BAI TAP TIM X

ƠN TẬP TỐN LỚP 7 THEO CHỦ ĐỀ
BÀI TẬP TÌN X
Bài 1: Tìm x biết:

x
1.

1 4
2
    3, 2  
3 5
5

 x  7
2.
x
HD) 1)

x 1

  x  7

x 11

1 4
2
1 4  16 2
    3, 2    x   

3 5
5

3 5
5
5

1 4 14
1
 x     x  2 
3 5 5
3

2)

0

 x  7

x 1

  x  7

  x  7

 x 1

x 11

 x 12
 3
 x 1 2
 3



 x217

3 3
 x 21 5
3 3


0   x  7 

x 1

 1   x  7  10  0



  x 7  x10


 x 70  x7

 1   x  7  10  0   

10
 ( x 7)10 1  x8
 1 ( x  7) 0






3)

3) 2x  3 x  2
Ta có: x + 2  0 => x  - 2.
3
2x  3 x  2
+ Nếu x  - 2 thì
=> 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn)
3
5
2
x

3

x

2
+ Nếu - 2  x < - 2 Thì
=> - 2x - 3 = x + 2 => x = - 3 (Thoả mãn)

+ Nếu - 2 > x Khơng có giá trị của x thoả mãn
4) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

x  2006  2007  x

Khi x thay đổi

+ Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013
Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1
+ Nếu 2006  x  2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1
+ Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013
Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1.
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006  x  2007
1


ƠN TẬP TỐN LỚP 7 THEO CHỦ ĐỀ
Bài 2: Tìm các cặp số (x; y) biết:
x y
1+3y 1+5y 1+7y
a)
 ; xy=84
b)


3 7
12
5x
4x
2
2
x y
x
y
xy 84
a)

 ; xy=84
 
 4
3 7
HD:
=> 9 49 3.7 21
=> x2 = 4.49 = 196 => x = 14=> y2 = 4.4 = 16 => x = 4
Do x,y cùng dấu nên:
+)x = 6; y = 14
+)x = -6; y = -14
1+3y 1+5y 1+7y
b)


12
5x
4x áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
1+3y 1+5y 1+7y 1  7y  1  5y 2y 1  5y  1  3y
2y



 

12
5x
4x
4x  5x
x
5x  12

5x  12

2y
2y

=>  x 5 x  12 => -x = 5x -12=> x = 2. Thay x = 2 vào trên ta được:
1 3y 2 y
1
1
  y
12
2
=>1+ 3y = -12y=> 1 = -15y=> y = 15 Vậy x = 2, y = 15 thoả mãn đề bài

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau
A=

x 1

+) A =

x 2  15
2
B = x 3

+5

x 1

+5 Ta có :

x 1 
0. Dấu = xảy ra  x= -1.  A  5.

Dấu = xảy ra  x= -1.Vậy: Min A = 5  x= -1.





x 2  15
x 2  3  12
12
2
2
2
B = x 3 = x 3
= 1 + x 3
2
2
Ta có: x  0. Dấu = xảy ra  x = 0  x + 3  3 ( 2 vế dương )

12
12
12
12
2
2
 x  3  3  x  3  4  1+ x  3  1+ 4  B  5
2

Dấu = xảy ra  x = 0 Vậy : Max B = 5  x = 0.
a2  a  3
Bài 4: a)Tìm số nguyên a để a  1 là số nguyên

b) Tìm số nguyên x,y sao cho x - 2xy + y = 0
2


ÔN TẬP TOÁN LỚP 7 THEO CHỦ ĐỀ
a 2  a  3 a (a  1)  3
3
a 
a 1
HD: a) Ta có : a  1 = a  1
3
a2  a  3
vì a là số nguyên nên a  1 là số nguyên khi a  1 là số nguyên hay a+1 là ước của 3

do đó ta có bảng sau :
a+1
a

-3
-4

-1
-2

1

0

3
2

a2  a  3
Vậy với a    4, 2,0,2 thì a  1 là số nguyên

b) Từ : x-2xy+y=0 Hay (1-2y)(2x-1) = -1
Vì x,y là các số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) là các số nguyên do đó ta có các trường hợp
1  2 y 1
 x 0
1  2 y  1  x 1
 
