Tài liệu Tuyển tập đề thi cao học môn toán pdf





 !∀#∃%&∋(&)
∗+,% −#. /0&1,% &2,% 3,% ∋∗4,
35/,% 62∋789

∗:∋;
%<=8#4
>0>
?&7
∗≅%Α&)∗8
/∀Β1∋Χ

.∆ΕΕΦΦΦ9Γ9
Trường Đại học Sư phạm TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Hội đồng Tuyển sinh Sau đại học 2004 Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2004
ĐỀ THI MÔN : GIẢI TÍCH (CƠ SỞ)
(Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề)
Câu I:
Cho không gian mêtric X với E, F là hai tập con của X sao cho E là tập conpact và F là tập
đóng. Đặt d(E, F ) = inf
x∈E,y∈F
d(x, y)
a) Chứng minh tồn tại x
0
∈ E sao cho d(x
0
, F ) = d(E, F ).

b) Cho E ∩ F = Ø. Chứng minh tồn tại số t > 0 sao cho d(E, F ) ≥ t.
Câu II:
Cho (X, µ) là không gian có độ đo và hàm số f : X → R
+
là hàm khả tích. Cho dãy (A
n
) các
tập đo được trong không gian X sao cho:
A
n
⊂ A
n+1
với mọi n ∈ N và
∞

n=1
A
n
= X
Chứng minh rằng:
lim
n→∞

A
n
fdµ =

X
fdµ
Câu III:

Cho (X, µ) là không gian có độ đo và B ⊂ X với B là tâp đo được. Cho hàm số đo được
f : X → N. Với n ∈ N , ta đặt:
B
n
= {x ∈ B : |f (x)| ≤ n}
Chứng minh rằng với mọi n thì B
n
là tập đo được và
lim
n→∞
µ(B
n
) = µ(b)
Câu IV:
Tính tích phân sau đây:
lim
n→∞
1

−1
x + x
2
e
nx
1 + e
nx
dx
Câu V:
Cho X là không gian Hilbert với tích vô hướng ·, · và e
n

là một hệ trực chuẩn đầy đủ trong
không gian X. Cho a
n
là một dãy số. Đặt
T (x) =
∞

n=1
a
n
< x, e
n
> e
n
, với x ∈ X
a) Cho dãy a
n
bị chặn. Chứng minh T là ánh xạ tuyến tính liên tục và tính T .
b) Cho lim
n→∞
a
n
= 0. Chứng minh T là ánh xạ compact.
HẾT
Ghi chú - Thí sinh không được sử dụng tài liệu
- Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm
1
Trường Đại học Sư phạm TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Hội đồng Tuyển sinh Sau đại học 2004 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2004

MÔN THI : ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)
(Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề)
Bài I: Cho A là vành giao hoán có đơn vị.
a) Định nghĩa iđêan tối đại của vành A.
b) Cho M là một iđêan của A. Chứng minh M là iđêan tối đại khi và chỉ khi
A
/
M
là trường.
c) Cho M là một iđêan của A. Chứng minh: Nếu ∀x ∈ M 1 + x khả nghịch
trong A thì M là iđêan tối đại duy nhất của A.
Bài II: a) Cho (G, ·) là một nhóm có 2n phần tử và H là một nhóm con của G có n
phần tử.
Chứng minh ∀x ∈ G x
2
∈ H
b) Trong nhóm đối xứng S
4
(nhóm các phép thế bậc 4) hãy xét tính chuẩn tắc
của các nhóm con xiclic sinh bởi một vòng xích độ dài 3.
Bài III: Trong trường các số hữu tỷ Q ta xét tập con:
A =

m
n
∈ Q/n là số lẻ

a) Chứng minh A là vành con của Q.
b) Tìm các phần tử khả nghịch trong vành A.
c) Chứng minh vành con A là một vành chính.

Bài IV: Xét đa thức f(x) = x
3
+ x + 1 ∈ Q[x]
1) Chứng minh f(x) = x
3
+ x + 1 bất khả vi trong Q[x]
2) Gọi α là nghiệm thực của f(x) = x
3
+ x + 1 (nghiệm thực này là duy nhất).
Đặt K = {aα
2
+ bα + c/a, b, c ∈ Q}
a) Chứng minh ánh xạ
α : Q[x] −→ R
g(x) −→ g(α)
là đồng cấu vành.
b) Tìm Kerϕ.
c) Chứng minh K là một trường.
HẾT
Ghi chú - Thí sinh không được sử dụng tài liệu
1
Trường Đại học Sư phạm TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Hội đồng Tuyển sinh Sau đại học 2004 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2004
MÔN THI : ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
(Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề)
Câu 1: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa
∞

n=1


n + 2
n + 1

n(n+1)
x
n
Câu 2: Cho hàm số f : R
2
→ R xác định bởi:
f(x, y) =



2xy
x
2
+ y
2
, khi (x, y) = (0, 0)
0 , khi (x, y) = (0, 0)
a) Xét sự liên tục của f trên R
2
;
b) Tính các đạo hàm riêng của f trên R
2
.
Câu 3: Tính tích phân

D

(2x − y)dxdy,
trong đó D là nửa trên của hình tròn có tâm tại điểm (1,0) bán kính 1
Câu 4: Cho tập hợp các số tự nhiên N. Với mọi m, n ∈, đặt
d(m, n) =

0 , nếu m = n
1 +
1
m + n
, nếu m = n
Hãy chứng minh:
a) d là một metric trên N.
b) (N, d) là một không gian metric đầy đủ.
Câu 5: Tính định thức:












1 3 0 0 4 6
2 4 0 0 5 8
5 1 1 5 2 1
7 6 6 7 1 2

3 7 0 0 0 0
1 2 0 0 0 0












Câu 6: Cho ánh xạ tuyến tính f : R
4
→ R
3
có ma trận trong cặp cơ sở chính tắc là


1 0 2 1
2 3 −1 1
−2 0 −5 3


Hãy xác định nhân và ảnh của f. Hỏi f có là đơn cấu, toàn cấu hay không? Vì sao?
Câu 7: Cho ma trận



−1 3 −1
−3 5 −1
−3 3 1


a) Tìm giá trị riêng, vectơ riêng của A.
b) Tính A
2004
HẾT
Ghi chú - Thí sinh không được sử dụng tài liệu
1
TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SĐH 2005 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2005
MÔN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ (dành cho PPGD Toán)
(Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề)
Câu 1 : Cho ma trận vuông
A =





a 1 1 1
1 a 1 1
1 1 a 1
1 1 1 a






a) Tính det A
b) Tính rank A.
Câu 2 : Cho B là ma trận vuông cấp n, (B)
ij
= 1 hoặc (B)
ij
= −1 với mọi i, j. Chứng minh
det B chia hết cho 2
n−1
.
Câu 3 : Cho n là một số tự nhiên (n ≥ 1) , R
n
[x] là tập các đa thức với hệ số thực bậc bé hơn
hoặc bằng n. Biết rằng R
n
[x] với phép cộng các đa thức và phép nhân một số với một
đa thức là một không gian vectơ trên R và 1, x, . . . , x
n
(∗) là một cơ sở của R
n
[x].
Cho ánh xạ f : R
n
[x] → f : R
n
[x]
p(x) → p(x) − xp
′

