sinh được cung cấp kiến thức liên quan
đến điều kiện đồng phẳng của ba vectơ, bao gồm những nội dung sau

−
→
→
→
Tính chất 1.1. Trong khơng gian cho hai vectơ −
a , b không cùng phương và vectơ −
c.
−
→
−
→
−

→
Khi đó ba vectơ ba vectơ a , b , c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho
−
→
−
→
→
c = m−
a + n b . Ngoài ra cặp số m, n là duy nhất.
−
→ →
−
→
→
Tính chất 1.2. Nếu −
a, b,−
c là ba vectơ không đồng phẳng thì với mỗi vectơ d , ta tìm
−
→
−
→
→
→
được các số m, n, p sao cho d = m−
a + n b + p−
c . Hơn nữa, các số m, n, p là duy nhất.
Từ hai tính chất trên, dễ dàng chứng minh được tính chất sau
Tính chất 1.3. Trong khơng gian cho tam giác ABC.
a) Nếu điểm M thuộc mặt phẳng ( ABC ) thì có ba số x,y,z mà x + y + z = 1 sao cho
−−→

−→
−→
−→
OM = xOA + yOB + zOC với mọi điểm O.
−−→
−→
−→
−→
b) Ngược lại, nếu có một điểm O trong khơng gian sao choOM = xOA + yOB + zOC,
trong đó x + y + z = 1 thì điểm M thuộc mặt phẳng ( ABC ).
Sử dụng các tính chất trên, ta giải quyết được một số dạng toán liên quan mà nếu sử
dụng phương pháp khác sẽ khó khăn hơn. Trong khn khổ bài viết, tơi đưa ra một số
dạng tốn sau đây.

2

Xác định vị trí của một điểm

Ví dụ 2.1. Cho hình hộp ABCD.A B C D . Gọi M là một điểm trên cạnh ADsao cho
1
AM = AD. Xác định điểm N trên đường thẳng BD, điểm P trên đường thẳng CC sao
4

1


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019
cho ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Lời giải.

−−→
→
−
→ →
−→
−→ −
→
→
→
Đặt AB = −
a , AD = b và AA = −
c . Khi đó ba vectơ −
a, b,−
c là ba vectơ khơng
đồng phẳng.
→
−−→ 1 −→ 1 −
1
Từ M là một điểm trên cạnh ADsao cho AM = AD, ta có AM = AD = b .
4
4
4
−−→ −
−→
→
−→
Giả sử BN = x BD , CP = yCC . Khi đó
−−→
−→
BN = x BD

−→ −→
−→ −−→ −→
⇔ AN − AB = x AD + AA − AB
−
→
−→
→
→
⇔ AN = (1 − x ) −
a + x b + x−
c.
−→
−
→
CP = yCC
−−→
−→ −→
⇔ AP − AC = y AA
Từ đó

−−→ −→ −−→
MN = AN − AM
→
1 −
→
→
= (1 − x ) −
a + x−
b + x−
c.

4
→
−→ −→ −−→ −
3−
→
c.
MP = AP − AM = →
a + b + y−
4

−−→
Để ba điểm M, N, P thẳng hàng thẳng hàng thì phải tồn tại số k ∈ R sao cho MN =
−→
k MP. Do đó
→
a + x−
(1 − x ) −

1
4

−
→
→
3−
→
→
→
b + x−
c =k −

a + b + y−
c
4

→
⇔ (1 − x − k ) −
a + x−

1 3k
−
4
4

−
→
−
→
→
b + ( x − ky) −
c = 0.

Suy ra
1−x−k = 0
1 3k
x− −
=0

4
4


x − ky = 0




2


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

⇔













3
7
4
x=
7
4

y= .
3
k=

Như vậy, điểm N và điểm P được xác định bởi

−→ 4 −−→
BN = BD ,
7
−
→ 4 −→
CP = CC .
3
Ví dụ 2.2. Cho hình lập phương ABCD.A1 B1 C1 D1 . Hãy tìm điểm M trên đường chéo
BD của mặt ABCD và điểm N trên đường chéo CD1 của mặt bên CDD1 C1 sao cho
MN AC1 .

