Chuong II 3 Lien he giua day va khoang cach tu tam den day

? Các hình dưới đây biểu thị nội dung của
định lí nào? Em hãy phát biểu các định lí đó.
C

A

C

D
A

O

B

O

A

I

..

B

C

//

Hình 1

Hình 2

AB > CD

IC = ID

//

I

D

o

B

Hình 3
AB

CD

D


OK là khoảng cách từ
tâm O đến dây CD
C
K

OH là khoảng cách

từ tâm O đến dây
AB

O
D
H
A

B

Biết khoảng cách từ tâm của đường trịn đến hai
dây, có thể so sánh độ dài hai dây đó được
khơng?


§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

1. Bài toán
Cho AB và CD là hai dây (khác đường kính) của đường trịn
(O; R). Gọi OH, OK theo thứ tự là khoảng cách từ O đến AB,
CD. Chứng minh rằng OH2 + HB2 = OK2 + KD2 .
C
K
O
H
A

D

R

B


§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

1. Bài tốn
GT Đường trịn (O) , dây AB , AC khác đường kính

OH  AB , OK  CD

KL

OH2 + HB2 = OK2 + KD2 (*)
Phân tích
C
K

cạnhởcủa
tam
Ta HO,
thấyHB
hệlàthức
mỗi
vế
giác vng nào?
trong
Chứng
đẳng
minh

thức
bài(*)
tốn?
có
OK, KD là cạnh của tam
liên quan
định
giácđến
vng
nàolí? nào ?

O
H
A

D

R

B


§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

1. Bài tốn
GT Đường trịn (O) , dây AB , AC khác đường kính
OH  AB , OK  CD
KL OH2 + HB2 = OK2 + KD2
Giải
C

Áp dụng định lý Pitago vào các
tam giác vng OHB và OKD có :
OH 2  HB 2 OB 2 R 2 (1)
OK 2  KD 2 OD 2 R 2 (2)

K
O

Từ (1) và (2)
=> OH2 + HB2 = OK2 + KD2

H
A

D

R

B


? Kết luận của bài toán trên: OH2 + HB2 = OK2 + KD2 cịn
đúng khơng nếu một dây là đường kính hoặc cả hai dây là
đường kính?
C

K

A

R

H

O

C

D

B

A

R

H

K O

B
D

H O  OH 0  HB R

và HB2 = R2 = OK2 + KD2.

H K O  OH OK 0
và HB2 = R2 = KD2.

Chú ý: Kết luận của bài toán trên vẫn đúng nếu một dây là
đường kính hoặc cả hai dây là đường kính.


§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

?1 H·y sư dơng kÕt qu¶ OH 2  HB 2 OK 2  K D 2 (*) chøng minh:

a)N Õu AB = CD th× OH = OK
b) NÕu OH = OK th× AB = CD
Phân tích

C

K
D

AB = CD

=>

=>

AB
CD
; KD  )
HB = KD (Do HB =
2
2

HB2 = KD2

=>

OH2= OK2

=>

OH = OK

O
A
H

R

B


§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

?1 H·y sư dơng kÕt qu¶ OH 2  HB 2 OK 2  K D 2 (*) chøng minh:

a)N Õu AB = CD th× OH = OK
b) NÕu OH = OK th× AB = CD
Phân tích

C

K
D

<=> < => <=>

AB = CD

O

AB
CD
; KD  )
HB = KD (Do HB =
2
2
HB2 = KD2

<=>

OH2= OK2
OH = OK

A
H

R

B

HSTương

1. Chứng
minh
phần a?
tự ta có
suy luận
theoChứng
chiều ngược
HS 2.
minhlại.
phần b?


A

H
O

C

a. NÕu AB = CD . H·y chøng
minh OH = OK ?

B
R

K

D

b. NÕu OH = OK . H·y chøng

minh AB = CD ?

Bài giải

AB
Ta có OH AB AH = HB =
2
OK



CD



CK = KD =

CD
2

Bài giải



AB

OK CD

Ta có OH

AH = HB =
CK = KD =

AB
2

CD
2

( Theo mèi quan hÖ đờng kính và dây )

( Theo mối quan hệ đờng kính và dây )

Mà AB = CD ( gt )

Mà OH = OK ( gt)

Suy ra HB = KD



HB2 = KD2

Mặt khác OH2 + HB2 = OK2 + KD2
Nên OH2 = OK2

OH=OK

OH2 = OK2

Mặt khác OH2 + HB2 = OK2 + KD2
Nªn HB2 = KD2  HB =KD

 AB =CD


c

K
O

A

NÕu AB = CD thì OH = OK

D
R
B

H

NÕu OH = OK thì AB = CD

Hãy phát biểu kết quả nói trờn thnh mt nh lớ?
Trong một đờng tròn :
a/ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

b/ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
AB = CD OH = OK


§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

O

O'
3 cm

C
A

3 cm

B

O
A

D

O'
B

C

D

Định lí 1 có đúng trong
hai đường trịn khơng?


§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Chú ý. Trong hai đường
O

O'
3 cm

C
A

3 cm

D

B

O
A

tròn, hai dây bằng nhau chưa
chắc đã cách đều tâm.

