Olympic toan 8 Nghia Dan

PHÒNG GD&ĐT NGHĨA ĐÀN
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017-2018
MƠN: TỐN 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề)

(Đề thi có 01 trang)
Câu 1 ( 3,0 điểm) :
a)

Cho a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng a3b – ab3 chia hết cho 6.

b)

Tìm số nguyên dương n để n2 – n + 2 là số chính phương.

Câu 2 ( 7,0 điểm) :
a)

Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 + 7x + 6
x 2  3x  2  x  1 0

b)

Giải phương trình:

c)
x2 + x – 2.

Tìm a, b sao cho đa thức f(x) = ax3 + bx2 + 10x – 4 chia hết đa thức g(x) =

Câu 3 ( 2,0 điểm):
2
2
2
Cho 0 a, b, c 2 thõa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng a  b  c 5

Câu 4 ( 7,0 điểm): Cho tam giác ABC vng cân tại A có cạnh AB = a, M là điểm di
chuyển trên cạnh BC ( M B, C ). Gọi E và F là chân các đường vng góc kẻ từ điểm M lần
lượt đến các cạnh AB và AC, từ M kẻ MH vng góc với EF (H  EF). Chứng minh:
a)

Chu vi tứ giác AEMF bằng 2a.

b)

1
1
1
 2
2
MH
AE
AF2

c)

Đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên cạnh BC.

Câu 5 ( 1,0 điểm): Mỗi điểm trên mặt phẳng được tô màu đen hoặc đỏ. Chứng minh rằng

ta có thể tìm được ba điểm cùng màu mà mỗi cặp điểm có khoảng cách bằng 1 hoặc có
khoảng cách bằng 3
….…………….HẾT………………
Họ và thí sinh tên………………………………………………..SBD……………………..