(x) p
′
(x) : đạo hàm của đa thức p(x)
a. Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính. Tìm ma trận của f trong cơ sở (*) ở trên.
b. Tìm một cơ sở và số chiều của các không gian con Ker f = f
−1
(0) và imf = f (R
n
[x])
Câu 4 : Trong không gian vectơ Euclide R
4
(với tích vô hướng thông thưng), cho L là không
gian con s inh bởi các vectơ α
1
= (0, 1, 0, 1), α
2
= (0, 1, 1, 0), α
3
= (1, 1, 1, 1), α
4
=
(1, 2, 1, 2), (L =< α
1
, α
2
, α
3
, α
4
>)

a. Tìm điều kiện cần và đủ để vectơ (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) ∈ L.
b. Tìm một cơ sở và số chiều của L.
c. Tìm một cơ sở trực chuẩn của L.
Câu 5 : Cho E là không gian vec tơ Euclide, tích vô hướng của hai vectơ x, y ∈ E, kí hiệu là
< x, y > và cho ϕ : E → E là ánh xạ thoả mãn < ϕ(x), ϕ(y) > = < x, y > ∀x, y ∈ E.
Chứng minh ϕ là ánh xạ tuyến tính.
HẾT
Ghi chú : – Thí sinh không được sử dụng tài liệu
– Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
1
TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SĐH 2005 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2005
MÔN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ
(Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề)
Kí hiệu :
• n Q là trường số hữu tỉ, R là trường số thực, C là trường số phức, Z là vành số nguyên.
• Z
p
là vành thương Z/pZ.
Câu 1 : (2đ + 1đ)
1. Cho (G, ·) là một nhóm giao hoán hữu hạn có mn phần tử, với m, n nguyên tố cùng

nhau. Đặt A = {x ∈ G : x
m
= e} và B = {x ∈ G : x
n
= e} (e là phần tử đơn vị của
nhóm). Chứng minh A và B là 2 nhóm con của G thoả A ∩ B = {e} và AB = G.
2. Cho (G, ·) là một nhóm có 2n phần tử. Chứng minh trong G có phần tử cấp 2.
Câu 2 : (0,5đ + 1,5đ)
Xét vành tích Z
2
= Z × Z với phép toán cộng và phép nhân theo thành phần.
a. Cho I là một iđêan của Z
2
. Đặt :
I
1
= {x ∈ Z/(x, 0) ∈ I}, I
2
= {y ∈ Z/(0, y) ∈ I}
Chứng minh I
1
, I
2
là 2 iđêan của Z.
b. Chứng minh vành Z
2
không phải là vành chính mặc dù mọi iđêan của nó đều là iđêan
chính.
Câu 3 : (1đ + 1đ + 1đ)
Cho đa thức f(x) = 1x

4
+ 1 ∈ K[x], với K là một trường có đơn vị là 1.
Hãy xét tính bất khả qui của f(x) trong K[x] đối với từng trường hợp sau :
a. K = Q
b. K = Z
5
c. K = Z
3
Câu 4 : (2đ)
Cho số phức α = −1 + i
√
2 và đồng cấu vành ϕ : R[x] → C xác định bởi ϕf = f(α).
Chứng minh ϕ là toàn ánh và suy ra
C
∼
=
R[x]

x
2
− 2x + 3
HẾT
Ghi chú : – Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
– Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
1
TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SĐH 2005 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2005
MÔN CƠ BẢN : ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH ĐẠI CƯƠNG
(Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề)

Câu 1 : Cho hàm số
f(x, y) =



(x
2
+ y
2
) sin
1
x
2
+ y
2
nếu x
2
+ y
2
> 0
0 nếu x = y = 0
Chứng minh rằng hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng
∂f
∂x
,
∂f
∂y
không liên tục tại
O(0, 0) nhưng f (x, y) khả vi tại O(0, 0).
Câu 2 : Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

+∞

n=1

n + 1
3n + 2

n
(x − 2)
n
.
Câu 3 : Gọi M = {x ∈ C([0, 1])|x(1) = 1, 0 ≤ x(t) ≤ 1, ∀t ∈ [0, 1]}
a. Chứng minh rằng M là tập đóng không rỗng và bị chặn trọng không gian mêtric
C([0, 1]) với mêtric
d(x, y) = max
0≤t≤1
|x(t) − y(t)|, với x(t), y(t) ∈ C([0, 1]).
b. Xét f : C([0, 1]) → R xác định bởi f(x) =

1
0
x
2
(t) dt. Chứng minh rằng f liên tục
trên M nhưng f không đạt được giá trị nhỏ nhất trên M . Từ đó suy ra M không
phải là tập compact trong C([0, 1]).
Câu 4 : Cho f : R
3
→ R
3

là một phép biến đổi tuyến tính xác định bởi : f (u
1
) = v
1
, f(u
2
) = v
2
,
f(u
3
) = v
3
. Với u
1
= (1, 1, 1), u
2
= (0, 1, 1), u
3
= (0, 0, 1) ; v
1
= (a + 3, a + 3, a + 3),
v
2
= (2, a + 2, a + 2), v
3
= (1, 1, a + 1) với a ∈ R
a. Tìm ma trận của f với cơ sở chính tắc e
1
= (1, 0, 0), e

2
= (0, 1, 0), e
3
= (0, 0, 1).
b. Tìm giá trị của a để f là một đẳng cấu.
c. Khi f không là một đẳng cấu hãy tìm cơ sở và số chiều của Imf và Kerf.
d. Với a = −3, f có chéo hóa được không ? Trong trường hợp f chéo hóa được, hãy tìm
một cơ sở để ma trận của f với cơ sở đó có dạng chéo.
Câu 5 : Cho dạng toàn phương q(x
1
, x
2
, x
3
) = x
2
1
+ 2x
2
2
+ x
2
3
+ 2x
1
x
2
+ 2ax
1
x

3
+ 2x
2
x
3
.
a. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc.
b. Với giá trị nào của a thì q là xác định dương, nửa xác định dương.
HẾT
Ghi chú : – Thí sinh không được sử dụng tài liệu
– Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
1
♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦µ 2000
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝µ β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. M λ∝ τ⊄π ηπ χ÷χ µα τρ⊄ν χ⊇π n (n ≥ 1), τηχ, κη∂ νγη⇒χη.
1. Χηνγ µινη ρ≈νγ M λ∝ νηµ →ι ϖι πη∠π νη♥ν µα τρ⊄ν.
2. C ∈ M χ →⇒νη. Χηνγ µινη ρ≈νγ ÷νη ξ≠ f : M → M , f (A) = C
−1
AC λ∝
µτ →∑νγ χ⊇υ νηµ. Τ⋅µ Im f , Ker f (ηαψ χηνγ µινη ρ≈νγ f λ∝ →…νγ χ⊇υ).
3. Χηνγ µινη ρ∝νγ ÷νη ξ≠ f
1
: M → R
⋆
, f
1
(A) = |A| λ∝ →∑νγ χ⊇υ νηµ. Τ⋅µ
Im f

1
, Ker f
1
.
Χ♥υ ΙΙ. Χηνγ µινη ρ≈νγ C
⋆
λ∝ νηµ →ι ϖι πη∠π νη♥ν τη↔νγ τη↑νγ. Ξ∠τ χ÷χ ÷νη ξ≠
f : C
⋆
→ C
⋆
, f(α) =
α, g : C
⋆
→ C
⋆
, g(α) = α λ∝ →∑νγ χ⊇υ νηµ, →←ν χ⊇υ, το∝ν
χ⊇υ ηαψ κη↔νγ? Τ⋅µ Im f, Ker f.
Χ♥υ ΙΙΙ. Χηνγ µινη ρ≈νγ χ÷χ πη∠π βι∏ν →ι τρχ γιαο τρ♠ν κη↔νγ γιαν Ευχλιδ E λ∝µ
τη∝νη µτ νηµ →ι ϖι πη∠π νη♥ν (πη∠π ηπ τη∝νη), κ ηι√υ G. Γι∂ σ g ∈ G. ♣∅τ
÷νη ξ≠ ϕ : G → G, ϕ(f ) = g
−1
fg. Χηνγ µινη ρ≈νγ ϕ λ∝ →…νγ χ⊇υ νηµ.
Χ♥υ Ις. C[x] λ∝ ϖ∝νη. ♣∅τ ÷νη ξ≠
ϕ : C [x] → C [x] ,
f (x) →
f (x)
(→↑χ ηιυ λ∝
a
0

