Sử dụng tính chất của số Ckn để giải một số bài toán về nhị thức Newton

Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ Cnk ĐỂ GIẢI MỘT SỐ
BÀI TOÁN VỀ NHỊ THỨC N EWTON
Nguyễn Sĩ Tam
Trưởng THPT Hậu Lộc 4, Thanh Hóa

Tóm tắt nội dung
Trong q trình dạy - học mơn Toán, người thầy phải biết cách giúp học sinh tự khám
phá, tìm ra nét đẹp của Tốn học, từ đó giúp học sinh ngày càng u thích mơn Tốn.
Muốn vậy thì người thầy phải biết tạo ra ”thách thức” cho học sinh để tạo sự hào hứng,
thú vị cho học sinh, nhưng điều quan trọng không kém là người thầy phải biết giúp học
sinh vượt qua ”thách thức” bằng hệ thống câu hỏi mang tính chất gợi ý, đây là một ”nghệ
thuật” trong dạy học, theo cá nhân tôi đây là một tiêu chí thể hiện kinh nghiệm của người
thầy mà khơng phải ai cũng làm tốt.
Qua tìm tịi trên mạng tôi rất tâm đắc với bài viết ”Hướng dẫn học sinh lớp 11 áp
dụng tính chất số Cnk vào các bài toán Nhị thức Newton” của tác giả Nguyễn Thị Thùy
Dương, tổ Toán - Tin trường THPT Nguyễn Thái Học, Vĩnh Phúc. Tuy nhiên tôi đặt ra
một vấn đề: Làm thế nào để hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất vào giải bài tập một
cách tự nhiên, khơng gị ép, học vẹt đây?
Để giải quyết vấn đề tơi nghĩ cần đưa ra một hệ thống bài tập và câu hỏi tương ứng
mang tính gợi mở để gợi ý, định hướng cho học sinh, để học sinh hình thành kiến thức
phương pháp một cách tự nhiên. Mặc dù kinh nghiệm giảng dạy cịn non nớt nhưng tơi
cũng mạnh dạn trình bày chuyên đề "Cách đặt câu hỏi hướng dẫn học sinh lớp 11 sử
dụng tính chất số Cnk để giải một số bài toán Nhị thức Newton" mong được các thầy, cơ
giáo góp ý cho tơi được hồn thiện hơn.
1
Mục tiêu: Hướng dẫn học sinh lớp 11 vận dụng tính chất kCnk = nCnk−
−1 (*) vào giải
quyết các bài tốn về tổ hợp, nhị thức Newton.

1
1.1

Cơ sở lý thuyết
Cơng thức khai triển nhị thức Newton
( a + b)n =

n

∑ Cnk an−k bk

k =0

= Cn0 an + Cn1 an−1 b + Cn2 an−2 b2 + · · · + Cnk an−k bk + · · · + Cnn−1 abn−1 + Cnn bn .

1

(1)


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

1.2

Một số trường hợp đặc biệt

Tính chất 1.1. Cho a = 1, b = 1 ta có
Cn0 + Cn1 + Cn2 + · · · + Cnn = 2n
.
Tính chất 1.2. Cho a = 1, b = −1 ta có

Cn0 − Cn1 + Cn2 − Cn3 + · · · + (−1)n Cnn = 0
.
Tính chất 1.3. Cho a = 1, b = x ta có

(1 + x )n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x2 + Cn3 x3 + . . . + Cnn x n
.
Tính chất 1.4. Cho a = 1, b = - x ta có

(1 − x )n = Cn0 − Cn1 x + Cn2 x2 − Cn3 x3 + . . . + (−1)n Cnn x n

1.3

Các ví dụ hình thành phương pháp giải

Ví dụ 1.1. Rút gọn tổng sau S = Cn1 + 2Cn2 + 3C3 + · · · + nCnn .
Giáo viên phân tích, đặt câu hỏi: Trong tổng trên nếu các hệ số đều bằng 1 thì ta có
thể làm ”ngon lành”! tiếp theo Giáo viên đặt ra các câu hỏi:
Câu hỏi 1: Số hạng tổng quát trong tổng trên có dạng nào?
Câu hỏi 2: Nếu khơng có hệ số k trong các số hạng thì có tính được tổng trên hay
khơng?
Câu hỏi 3: Có những cách nào làm ”biến mất” hệ số k trong số hạng kCnk ?
1
Lời giải. Áp dụng tính chất kCnk = nCnk−
−1 với 1 ≤ k ≤ n.
Khi đó