→ −−→ →
→ →
−→ → −→ −
−−→ → −
Lời giải. Đặt AB = −
a , AD = b , AA1 = −
c . Tacó AC1 = −
a + b +−
c.

Để MN

AC1 thì phải

hay

−−→
−−→
∃k ∈ R∗ : MN = k AC1
−
→
−−→
→
→
MN = k−
a + k b + k−
c.

(1)

→ −→
→
−−→
−−→ −→ −
−→ −
MN = MB + BC + CN = n DB + BC + mCD1
−
→
−
→
−
→
→

→
→
→
→
= n(−
a − b ) + b + m(−
c −−
a ) = (n − m)−
a + (1 − n ) b + m −
c.

(2)

Mặt khác

Từ (1) và (2) ta suy ra

1



k=


3
 n−m = k

1
1−n = k ⇔
m=



3

m=k


 n= 2
3
−→ 2 −→ −→ 1 −−→
Vậy với MB = DB và CN = CD1 thì MN AC1 .
3
3

3


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

3

Tính tỉ số giữa các đoạn thẳng

Ví dụ 3.1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D biết AB = a, AD = 2a, AA = 2a.
M là trung điểm của AB. Cho P thuộc đường thẳngAC, Qthuộc đường thẳng C D thỏa
PA
.
mãn PQ song song với MC . Tính tỉ số
PC
Lời giải.

→ −−→ →
−→ → −→ −
Đặt AB = −
a , AD = b , AA = −
c.
−−→
−→
−→ −→
Giả sử AP = x. AC; DQ = y. DC . Ta có

−−→
−→ −
→ −→ −→
−→ −→
PQ = PA + AD + DQ = − x AC + AD + y. DC
−
→
→
→
= (y − x ) −
a + (1 − x ) b + y −
c.
−−→ −→ −
→ →
→ −→ 1 → −
MC = MB + BC + CC = −
a + b +−
c
2

Do PQ song song vớiMC nên

−−→
−→
PQ = z. MC
−
→
→
→
⇔ (y − x ) −
a + (1 − x ) b + y −
c =z
⇔ y−x−

−
→ →
1−
→
a + b +−
c
2

−
→
−
→
z −
→
→
a + (1 − x − z ) b + ( y − z ) −

c = 0
2

z

 y−x− = 0
2
⇔
1−x−z = 0


y−z = 0

1
2
⇔ x = ,y = z = /
3
3
−→ 1 −→
PA
1
Từ đó ta có AP = AC ⇒
= .
3
PC
2
Ví dụ 3.2. (Trích Đề minh họa đề thi HSG lớp 11 - NhómTốn THPT Thanh Hóa, năm
học 2018-2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm A ,
−→
→

1 −→ −→
1 −
C thỏa mãn SA = SA, SC =
SC. Mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng A C và
3
2019

4


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019
cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại B , D ( B , D khơng trùng với S). Tính giá trị biểu thức
SD
SB
+
.
T=
SB
SD
Lời giải.

−→
Đặt SB

Ta có

=

−
→ −→

x.SB, SD

−→
y.SD ( x, y > 0), khi đó T

=

=

1
1
+ .
x
y

−→ −
→
−→ −→ −
→ −
→
AD = BC ⇔ SD − SA = SC − SB
−→ −
→ −→ −
→
⇔ SA = SB + SD − SC
−→ 1 −→ 1 −→
−→
⇔ 3.SA = SB + SD − 2019.SC
x
y

−→
1 −→
1 −→ 2019 −→
⇔ SA =
SB + SD −
.SC .
3x
3y
3

Do 4 điểm A , B , C , D đồng phẳng nên ta có
1=

1
2019
1
+
−
,
3x 3y
3

suy ra
T=

4

1 1
+ = 2022.
x y

Chứng minh đẳng thức

Ví dụ 4.1 (Trích Đề thi khảo sát đội tuyển HSG lớp 11 - THPT Triệu Sơn 2). Cho hình
chóp S.ABCD. GọiE là giao điểm của AB và CD, F là giao điểm của AD và BC. Mặt
phẳng (α) không qua S, song song với mặt phẳng (SEF ) và cắt các cạnh SA, SB, SC, SD
SN
SQ
SM SP
+
=
+
.
của hình chóp lần lượt tại M, N, P, Q. Chứng minh rằng
SA
SC
SB
SD
Lời giải.