+ a
1
x + + a
n
x
n
).
1. Χηνγ µινη ρ≈νγ ϕ λ∝ →∑νγ χ⊇υ νηµ.
2. Χηνγ µινη ρ≈νγ R[x] λ∝ ϖ∝νη χον µ∝ κη↔νγ ιδεαν.
Χ♥υ ς.
1. Χηνγ µινη ρ≈νγ χ÷χ µα τρ⊄ν →ι ξνγ χ⊇π n λ⊄π τη∝νη νηµ αβεν →ι ϖι πη∠π
χνγ, κ ηι√υ νηµ ν∝ψ λ∝ M .
2. Χηνγ µινη ρ≈νγ ÷νη ξ≠ f : M → M , f (A) = A
′
(χηυψν ϖ⇒ χ〉α A) λ∝ →∑νγ
χ⊇υ νηµ. Τ⋅µ Im f, Ker f .
3. Χηνγ µινη ρ≈νγ τ⊄π M χ÷χ µα τρ⊄ν →ι ξνγ τηχ χ⊇π n λ⊄π τη∝νη R−κη↔νγ γιαν
ϖ∠χ τ← (ηαψ R−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← χον χ〉α κη↔νγ γιαν χ÷χ µα τρ⊄ν ϖυ↔νγ χ⊇π n).
4. T λ∝ µα τρ⊄ν κη∂ νγη⇒χη (κη↔νγ νη⊇τ τηι∏τ →ι ξνγ). Χηνγ µινη ρ≈νγ ÷νη ξ≠
f : M → M , f(A) = T
−1
AT λ∝ →∑νγ χ⊇υ (τχ λ∝ ÷νη ξ≠ τυψ∏ν τ⇑νη).
♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦µ 2000
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝µ β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Τ⋅µ η≠νγ χ〉α η√ ϖ∠χ τ← a
1
, a
2

, a
3
∈ R
3
τηεο τηαµ σ a
a
1
= (1, a, 1) ,
a
2
= (1, 1, a) ,
a
3
= (a, 1, 1) .
Τ⋅µ πη∩ν β τρχ τι∏π χ〉α L = {a
1
, a
2
, a
3
} κηι a = −2 ηο∅χ a = 1.
Χ♥υ ΙΙ. Βι∏τ R
5
[x] λ∝ κη↔νγ γιαν χ÷χ →α τηχ χ β⊄χ νη〈 η←ν 5. Χηο f (x) = 1 + x
2
+
x
3
+ x
4

. Χηνγ µινη ρ≈νγ (1) ϖ∝ (2) λ∝ χ÷χ χ← σ χ〉α ν
1. 1, x, x
2
, x
3
, x
4
.
2. f
(4)
(x), f
(3)
(x), f
′′
(x), f
′
(x), f (x).
Τ⋅µ µα τρ⊄ν χηυψν χ← σ (1) σανγ (2). Τ⋅µ το≠ → χ〉α f(x) = 34+33x+16x
2
+5x
3
+x
4
τρονγ χ← σ (2).
Χ♥υ ΙΙΙ. Πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη f τρ♠ν κη↔νγ γιαν πηχ χ µα τρ⊄ν λ∝
A =


3 0 0
1 0 1

2 −1 0


.
χ χη∠ο ηο÷ →↑χ κη↔νγ? Χ τ∑ν τ≠ι πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη νγη⇒χη →∂ο f
−1
? Τ⋅µ ϖ∠χ
τ← ρι♠νγ ϖ∝ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ χ〉α f
−1
.
Χ♥υ Ις. Χηνγ µινη ρ≈νγ τ⊄π ηπ χ÷χ µα τρ⊄ν τηχ χ δ≠νγ
A =

a b
2b a

.
ϖι a, b ∈ R λ⊄π τη∝νη ϖ∝νη χον χ〉α ϖ∝νη Mat(2, R), η〈ι ν χ λ∝ ιδεαν κη↔νγ?
♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦µ 2001
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝µ β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Χηνγ µινη ρ≈νγ
1. Τ⊄π S
1
χ÷χ σ πηχ χ µ↔ →υν β≈νγ 1 λ∝ µτ νηµ χον χ〉α νηµ νη♥ν χ÷χ σ πηχ
κη÷χ 0.
2. ÷νη ξ≠ f : R → S
1
χηο βι f (x) = cos(πx) + i sin(πx) λ∝ µτ →∑νγ χ⊇υ τ⌡

νηµ χνγ χ÷χ σ τηχ R ϖ∝ο S
1
.
Χ♥υ ΙΙ.
1. Χηνγ µινη ρ≈νγ µι κη↔νγ γιαν χον L χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← ηυ η≠ν χηιυ V
→υ χ β τυψ∏ν τ⇑νη. Πη∩ν β τυψ∏ν τ⇑νη χ〉α L χ δυψ νη⊇τ κη↔νγ?
2. Τ⋅µ σ χηιυ, µτ χ← σ ϖ∝ πη∩ν β τυψ∏ν τ⇑νη χ〉α κη↔νγ γιαν χον χ〉α κη↔νγ
γιαν R
4
σινη βι η√ ϖ∠χ τ← {u
1
= (1, −2, −1, 1), u
2
= (−1, 3, 0, 2), u
3
=
(2, −5, −1, −1), u
4
= (2, −4, −2, 2)}.
Χ♥υ ΙΙΙ. Ξ∠τ µα τρ⊄ν τηχ
A =


a d 0
d b d
0 − d c


.
1. Ν∏υ ϕ λ∝ µτ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη τρονγ κη↔νγ γιαν R

3
χ µα τρ⊄ν →ι ϖι χ←
σ χη⇑νη τχ λ∝ A τη⋅ ϕ χ χη∠ο ηο÷ →↑χ κη↔νγ? ς⋅ σαο?
2. ςι a = 3, b = 4, c = 5 ϖ∝ d = 2 η•ψ τ⋅µ µα τρ⊄ν τρχ γιαο Q σαο χηο
B = Q
T
AQ λ∝ µα τρ⊄ν →↑νγ χη∠ο.
Χ♥υ Ις. Πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη ϕ γι λ∝ λυ λινη β⊄χ p ν∏υ p λ∝ µτ σ νγυψ♠ν δ↑←νγ
σαο χηο ϕ
p−1
= 0 ϖ∝ ϕ
p
= 0. Γι∂ σ ϕ λ∝ µτ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη λυ λινη β⊄χ p
τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← n−χηιυ V . Χηνγ µινη ρ≈νγ
1. Ν∏υ x λ∝ µτ ϖ∠χ τ← σαο χηο ϕ
p−1
(x) = 0 τη⋅ η√ ϖ∠χ τ←

x, ϕ (x) , ϕ
2
(x) , , ϕ
p−1
(x)

→χ λ⊄π τυψ∏ν τ⇑νη.
2. p ≤ n.
3. ϕ χη¬ χ µτ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ λ = 0.
4. Ν∏υ E − A λ∝ µα τρ⊄ν χ〉α πη∠π βι∏ν →ι ϕ →ι ϖι χ← σ ν∝ο → τη⋅ µα τρ⊄ν A
κη∂ νγη⇒χη (E λ∝ µα τρ⊄ν →←ν ϖ⇒).
♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι

♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦µ 2001
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝µ β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Χηνγ µινη ρ≈νγ τ⊄π O(n) χ÷χ µα τρ⊄ν τρχ γιαο χ⊇π n λ∝ µτ νηµ →ι ϖι πη∠π
νη♥ν µα τρ⊄ν.
2. Χηο Q ∈ O(n), ξ∠τ ÷νη ξ≠ f : O(n ) → O(n) χηο βι f(A) = Q
T
AQ τρονγ →
Q
T
λ∝ χηυψν ϖ⇒ χ〉α Q. Χηνγ µινη ρ≈νγ f λ∝ µτ →…νγ χ⊇υ νηµ.
Χ♥υ ΙΙ. Ξ∠τ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη ϕ : R
3
→ R
3
χηο βι
ϕ (x
1
, x
2
, x
3
) = (x
1
− 3x
2
+ 4x
3
, 4x