−1
S = n(Cn0 −1 + Cn1 −1 + Cn2 −1 + · · · + Cnn−
1 ) = n (1 + 1)

n −1

= n.2n−1

Giáo viên chốt vấn đề: Như vậy chúng ta đã dùng 1 tính chất của tổ hợp để ”cân
bằng” các hệ số, làm cho các hệ số của các số hạng của tổng đều bằng nhau. Từ đó có thể
làm ”biến mất” hệ số k.
Ví dụ 1.2. Tìm n > 4 biết
2.Cn0 + 5.Cn1 + 8.Cn2 + · · · + (3n + 2).Cnn = 1600.
Giáo viên phân tích, đặt câu hỏi: Để tìm n, trước hết ta phải rút gọn được tổng vế trái.
Câu hỏi 1: Số hạng tổng quát của các số hạng trong tổng ở VT có dạng nào?
Câu hỏi 2: Với số hạng dạng (3k + 2) Cnk có thể phân tích đưa về tổng các số hạng
dạng kCnk được không?

2


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019
Câu hỏi 3: Từ đó hãy nêu các tích tổng VT?
Lời giải. Số hạng TQ của tổng VT là

(3k + 2) Cnk = 3k.Cnk + 2.Cnk , (0 ≤ k ≤ n)
Như vậy VT sẽ được tách thành 2 tổng đơn giản hơn:
VT = 3 Cn1 + 2.Cn2 + 3.Cn3 + · · · + n.Cnn + 2(Cn0 + Cn1 + Cn2 + · · · + Cnn ) = 3n.2n−1 + 2.2n
=

2n−1 (3n + 4)
Từ u cầu bài tốn, ta có PT 2n − 1.(3n + 4) = 1600

 3n + 4 = 25

n −1
6
(3n + 4).2
= 25.2
n−1 = 6 ⇔ n = 7
⇔
⇒
n ∈ N, n > 4

n ∈ N, n > 4

Vậy n = 7 thỏa mãn yêu cầu bfi toán.
Giáo viên nhận xét: Nhiều bài toán cần phải dung kỹ thuật phân tích các số hạng để
tách 1 tổng thành nhiều tổng.
Ví dụ 1.3. Tìm số ngun dương n sao cho:
3 4
1
2
2 3
2n 2n+1
C2n
+1 − 2.2C2n+1 + 3.2 .C2n+1 − 4.2 C2n+1 + · · · + (2n + 1).2 .C2n+1 = 2005

Giáo viên phân tích, đặt câu hỏi: Để tìm n, trước hết ta phải rút gọn được tổng vế trái.
Câu hỏi 1: Số hạng tổng quát của các số hạng trong tổng ở VT có dạng nào?
Câu hỏi 2: Nếu khơng có hệ số k thì có tính được tổng trên hay không?
k
Câu hỏi 3: Với số hạng dạng k2k C2n
+1 ta nên xử lý như thế nào?
Câu hỏi 4: Công thức nào làm để ”cân bằng” các hệ số k trong tổng trên?

Lời giải. Áp dụng tính chất (*) ta có
k
k k −1
k.2k .C2n
+1 = (2n + 1).2 .C2n (1 ≤ k ≤ 2n+1)
0
1
1
2
2
2n 2n
VT = (2n + 1) C2n
+1 − C2n+1 .2 + C2n+1 .2 − · · · + C2n .2

= (2n + 1).(1 − 2)2n = 2n + 1
Từ đó ta có n = 1002.
Chú ý 1.1. Khi áp dụng tính chất (*) cho mỗi số hạng của tổng, ta không cần quan tâm
đến dấu và lũy thừa có trong mỗi số hạng đó.
Ví dụ 1.4. Tính các tổng sau
a. S1 = 2.1.Cn2 + 3.2.Cn3 + · · · + n.(n − 1).Cnn
b. S2 = 1.2.3.Cn3 + 2.3.4.Cn4 + . . . . + (n − 2).(n − 1)n.Cnn
Giáo viên đặt câu hỏi hướng dẫn HS làm ý a (ý b làm tương tự):
Câu hỏi 1: Số hạng tổng quát của các số hạng trong tổng ở VT có dạng nào?

3


Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019
Câu hỏi 2: Với số hạng dạng (k − 1)k.Cnk làm thế nào để cho các hệ số không phụ
thuộc k?