 


2
x

1


1
y

0
2
x


1

1



 y 1
sau :
Hoặc

Vậy có 2 cặp số x, y như trên thoả mãn điều kiện đầu bài
c) Tìm x, y nguyên t/m : x2 - 2y2 =1Từ : x2-2y2=1suy ra x2-1=2y2
Nếu x chia hết cho 3 vì x ngun tố nên x=3 lúc đó y= 2 nguyên tố thoả mãn
Nếu x không chia hết cho 3 thì x2-1 chia hết cho 3 do đó 2y2 chia hết cho 3 Mà(2;3)=1
nên y chia hết cho 3 khi đó x2=19 khơng thoả mãn
Vậy cặp số (x,y) duy nhất tìm được thoả mãn điều kiện đầu bài là (2;3)
Bài 3. a) Tìm x biết:

2x  3  x  2

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
HD:

2x  3  x  2

x  2006  2007  x

Khi x thay đổi

. Ta có: x + 2  0 => x  - 2.

3
2x  3 x  2
+ Nếu x  - 2 thì
=> 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn)
3
5
2
x

3

x

2
+ Nếu - 2  x < - 2 Thì
=> - 2x - 3 = x + 2 => x = - 3 (Thoả mãn)

+ Nếu - 2 > x Khơng có giá trị của x thoả mãn
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

x  2006  2007  x

Khi x thay đổi

+ Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013
Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1
+ Nếu 2006  x  2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1
3

ÔN TẬP TOÁN LỚP 7 THEO CHỦ ĐỀ
+ Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013
Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1.
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006  x  2007

Bài 4: Tìm x biết:a)
HD a)

x

x

1
 4  2
5

b)



15
3 6
1
x  x
12
7 5
2

1

1
 4  2
x   2  4
5
5
→

1
1
1
2  x  2
x   2
5
5
5
hoặc
1
1
9
x  2  x 2 
x
5
5 hay
5
Với
1
1
11
x   2  x  2 
x 

5
5 hay
5
Với
15
3 6
1
6
5
3 1
6 5
13

x  x
x x  
(  )x 
7 2 → 5 4
14 →
b) 12 7 5 2 → 5 4
x

2

c) Tìm x, y nguyên biết 25  y 8(x  2009)
Ta có
8(x-2009)2 = 25- y2
8(x-2009)2 + y2 =25 (*)
2

2



49
13
x
20
14

130
x
→ 343

2

25
8 , suy ra (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1

Vì y
0 nên (x-2009)
Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại)

Với (x- 2009)2 = 0 thay vào (*) ta có y2 =25 suy ra y = 5 (do y   )
Từ đó tìm được

(x=2009; y=5)

45  x 40  x 35  x 30  x




 4 0
d) 1963 1968 1973 1978
n
1) T×m n x = y = z biÕt : 32 2  4
2 3 5

e)

x

2) T×m x biÕt :

4

20
20
20
20
3


 ...

11.13 13.15 15.17
53.55 11


ÔN TẬP TOÁN LỚP 7 THEO CHỦ ĐỀ
a) Điểm M nằm bên trong tam giác đều ABC sao cho MA : MB : MC 3 : 4 : 5 . Tính số đo

A
3a

K

M
4a

B

5a

C

góc AMB.
Đặt MA = 3a, MB = 4a, MC = 5a
Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng MB, không chứa điểm C. Vẽ tam giác
đều MBK.
0




Khi đó: ABK MBK  ABM 60  ABM
0







Và CBM  ABC  ABM 60  ABM => ABK CBM
DABK vaø DCBM có:
AB = CB (DABC đều)

ABK CBM


=> DABK = DCBM (c.g.c)

BK = BM (DMBK đều)
=> KA = MC = 5a
DAMK coù: KA2 = (5a)2; KM2 + MA2 = (4a)2 + (3a)2 = (5a)2 => KA2 = KM2 + MA2
Theo định lí Pitago đảo, ta có DAMK vuông tại M.
0
0
0



Vậy AMB  AMK  BMK 90  60 150

b) Tìm số chính phương có bốn chữ số, biết rằng hai chữ số đầu giống nhau, hai
chữ số cuối giống nhau.
c) Tìm các số tự nhiên có hai chữ số mà số đó chia hết cho tích các chữ số của nó.
2
a; b   0;1...9 ; a 0
HD: Gọi số chính phương phải tìm là A m aabb trong đó
.