1
− 7x
2
+ 8x
3
, 6x
1
− 7x
2
+ 7x
3
) .
1. Τ⋅µ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ, ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α ϕ.
2. Τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R
3
χ τ∑ν τ≠ι ηαψ κη↔νγ µτ χ← σ σαο χηο →ι ϖι χ← σ
→ µα τρ⊄ν χ〉α ϕ χ δ≠νγ →↑νγ χη∠ο.
Χ♥υ ΙΙΙ. Τρονγ κη↔νγ γιαν Ευχλιδ R
4
ξ∠τ κη↔νγ γιαν χον L σινη βι η√ ϖ∠χ τ←
{(1, 1, 1, 1) , (1, 2, 2, −1) , (1, 0, 0, 3)} .
1. Τ⋅µ χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α κη↔νγ γιαν χον L ϖ∝ χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α πη∩ν β τρχ
γιαο L
⊥
.
2. Γι∂ σ x = (4, −1, −3, 4). Τ⋅µ ϖ∠χ τ← y ∈ L ϖ∝ ϖ∠χ τ← z ∈ L
⊥
σαο χηο x = y+z.
Χ♥υ Ις.
1. Χηνγ µινη ρ≈νγ η


1, x − a, (x − a)
2
, , (x − a)
n−1

ϖι a ∈ R λ∝ µτ χ←
σ χ〉α κη↔νγ γιαν R
n
[x] χ÷χ →α τηχ η√ σ τηχ χ β⊄χ νη〈 η←ν n.
2. Τ⋅µ το≠ → χ〉α f (x) ∈ R
n
[x] →ι ϖι χ← σ →.
Χ♥υ ς.
1. Γι∂ σ f
1
, f
2
λ∝ χ÷χ δ≠νγ τυψ∏ν τ⇑νη τρ♠ν K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← V . Χηνγ µινη
ρ≈νγ ÷νη ξ≠ ϕ : V × V → K χηο βι ϕ(x, y) = f
1
(x) + f
2
(y) λ∝ µτ δ≠νγ
σονγ τυψ∏ν τ⇑νη τρ♠ν V . Τ⋅µ →ιυ κι√ν χ∩ν ϖ∝ →〉 → ϕ λ∝ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη →ι
ξνγ.
2. Γι∂ σ V λ∝ K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← ηυ η≠ν χηιυ. Χηνγ µινη ρ≈νγ δ≠νγ σονγ
τυψ∏ν τ⇑νη ϕ χ η≠νγ β≈νγ 1 κηι ϖ∝ χη¬ κηι ϕ = 0 ϖ∝ χ ηαι δ≠νγ τυψ∏ν τ⇑νη f
1
,

f
2
σαο χηο ϕ(x, y) = f
1
(x) + f
2
(y) ϖι µι x, y ∈ V .
♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦µ 2002
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝µ β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Γι∂ σ h λ∝ µτ →∑νγ χ⊇υ ϖ∝νη τ⌡ ϖ∝νη K ϖ∝ο ϖ∝νη K
′
, ϖ∝ A λ∝ ϖ∝νη χον χ〉α
ϖ∝νη G. Χηνγ µινη ρ≈νγ h(A) λ∝ µτ ϖ∝νη χον χ〉α ϖ∝νη K
′
.
2. Τρ♠ν τ⊄π χ÷χ σ νγυψ♠ν Z ξ∠τ ηαι πη∠π το÷ν ξ÷χ →⇒νη βι
a ⊕ b = a + b − 1
a ◦ b = a + b − ab.
Χηνγ µινη ρ≈νγ (Z, ⊕, ◦) λ∝ µτ ϖ∝νη γιαο ηο÷ν χ →←ν ϖ⇒.
Χ♥υ ΙΙ. Τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R
3
ξ∠τ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη g ξ÷χ →⇒νη βι
g(u) = (8x − y − 5z, −2x + 3y + z, 4x − y − z) ϖι u = (x, y, z).
1. Τ⋅µ χ÷χ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ ϖ∝ ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α g.
2. Τ⋅µ µτ χ← σ χ∂ κη↔νγ γιαν R
3
σαο χηο →ι ϖι χ← σ → µα τρ⊄ν B χ〉α πη∠π βι∏ν

→ι g χ χ÷χ πη∩ν τ  πη⇑α τρ♠ν →↑νγ χη∠ο χη⇑νη β≈νγ 0. ςι∏τ µα τρ⊄ν B.
Χ♥υ ΙΙΙ. Τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδε E ξ∠τ η√ ϖ∠χ τ← {u
1
, . . . , u
n
}, ϖ∝ µα τρ⊄ν
G = ((u
i
, u
j
))
n×n
.
Χηνγ µινη ρ≈νγ η√ ϖ∠χ τ← {u
1
, . . . , u
n
} →χ λ⊄π τυψ∏ν τ⇑νη κηι ϖ∝ χη¬ κηι det G = 0.
Χ♥υ Ις. Γι∂ σ f λ∝ µτ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη η≠νγ r τρ♠ν K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← V
n−χηιυ. Ξ∠τ χ÷χ τ⊄π χον
V
r
=

y τηυχ V : f (x, y) = 0 →ι ϖι µι x τηυχ V

,
V
l
=


y τηυχ V : f (y, x) = 0 →ι ϖι µι x τηυχ V

.
Χηνγ µινη ρ≈νγ V
r
, V
l
λ∝ χ÷χ κη↔νγ γιαν χον ϖ∝ dim V
r
= dim V
l
= n − r.
♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦µ 2002
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝µ β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Γι∂ σ h λ∝ µτ →∑νγ χ⊇υ τ⌡ νηµ G ϖ∝ο νηµ G
′
, ϖ∝ H λ∝ νηµ χον χ〉α νηµ
G. Χηνγ µινη ρ≈νγ h(H) λ∝ µτ νηµ χον χ〉α νηµ G
′
.
2. Ξ∠τ ÷νη ξ≠ f τ⌡ νηµ τυψ∏ν τ⇑νη τνγ θυ÷τ GL(n, R) ϖ∝ο νηµ νη♥ν R
⋆
χ÷χ σ
τηχ κη÷χ 0 ξ÷χ →⇒νη βι f(A) = det A. Χηνγ µινη ρ≈νγ f λ∝ µτ το∝ν χ⊇υ.
Ξ÷χ →⇒νη νηµ χον f (O(n)), ϖι O(n) λ∝ νηµ χ÷χ µα τρ⊄ν τρχ γιαο.
Χ♥υ ΙΙ.

1. Γι∂ σ L λ∝ µτ κη↔νγ γιαν χον p−χηιυ χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδε E n−χηιυ.
Χηνγ µινη ρ≈νγ τ⊄π
L
∗
= {x ∈ E : (x, y) = 0, ∀y ∈ L},
λ∝ µτ κη↔νγ γιαν χον (n − p)−χηιυ ϖ∝ E = L

L
⋆
.
2. Ξ∠τ κη↔νγ γιαν χον L χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδε R
4
σινη βι η√ ϖ∠χ τ← u
1
=
(1, 0, 2, 1), u
2
= (2, 1, 2, 3), u
3
= (0, 1, −2, 1). Ξ÷χ →⇒νη µτ χ← σ τρχ χηυ∪ν
χ〉α κη↔νγ γιαν χον L
∗
.
Χ♥υ ΙΙΙ. ς∏τ χ〉α µα τρ⊄ν A χ⊇π n τρ♠ν τρ↑νγ K λ∝ τνγ χ÷χ πη∩ν τ τρ♠ν →↑νγ χη∠ο
χη⇑νη, →↑χ κ ηι√υ λ∝ Tr(A). Χηνγ µινη ρ≈νγ
1. Tr(AB) = Tr(BA).
2. ς∏τ χ〉α µα τρ⊄ν χ〉α µτ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη κη↔νγ πη τηυχ ϖ∝ο ϖι√χ χην
χ← σ χ〉α κη↔νγ γιαν.
Χ♥υ Ις.
1. Η≠νγ χ〉α µα τρ⊄ν A = (a

ij
)
m×n
→↑χ κ ηι√υ λ∝ r(A). Χηνγ µινη ρ≈νγ
r(A + B) ≤ r(A) + r(B).
2. Τ⇑νη r(A) ϖι A = (min{i, j})
m×n
.
♣≠ι η χ Θυ χ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦µ 2003
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝µ β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Χηνγ µινη ρ≈νγ τ⇑χη χ÷χ →∑νγ χ⊇υ ϖ∝νη λ∝ µτ →∑νγ χ⊇υ ϖ∝νη.
2. Ξ∠τ →∑νγ χ⊇υ νηµ f : G → G
′
. Χηνγ τ〈 ρ≈νγ ν∏υ G λ∝ µτ νηµ γιαο ηο÷ν
τη⋅ Im(f) χ∫νγ λ∝ µτ νηµ γιαο ηο÷ν Χηο µτ ϖ⇑ δ χηνγ τ〈 →ιυ νγ↑χ λ≠ι
νι χηυνγ κη↔νγ →⌠νγ.
Χ♥υ ΙΙ.
1. Γι∂ σ L λ∝ κη↔νγ γιαν χον χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R
3
σινη βι η√ ϖ∠χ τ←
{u
1
= (2, 3, 5) , u
2
= (3, 7, 8) , u
3
= (1, −6, 1)} .