Lời giải.
a. Số hạng tổng quát trong tổng là (k − 1)k.Cnk Áp dụng tính chất (*) hai lần liên tiếp,
ta có
1
k −2
(k − 1)k.Cnk = n.(k − 1).Cnk−
−1 = n ( n − 1).Cn−2 , (2 ≤ k ≤ n)
−2
S1 = n(n − 1)(Cn0 −2 + Cn1 −2 + Cn2 −2 + · · · + Cnn−
2 ) = n ( n − 1).(1 + 1)

n −2

= n(n − 1).2n−2

b. Số hạng tổng quát trong tổng có dạng: (k − 2).(k − 1).k.Cnk
Áp dụng tính chất (*) ba lần kiên tiếp ta có
1
k −2
(k − 2).(k − 1).k.Cnk = n(k − 2)(k − 1)Cnk−
−1 = n ( n − 1)( k − 2)Cn−2
3
= n(n − 1)(n − 2)Cnk−
−3 , (3 ≤ k ≤ n)

S2 = n(n − 1)(n − 2) Cn0 −3 + Cn1 −3 + · · · + Cnn−3

= n(n − 1)(n − 2)(1 + 1)n−3 = n(n − 1)(n − 2).2n−3
Giáo viên nhận xét: Trong một số tổng chúng ta phải áp dụng tính chất (*) nhiều lần
để ”cân bằng” các hệ số.

Ví dụ 1.5. Rút gọn tổng sau
1
2
3
2012
S1 = 12 .C2012
+ 22 .C2012
+ 32 .C2012
+ .. + 20122 .C2012

Giáo viên đặt câu hỏi định hướng:
Câu hỏi 1: Số hạng tổng quát của các số hạng trong tổng ở VT có dạng nào?
k
Câu hỏi 2: Có thể phân tích hệ số của số hạng k2 C2012
để đưa về các số hạng dạng kCnk
hay không?
k
Lời giải. Số hạng TQ trong tổng là k2 C2012
Ta có
k
k
k
k −1
k −1
k2 C2012
= k(k − 1)C2012
+ kC2012
= 2012(k − 1)C2011
+ 2012C2011
k −2

k −1
= 2012.2011C2010
+ 2012C2011
, (2 ≤ k ≤ 2012)

Ta có
1
0
1
2
2010
1
2
2011
S1 = C2012
+ 2012.2011(C2010
+ C2010
+ C2010
+ · · · + C2010
) + 2012(C2011
+ C2011
+ · · · + C2011
)

= 2012.2011(1 + 1)2010 + 2012 + 2012 (1 + 1)2011 − 1
= 2012.2011.22010 + 2012.22011 = 2012.2013.22010
Giáo viên đặt câu hỏi để rút ra kết luận cho bài học: Từ những ví dụ trên hãy nêu dấu
hiệu để có thể áp dụng tính chất (*)?

4

Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019

1.4

1
Dấu hiệu nhận biết để dùng công thức kCnk = nCnk−
−1

Các hệ số đứng trước các số tổ hợp có dạng
+ Tăng dần 1, 2, 3,. . . , n hoặc giảm dần n, n-1, n-2,. . . 2, 1.
+ Là tích các số tự nhiên liên tiếp 1.2, 2.3, 3.4 ,. . . , (n-1).n.
+ Hoặc các hệ số có thể biến đổi dưa về các dạng trên.

2

Bài tập vận dụng

Bài 2.1. Rút gọn các tổng sau
a. S = Cn1 + 2.Cn2 + 3Cn3 + · · · + nCnn
b. S = Cn0 + 2Cn1 + 3Cn2 + 4Cn3 + · · · + (n + 1)Cnn
c. S = 3Cn0 + 4Cn1 + 5Cn2 + · · · + (n + 3)Cnn
d. S = Cn1 − 2Cn2 + 3Cn3 − 4Cn4 + · · · + (−1)n−1 nCnn .
Bài 2.2. Chứng minh rằng
p

2.1Cn1 + 3.2Cn2 + · · · + ( p + 1) pCn + · · · + (n + 1) nCnn = n (n + 3) 2n−2 .
Bài 2.3. Tìm hệ số của x14 trong khai triển: x8 +

1 n
,
x2

biết:

2.1Cn2 + 3.2Cn3 + · · · + n(n − 1)Cnn = 3584
Bài 2.4. S = 2.Cn0 + 3.Cn1 + 4.Cn2 + · · · + (n + 2)Cnn . Tìm n biết S = 320.
n

Bài 2.5. Tính S = Cn0 − 2.Cn1 + 3.Cn2 − 4.Cn3 + · · · + (−1) (n + 1)Cnn .

5