A m 2 aa00  bb 11a.100  11b 11  99a   a  b  

Ta có

(1)
99a  a  b 11



để A là số chính phương thì
Mà 1 a  b 18  a  b 11 thay vào (1)
m 2 11(99a  11) 112 (9a  1)  9a  1 là số chính phương
Thử chọn các giá trị của a theo ĐK nêu trên ta có a = 7 thỏa mãn khi đó b = 4; Số chính
phương cần tìm là 7744
Gọi số cần tìm là xy với x; y là các số tự nhiên từ 1 đến 9
k  Z   kx  1 y 10 x
Theo đề bài ta có xy kxy với
5


ÔN TẬP TOÁN LỚP 7 THEO CHỦ ĐỀ
 y

10 x
kx  1 với kx 1  10 x  kx  1

ta có x; kx – 1 là hai số nguyên tố cùng nhau

10 kx  1

hơn nữa kx – 1 là số dương nên

 kx  1   2;5;10
Xét các trường hợp tìm được 5 số thỏa mãn đề bài là: 11; 12; 15; 24; 36.
BÀI TẬP KHÁC
1: Tìm x, y thoả mãn:
a) |5 x+1|+|6 y − 8|≤ 0

b) |x +2 y|+|4 y −3|≤ 0

2: Tìm x, y thoả mãn:

c) |x − y +2|+|2 y +1|≤0

a) |12 x +8|+|11 y −5|≤ 0 b) |3 x+ 2 y|+|4 y −1|≤ 0
c) |x + y − 7|+|xy − 10|≤ 0

3: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:a) |x − y − 2|+| y +3|=0
c) ( x+ y )2006 +2007| y −1|=0
4: Tìm x, y thoả mãn : a) ( x − 1 )2+ ( y +3 )2=0

b) |x − 3 y|2007 +| y + 4|2008=0

d) |x − y − 5|+2007 ( y −3 )2008 =0
b) 2 ( x −5 ) 4 +5|2 y −7|5=0

1
2004
c) 3 ( x −2 y ) +4 y+ 2 =0

1
d) |x +3 y − 1|+ 2 y − 2

| |

(

2000

)

=0
7

5: Tìm x, y thoả mãn:
1 3

(

1

c) 2 4 x − 2

2006

)

+

5

2
b) 3|x − y| +10 y+ ≤ 0

| 3|

a) |x − 2007|+| y −2008|≤ 0
2007 4
6
y+
≤0
2008 5
25

6: Tìm x, y thoả mãn :
c) |x +5|+|3 − x|=8

|

|

d) 2007|2 x − y|2008 +2008| y − 4|2007 ≤ 0

a) ( x − 1 )2+ ( y +3 )2=0

b) |x − 2007|+| y −2008|≤ 0

7: Rút gọn biểu thức sau với 3,5 ≤ x ≤ 4,1
a) A=| x −3,5|+|4,1 − x| b) B=|− x+3,5|+|x − 4,1|
8: Rút gọn biểu thức sau khi x < - 1,3:
a) A=| x+1,3|−|x − 2,5| b) B=|− x −1,3|+|x − 2,5|

9: Rút gọn biểu thức:
a) A=| x −2,5|+|x − 1,7|
10: Rút gọn biểu thức khi
1
3 4
a) A= x − 7 − x + 5 + 5

| || |

1
2
b) B= x + 5 − x − 5

| || |

c) C=|x +1|+|x − 3|

−3
1
< x<
5
7
1
3 2
b) B= − x+ 7 + − x − 5 − 6

|

||

|

6


ÔN TẬP TOÁN LỚP 7 THEO CHỦ ĐỀ
11 Rút gọn biểu thức:
a) A=| x+ 0,8|−|x − 2,5|+1,9 với x < - 0,8