ςι γι÷ τρ⇒ ν∝ο χ〉α τηαµ σ a τη⋅ ϖ∠χ τ← u = (7, −1, a) τηυχ κη↔νγ γιαν χον L.
2. Χηνγ µινη ρ≈νγ τρονγ κη↔νγ γιαν χ÷χ η∝µ σ τηχ λι♠ν τχ C (a, b) η√ ϖ∠χ τ←
{1, cos x, cos
2
x, , cos
n
x} →χ λ⊄π τυψ∏ν τ⇑νη.
Χ♥υ ΙΙΙ. Ξ∠τ µα τρ⊄ν τηχ →ι ξνγ
A =


3 2 0
2 4 −2
0 −2 5


.
Τ⋅µ µα τρ⊄ν τρχ γιαο Q σαο χηο Q
T
AQ λ∝ µα τρ⊄ν →↑νγ χη∠ο. ςι∏τ µα τρ⊄ν →↑νγ
χη∠ο →.
Χ♥υ Ις. Γι∂ σ u λ∝ µτ ϖ∠χ τ← χ〉α κη↔νγ γιαν Ευχλιδ E.
1. Χηνγ µινη ρ≈νγ ϖι µι ϖ∠χ τ← x τηυχ E χ τη βιυ διν δυψ νη⊇τ δ↑ι δ≠νγ
x = au + v τρονγ → ϖ∠χ τ← v τρχ γιαο ϖι ϖ∠χ τ← u.
2. Χηο E = R
4
, u = (2, −1, 0, 2), x = (1, 1, 1, −1). Τ⇑νη a ϖ∝ v.
♣≠ι η χ Θυ χ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦µ 2003
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ

Τηι γιαν λ∝µ β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Τρονγ νηµ G ξ∠τ ÷νη ξ≠ h : G → G ξ÷χ →⇒νη βι h(a) = a
−1
, ∀a ∈ G.
Χηνγ µινη ρ≈νγ ÷νη ξ≠ h λ∝ µτ τ →…νγ χ⊇υ κηι ϖ∝ χη¬ κηι G λ∝ µτ νηµ Αβεν.
Χ♥υ ΙΙ. Τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδε R
4
ξ∠τ κη↔νγ γιαν χον L χηο βι η√ πη↑←νγ
τρ⋅νη





2x
1
+ x
2
+ x
3
+ 3x
4
= 0
3x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
+ x

4
= 0
x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
− 9x
4
= 0
1. Τ⋅µ σ χηιυ ϖ∝ µτ χ← σ χ〉α πη∩ν β τρχ γιαο L
⋆
χ〉α κη↔νγ γιαν χον L.
2. Χηο ϖ∠χ τ← x = (7, −4, −1, 2). Τ⋅µ ϖ∠χ τ← y ∈ L, z ∈ L
⋆
σαο χηο x = y + z.
Χ♥υ ΙΙΙ. Ξ∠τ ÷νη ξ≠ τυψ∏ν τ⇑νη g : R
4
→ R
3
→↑χ χηο βι
g((x
1
, x
2
, x
3
, x
4

)) = (x
1
− 2x
2
+ x
4
, x
1
+ x
3
− x
4
, 2x
2
+ x
3
− 2x
4
).
1. Τ⋅µ dim Ker g, dim Im g.
2. ςι γι÷ τρ⇒ ν∝ο χ〉α τηαµ σ a τη⋅ ϖ∠χ τ← y = (−1, 2, a) τηυχ κη↔νγ γιαν χον
Im g.
Χ♥υ Ις. Γι∂ σ f λ∝ µτ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη λυ λινη β⊄χ n (τχ λ∝ f
n−1
= 0,
f
n
= 0) τρονγ K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← V . Χηνγ µινη ρ≈νγ
1. Ν∏υ x ∈ V : f
k

(x) = 0 τη⋅ η√ ϖ∠χ τ← {x, f (x), . . . , f
k
(x)} →χ λ⊄π τυψ∏ν τ⇑νη.
2. n ≤ dim V .
3. Ν∏υ n = dim V τη⋅ →α τηχ →∅χ τρ↑νγ χ〉α πη∠π βιν →ι f χ δ≠νγ p(λ) =
(−1)
n
λ
n
.
♣≠ι η χ Θυ χ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦µ 2004
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝µ β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Γι∂ σ (G, ◦) λ∝ µτ νηµ χ ηυ η≠ν πη∩ν τ, →←ν ϖ⇒ e. Χηνγ µινη ρ≈νγ
1. ♣ι ϖι µι πη∩ν τ a ∈ G τ∑ν τ≠ι σ νγυψ♠ν k ≥ 1 σαο χηο a
k
= e (σ νγυψ♠ν
δ↑←νγ νη〈 νη⊇τ χ τ⇑νη χη⊇τ → γι λ∝ χ⊇π χ〉α πη∩ν τ a).
2. Ν∏υ a λ∝ πη∩ν τ χ⊇π n τη⋅ A = {a, a
2
, . . . , a
n
} λ∝ µτ νηµ χον χ〉α νηµ
(G, ◦).
Χ♥υ ΙΙ. Ξ∠τ µα τρ⊄ν τηχ
A =


1 a b + c

1 b a + c
1 c a + b


.
1. Χηνγ τ〈 µα τρ⊄ν A κη↔νγ κη∂ νγη⇒χη.
2. Τ⇑νη η≠νγ χ〉α µα τρ⊄ν A τηεο γι÷ τρ⇒ χ〉α χ÷χ τηαµ σ a, b, c.
Χ♥υ ΙΙΙ. Πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη f τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R
3
→↑χ χηο βι
f (x, y, z) = (4x − 5y + 2z, 5x − 7y + 3z, 6x − 9y + 4z).
1. Τ⋅µ χ÷χ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ, ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α f .
2. Πη∠π βι∏ν →ι f χ χη∠ο ηο÷ →↑χ κη↔νγ? ς⋅ σαο? Τ⋅µ µτ χ← σ χ〉α κη↔νγ γιαν
R
3
σαο χηο µα τρ⊄ν χ〉α f →ι ϖι χ← σ → λ∝ µα τρ⊄ν ταµ γι÷χ.
Χ♥υ Ις. Χηνγ µινη ρ≈νγ τ⊄π χον κη÷χ ρνγ L χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R
n
λ∝ µτ κη↔ν
γιαν χον κηι ϖ∝ χη¬ κηι L λ∝ τ⊄π νγηι√µ χ〉α µτ η√ πη↑←νγ τρ⋅νη τυψ∏ν τ⇑νη τηυ∩ν νη⊇τ
τρ♠ν R.
♣≠ι η χ Θυ χ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦µ 2004
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝µ β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Γι∂ σ X λ∝ µτ ϖ∝νη. Χηνγ µινη ρ≈νγ
1. ♣ι ϖι µι σ νγυψ♠ν n ≥ 0, τ⊄π
nX =

a = nx = x + x + + x


 
n λ∩ν
: x ∈ X

λ∝ µτ ιδεαν χ〉α ϖ∝νη X (ϖι θυψ ↑χ 0x = 0).
2. Χ÷χ τ⊄π δ≠νγ nZ ϖι n = 0, 1, 2, λ∝ τ⊇τ χ∂ χ÷χ ιδεαν χ〉α ϖ∝νη σ νγυψ♠ν Z.
Χ♥υ ΙΙ.
1. Τρονγ κη↔νγ γιαν R
4
ξ∠τ κη↔νγ γιαν χον L σινη βι η√ ϖ∠χ τ←
{u
1
= (1, a, −1, −2) , u
2
= (2, −1, a, 5) , u
3
= (1, 10, − 6, 1)} .
Τ⇑νη dim L τηεο τηαµ σ a.
2. Γι∂ σ η√ ϖ∠χ τ← {u
1
, u
2
, , u
n
} λ∝ µτ χ← σ χ〉α K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← V . ♣∅τ
v
k
= u
k

