De chon doi tuyen thi HSG Quoc gia 20132014

Đê thi chọn đội tuyển tỉnh Bắc Ninh dự thi
học sinh giỏi Quốc gia THPT 2013-2014
1. Giải hệ phương trình

=(6-z—9)v2—z
=z3T—6œ—+ð

(2z — 1)z +9
24/1
+ 2z2
3zu_— 18z
2. Cho dãy số („) xác định bởi
x,

= 1,

t=

2

+
n

3

8

vn

ent

n

Chtrng minh rang day sé (x, ) khong cé gidi han hitu han.
3. Cho tam giác ABC' néi tiép dudng tron (O), ngoai tiép dudng tron (J) déng thời có góc
⁄ABC = 2⁄BAC.. Đường trịn tâm
bán kinh BC cat tia AC tai D. Tiép tuyến của đường

trịn (Ĩ) tại Ở cắt đường tròn (C; BC) tại E, # và Á nằm khác phía so với đường thẳng BC.
a) Chứng minh rằng ba diém J, D, E thang hàng.

b) Gọi
là điểm chính giữa cung 4Œ (khơng chứa ?) của đường tròn (). Chứng minh rằng
ba đường thẳng 8, CT, D đồng quy tại một điểm nằm trên đường tròn (Q).
4. Tìm số nguyên dương ? nhỏ nhất sao cho 3” — 1 chia hết cho 2013.
5. a) Chứng minh rằng

Sop
n

k=1

—1

k

k—1

=k nent,
nq

k=1

b) Cho bảng hình chữ nhật kich thuéc m x n(m la hang, n là cột m < ø). Đặt một số viên bi
vào một số ô của bảng sao cho mỗi cột có ít nhất một viên bi. Chứng minh rằng có ít nhất hai
viên bi mà hàng chứa nó có nhiều bi hơn cột chứa nó.