2
2
b) B=|x −4,1|+ x − 3 −9 với 3 ≤ x ≤ 4,1

1
1
1
1
1
c) C= 2 5 − x + x − 5 + 8 5 với 5 ≤ x ≤2 5

1
1
d) D= x +3 2 +| x|− 3 2 với x > 0

|

|| |

| |

| |

Tính giá trị biểu thức:
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:
a

2

a) M = a + 2ab – b với |a|=1,5 ; b=−0 , 75

b) N = 2 − b với |a|=1,5 ; b=−0 , 75

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:
−3
a) A=2 x +2 xy − y với |x|=2,5 ; y =

1
b) B=3 a −3 ab − b với |a|= 3 ;|b|=0 ,25

4

c)

5a 3
C= −
3 b

với

1

|a|= ;|b|=0 ,25
3

1
với |x|= 2

d) D=3 x 2 − 2 x +1

Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức:
−2
1
a) A=6 x 3 −3 x 2+ 2|x|+ 4 với x= 3 b) B=2|x|− 3| y| với x= 2 ; y=− 3
1
5 x2 −7 x +1
c) C=2| x −2|− 3|1− x| với x = 4
d) D=
với |x|=
2

3 x−1

Số TPVHTH – Số vô tỉ - Số thực căn bậc hai
Bài toán 1: Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản
0,(1); 0,(01); 0,(001); 1,(28); 0,(12); 1,3(4); 0,00(24); 1,2(31); 3,21(13)
Bài tốn 2: Tính
a) 10,(3)+0,(4)-8,(6)
b) [ 12 ,(1) −2,3(6) ] : 4,(21)

1
c) 0,(3)+3 3 −0,4 (2)

Bài toán 5: Tính giá trị của biểu thức sau và làm trịn kết quả đến hàng đơn vị

a) A=

(11, 81+ 8 ,19) .2 , 25
6 , 75

(4,6+5 :6 , 25). 4
4 . 0 , 125+2 , 31
0,5+0,(3)−0,1(6)
M=
2,5+1,(6)− 0,8(3)

b) B=

Bài toán 6: Rút gọn biểu thức:
Bài toán 7: Chứng minh rằng:
Bài toán 8: Tìm x biết

0,(27)+0,(72)=1

0,1(6)+ 0,(3)

a) 0,(3)+ 1,1(6) . x =0,(2)

3
x
13
50
=

85
0,0(3)
[ 0,(37)+0,(62)] x=10

b)

0,(3)+ 0,(384615)+

c)

d) 0,(12):1,(6)=x:0,(4)
7

e) x:0,(3)=0,(12)


ƠN TẬP TỐN LỚP 7 THEO CHỦ ĐỀ
Bài tốn 9: Tìm x biết

a) x − 2 √ x=0

9
2
c) ( x − 1 ) =16

b) x=√ x
16

25

√ x +1
Bài toán 10: Cho A=
. CMR với x= 9 và x= 9 thì A có giá trị là một số
√ x −1
ngun
Bài tốn 11: Tìm các số nguyên x để các biểu thức sau có giá trị là một số nguyên
7
a) A=
√x

3
2
b) B=
c) C=
√ x −1
√x− 3
√ x +1
Bài tốn 12: Cho A=
Tìm số nguyên x để A có giá trị là số ngun
√ x−3
Bài tốn 13: thực hiện phép tính
2
2
[{ ( 2 √2 )2 : 2,4 ][ 5 , 25 : ( √ 7 )2 ] }: 2 17 : ( √75 ) : 22 : ( 2 √ 2 )
√ 81
Bài 14: Tính giá trị biểu thức sau theo cách hợp lý.

{[

]}

][

1
1
1
+ −
√ 49 49 ( 7 √ 7 )2
A=
√ 64 − 4 + 2 2 − 4
2
7 7
343
1−

()

Bài toán 15: Tính bằng cách hợp lý.
5
5
√25 − ( √5 )
M =1 −
−
−
2
√196 ( 2 √21 ) 204 374

2

Bài tốn 16: Tìm các số x, y, z thoả mãn đẳng thức

√ ( x − √2 )2 +√ ( y +√ 2 )2+|x+ y+ z|=0
Bài tốn 17: thực hiện phép tính

√ ) [(

2

]

( √ 7 ) 1704
1
2 49
1
6
M = 18 : √225+ 8 .
: 12 + 8 −
:
3
3
4
3
7 ( 3 √ 2 )2 445

(

Bài 1 Tìm x biết:

)

1, - 3(x - 1) + (2x - 5) = 4

1
2
14
2
3
=
3
x
35
4

2,

x 1

+ 3x = 1

6

3) 3x+1+2x.3x -18x-27 = 0

6.