+ + u
n
ϖι k = 1, 2, , n. Χηνγ µινη ρ≈νγ η√ {v
1
, v
2
, , v
n
} λ∝
µτ χ← σ χ〉α κη↔νγ γιαν V .
Χ♥υ ΙΙΙ. Πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη g τρονγ κη↔νγ γιαν Ευχλιδ R
3
→↑χ χηο βι
g((x
1
, x
2
, x
3
)) = (x
1
− 3x
2
− x
3
, − 3x
1
+ x
2
+ x

3
, − x
1
+ x
2
+ 5x
3
).
1. Χηνγ τ〈 ρ≈νγ g λ∝ µτ πη∠π βι∏ν →ι →ι ξνγ.
2. Τ⋅µ µτ χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδ R
3
λ∝ χ÷χ ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α
g.
Χ♥υ Ις. Γι∂ σ f λ∝ µτ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη η≠νγ k τρ♠ν K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← K
n
.
Ξ∠τ χ÷χ τ⊄π χον
V
r
=

y ∈ K
n
: f (x, y) = 0 →ι ϖι µι x ∈ K
n

,
V
l
=


y ∈ K
n
: f (y, x) = 0 →ι ϖι µι x ∈ K
n

.
Χηνγ µινη ρ≈νγ V
r
, V
l
λ∝ χ÷χ κη↔νγ γιαν χον ϖ∝ dim V
r
= dim V
l
= n − k.
♣≠ι η χ Θυ χ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦µ 2005
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝µ β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Τρονγ νηµ G ξ∠τ ÷νη ξ≠ f : G → G χηο βι f(x) = x
2
ϖι µι x ∈ G.
1. Χηνγ µινη ρ≈νγ f λ∝ µτ τ →∑νγ χ⊇υ χ〉α νηµ G κηι ϖ∝ χη¬ κηι G λ∝ νηµ
αβεν.
2. Χηο µτ ϖ⇑ δ σαο χηο f λ∝ τ →…νγ χ⊇υ ϖ∝ µτ ϖ⇑ δ σαο χηο f λ∝ µτ τ⌡ →∑νγ
χ⊇υ νηνγ κη↔νγ πη∂ι λ∝ τ →…νγ χ⊇υ.
Χ♥υ ΙΙ. Ξ∠τ ÷νη ξ≠ τυψ∏ν τ⇑νη h : R
4
→ R

3
ξ÷χ →⇒νη βι: ϖι u = (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) τη⋅
h (u) = (x
1
+ ax
2
− x
3
+ 2x
4
, 2x
1
− x
2
+ ax
3
+ 5x
4
, x
1
+ 10x
2

− 6x
3
+ x
4
)
1. Ξ÷χ →⇒νη dim Im h, dim Ker h τηεο τηαµ σ a.
2. ςι a = 3, ϖι γι÷ τρ⇒ ν∝ο χ〉α b τη⋅ ϖ∠χ τ← u = (1, −2, b) τηυχ Im h.
Χ♥υ ΙΙΙ. Ξ∠τ µα τρ⊄ν τηχ
A =


1 2 2
2 1 2
2 2 1


.
1. Τ⋅µ χ÷χ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ, ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α A.
2. Τ⋅µ µα τρ⊄ν τρχ γιαο Q σαο χηο B = Q
T
AQ λ∝ µα τρ⊄ν →↑νγ χη∠ο. ςι∏τ µα
τρ⊄ν B.
Χ♥υ Ις.
1. Γι∂ σ F λ∝ µτ κη↔νγ γιαν χον χ〉α K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← n−χηιυ V . Χηνγ µινη
ρ≈νγ ν∏υ dim F < n τη⋅ τρονγ κη↔νγ γιαν V χ χ← σ {u
1
, u
2
, , u
n

} σαο χηο
u
i
∈ F , i = 1, 2, , n.
2. Χηνγ µινη ρ≈νγ →ι ϖι µι δ≠νγ τυψ∏ν τ⇑νη ϕ τρ♠ν κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδ ηυ
η≠ν χηιυ E τ∑ν τ≠ι δυψ νη⊇τ µτ ϖ∠χ τ← u
⋆
∈ E σαο χηο
ϕ (x) = (u
⋆
.x) ϖι µι x ∈ E.
♣≠ι η χ Θυ χ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦µ 2005
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝µ β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Ξ∠τ →∑νγ χ⊇υ ϖ∝νη f : K → K
⋆
. Χηνγ µινη ρ≈νγ
1. Ν∏υ A λ∝ µτ ϖ∝νη χον χ〉α ϖ∝νη K τη⋅ f(A) λ∝ µτ ϖ∝νη χον χ〉α K
⋆
.
2. Ν∏υ B λ∝ µτ ιδεαν χ〉α ϖ∝νη K
′
τη⋅ f
−1
(B) λ∝ µτ ιδεαν χ〉α ϖ∝νη K.
Χ♥υ ΙΙ.
1. Ξ÷χ →⇒νη σ χηιυ χ〉α κη↔νγ γιαν νγηι√µ N χ〉α η√ πη↑←νγ τρ⋅νη τυψ∏ν τ⇑νη τηυ∩ν
νη⊇τ σαυ →♥ψ τηεο τηαµ σ a
x

1
+ ax
2
− x
3
+ 2x
4
= 0,
2x
1
− x
2
+ ax
3
+ 5x
4
= 0,
x
1
+ 10x
2
− 6x
3
+ x
4
= 0.
2. ςι a = 3, τ⋅µ χ← σ τρχ γιαο χ〉α πη∩ν β τρχ γιαο N
⋆
χ〉α N τρονγ κη↔νγ γαιν
ϖ∠χ τ← Ευχλιδ R

4
.
Χ♥υ ΙΙΙ. Ξ∠τ µα τρ⊄ν τηχ
A =


8 −1 −5
−2 3 1
4 −1 −1


.
1. Τ⋅µ χ÷χ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ, ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α A.
2. Τ⋅µ µτ µτ µα τρ⊄ν ταµ γι÷χ →∑νγ δ≠νγ ϖι µα τρ⊄ν A.
Χ♥υ Ις. Ξ∠τ δ≠νγ το∝ν πη↑←νγ ω τρ♠ν κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδ R
n
χηο βι
ω (x) =
n

i,j=1
a
ij
x
i
x
j
, x = (x
1
, x

2
, , x
n
) .
Χηνγ µινη ρ≈νγ
1. Ν∏υ δ≠νγ ω ξ÷χ →⇒νη δ↑←νγ τη⋅ a
ii
> 0 ϖι µι i = 1, 2, , n.
2. ∆≠νγ ω ξ÷χ →⇒νη δ↑←νγ κηι ϖ∝ χη¬ κηι τ∑ν τ≠ι µα τρ⊄ν κη∂ νγη⇒χη S σαο χηο
(a
ij
)
n×n
= S
T
S.
♣≠ι η χ Θυ χ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦µ 2006 →τ 1
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝µ β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Χηνγ µινη ρ≈νγ γιαο χ÷χ ιδεαν χ〉α µτ ϖ∝νη λ∝ µτ ιδεαν.
2. Γι∂ σ S λ∝ τ⊄π χον κη÷χ ρνγ χ〉α ϖ∝νη K γιαο ηο÷ν χ →←ν ϖ⇒. Χηνγ µινη ρ≈νγ
τ⊄π
(S) =

x =
n

i=1

a
i
s
i
: s
i
∈ S, a
i
∈ K, i = 1, 2, , n

λ∝ ιδεαν νη〈 νη⊇τ χηα τ⊄π S.
Χ♥υ ΙΙ. Ξ∠τ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη f : R
3
→ R
3
χηο βι
f ((x
1
, x
2
, x
3
)) = (x
1
+ ax
2
+ x
3
, 2x
1

