Sử dụng phép vị tự tìm ảnh của đường tròn Euler

Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ TÌM ẢNH
CỦA ĐƯỜNG TRỊN E ULER
Lường Văn Hưng
Trường THPT Hoằng Hóa 4, Thanh Hóa

Tóm tắt nội dung
Nghiên cứu phép vị tự, đồng thời khai thác các ứng dụng của nó giúp cho người giáo
viên hiểu sâu về vai trị của phép vị tự trong dạy học toán ở trường THPT đồng thời giúp
cho các em học sinh có thêm kiến thức cũng như kỷ năng giải tốn.
Trong chương trình Hình Học lớp 10, khi gặp bài tốn về lập phương trình đường
trịn trong mặt phẳng tọa độ các em có nhiều hướng giải khác nhau, tuy nhiên các em
chưa được học phép vị tự nên cịn gặp nhiều khó khăn khi giải quyết một số bài toán liên
quan đến kiến thức về đường tròn “Euler”. Bài viết này sẻ giúp cho các em học sinh có
cách nhìn về mối liên hệ giữa kiến thức ở lớp 10 và lớp 11, đồng thời các em có thêm một
phương pháp giải tốn về lập phương trình đường trịn bằng kiến thức phép vị tự.

1

Kiến thức cơ bản

Định nghĩa 1.1 (Định nghĩa phép vị tự). Trong mặt phẳng cho trước một điểm O và số
−−→
−−→
thực k khác 0, phép biến hình biến mọi điểm M thành M sao cho OM = kOM được gọi
là phép vị tự tâm O tỉ số kt - Kí hiệu: VOk hay V (O, k ). Điểm O gọi là tâm vị tự, số k gọi là
tỉ số vị tự.
Ta xét một số tính chất của phép vị tự.
Tính chất 1.1. Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M
−−−→

−−→
và N thì M N = k MN và M N = |k | MN.
Tính chất 1.2. Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không
làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó.
Tính chất 1.3. Phép vị tự biến một đường trịn thành một đường trịn.
Tính chất 1.4 (Đường trịn Euler). Trong một tam giác bất kì, 9 điểm gồm: chân ba đường
cao, ba trung điểm của ba cạnh, ba trung điểm các đoạn nối trực tâm với các đỉnh đều
thuộc một đường tròn

1


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

2

Ví dụ áp dung

Ví dụ 2.1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;2). Gọi H là trực
tâm của tam giác ABC. Biết đường tròn đi qua ba trung điểm của ba đoạn thẳng HA, HB,
HC có phương trình là:. Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lời giải. Gọi trung điểm của HA, HB, HC, BC, CA, AB lần lượt là: I, J, K, M, N, P Đường
trịn đi qua 3 điểm I, J, K chính là đường tròn Euler nên cũng là đường tròn ngoại tiếp
tam giác MNP.

+. Dễ thấy: ∆ABC là ảnh của ∆MNP qua phép vị tự tâm G tỷ số k = −2 ⇒ đường
tròn ngoại tiếp ∆ABC là ảnh của đường tròn ngoại tiếp ∆MNP
Ta có đường trịn ngoại tiếp ∆MNP có phương trình: x2 + y2 − 2x + 4y + 4 = 0
có tâm K(1;-2), R =1. Gọi K1, R1 là tâm và bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ABC thì:
−−→

−→
GK1 = −2GK , R1 = 2R ⇒ K1 (1; 10), R1 = 2
⇒ Phương trình đường trịn ngoại tiếp ∆ABC là: ( x − 1)2 + (y − 10)2 = 4
Ví dụ 2.2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H (2; 1) và phương
trình đường trịn đi qua chân các đường cao của tam giác ABC có phương trình (C ) :
x2 + y2 − 4x − 4y + 1 = 0. Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lời giải.
√
Ta có (C) có tâm I (2; 2), bán kính R = 7. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và
M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB.

Phép vị tự tâm G tỷ số k = −2 biến tam giác MNP thành tam giác ABC và biến
đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP thành đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Biến
√
−→
−
→
tâm I thành tâm I được xác định GI = −2GI ; R = 2R = 2 7.

2


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

−→
−→
−
→
Mặt khác theo tính chất của đường thẳng Euler: GH = −2GI = 4GI ⇒ G (2; 73 ) Suy
ra I (2; 3).

Đường tròn đi qua ba chân đường cao đồng thời là đường tròn đi qua trung điểm các
cạnh nên trùng với đường trịn (MNP) ngoại tiếp tam giác MNP.
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là ( x − 2)2 + (y − 3)2 = 28
Ví dụ 2.3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G (2; 3). Gọi M,
N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP
có phương trình là (C ) : ( x − 1)2 + (y − 1)2 = 10. Viết phương trình đường trịn ngoại
tiếp tam giác ABC.
√
Lời giải. Đường trịn (C) có tâm I (1; 1), bán kính R = 10.
Phép vị tự tâm G tỷ số k = −2 biến M thành A, biến N thành B, biến P thành C.

Biến tam giác MNP thành tam giác ABC.
Biến tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP thành tâm I đường tròn ngoại tiếp
−→
−
→
I (4; √
7)
GI
=
−
2
GI
⇒
tam giác ABC. Ta có
R
=
2
10
R = 2R

Vậy phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC là: (C ) : ( x − 4)2 + (y − 7)2 =
40
Ví dụ 2.4. Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn đi qua trung điểm của các cạnh tam giác
ABC có phương trình x2 + y2 − x − y − 2 = 0. Trực tâm H (0; 1).Tìm tọa độ điểm A, biết
A thuộc đường thẳng (d) : 3x + y + 7 = 0
Lời giải. Đường tròn (T) đi qua trung điểm các cạnh của tam giác ABC là đường tròn
Euler (Đường tròn đi qua 9 điểm gồm 3 trung điểm của 3 cạnh, 3 chân đường cao và 3
trung điểm của các đoạn nối trực tâm với các đỉnh của tam giác).

Từ đó đường trịn (T’) ngoại tiếp tam giác ABC
là ảnh của (T) qua phép vị tự tâm G tỉ
√
10
1 1
số k = −2 Đường trịn (T) có tâm I ( 2 ; 2 ); R = 2

3


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

−→
−→
−
→
Ta có: GH = −2GI = 4GI ⇒ G ( 32 ; 13 ). Do đó V ( G; −2) : I → I thì
I (1; 0) √
Suy ra phương trình của (T’) là: ( x − 1)2 + y2 = 10. Điểm A là giao
R = 2R = 10
của (T’) và đường thẳng d nên tọa độ của A là: A(−2; −1).

3

Bài tập tương tự

Bài 3.1. Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy, cho tam giác ABC trọng tâm G(1;2). Phương
trình đường trịn đi qua trung điểm của hai cạnh AB, AC và chân đường cao hạ từ đỉnh
A đến cạnh BC là (C ) : ( x − 3)2 + (y + 2)2 = 25. Viết phương trình đường trịn ngoại
tiếp tam giác ABC.
Bài 3.2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(2;1) và đường trịn
đi qua trung điểm các cạnh của tam giác có phương trình là (C ) : ( x − 2)2 + (y − 2)2 =
16. Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 3.3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C ) :
( x − 2)2 + (y + 3)2 = 25. Biết điểm A(5; 1), trọng tâm G nằm trên đường thẳng (d) :
x + 3y + 4 = 0 và độ dài cạnh BC = 8. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

4