Trong hai đường tròn, hai
dây cách đều tâm chưa
chắc đã bằng nhau.

O'
B

C

D

Định lí 1 có thể đúng được trong hai đường trịn khơng?
Nếu có thể cần thêm điều kiện gì ?


§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Chú ý. Trong hai đường tròn
O

O'
3 cm

C
A

3 cm

D

B

O

A

khác nhau, hai dây bằng nhau
chưa chắc đã cách đều tâm.

Trong hai đường tròn khác
nhau, hai dây cách đều tâm
chưa chắc đã bằng nhau.

O'
B

C

D

Định lí 1 chỉ đúng khi hai dây trong một
đường tròn hoặc trong hai đường tròn bằng nhau.


§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
?2

Sử dụng kết quả OH 2  HB 2 OK 2  K D 2 (*) để so sánh
a) OH và OK, nếu biết AB > CD.
Phân tích
b) AB và CD, nếu biết OH < OK.
C

AB > CD
K
O
H
A

D

R

B

Nếu AB > CD ta so sánh được
độ dài hai đoạn thẳng nào?


§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

?2

Sử dụng kết quả OH 2  HB 2 OK 2  K D 2 (*) để so sánh
a) OH và OK, nếu biết AB > CD
Phân tích
b) AB và CD, nếu biết OH < OK
C

< =>

AB > CD

K
O

A

D

R

B

< => < => < =>

H

HB > KD
HB2> KD2
OH2< OK2
OH < OK


?2

C

a, NÕu AB > CD th× OH < OK:

K

XÐt (O; R) cã OH  AB vµ OK  CD
1
1
 HB = .......
(1)
2 CD
2 AB; KD = ......

GT

O
H

(Quan hƯ vu«ng gãc giữa đờng kính và dây)

Vi AB > CD (gt)

1
.AB
2

1
> .....
2

CD (2)

A

HB…
> ..KD
Tõ (1) vµ (2) ta cã: .....
 HB
….2 >>…
KD
.2
(3)

Mµ: OH2 + HB2 = OK2 + KD2 (4)
< OK2 OH .....
< OK
Tõ (3) vµ (4) ta cã: OH2 .....
b, NÕu OH < OK th× AB > CD:
OH < OK  ……………
OH2 < OK2
(5)
Tõ (4) vµ (5) ta cã:………………
: HB2 > KD2
1
AB = CD  OH =1OK
 HB > KD  AB  ...........
CD
AB > CD
……………
2
2

D

R

B


§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
* Định lí 2

a) OH và OK, nếu biết AB > CD
) AB và CD, nếu biết OH < OK
C
K
O
H
A

D

R

B

AB > CD  OH < OK

Trong hai dây của một đường trịn:
a) Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn.
b) Dây nào gần tâm hơn thì lớn hơn.

Kết quả bài tốn ?2 chính
là nội dung định lí 2.


Trong các câu sau câu nào đúng , sai ?
Các khẳng định
Trong một đờng tròn hai dây cách đều tâm
thì bằng nhau

Đáp án

Đúng

Trong hai dây của một đờng tròn dây nào
nhỏ hơn thì dây đó gần tâm hơn

Sai

Hai dây bằng nhau khi và chỉ khi khoảng
cách từ tâm đến mỗi dây của chúng bằng
nhau

Sai

Trong các dây của một đờng tròn dây nào
gần tâm hơn thì lớn hơn

Đúng

Củng cố – Luyện tập
?3

Cho tam giác ABC , O là giao điểm của các đường trung trực của
tam giác; D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC,
AC. Cho biết OD > OE, OE = OF ( Hình 69). Hãy so sánh các độ
A
dài:
a) BC và AC;
=
x
F
b) AB và AC.
D

_
_

∆ABC, O là giao điểm ba
x
=
đường trung trực.
///
///
C
E
AD = BD , BE = EC, AF = FC. B
OD > OE , OE = OF.
So sánh :
Giao điểm

điểm ba
ba đường
đường trung
trung trực
trực của
của
a) BC và AC
Giao
tamgiác
giáccó
cótính
tínhchất
chấtgì?
gì?Nó
Nócịn
cịncó
có
b) AB và AC
tam
têngọi
gọikhác
khácnhư
nhưthế
thếnào
nào??
tên
O

GT

KL


Củng cố – Luyện tập
?3
GT

KL

A
∆ABC,O là giao điểm ba
đường trung trực.
=
AD = BD , BE = EC, AF = FC.
D
OD > OE , OE = OF.
=
So sánh :
a. BC và AC
B
b. AB và AC

x
_
_

F

O
///

E

x
///

Giải

a) O là giao điểm của các đường trung
trực các cạnh ∆ABC nên O là tâm đường trịn ngoại tiếp ∆ ABC.

VớiKhi
điềuđókiện
của
đề bài,
đểcủa
so đường
sánh hai
dây BC
BC
và
AC
là
gì
trịn?
Khi đó BC và AC là gì của đường trịn?
và AC của đường tròn (O) ta làm thế nào ?

C