+ ax
2
+ bx
3
, − x
1
+ (b − 1) x
3
)
1. ςι γι÷ τρ⇒ ν∝ο χ〉α χ÷χ τηαµ σ a, b τη⋅ f λ∝ µτ τ →…νγ χ⊇υ.
2. Τ⋅µ dim Im f , dim Ker f ϖι a = b = 1.
Χ♥υ ΙΙΙ. Ξ∠τ µα τρ⊄ν →ι ξνγ τηχ
A =


1 2 2
2 1 2
2 2 1


.
1. Τ⋅µ χ÷χ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ, ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α A.
2. ∆≠νγ το∝ν πη↑←νγ ω τρ♠ν κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδ R
3
χηο βι
ω (x) =

x
1
x

2
x
3

A

x
1
x
2
x
3

T
, x =

x
1
x
2
x
3

.
Τ⋅µ µτ χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α κη↔νγ γιαν R
3
λ∝ χ← σ χη⇑νη τχ χ〉α ω. ςι∏τ δ≠νγ
χη⇑νη τχ χ〉α ω τ↑←νγ νγ ϖι χ← σ →.
Χ♥υ Ις. Γι∂ σ E λ∝ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδ n−χηιυ.
1. Χηνγ µινη ρ≈νγ ν∏υ {u

1
, u
2
, , u
n
} λ∝ µτ χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α E τη⋅ µι ϖ∠χ
τ← x τηυχ E →υ χ τη βιυ διν δ↑ι δ≠νγ
x =
n

i=1
(x.u
i
) u
i
.
2. Γι∂ σ L, M λ∝ χ÷χ κη↔νγ γιαν χον χ〉α E ϖ∝ dim L < dim M . Χη↑νγ µινη ρ≈νγ
τ∑ν τ≠ι ϖ∠χ τ← u ∈ M , u = 0 σαο χηο (u.y) = 0 ϖι µι y ∈ L.
♣≠ι η χ Θυ χ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦µ 2006 →τ 2
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝µ β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Ξ∠τ ϖ∝νη →α τηχ R[x] ∪ν x η√ σ τηχ. Χηνγ µινη ρ≈νγ
1. ♣ι ϖι µι →α τηχ f (x) τηυχ R[x] τ⊄π
f (x) R [x] = {g (x) = f (x) h (x) : h (x) ∈ R [x]}
λ∝ µτ ιδεαν χ〉α ϖ∝νη R[x].
2. ♣ι ϖι µι ιδεαν I = {0} χ〉α ϖ∝νη R [x] τ∑ν τ≠ι δυψ νη⊇τ →α τηχ δ≠νγ χηυ∪ν
p (x) σαο χηο I = p (x) R [x].
Χ♥υ ΙΙ. Τρονγ κη↔νγ γιαν Ευχλιδ R
4

ξ∠τ η√ ϖ∠χ τ←
u
1
= (1, a, 2, 1) , u
2
= (1, 1, b, 0) , u
3
= (1, b, 2, 1) .
1. ςι νηνγ γι÷ τρ⇒ ν∝ο χ〉α χ÷χ τηαµ σ a, b τη⋅ η√ {u
1
, u
2
, u
3
} →χ λ⊄π τυψ∏ν τ⇑νη,
πη τηυχ τυψ∏ν τ⇑νη.
2. Τ⋅µ µτ χ← σ χ〉α πη∩ν β τρχ γιαο L
⋆
χ〉α κη↔νγ γιαν χον L σινη βι η√
{u
1
, u
2
, u
3
} ϖι a = b = 1.
Χ♥υ ΙΙΙ. Ξ∠τ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη f τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R
3
ξ÷χ →⇒νη βι
f ((x, y, z)) = (8x − y − 5z, −2x + 3y + z, 4x − y − z) .

1. Τ⋅µ χ÷χ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ, ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α f , χ〉α f
n
, n > 0.
2. Τ⋅µ µτ χ← σ χ〉α κη↔νγ γιαν R
3
σαο χηο µα τρ⊄ν B χ〉α f →ι ϖι χ← σ → λ∝ µα
τρ⊄ν ταµ γι÷χ. ςι∏τ µα τρ⊄ν B.
Χ♥υ Ις. Ξ∠τ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη g τρ♠ν K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← n−χηιυ V τηο∂ µ•ν →ιυ
κι√ν g(x, x) = ϖι µι x τηυχ V . Χηνγ µινη ρ≈νγ
1. g(x, y) = −g(y, x) ϖι µι x, y τηυχ V .
2. Ν∏υ g κη↔νγ συψ βι∏ν τη⋅ µι ϖ∠χ τ← u τηυχ V , v = {0}, λυ↔ν λυ↔ν τ∑ν τ≠ι ϖ∠χ τ←
v τηυχ V σαο χηο g(u, v) = 1.
♣≠ι η χ Θυ χ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦µ 2007 →τ 1
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝µ β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Πη∩ν τ a τηυχ νηµ (G, ◦, e) γι λ∝ χ χ⊇π ηυ η≠ν p ν∏υ p λ∝ σ νγυψ♠ν
δ↑←νγ νη〈 νη⊇τ σαο χηο a
p
= e. Γι∂ σ G λ∝ µτ τ⊄π ηπ ηυ η≠ν χ n πη∩ν τ. Χηνγ
µινη ρ≈νγ
1. Μι πη∩ν τ a τηυχ νηµ (G, ◦, e) →υ χ χ⊇π ηυ η≠ν.
2. ςι µι a, b τηυχ νηµ (G, ◦, e) χ÷χ πη∩ν τ a ◦ b ϖ∝ b ◦ a χ χ⊇π β≈νγ νηαυ.
Χ♥υ ΙΙ.
1. Ξ÷χ →⇒νη σ χηιυ χ〉α κη↔νγ γιαν νγηι√µ N
0
χ〉α η√ πη↑←νγ τρ⋅νη τυψ∏ν τ⇑νη τηυ∩ν
νη⊇τ σαυ →♥ψ τηεο τηαµ σ τηχ a
x
1

+ ax
2
− x
3
+ 2x
4
= 0,
2x
1
− x
2
+ ax
3
+ 5x
4
= 0,
x
1
+ 10x
2
− 6x
3
+ x
4
= 0.
2. Χηο a = 3, τ⋅µ πη∩ν β τρχ τι∏π χ〉α N
0
τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R
4
.

Χ♥υ ΙΙΙ. Τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδ R
3
ξ∠τ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη f χηο βι
f ((x
1
, x
2
, x
3
)) = (3x
1
+ 2x
2
, 2x
1
+ 4x
2
− 2x
3
, −2x
2
+ 5x
3
) .
1. Χηνγ µινη ρ≈νγ f λ∝ πη∠π βι∏ν →ι →ι ξνγ.
2. Τ⋅µ χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχιλδ R
3
λ∝ χ÷χ ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α f ϖ∝
χηο βι∏τ µα τρ⊄ν χ〉α f →ι ϖι χ← σ →.
Χ♥υ Ις. Ξ∠τ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη κη↔νγ συψ βι∏ν g τρ♠ν K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← n−χηιυ