1
2
−4=3
2
3

| |

3 x+

4.

7. (

3

5. ( 2x – 3)4 = 1 = 82

1
3
4 - 2x) + 2 = 29

1 2 3 4 5 30 31
. . . . ... .
8. 4 6 8 10 12 62 64 = 2x;

9. | 10x + 7| < 37
10. | 3 - 8x|  19
11) (0,4x – 2) – (1,5x + 1) – ( - 4x – 0,8) = 3,6
3

(2 )

(1 )

(1 )

(1 )

12) ( 4 x+3 ) – 3 x − 4 - 6 x +1 = 3 x +4 - 3 x − 3
Bài 2 So sánh a) (0,1)10 và (0,3)20
b) 648 và 3212
Bài 3 Tìm x, y, z biết: 1) 2x = 3y ; 5y = 4z ; x + y + z = 45
8

c) 12413 và 2620


ÔN TẬP TOÁN LỚP 7 THEO CHỦ ĐỀ
x −1 y − 2 z −4
=
=
2
3
4

2)
3)

x y z
= =
2 3 5

và 2x+3y-z=50.
1 2 y 1 4 y 1 6 y


24

6x
4) Tìm x, y biết 18

và xyz = 810.

5) Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) y 2=3 −|2 x − 3|
b) y 2=5 −|x −1|
3 y 2=12−|x − 2|

c) 2 y 2=3 −|x +4|

d)

a 2  b2 c 2  d 2
a c

 2
2
2
2
Bài 4 Cho tỉ lệ thức b d . Chứng minh rằng: a  b c  d
1 1 1 1
3 11 7
5
( − − − )(6,3. 12− 21. 3,6)
( − − ).
15 7 9 11
10 15 20 19
Bài 5: 1)Tính: A=

B=
1 1 1
1
1
1 1 −3 −4
+ + +⋯+
+
( + −
).
2 3 4
2007 2008
14 7 35
3
−3 4 7
−5
(
+ + ). (
)
10 15 20 19
5
1
1
1
1
1
1
:
− − −
−
−

C=
D
=
24
1 1 −3
1
10 40 88
154 238 340
+ −
. −1
14 7 35
3
2
1
5
1
3 . 4 +6 . 4
13 13
13 13
7
7
7
7
1+
1+
P=
Q = 1+
……… 1+
3
1

9
20
33
2900
2 −1
.26
13
26
3
3
3
3


 ... 
1  2  ...  100 .
E = 3+ 1  2 1  2  3 1  2  3  4

[

( )] ( )

(

( ) (

)

√ ) [(

2

) (

)

)

)

]

( √ 7 ) 1704
1
2 49
1
6
M = 18 : √ 225+ 8 .
: 12 + 8 −
:
3
3
4
3
7 ( 3 √ 2 )2 445
x y
5 x2 +3 y 2
N=
với 3 = 5
2

2
10 x −3 y
*) 10,(3)+0,(4)-8,(6)
*) [ 12 ,(1)−2,3(6) ] : 4,(21)
1
0,(3)+3 −0,4 (2)
3

(

(

*)

2)Tính giá trị của các biểu thức:

−2
1
a) A=6 x 3 −3 x 2+ 2|x|+ 4 với x= 3 b) B=2|x|− 3| y| với x= 2 ; y=− 3
5 x2 −7 x +1
d) D=

c) C=2| x −2|− 3|1− x| với x = 4

3 x−1

3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) A=−|x − 5|+ x +4
b) B=−|2 x +3|+2 x +4
4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a) A=− 2| x −5|+2 x +6
b) B=−3|x − 4|+ 8− 3 x
9

1
với |x|= 2

c) C=−|3 x −1|+7 −3 x

c) C=−5|5 − x|+5 x +7


ÔN TẬP TOÁN LỚP 7 THEO CHỦ ĐỀ

10