5


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

(α)
(α)
(α)

(SEF ), (α) ∩ (SAB) = MN, (SEF ) ∩ (SAB) = SE nên suy ra MN SE.

(SEF ), (α) ∩ (SAD ) = MQ, (SEF ) ∩ (SAD ) = SF nên suy ra MQ SF.
(SEF ), (α) ∩ (SBC ) = NP, (SEF ) ∩ (SBC ) = SF nên suy ra NP SF.
(α)

(SEF ) ,

(α) ∩ (SCD ) = PQ,
(SEF ) ∩ (SCD ) = SE
nên suy ra PQ SE.
Vậy MNPQ là hình bình hành.
−→ −
→ −→ −→ SM −→ SP −
→ SN −
→ SQ −→
Suy ra SM + SP = SN + SQ⇔
SA +
SC =
SB +
SD
SA
SC
SB
SD
→ SN −
→ SQ −→
SP −
SM −→
SA = −
SC +
SB +

SD
⇔
SA
SC
SB
SD
−→
→ SN −
→ SQ −→
SA
SP −
⇔ SA =
− SC +
SB +
SD
SM
SC
SB
SD
Vì bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng nên ta có
SA
SM

−

⇔−
⇔

5

SQ
SP SN
+
+
SC
SB
SD

=1

SP SN
SQ
SM
+
+
=
SC
SB
SD
SA

SM SP
SN
SQ
+
=
+
.
SA
SC

SB
SD

Chứng minh quan hệ song song trong khơng gian

Ví dụ 5.1 (Trích Đề thi HSG lớp 11, bảng A, tỉnh Nghệ An, năm học 2016-2017). Cho
hình hộp ABCDA1 B1 C1 D1 , trên các đoạn AC1 và BC1 lần lượt lấy các điểm P và Q sao
cho AP = 2PB1 , C1 Q = 2QB. Chứng minh rằng đường thẳng PQ song song với mặt

6


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019
phẳng ( ACC1 ).

6

Bài tốn cực trị hình học

Ví dụ 6.1 (Trích Đề thi chọn HSG lớp 11 - tỉnh Thanh Hóa, năm học 2018-2019). Cho hình
chóp SABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Một mặt phẳng không qua S cắt các cạnh
SP
SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q thỏa mãn SA = 2SM, SC = 2SP. Tính tỉ số
khi
SN
2
2
SB
SD
biểu thức T =

+4
đạt giá trị nhỏ nhất.
SN
SQ

7

Bài tập áp dụng

Bài 7.1. Cho hình hộp ABCDA1 B1 C1 D1 . Trên các đoạn thẳng AD1 và C1 D lần lượt lấy
hai điểm M, N sao cho đường thẳng MN song song với đường thẳng nối tâm của hình
MN
bình hành ABB1 A1 và trung điểm của cạnh BC. Tính tỷ số
.
A1 C
Bài 7.2. Cho tứ diện SsABC. Hai điểm I, J thứ tự chuyển động trên AB, AC sao cho
AB
AC
+
= 3. Chứng minh rằng mặt phẳng (SI J ) luôn đi qua một đường thẳng cố
AI
AJ
định.
Bài 7.3. Cho hình hộp ABCDA1 B1 C1 D1 . Gọi MM, N là các điểm thỏa mãn MA =
1
2
− MD, N A1 = − NC. Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng BC1 D.
4
3

7


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019
Bài 7.4. Cho hình lập phương ABCDA1 B1 C1 D1 có cạnh bằng 1. Gọi G là trung điểm của
BD1 . Mặt phẳng ( P) thay đổi luôn đi qua điểm G cắt các đoạn thẳng AD1 , CD1 , D1 B1
tương ứng tại H, K, I. Chứng minh rằng

√
1
1
1
+
+
= 2 2.
D1 I
D1 K
D1 H

8