V . Γι∂ σ ρ≈νγ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη g
1
τρ♠ν κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← χον r−χηιυ F χηο βι
g
1
(x, y) = g(x, ) ϖι µι x, y τηυχ F λ∝ µτ δ≠νγ κη↔νγ συψ βι∏ν. Ξ∠τ τ⊄π
F
⋆
= {x ∈ V : g (x, y) = 0 ϖι µι y ∈ F } .
Χηνγ µινη ρ≈νγ
1. F
⋆
λ∝ µτ κη↔νγ γιαν χον ϖ∝ F
⋆
∩ F = {0}.
2. V = F ⊕ F
⋆
.
♣≠ι η χ Θυ χ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦µ 2000
Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη
Τηι γιαν λ∝µ β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Χηνγ µινη ρ≈νγ η∝µ σ µτ βι∏ν σ λι♠ν τχ τρ♠ν →ο≠ν [a, b] τη⋅ λι♠ν τχ →υ τρ♠ν
→.
2. Χηο η∝µ σ f(x) =
√
1 − cos x
x
. Η•ψ ξ∠τ σ λι♠ν τχ →υ χ〉α ν τρ♠ν χ÷χ τ⊄π δ↑ι

→♥ψ:
(α) Τρ♠ν (0, 1).
(β) Τρ♠ν (−1, 0).
(χ) Τρ♠ν (−1, 0) ∪ (0, 1).
Χ♥υ ΙΙ.
1. Χηνγ µινη ρ≈νγ ν∏υ µτ δ•ψ σ →←ν →ι√υ χ µτ δ•ψ σ χον ηι τ τη⋅ ν χ∫νγ λ∝
µτ δ•ψ ηι τ.
2. Χηνγ τ〈 ρ≈νγ δ•ψ σ {x
n
} ϖι
x
n
= 1 +
1
2
+ ··· +
1
n
− ln(n) , n ≥ 1
λ∝ µτ δ•ψ ηι τ.
Χ♥υ ΙΙΙ.
1. Τ⇑νη δι√ν τ⇑χη χ〉α µιν ν≈µ τρονγ µ∅τ πη…νγ το≠ → xOy →↑χ γιι η≠ν βι τρχ
ηο∝νη ϖ∝ µτ νη⇒π χψχλοιδ

x = a(t − sin t)
y = a(1 − cos t)
(0 ≤ t < 2π, a > 0).
2. Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ
+∞


0
(x + 1)
α
sin x
(x − 1)
β
dx,
τρονγ → α, β λ∝ χ÷χ τηαµ σ.
Χ♥υ Ις.
1. Χηο χηυι η∝µ
+∞

n=1
e
nx
1 + n
2
.
(α) Τ⋅µ µιν ηι τ χ〉α χηυι η∝µ.
(β) Ξ∠τ τ⇑νη κη∂ ϖι χ〉α τνγ χηυι η∝µ τρονγ µιν ηι τ.
2. Χηο f (x) λ∝ η∝µ λι♠ν τχ τρ♠ν (−∞, +∞). ςι n νγυψ♠ν δ↑←νγ →∅τ
f
n
(x) =
1
n

f(x +
1
n

) + f (x +
2
n
) + ··· + f(x +
n
n
)

.
Χηνγ µινη ρ≈νγ δ•ψ η∝µ {f
n
(x)} ηι τ →υ τρ♠ν µι →ο≠ν ηυ η≠ν β⊇τ κ.
♣≠ι η χ Θυ χ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦µ 2000
Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη
Τηι γιαν λ∝µ β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ µινη νγυψ♠ν λ Χαυχηψ ϖ σ ηι τ χ〉α δ•ψ σ (χ⇓ν γι λ∝ τι♠υ
χηυ∪ν Χαυχηψ).
2. Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α δ•ψ σ {x
n
} τρονγ →
x
n
= sin 1 + sin
1
1
2
+ + sin
1

n
2
.
Χ♥υ ΙΙ.
1. Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ µινη →⇒νη λ ϖ τ⇑νη λι♠ν τχ →υ χ〉α µτ η∝µ σ λι♠ν τχ τρ♠ν
µτ →ο≠ν.
2. Χηο f (x) λι♠ν τχ τρ♠ν [0, +∞). Βι∏τ ρ≈νγ τ∑ν τ≠ι γιι η≠ν ηυ η≠ν χ〉α f(x) κηι
x → +∞. Χηνγ µινη ρ≈νγ f (x) λι♠ν τχ →υ τρ♠ν [0, +∞).
Χ♥υ ΙΙΙ.
1. Ξ∠τ σ ηι τ →υ χ〉α χηυι η∝µ
+∞

n=1
nx
1 + n
3
x
2
τρ♠ν κηο∂νγ (−∞, +∞).
2. Ξ∠τ τ⇑νη κη∂ ϖι χ〉α η∝µ σ
S (x) =
+∞

n=0
e
−n
2
x
.
Χ♥υ Ις.

1. Τ⇑νη τ⇑χη πη♥ν

D
(x
2
+ y
2
) dxdy ϖι D = {(x, y) ∈ R
2
: x
4
+ y
4
 1}.
2. Χηο f(x) ξ÷χ →⇒νη ϖ∝ χ →≠ο η∝µ ηυ η≠ν f
′
(x) τρ♠ν κηο∂νγ (a, b). Χηνγ µινη
ρ≈νγ ν∏υ f
′
(x) = 0 ϖι ∀x ∈ (a, b) τη⋅ f(x) →←ν →ι√υ τρ♠ν κηο∂νγ (a, b).
Χ♥υ ς.
1. Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν
+∞

0
sin
2
2x
x
dx.

2. Βι∏τ ρ≈νγ f(x) κη∂ ϖι λι♠ν τχ τρ♠ν →ο≠ν [a, b] ϖ∝ f(a) − f (b) = 0. Χηνγ µινη
ρ≈νγ
max
axb
|f
′
(x)| 
4
(b − a)
2
b

a
|f (x)| dx.
♣≠ι η χ Θυ χ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦µ 2002
Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη
Τηι γιαν λ∝µ β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ µινη νγυψ♠ν λ Βολζανο−Ωειρεστρασσ ϖ γιι η≠ν χ〉α δ•ψ σ.
2. Γι∂ σ a
0
λ∝ σ τηχ τηο∂ µ•ν 0  a
0
 1 ϖ∝ {a
n
} λ∝ δ•ψ σ τηχ ξ÷χ →⇒νη τηεο
θυψ τχ
a
1

= a
0
, a
2n
=
1
2
a
2n−1
, a
2n+1
=
1
2
(1 + a
2n
) , n  1
Χηνγ µινη ρ≈νγ δ•ψ {a
n
} χη¬ χ 2 γιι η≠ν ρι♠νγ λ∝
1
3
ϖ∝
2
3
.
Χ♥υ ΙΙ.
1. Πη÷τ βιυ →⇒νη λ Χαυχηψ ϖ γι÷ τρ⇒ τρυνγ β⋅νη χ〉α τη↑←νγ ηαι η∝µ κη∂ ϖι.
2. Χηο f (x) = x
2

+ x, g (x) = x
3
. Η〈ι χ τη ÷π δνγ →↑χ →⇒νη λ Χαυχηψ τρ♠ν
[−1, 1] χηο τη↑←νγ ηαι η∝µ ν∝ψ κη↔νγ? Τ⋅µ σ c →
f (1) − f (−1)
g (1) − g (−1)
=
f
′
(c)
g
′
(c)
.
Χ♥υ ΙΙΙ. Χηο η∝µ 2 βι∏ν
f (x, y) =



xy
√
x
2
+y
2
ν∏υ (x, y) = (0, 0) ,
0 ν∏υ (x, y) = (0, 0) .
Χηνγ µινη ρ≈νγ τρονγ µτ λ♥ν χ⊄ν χ〉α →ιµ (0, 0) η∝µ f λι♠ν τχ ϖ∝ χ χ÷χ →≠ο η∝µ
ρι♠νγ γιι νι νη↑νγ f κη↔νγ κη∂ ϖι τ≠ι →ιµ (0, 0).
Χ♥υ Ις.

1. Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ
+∞

0
sin
2
2x
x
dx.
2. Ξ∠τ σ ηι τ →υ χ〉α χηυι η∝µ
+∞

n=0
x
2
e
−nx
, 0  x < +∞.
Χ♥υ ς. Χηνγ µινη ρ≈νγ → δ∝ι l χ〉α →↑νγ ελιπ
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1 τηο∂ µ•ν β⊇τ →…νγ τηχ
π (a + b)  l  π


2 (a
2
+ b
2
).